高中物理人教版 (2019)必修 第一册3 匀变速直线运动的位移与时间的关系学案

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考点1：匀变速直线运动的位移
1．位移公式的推导
某质点做匀变速直线运动，已知初速度为v0，在t时刻的速度为v，加速度为a。其v­t图像如图甲所示。
甲 乙
（1）把匀变速直线运动的v­t图像分成几个小段，如图所示，每段位移≈每段起始时刻速度×每段的时间＝对应矩形的面积，故整个过程的位移≈各个小矩形的面积之和。
（2）把运动过程分为更多的小段，如图乙所示，各小矩形的面积之和可以更精确地表示物体在整个过程的位移。
（3）把整个运动过程分得非常细，很多小矩形合在一起形成了一个梯形OABC，梯形面积就代表物体在相应时间间隔内的位移。
如图所示，v­t图线下面梯形的面积
x＝eq \f(1,2)(v0＋v)t
又因为v＝v0＋at
由①②式可得x＝v0t＋eq \f(1,2)at2。
2．对位移时间关系式x＝v0t＋eq \f(1,2)at2的理解
（1）公式的适用条件：位移公式x＝v0t＋eq \f(1,2)at2只适用于匀变速直线运动。
（2）公式的矢量性：公式x＝v0t＋eq \f(1,2)at2为矢量公式，其中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v0的方向为正方向。通常有以下几种情况：
（3）公式的两种特殊形式
① 当a＝0时，x＝v0t(匀速直线运动)。
② 当v0＝0时，x＝eq \f(1,2)at2(由静止开始的匀加速直线运动)。
【点拨】 1公式x＝v0t＋eq \f(1,2)at2经常与公式v＝v0＋at联立使用，两公式中共有五个物理量，已知任意三个物理量，可以求出剩余的两个物理量。
2对匀加速直线运动，若不知道初速度大小，只知道末速度大小为v，加速度为a，则时间t内的位移也可以逆向表达为x＝vt－eq \f(1,2)at2。
【例1】 国歌从响起到结束的时间是48 s，国旗上升的高度是17.6 m。假设国歌响起同时国旗开始向上做匀加速运动4 s，然后匀速运动，最后匀减速运动4 s到达旗杆顶端，速度恰好为零，此时国歌结束。求：
（1）国旗匀加速运动的加速度大小；
（2）国旗匀速运动时的速度大小。
【技巧与方法】
应用基本公式分析问题的技巧
运用速度公式和位移公式时，由于速度、加速度、位移都是矢量，因此要注意矢量的方向，将各矢量的方向和规定的正方向进行比较，从而确定其正负，然后再代入公式中进行计算。
【针对训练】
1．(公式x＝v0t＋eq \f(1,2)at2的应用)一个做匀加速直线运动的物体，初速度v0＝2.0 m/s，它在第3 s内通过的位移是4.5 m，则它的加速度为( )
A．0.5 m/s2 B．1.0 m/s2
C．1.5 m/s2 D．2.0 m/s2
2．(“逆向思维”的应用)小球以某一较大初速度冲上足够长光滑斜面，加速度大小为5 m/s2，则小球在沿斜面上滑过程中最后一秒的位移是( )
A．2.0 m B．2.5 m
C．3.0 m D．3.5 m
考点2：匀变速直线运动速度与位移的关系
1．适用条件：公式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的关系，适用于匀变速直线运动。
2．公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v0方向为正方向。
(1)物体做加速运动时，a取正值；做减速运动时，a取负值。
(2)x>0，说明物体位移的方向与初速度的方向相同；x<0，说明物体位移的方向与初速度的方向相反。
3．两种特殊形式
(1)当v0＝0时，v2＝2ax。(初速度为零的匀加速直线运动)
(2)当v＝0时，－veq \\al(2,0)＝2ax。(末速度为零的匀减速直线运动)
【点拨】 该式是由匀变速直线运动的两个基本公式推导出来的，因为不含时间，所以当所研究问题中不涉及时间这个物理量时利用该公式往往会更简便。
【例2】 一隧道限速108 km/h，一列火车长100 m，以144 km/h的速度行驶，驶至距隧道200 m处开始做匀减速运动，以不高于限速的速度匀速通过隧道，若隧道长500 m。求：
（1）火车做匀减速运动的最小加速度的大小；
（2）火车全部通过隧道的最短时间。
【针对训练】
3．如图所示，物体A在斜面上由静止匀加速滑下x1后，又匀减速地在平面上滑过x2后停下，测得x2＝2x1，则物体在斜面上的加速度a1与平面上加速度a2的大小关系为( )
A．a1＝a2
B．a1＝2a2
C．a1＝eq \f(1,2)a2
D．a1＝4a2
考点3：对x­t图像与v­t图像的理解应用
1．x­t图像中的五点信息
2．匀变速直线运动的x­t图像
(1)图像形状：由匀变速直线运动的位移公式x＝v0t＋eq \f(1,2)at2知x­t图像是一个二次函数图像，如图所示。
(2)不是轨迹：这个图像反映的是物体位移随时间按二次函数关系(抛物线)变化，而不是运动轨迹。
3．对x­t图像与v­t图像的比较
【例3】 如图所示的位移—时间图像和速度—时间图像中，给出四条图线1、2、3、4代表四个不同物体的运动情况，关于它们的物理意义，下列描述正确的是( )
A．图线1表示物体做曲线运动
B．x­t图像中t1时刻v1>v2
C．v­t图像中0～t3时间内3和4的平均速度大小相等
D．两图像中，t2、t4时刻分别表示2、4开始反向运动
【技巧与方法】
v­t图像和x­t图像的应用技巧
1 确认是哪种图像，v­t图像还是x­t图像。
2 理解并熟记五个对应关系
①斜率与加速度或速度对应；
②纵截距与初速度或初始位置对应；
③横截距对应速度或位移为零的时刻；
④交点对应速度或位置相同；
⑤拐点对应运动状态发生改变。
【针对训练】
4．(对x­t图像的理解)(多选)一个质点沿x轴做匀加速直线运动。其位移—时间图像如图所示，则下列说法正确的是( )
A．该质点的加速度大小为4 m/s2
B．该质点在t＝1 s时的速度大小为2 m/s
C．该质点在0～2 s时间内的位移大小为6 m
D．该质点在t＝0时速度为零
5．(对v­t图像的理解)如图所示为某质点做直线运动的v­t图像。已知t0时刻的速度为v0,2t0时刻的速度为2v0，图中OA与AB是关于A点中心对称的曲线，由图可得( )
A．0～t0时间内的位移为eq \f(1,2)v0t0
B．0～2t0时间内的位移为2v0t0
C．t0时刻的加速度为eq \f(v0,t0)
D．2t0时刻的加速度为eq \f(v0,t0)
考点达标
考点一 匀变速直线运动的位移
1．一个物体由静止开始做匀加速直线运动，第1 s末的速度达到4 m/s，物体在第2 s内的位移是( )
A．6 m B．8 m
C．4 m D．1.6 m
2．物体以加速度a1由静止出发做匀变速直线运动，经过t时间后，加速度大小变为a2，方向与a1的方向相反，经过2t的时间物体又回到出发点，则前、后两个加速度的大小关系是( )
A．a1＝4a2 B．3a1＝a2
C．3a1＝4a2 D．5a1＝4a2
3．一辆汽车以20 m/s的速度沿平直公路匀速行驶，司机突然发现前方有障碍物，于是立即刹车，汽车以大小为5 m/s2的加速度做匀减速直线运动，那么刹车后2 s内与刹车后6 s内汽车通过的位移大小之比为( )
A．1∶1 B．3∶4
C．3∶1 D．4∶3
4．在“车让人”交通安全活动中，交警部门要求汽车在斑马线前停车让人。以8 m/s的速度匀速行驶的汽车，当车头离斑马线8 m时司机看到斑马线上有行人通过，已知该车刹车时最大加速度为5 m/s2，驾驶员反应时间为0.2 s。若驾驶员看到斑马线上有行人时立即紧急刹车，则( )
A．汽车能保证车让人
B．汽车通过的距离是6.4 m
C．汽车运动的时间是1.6 s
D．在驾驶员反应时间内汽车通过的距离是1 m
考点二 匀变速直线运动速度与位移的关系
5．做匀加速直线运动的物体，速度由v增大到2v的过程中位移为s，则当速度由2v增大到4v的过程中位移是( )
A．4s B．3s
C．2s D．s
6．物体从长为L的光滑斜面顶端由静止开始下滑，滑到底端时的速率为v，如果物体以v0＝eq \f(v,2)的初速度从斜面底端沿斜面上滑，上滑时的加速度与下滑时的加速度大小相同，则可以达到的最大距离为( )
A.eq \f(L,2) B．eq \f(L,3)
C.eq \f(L,4) D．eq \r(2)L
7．汽车正在以12 m/s的速度在平直的公路上前进，在它的正前方15 m处有一障碍物，汽车立即刹车做匀减速运动，加速度大小为6 m/s2，求汽车停止的位置和障碍物之间的距离。
考点三 对x­t图像与v­t图像的理解应用
8．甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶，在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v­t图像如图所示。在这段时间内( )
A．汽车甲的平均速度比乙的大
B．汽车乙的平均速度等于eq \f(v1＋v2,2)
C．甲、乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大
9．(多选)甲、乙两车同时、同地、向同一个方向做直线运动，它们在0～4 s内运动的v t图像如图所示，由图像可知( )
A．在第2 s末，两车处于同一位置
B．在第2 s末，两车的速度相同
C．在0～4 s内，甲的加速度和乙的加速度的大小相等
D．在0～4 s内，甲、乙两车的平均速度相等
10．甲、乙两辆汽车在一条平直公路上沿直线同向行驶，某一时刻甲、乙两车相遇，从该时刻开始计时，甲车的位移随时间变化的关系式为x＝2t2＋2t，乙车的速度随时间变化的关系式为v＝2t＋10，(表达式中各物理量均采用国际单位)试求：
(1)两车速度大小相等的时刻；
(2)两车速度大小相等的时刻两车相距的距离。
11．一货车严重超载后的总质量为50 t，以54 km/h的速率匀速行驶，发现红灯时司机刹车，货车立即做匀减速直线运动，加速度的大小为2.5 m/s2，不超载时则为5 m/s2。
(1)若前方无阻挡，从刹车到停下来，此货车在超载及不超载时分别前进多远？
(2)在一小学附近，限速为36 km/h，若该货车不超载，仍以54 km/h的速率匀速行驶，看见正前方有一小孩后立即刹车到停止，幸运的是没有发生车祸，货车比不超速行驶至少多前进了多远？
运动情况
取值
若物体做匀加速直线运动
a与v0同向，a取正值(v0方向为正方向)
若物体做匀减速直线运动
a与v0反向，a取负值(v0方向为正方向)
若位移的计算结果为正值
说明位移的方向与规定的正方向相同
若位移的计算结果为负值
说明位移的方向与规定的正方向相反
x­t图像
v­t图像
①表示物体做匀速直线运动(斜率表示速度v)
①表示物体做匀加速直线运动(斜率表示加速度a)
②表示物体静止
②表示物体做匀速直线运动
③表示物体向反方向做匀速直线运动，初位置为x0
③表示物体做匀减速直线运动，初速度为v0
④交点的纵坐标表示三个物体相遇时的位置
④交点的纵坐标表示三个运动物体某时刻有共同速度
⑤t1时间内物体的位移为x1
⑤t1时刻物体的速度为v1(图中阴影部分面积表示物体在0～t1时间内的位移)