初中人教版21.3 实际问题与一元二次方程教学设计

第九讲 几何图形与一元二次方程

【学习目标】

1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.

2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.

【新课讲解】

知识点1：几何图形与一元二次方程

1.解决问题方法：

主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程。

2.例题解析

【例题1】如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB和BC的长个是多少米？

【答案】羊圈的边长AB和BC的长个是20m,20m.

【解析】设AB长是x m.

(100-4x)x=400    

 x2-25x+100=0

 x1=5，x2=20

x=20,100-4x=20<25

x=5,100-4x=80>25  x=5(舍去)

答：羊圈的边长AB和BC的长个是20m,20m.

【例题2】一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3，求铁板的长和宽．

【答案】铁板的长50cm,宽为25cm.

【解析】设铁板的宽为x cm,则有长为2x cm

5(2x-10)(x-10)=3000

x2-15x-250=0

解得 x1=25   x2=-10(舍去）

所以 2x=50

答：铁板的长50cm,宽为25cm.

【例题3】如图，要设计一个宽20cm,长为30cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为2∶3 ，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？

【答案】见解析。

【解析】设横向彩条的宽度2xcm ,竖彩条的宽度3xcm

 (20-6x)(30-4x)=400

6x2-65x+50=0  

几何图形与一元二次方程过关检测

注意：满分100分，答题时间60分钟

一、选择题（每小题5分，共25分）

1．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）

A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570

C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=570

【答案】A

【解析】

六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程:(32−2x)(20−x)=570，

2.有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长是第一块宽的3倍，宽比第一块的长少2米，已知第二块木板的面积比第一块大108，这两块木板的长和宽分别是（   ）

A．第一块木板长18米，宽9米，第二块木板长27米，宽16米

B．第一块木板长12米，宽6米，第二块木板长18米，宽10米

C．第一块木板长9米，宽4.5m，第二块木板长13.5m，宽7米

D．以上都不对 

【答案】B.   

【解析】设第一块木板的宽是米，则长是米，第二块木板的长是米，宽是米．

根据题意，得：

整理，得：，

因式分解得，，

解得，.

∵不合题意，舍去．∴.

∴第一块木板的宽是6米，则长是12米，第二块木板的长是18米，宽是10米．故选B.

3.如图，在中，于且是一元二次方程的根，则的周长为（   ）

A．      B．     C．     D．

【答案】A.  

【解析】 ∵是一元二次方程的根，∴，

∴AE=EB=EC=1，

∴AB=，BC=2.

∴的周长为，故选A。

4.在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为cm，那么满足的方程是（    ）

A．     

B．

C．     

D．

【答案】B.   

【解析】依题意,满足的方程是,

整理得.故选B.

5.如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（    ）

A．1米     B．1.5米     C．2米     D．2.5米

【答案】A.  

【解析】设修建的路宽应为米．

根据题意，得：，

整理，得：，

因式分解得，，

解得，.

∵不合题意，舍去．∴.

∴则修建的路宽应为1米.故选A.

二、填空题（每小题5分，共30分）

6.长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为________．

【答案】32cm.    

【解析】设长方形铁片的宽是cm，则长是cm．

根据题意，得：，

解得，.

∵不合题意，舍去．∴.∴长方形铁片的长是10cm，宽是6cm，则它的周长为32cm.

7.矩形的周长为8，面积为1，则矩形的长和宽分别为_________、________．

【答案】,.   

【解析】设矩形的长，则宽为．

根据题意，得.

整理，得.

用公式法解方程，得,

当长为时,则宽为.

当长为时,则宽为,不合题意，舍去.

∴矩形的长和宽分别为和.

8.张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了________元。

【答案】700元.

【解析】设此长方体箱子的底面宽是米，则长是米．

根据题意，得：，

整理，得：，

因式分解得，，

解得，.

∵不合题意，舍去．∴.

∴此矩形铁皮的面积是（平方米），

∴购回这张矩形铁皮共化了（元）.

答：张大叔购回这张矩形铁皮共化了700元.

9.如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，则羊圈的边长AB等于_______米，BC等于______米。

【答案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米.

【解析】设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米． 根据题意得 （100﹣4x）x=400，

解得 x1=20，x2=5． 则100﹣4x=20或100﹣4x=80． ∵80＞25， ∴x2=5舍去． 即AB=20，BC=20

三、解答题（45分）

10.（10分）如图，有一块宽为16m的矩形荒地，某公园计划将其分为A、B、C三部分，分别种植不同的植物．若已知A、B地块为正方形，C地块的面积比B地块的面积少40m2，试求该矩形荒地的长．

【分析】设B地块的边长为xm，根据“C地块的面积比B地块的面积少40m2”列出方程求解即可．

【答案】解：设B地块的边长为xm，

根据题意得：x2﹣x（16﹣x）＝40，

解得：x1＝10，x2＝﹣2（不符题意，舍去），

∴10+16＝26m，

答：矩形荒地的长为26m．

【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系，难度不大．

11.（10分）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m．

（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m2吗？

（2）鸡场的面积能达到210m2吗？

【答案】见解析。

【解析】（1）都能达到．

设宽为m，则长为（40-2）m，

依题意，得：（40-2）=180

整理，得：2-20+90=0，1=10+，2=10-；

同理（40-2）=200，1=2=10．

（2）不能达到210m2．∵依题意，（40-2）=210，整理得，2-20+105=0，

b2-4ac=400-410=-10<0，无解，即不能达到．

12.（10分）某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．

（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？

（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？

【答案】见解析。

【解析】因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为m.

（1）设渠深为m，则上口宽为(+2)m，渠底为(+0.4)m.

根据梯形的面积公式可得:（+2++0.4）=1.6,

整理，得：52+6-8=0,

解得：1==0.8，2=-2（舍）

∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m．

（2）如果计划每天挖土48m3，需要=25(天)才能把这条渠道挖完.

答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道．

13.（15分）有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为xm，面积为ym2．

（1）用含有x的代数式表示y．

（2）如果要围成面积为63m2的花圃，AB的长是多少？

（3）能围成面积为72m2的花圃吗！如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由．

【答案】见解析。

【解析】（1）利用矩形面积公式建立函数关系式；

（2）把y＝63代入函数解析式，求自变量的值，由于是实际问题，自变量的值也要受到限制；

（3）把y＝72代入函数解析式，求自变量的值，然后检验即可得出结论．

解：（1）由题意得：

y＝x（30﹣3x），即y＝﹣3x2+30x．

（2）当y＝63时，﹣3x2+30x＝63．

解此方程得x1＝7，x2＝3．

当x＝7时，30﹣3x＝9＜10，符合题意；

当x＝3时，30﹣3x＝21＞10，不符合题意，舍去；

∴当AB的长为7m时，花圃的面积为63m2．

（3）不能围成面积为72m2的花圃．理由如下：

如果y＝72，那么﹣3x2+30x＝72，

整理，得x2﹣10x+24＝0，

解此方程得x1＝4，x2＝6，

当x＝4时，30﹣3x＝18，不合题意舍去；

当x＝6时，30﹣3x＝12，不合题意舍去；

故不能围成面积为72m2的花圃．