数学七年级上册6.5 垂直导学案及答案

课题：6.5垂直(2)

【学习目标】经历“观察、操作----探索、猜想-----推理”的认知过程、感知“垂线段最短”的性质.

【重点难点】“垂线段最短”的性质应用.

【导学指导】：

一、自主学习

1、如图，若要从点A处横穿马路，

怎样走线路最短？

你能把最短的线路画出来吗？

2、你观察过吗？体育课上怎样测量同学们的跳远成绩?

3、如图，线段PA、线段PB、线段PC、线段PD是P点到直线l的最短路线吗？

如果不是，请画出P点到直线a的最短路线，并量出它的长度。

垂线性质二：直线外一点到直线上各点连接的所有线段中，            最短。

我们把直线外一点到这条直线的___________             叫做点P到直线l的距离

二、例题评析：

1. 如图1，BC⊥AB，BC＝6cm，AB＝8cm，AC＝10cm，则点A到BC的距离是  cm，点C到AB的距离是   cm，A、C两点间的距离是   cm．

              图1                           图2

2．如图，直线a上有一点M，直线b上有一点N，用三角尺画图．

   (1)画点M到直线b的最短线段，垂足为点A；

   (2)画点N到直线a的最短线段，垂足为点B．

3．如图，已知∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,

① 图中垂线段有   条.          

② 点B到直线AC的距离是线段  的长度.

③ 线段AD的长度是点     到直线       的距离.

④ 在线段AC、BC、CD中，线段   最短，理由是       .

三、巩固知识

[典型问题]

1．如图所示，点P到直线l的距离是（  ）

A．线段PA的长度 B．线段PB的长度 C．线段PC的长度 D．线段PD的长度

2．如图，在立定跳远中，体育老师是这样测量运动员的成绩的，用一块直角三角板的一边附在起跳线上，另一边与拉直的皮尺重合，这样做的理由是（  ）

A．两点之间线段最短 B．过两点有且只有一条直线

C．垂线段最短 D．过一点可以作无数条直线

3．点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上三点，PA=4cm、PB=5cm、PC=2cm，则点P到直线l的距离（  ）

A．等于4cm B．等于2cm C．小于2cm D．不大于2cm

4．在下列图形中，线段PQ的长度表示点P到直线L的距离的是（  ）

A． B． C． D．

四基训练

1、如图，从直线外一点向引四条线段，，，，其中最短的一条是（  ）

A． B． C． D．

2、如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（　　）

A．两点之间线段最短  B．点到直线的距离  C．两点确定一条直线  D．垂线段最短

3、如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，则下列不正确的语句是（　　）

A．线段PC的长是点C到直线PA的距离  B．线段AC的长是点A到直线PC的距离

C．PA、PB、PC三条线段中，PB最短     D．线段PB的长是点P到直线a的距离

4、如图,想在河堤两岸搭建一座桥,图中搭建方式中,最短的是(     　)

A．PA B．PB C．PC D．PD

5、如图，三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点P是BC边上一动点，则AP的长不可能是（   ）

A．3 B．2.8 C．3.5 D．4

6、点在直线外，点在直线上，两点的距离记作，点到直线的距离记作，则与的大小关系是 (   )

A． B． C． D．

7、如图所示，已知AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别是C，D，那么以下线段大小的比较必定成立的是（　　）

A． B． C． D．

8、如图，三角形ABC是锐角三角形，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则点C到直线AB的距离是(　　)

A．线段CA的长    B．线段CD的长  C．线段AD的长    D．线段AB的长

9、点A为直线l外一点，点B在直线l上，若AB＝5厘米，则点A到直线l的距离(　　)

A．大于5厘米  B．等于5厘米   C．小于5厘米  D．不大于5厘米

10、下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（　　）

A．B． C． D．

11、如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，则下面的结论中正确的个数为（　　）

①AB与AC互相垂直；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；

④线段AB的长度是点B到AC的距离；⑤线段AB是B点到AC的距离．

A．2 B．3 C．4 D．5

12、如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA=6cm，PB=5cm，PC=7cm，则点P到直线l的距离是_____cm.

13、如图，AB∥CD，BC∥AD．AC⊥BC于点C，CE⊥AB于点E，那么AB、CD间的距离是___ ______的长，BC、AD间的距离是_________的长.

14、如图所示,火车站、码头分别位于A,B两点,直线a和b分别表示河流与铁路.

(1)从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由;

(2)从码头到铁路怎样走最近,画图并说明理由;

(3)从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由.

拓展提升

15．如图，点A，B在直线m上，点P在直线m外，点Q是直线m上异于点A，B的任意一点，则下列说法或结论正确的是（ ）

A．射线AB和射线BA表示同一条射线

B．线段PQ的长度就是点P到直线m的距离

C．连接AP，BP，则AP+BP＞AB

D．不论点Q在何处，AQ=AB﹣BQ或AQ=AB+BQ

答案：

一、自主学习

1、如图，若要从点A处横穿马路，

怎样走线路最短？

你能把最短的线路画出来吗？

2、你观察过吗？体育课上怎样测量同学们的跳远成绩?

3、如图，线段PA、线段PB、线段PC、线段PD是P点到直线l的最短路线吗？

如果不是，请画出P点到直线a的最短路线，并量出它的长度。

垂线性质二：直线外一点到直线上各点连接的所有线段中，   垂线段   最短。

我们把直线外一点到这条直线的__垂线段的长度   叫做点P到直线l的距离

二、例题评析：

1. 如图1，BC⊥AB，BC＝6cm，AB＝8cm，AC＝10cm，则点A到BC的距离是  8cm，点C到AB的距离是 6  cm，A、C两点间的距离是 10  cm．

              图1                           图2

2．如图，直线a上有一点M，直线b上有一点N，用三角尺画图．

   (1)画点M到直线b的最短线段，垂足为点A；

   (2)画点N到直线a的最短线段，垂足为点B．

3．如图，已知∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,

① 图中垂线段有 5  条.          

② 点B到直线AC的距离是线段 BC 的长度.

③ 线段AD的长度是点   A   到直线  CD     的距离.

④ 在线段AC、BC、CD中，线段 CD  最短，理由是    垂线段最短    .

三、巩固知识

[典型问题]

1．如图所示，点P到直线l的距离是（B）

A．线段PA的长度 B．线段PB的长度 C．线段PC的长度 D．线段PD的长度

2．如图，在立定跳远中，体育老师是这样测量运动员的成绩的，用一块直角三角板的一边附在起跳线上，另一边与拉直的皮尺重合，这样做的理由是（C）

A．两点之间线段最短 B．过两点有且只有一条直线

C．垂线段最短 D．过一点可以作无数条直线

3．点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上三点，PA=4cm、PB=5cm、PC=2cm，则点P到直线l的距离（D）

A．等于4cm B．等于2cm C．小于2cm D．不大于2cm

4．在下列图形中，线段PQ的长度表示点P到直线L的距离的是（C）

A． B． C． D．

四基训练

1、如图，从直线外一点向引四条线段，，，，其中最短的一条是（ B ）

A． B． C． D．

2、如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（　D　）

A．两点之间线段最短  B．点到直线的距离  C．两点确定一条直线  D．垂线段最短

3、如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，

则下列不正确的语句是（B　　）

A．线段PC的长是点C到直线PA的距离  B．线段AC的长是点A到直线PC的距离

C．PA、PB、PC三条线段中，PB最短     D．线段PB的长是点P到直线a的距离

4、如图,想在河堤两岸搭建一座桥,图中搭建方式中,最短的是(  B   　)

A．PA B．PB C．PC D．PD

5、如图，三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点P是BC边上一动点，则AP的长不可能是（ B  ）

A．3 B．2.8 C．3.5 D．4

6、点在直线外，点在直线上，两点的距离记作，点到直线的距离记作，

则与的大小关系是 (  C )

A． B． C． D．

7、如图所示，已知AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别是C，D，那么以下线段大小的比较必定成立的是（　C　）

A． B． C． D．

8、如图，三角形ABC是锐角三角形，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则点C到直线AB的距离是(　B　)

A．线段CA的长    B．线段CD的长  C．线段AD的长    D．线段AB的长

9、点A为直线l外一点，点B在直线l上，若AB＝5厘米，则点A到直线l的距离(　D　)

A．大于5厘米  B．等于5厘米   C．小于5厘米  D．不大于5厘米

10、下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（　B　）

A．B． C． D．

11、如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，则下面的结论中正确的个数为（　A　）

①AB与AC互相垂直；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；

④线段AB的长度是点B到AC的距离；⑤线段AB是B点到AC的距离．

A．2 B．3 C．4 D．5

12、如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA=6cm，PB=5cm，PC=7cm，则点P到直线l的距离是__5___cm.

13、如图，AB∥CD，BC∥AD．AC⊥BC于点C，CE⊥AB于点E，那么AB、CD间的距离是___CE ______的长，BC、AD间的距离是___AC______的长.

14、如图所示,火车站、码头分别位于A,B两点,直线a和b分别表示河流与铁路.

(1)从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由;

(2)从码头到铁路怎样走最近,画图并说明理由;

(3)从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由.

解: (1)连接AB，沿线段AB走。理由:两点之间，线段最短。

(2)过点B作铁路的垂线BE,垂足为E，沿BE走。理由:垂线段最短。

(3)过点A作河流的垂线AF.垂足为F，沿AF走。理由:垂线段最短。

拓展提升

15．如图，点A，B在直线m上，点P在直线m外，点Q是直线m上异于点A，B的任意一点，则下列说法或结论正确的是（C）

A．射线AB和射线BA表示同一条射线

B．线段PQ的长度就是点P到直线m的距离

C．连接AP，BP，则AP+BP＞AB

D．不论点Q在何处，AQ=AB﹣BQ或AQ=AB+BQ