数学湘教版4.3向量与实数相乘备课课件ppt
展开向量数乘运算实数λ与向量a的积是一个____,这种运算叫做向量的____,记作_____,其长度与方向规定如下:(1)|λa|=________.(2)λa(a≠0)的方向
当______时,与a方向相同当______时,与a方向相反
特别地,当λ=0或a=0时,0a=____或λ0 =____.平行向量(1)平行向量:方向__________的____向量叫做平行向量.(2)平行向量的条件:
两个向量平行⇔其中一个向量是另一个向量的_____倍.零向量的方向零向量的方向是______,零向量与所有的向量____.向量与实数的乘法运算律(1)设a是任意向量,x,y是任意两个实数,则(x+y)a=xa+ya,x(ya)=(xy)a.(2)设a,b是任意两个向量,λ是任意实数,则λ(a+b)=λa+λb.单位向量:长度为_的向量称为单位向量,已知a,则a0=
提示 表面看来,好像不共线,但眼见不一定为实,还得要让计算来说明问题.
下列计算正确的个数为 ( ).①(-7)×6a=-42a; ②|-2 010a|=2 010|a|;③a+b-(a+b)=0; ④a-2b+(2a+2b)=3a.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案 C
若|a|=5,b与a的方向相反,且|b|=7,则a=___b( ).
解析 b与a反向,故a=λb(λ<0),|a|=-λ|b|,即5=-λ·7.答案 B
下列说法不正确的是 ( ).A.方向相同或相反的非零向量是平行向量B.向量可以平行移动C.有公共起点的向量叫共线向量D.零向量与任一向量共线答案 C
对于实数与向量的积的理解(1)λa的几何意义就是把a沿着与a相同(λ>0时)或相反(λ<0时)的方向伸长(|λ|>1时)或缩短(|λ|<1时)到原来的|λ|倍.(2)实数与向量可以进行数乘运算,但不能进行加减运算,比如λ+a,λ-a无法进行运算.(3)当λ=0或a=0时λa=0,这时就不必讨论方向了;当λ=-1时,(-1)a=-a,就是a的相反向量.
向量共线向量b与非零向量a共线,则有且只有一个实数λ,使得b=λa;若b=λa(λ∈R)则a与b共线.注意:(1)要证明向量a、b共线,只需证明存在实数λ,使得b=λa即可.(2)如果a=b=0,数λ仍然存在,此时λ并不唯一,是任意实数.
化简下列各式:
点评 关于实数与向量相乘的有关运算,只需把向量符号a、b、c等,看作一般字母符号,然后按照实数的运算方法进行运算即可,其中向量数乘之间的和差运算,相当于合并同类项.
计算:(1)8(2a-b+c)-6(a-2b+c)-2(2a+c);
解 (1)原式=16a-8b+8c-6a+12b-6c-4a-2c=(16-6-4)a+(-8+12)b+(8-6-2)c=6a+4b.
题型二 用图形中指定向量表示其他向量
点评 用图形中指定向量表示其他向量时,一般是利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则把被表示的向量表示出来.
已知非零向量e1和e2不共线.
(2)欲使ke1+e2和e1+ke2共线,试确定实数k的值.
点评 本题以正反两方面考查了向量共线,即若b与非零向量a共线,则必存在唯一实数λ,使b=λa;若b=λa(λ∈R),则b与a共线.
题型四 向量在平面几何中的应用
如右图,在平行四边形ABCD中,M是AB的中点,点N在对角线BD上,且BN =BD.求证:M、N、C三点共线.
a与b共线与a+b与a-b共线有关系吗?错解 a与b共线时,a+b与a-b一定共线,这在作图求向量的加法与减法时就看得出来.反之,a+b与a-b共线时,不能保证a与b共线.错因分析 两个向量是否共线,应经过严格的推理才能得出结论,而不能凭感觉看出来.
误区警示 不严密推理而出错
因此若a与b共线,则a+b与a-b共线,反之,若a+b与a-b共线,则a与b共线.
纠错心得 解答数学问题讲究逻辑性,要肯定一个结论成立,需要经过严密的推理证明,而指出一个结论不成立,则只须举一反例即可.我们在作图求向量的加法与减法时,确实碰到过a与b共线时,画出来的a+b与a-b共线,但这不能代替证明.错解中的“反之,a+b与a-b共线时,不能保证a与b共线”,即使是对的,由于没有举出反例,难以令人信服,何况这个论断是错的.
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