数学九年级上册25.3 用频率估计概率学案

第25章 概率初步

25.3 用频率估计概率

学习要求

1、会根据一个随机事件发生的频率估计这个事件发生的概率，学会用试验估计某事件出现的概率的操作过程．

2、当调查估计某事件发生的概率比较困难时，会转化成某种“替代”实际调查的简易方法．

知识点一：利用频率估计概率

例1．在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表，由表估计该麦种的发芽概率是（　　）

A．0.8 B．0.9 C．0.95 D．1

变式1．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（　　）

A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃

B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”

C．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5

D．抛一枚硬币，出现反面的概率

变式2．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个．小颖做摸球实验．她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后放回，不断重复上述过程，多次试验后，得到表中的数据数据，并得出了四个结论，其中正确的是（　　）

A．试验1500次摸到白球的频率比试验800次的更接近0.6

B．从该盒子中任意摸出一个小球，摸到白球的概率为0.6

C．当试验次数n为2000时，摸到白球的次数m一定等于1200

D．这个盒子中的白球定有28个

变式3．某林业部门要查某种幼树在一定条件的移植成活率．在同样条件下，大量地对这种幼树进行移植，并统计成活情况，计算成活的频率．如下表：

所以可以估计这种幼树移植成活的概率为（　　）

A．0.1 B．0.2 C．0.8 D．0.9

变式4．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小李做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：

（1）请估计：当实验次数为5000次时，摸到白球的频率将会接近　 　；（精确到0.1）

（2）假如你摸一次，你摸到白球的概率P（摸到白球）=　 　；

（3）试验估算这个不透明的盒子里黑球有多少只？

变式5．某射击运动员在相同条件下的射击160次，其成绩记录如下：

（1）根据上表中的信息将两个空格的数据补全（射中9环以上的次数为整数，频率精确到0.01）；

（2）根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率（精确到0.1），并简述理由．

变式6．小明和小亮做游戏，他们利用地上的图案（如图），蒙上眼睛在一定距离处向该图案内掷小石子，掷中阴影区域小明赢，否则小亮赢，掷到圈外不算．下表是游戏中统计的二组数据．

（1）估计石子落在“阴影”区域的概率约为多少；

（2）小明、小亮获胜的机会分别约为多大？

（3）若圆的半径为1，试估计地上该图案（不包括圆）的面积．

知识点二：概率与频率的关系

例2．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（　　）

A．频率就是概率

B．频率与试验次数无关

C．概率是随机的，与频率无关

D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率

变式1．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图，则符合这一结果的实验可能是（　　）

A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率

B．抛一枚硬币，出现正面的概率

C．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率

D．任意写一个整数，它能被2整除的概率

变式2．有两个可以自由转动的质地均匀转盘A、B都被分成了3个全等的扇形，在每一扇形内均标有不同的自然数，如图所示．转动转盘A、B，两个转盘停止后观察两个指针所指扇形内的数字（若指针停在扇形的边线上，当作指向下方的扇形）．

（1）小明同学转动转盘A，小华同学转动转盘B，他们都转了30次，结果如下：

（i）求出表中x的值．

（ii）计算A盘中“指针停靠的扇形内的数字为2”的频率；

（2）小明转动A盘一次，指针停靠的扇形内的数字作为十位数字，小华转动B盘一次，指针停靠的扇形内的数字作为个位数字，用列表或画树状图的方法求出“所得的两位数为5的倍数”（记为事件A）的概率．

变式3．某商场设立一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：

（1）计算并完成表格；

（2）画出获得“三等奖”频率的折线统计图；

（3）假如你去转动该转盘一次，根据这次实验的结果，我们可以估计出现“三等奖”的概率大约是　  　．

变式4．某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：

（1）计算并填写表中击中靶心的频率；（结果保留三位小数）

（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率估计值是多少？（结果保留两位小数）

拓展点一：试验元素个数的确定问题

例3．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为（　　）

A．12 B．15 C．18 D．21

变式1．在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球，这些球中有4个红球，每次将球摇匀后任意摸出一个球，记下颜色再放回纸箱中，通过大量的重复摸球实验后发现摸到红球的频率稳定在，因此可以估算出m的值大约是（　　）

A．8 B．12 C．16 D．20

变式2．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的乒乓球共有20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小明通过多次摸球实验后发现其中投到红色、黑色球的频率稳定在5%和15%，则口袋中白色球的个数很可能是（　　）

A．3个 B．4个 C．10个 D．16个

变式3．某人把50粒黄豆染色后与一袋黄豆充分混匀，接着抓出100黄豆，数出其中有10粒黄豆被染色，则这袋黄豆原来有（　　）

A．10粒 B．160粒 C．450粒 D．500粒

变式4．一个不透明的袋子中装有若干个白球和红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验，将求搅均匀后从张任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，不断重复，获得数据如下

（1）计算并填写表中摸到白球的频率；

（2）当摸球次数很大时，摸到的白球的频率估计值是多少？

（3）若已知袋中有白球24个，试估计袋中红球的个数．

变式5．根据表格完成问题．

（1）将表格填写完整．

（2）估计播种1粒该麦种，其发芽的概率约是多少？

（3）若实际需要15000棵麦苗，则需要多少粒麦种？

变式6．一个不透明的袋中放进若干个白球，现在想要知道这些白球的数目，小明用了如下的方法：将20个与袋中白球大小、质量相同均相同的红球放入袋中，将红球与袋中的白球充分搅匀后，再从袋中随机摸球，每次共摸10个球放回，共摸20次，求出红球与10的比值，然后计算出平均值，得到摸到红球的概率是8%，求原来袋中约有多少个白球．

拓展点二：模拟实验

例4．盒子里装有6张扑克牌，其中有3张红桃，2张梅花，1张方块，从中任意摸一张，猜想摸到方块的概率是多少？请你与同学用实验的方法加以验证．

变式1．一枚硬币抛起后落地时，“正面朝上”的机会有多大？

（1）写出你的猜测；

（2）一位同学在做这个实验时说：“我只做了10次实验，就得到了正面朝上的概率约为30%．”你认为他说的对吗？为什么？

（3）还有一位同学在做这个实验中觉得用硬币麻烦，改用可乐瓶盖做这个实验，你认为他的做法科学吗？为什么？

变式2．摸球试验：

一个袋子里有8个黑球和若干个白球，从袋中随机摸出1球，记下其颜色，再把它放回袋中，不断重复上述的过程．

（1）若共摸球200次，其中有57次摸到黑球，你能估计摸出黑球的概率是多少吗？你能估计袋中大约有多少个白球吗？

（2）若从袋中一次摸球20个，其中黑球数占，你能估计袋中大约有多少个白球吗？

（3）打开口袋，数数袋中白球的个数，你们的估计值和实际情况一致吗？为什么？

（4）将各组的数据汇总，并根据这个数据估计袋中的白球数，看看估计结果又如何？

（5）为了使估计结果较为准确，应该注意些什么？

变式3．某商场进行有奖促销活动，转盘分为5个扇形区域，分别是特等奖、一等奖、二等奖、三等奖及不获奖，制作转盘时，将获奖扇形区域圆心角分配如下表：

如果不用转盘，请设计一种等效试验方案．（要求写清楚替代工具和试验规则）

变式4．某彩民在上期的体彩中，一次买了100注，结果有一注中了二等奖，三注中了四等奖，该彩民高兴地说：“这期彩票的中奖率真高，竟高达4%”．请对这一事件做简单的评述．

变式5．小明与同学想知道每6个人中有两个人生肖相同的概率，他们想设计一个模拟实验来估计6个人中恰有两个人生肖相同的概率，你能帮他们设计这个模拟方案吗？

变式6．现有3个45°的角，2个90°的角，从中任取3个角一定能构成等腰直角三角形吗？实验一下，看看构成等腰直角三角形的概率有多大．

变式7．在研究抛两枚硬币，出现都是正面朝上的概率问题时，假如你的手上没有硬币，怎么办？请设计出一种试验方案代替它．

变式8．柜子里有5双鞋，从中取出一只，请预测取出的是右脚穿的鞋的概率，并举出一个模拟实验方案．

变式9．现有4个一元一次不等式：①x＜1；②x＜2；③x＞4；④x＜﹣1．

（1）从中任取两个不等式，构成的不等式组的解集可能是x＞4吗？

（2）从中任取两个不等式，构成的不等式的解集是x＜﹣1的机会有多大？请给予分析并计算概率．

（3）如果用编有号码、大小相同的小球做代替物对题（2）中所得的答案进行验证，请你设计一个模拟的实验方案．

易错点：把随机事件的实验频率等同为随机事件的概率

例5．均匀的正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字．小明做了60次投掷试验，结果统计如下：

（1）计算上述试验中“4朝下”的频率是多少？

（2）“根据试验结果，投掷一次正四面体，出现2朝下的概率是”的说法正确吗？为什么？

变式1．小明同学的爸爸这几天迷上了体育彩票，该体育彩票每注是一个七位的数码，如能与开奖结果完全一致，则获特等奖；如有相连的6位数码正确，则获一等奖；如有相连的5位数码正确，则获二等奖……以此类推，小明爸爸昨天一次买了10注这种彩票，结果中了一注一等奖，他高兴地说：“这种体育彩票好，因为中奖率高，中一等奖的概率是10%！”小明的爸爸的说法正确吗？