人教版新课标A必修13.2.2函数模型的应用实例第2课时综合训练题

学业分层测评(十)

 (建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题　　　　　　　　　　　　　　　　

1．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图1­3­3所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)

图1­3­3

A．f(－2)，0

B．0,2

C．f(－2)，2

D．f(2)，2

【解析】　由题图可知，此函数的最小值是f(－2)，最大值是2.

【答案】　C

2．函数f(x)＝在[1，＋∞)上(　　)

A．有最大值无最小值   B．有最小值无最大值

C．有最大值也有最小值   D．无最大值也无最小值

【解析】　结合函数f(x)＝在[1，＋∞)上的图象可知函数有最大值无最小值．

【答案】　A

3．函数f(x)＝|x＋1|在[－2,2]上的最小值为(　　)

A．5   B．2 

C．1   D．0

【解析】　当－2≤x≤－1时，f(x)＝|x＋1|＝－x－1，函数单调递减；当－1≤x≤2时，f(x)＝|x＋1|＝x＋1，函数单调递增，

∴当x＝－1时，函数f(x)取得最小值，

∴f(x)min＝f(－1)＝|－1＋1|＝0，故选D.

【答案】　D

4．函数f(x)＝9－ax2(a>0)在[0,3]上的最大值为(　　)

A．9   B．9(1－a) 

C．9－a   D．9－a2

【解析】　f(x)＝－ax2＋9开口向下，在[0,3]上单调递减，所以在[0,3]上的最大值为9.

【答案】　A

5．下列四个函数：①y＝3－x；②y＝；③y＝x2＋2x－10；④y＝－.其中值域为R的函数个数有(　　)

A．1个   B．2个 

C．3个   D．4个

【解析】　y＝3－x是一次函数，值域为R；x2＋1≥1，

∴0<≤1，∴函数y＝的值域不是R；y＝x2＋2x－10＝(x＋1)2－11≥－11，∴该函数的值域不是R；对于y＝－，y≠0，即该函数的值域不是R.∴值域为R的函数有一个．

【答案】　A

二、填空题

6．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________．

【解析】　函数f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，x∈[0,1]，且函数有最小值－2.

故当x＝0时，函数有最小值，

当x＝1时，函数有最大值．

∵当x＝0时，f(0)＝a＝－2，

∴f(x)＝－x2＋4x－2，

∴当x＝1时，f(x)max＝f(1)＝－12＋4×1－2＝1.

【答案】　1

7．函数y＝f(x)的定义域为[－4,6]，若函数f(x)在区间[－4，－2]上单调递减，在区间(－2,6]上单调递增，且f(－4)<f(6)，则函数f(x)的最小值是________，最大值是________．

【解析】　作出符合条件的函数的简图(图略)，可知f(x)min＝f(－2)，f(x)max＝f(6)．

【答案】　f(－2)　f(6)

8．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是________．

【解析】　令f(x)＝－x2＋2x，

则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.

又∵x∈[0,2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.

∴a<0.

【答案】　a<0

三、解答题

9．已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，求a的值.

【解】　f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1，

当a≥1时，f(x)max＝f(1)＝a；

当0<a<1时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1；

当a≤0时，f(x)max＝f(0)＝1－a.

根据已知条件得，或

或

解得a＝2或a＝－1.

10．有一长为24米的篱笆，一面利用墙(墙最大长度是10米)围成一个矩形花圃，设该花圃宽AB为x米，面积是y平方米，

(1)求出y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；

(2)当花圃一边AB为多少米时，花圃面积最大？并求出这个最大面积？

【解】　(1)如图所示：

∵0＜24－2x≤10，∴7≤x＜12，

∴y＝x(24－2x)＝－2x2＋24x，(7≤x＜12)．

(2)由(1)得，y＝－2x2＋24x＝－2(x－6)2＋72，

∴AB＝6 m时，y最大为72 m2.

[能力提升]

1．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是(　　)

A．(0,4]   B.

C.   D.

【解析】　∵f(x)＝x2－3x－4＝－，

∴f ＝－，又f(0)＝－4，

故由二次函数图象可知：m的值最小为；最大为3.故m的取值范围是，故选C.

【答案】　C

2．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　)

A．90万元   B．60万元

C．120万元   D．120.25万元

【解析】　设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为

L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－＋30＋，

∴当x＝9或10时，L最大为120万元．

【答案】　C

3．函数g(x)＝2x－的值域为________．

【解析】　设＝t，(t≥0)，则x＋1＝t2，

即x＝t2－1，∴y＝2t2－t－2＝－，t≥0，

∴当t＝时，ymin＝－，

∴函数g(x)的值域为.

【答案】　

4．已知函数f(x)＝－x2＋2x－3.

(1)求f(x)在区间[2a－1,2]上的最小值g(a)；

(2)求g(a)的最大值.                           

【解】　(1)f(x)＝－(x－1)2－2，f(2)＝－3，f(0)＝－3，

∴当2a－1≤0，即a≤时，f(x)min＝f(2a－1)＝－4a2＋8a－6；

当0＜2a－1＜2，即<a<时，f(x)min＝f(2)＝－3.

所以g(a)＝

(2)当a≤时，g(a)＝－4a2＋8a－6单调递增，

∴g(a)≤g＝－3；

又当<a<时，g(a)＝－3，

∴g(a)的最大值为－3.