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数学必修13.2.2函数模型的应用实例教案配套ppt课件
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这是一份数学必修13.2.2函数模型的应用实例教案配套ppt课件，文件包含322ppt、322doc等2份课件配套教学资源，其中PPT共54页， 欢迎下载使用。
3.2 函数模型及其应用
3.2.2 函数模型的应用实例
函数模型的应用(1)用已知的函数模型刻画实际问题；(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．其基本过程如图所示．
[知识点拨] 巧记函数建模过程；收集数据，画图提出假设；依托图表，理顺数量关系；抓住关键，建立函数模型；精确计算，求解数学问题；回到实际，检验问题结果．
1．拟定从甲地到乙地通话m min的电话费f(m)＝1.06·(0.50[m]＋1)，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整数(如[3]＝3，[3.7]＝4，[5.2]＝6)，则从甲地到乙地通话时间为5.5 min的通话费为( )A．3.71 B．3.97C．4.24D．4.77[解析] 5.5 min的通话费为f(5.5)＝1.06×(0.50×[5.5]＋1)＝1.06×(0.50×6＋1)＝1.06×4＝4.24.
2．甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲先到达终点[解析] 甲、乙两人所行路程s完全一致，即为坐标系中的s轴上的s0，显然甲用时少．
3．以每秒a m的速度从地面垂直向上发射子弹，t s后的高度x m可由x＝at－4.9t2确定，已知5 s后子弹高245 m，子弹保持245 m以上(含245 m)高度的时间为( )A．4 sB．5 sC．6 sD．7 s[解析] 已知x＝at－4.9t2，由条件t＝5时，x＝245，得a＝73.5，所以x＝73.5t－4.9t2，子弹保持在245 m以上(含245 m)，即x≥245，所以73.5t－4.9t2≥245，解得5≤t≤10.因此，子弹保持在245 m以上高度的时间为5 s.
5．为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y(元)的关系如图所示．(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜？
命题方向1 ⇨一次函数与分段函数模型问题
WAP手机上网每月使用量在500 min以下(包括500 min)，按30元计费；超过500 min的部分按0.15元/min计费．假如上网时间过短(小于60 min)使用量在1 min以下不计费，在1 min以上(包括1 min)按0.5元/min计费．WAP手机上网不收通话费和漫游费．(1)写出上网时间x(min)与所付费用y(元)之间的函数关系式；(2)12月份小王WAP上网使用量为20 h，要付多少钱？(3)小王10月份付了90元的WAP上网费，那么他上网的时间是多少？
[思路分析] 由于上网时间不同，收费标准不同，因此对所付费用作分段讨论，以确定付费标准，建立函数关系式，解决付费与上网时间的问题．
(2)当x＝20×60＝1 200(min)时，x>500，应付y＝30＋0.15×(1 200－500)＝135(元)．(3)90元已超过30元，所以上网时间超过500 min，∴30＋0.15(x－500)＝90，解得x＝900.∴小王10月份上网时间为900 min.
『规律方法』 1.解答函数在实际问题中的应用题目，应认真读题、审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助图象，表格信息确定解析式，同时要特别注意定义域．2．在构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理，不漏不重．同时求分段函数的最值时，应在每一段上分别求出各自的最值．然后比较哪一个最大(小)取哪一个．
〔跟踪练习1〕某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上．该股票在30天内(包括30天)的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：
(1)根据图象提供的信息，写出该种股票每股的交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；(3)用y(万元)表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求出这30天中第几天日交易额最大，最大值为多少？
命题方向2 ⇨二次函数模型问题
某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(2)求该批发商平均每天的销售利润ω(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
[思路分析] 本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函数关系，虽然x∈[50,55]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润ω(元)与销售单位x(元/箱)是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题．[解析] (1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)．(2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．所以ω＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N)．
(3)因为ω＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200，所以当x<60时，ω随x的增大而增大．又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，ω有最大值，最大值为1 125.∴当每箱苹果售价为55元时，可以获得最大利润，最大利润为1 125元．
『规律方法』 1.在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答．2．对于本题要清楚平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．
〔跟踪练习2〕(2019·江苏苏州高一期中测试)某商场将进价为2 000元的冰箱以2 400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．(1)假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；(不要求写自变量的取值范围)(2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4 800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？(3)每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
命题方向3 ⇨指数型、对数型函数模型应用问题
医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的总数与天数的数据记录如下表.
已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候，小白鼠将会死亡．如注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98%.(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物(答案精确到天，lg2＝0.301 0)?(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命(只列出相关的关系式即可，不要求求解)?
[解析] (1)由题意知，病毒细胞个数y关于天数t的函数关系式为y＝2t－1(t∈N＋)．则由2t－1≤108两边取常用对数，得(t－1)lg2≤8，解得t≤27.6.即第一次最迟应在第27天注射该种药物．(2)由题意知，注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为226×2%，再经过x天后小白鼠体内病毒细胞个数为226×2%×2x.由题意，得关系式226×2%×2x≤108.
『规律方法』 指数函数的应用型问题已经进入各级各类考试中，一般地，在读懂题意的基础上，提炼指数函数模型，在解决实际问题中，涉及运算问题常转化为对数运算问题，要求同学们有一定的运算能力．
忽视实际问题对定义域的限制致误
生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数．现知一企业生产某种商品的数量为x(件)时的成本函数为y＝10＋2x＋2x2(万元)，如果售出一件商品的价格是20万元，那么该企业所能获取的最大利润是多少？[错解] 设该企业所能获取的最大利润为z万元，则z＝20x－(10＋2x＋2x2)，即z＝－2x2＋18x－10＝－2(x－4.5)2＋30.5，故z的最大值为30.5，即该企业所能获取的最大利润为30.5万元．
[错因分析] 题目中的条件已经暗示了x为自然数，而该错解中却是在x＝4.5时取到的最大值30.5，这种情况在实际中是无法操作的．[正解] 设该企业所能获取的最大利润为z万元，则z＝20x－(10＋2x＋2x2)(x∈N)，即z＝－2x2＋18x－10＝－2(x－4.5)2＋30.5，故当x＝4或5时，z取最大值30，即该企业生产4件或5件商品时所取得的利润最大，为30万元．
建模思想——函数模型的确定
1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元．若普通车存车数为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( )A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000)B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000)D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)[解析] 据题意知：y＝0.2x＋0.3(4 000－x)＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)．
2．某企业生产的一种电子产品的成本是每件500元，计划在今后的3年内，使成本降低到每件256元，则平均每年成本应降低( )A．10% B．15%C．20%D．35%[解析] 设平均每年降低百分比为x，则500(1－x)3＝256，解得x＝20%，故选C．
3．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况：注：“累计里程”是指汽车从出厂开始累计的路程．在这段时间内，该车每100 km平均耗油量为( )A．6 LB．8 LC．10 LD．12 L
[解析] 因为第一次(即5月1日)把油加满，而第二次把油加满加了48 L，即汽车行驶35 600－35 000＝600 km耗油48 L，所以每100 km的耗油量为8 L，选B．
4．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：min)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A．3.50 minB．3.75 minC．4.00 minD．4.25 min
[解析] (1)当0
3.2 函数模型及其应用
3.2.2 函数模型的应用实例
函数模型的应用(1)用已知的函数模型刻画实际问题；(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．其基本过程如图所示．
[知识点拨] 巧记函数建模过程；收集数据，画图提出假设；依托图表，理顺数量关系；抓住关键，建立函数模型；精确计算，求解数学问题；回到实际，检验问题结果．
1．拟定从甲地到乙地通话m min的电话费f(m)＝1.06·(0.50[m]＋1)，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整数(如[3]＝3，[3.7]＝4，[5.2]＝6)，则从甲地到乙地通话时间为5.5 min的通话费为( )A．3.71 B．3.97C．4.24D．4.77[解析] 5.5 min的通话费为f(5.5)＝1.06×(0.50×[5.5]＋1)＝1.06×(0.50×6＋1)＝1.06×4＝4.24.
2．甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲先到达终点[解析] 甲、乙两人所行路程s完全一致，即为坐标系中的s轴上的s0，显然甲用时少．
3．以每秒a m的速度从地面垂直向上发射子弹，t s后的高度x m可由x＝at－4.9t2确定，已知5 s后子弹高245 m，子弹保持245 m以上(含245 m)高度的时间为( )A．4 sB．5 sC．6 sD．7 s[解析] 已知x＝at－4.9t2，由条件t＝5时，x＝245，得a＝73.5，所以x＝73.5t－4.9t2，子弹保持在245 m以上(含245 m)，即x≥245，所以73.5t－4.9t2≥245，解得5≤t≤10.因此，子弹保持在245 m以上高度的时间为5 s.
5．为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y(元)的关系如图所示．(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜？
命题方向1 ⇨一次函数与分段函数模型问题
WAP手机上网每月使用量在500 min以下(包括500 min)，按30元计费；超过500 min的部分按0.15元/min计费．假如上网时间过短(小于60 min)使用量在1 min以下不计费，在1 min以上(包括1 min)按0.5元/min计费．WAP手机上网不收通话费和漫游费．(1)写出上网时间x(min)与所付费用y(元)之间的函数关系式；(2)12月份小王WAP上网使用量为20 h，要付多少钱？(3)小王10月份付了90元的WAP上网费，那么他上网的时间是多少？
[思路分析] 由于上网时间不同，收费标准不同，因此对所付费用作分段讨论，以确定付费标准，建立函数关系式，解决付费与上网时间的问题．
(2)当x＝20×60＝1 200(min)时，x>500，应付y＝30＋0.15×(1 200－500)＝135(元)．(3)90元已超过30元，所以上网时间超过500 min，∴30＋0.15(x－500)＝90，解得x＝900.∴小王10月份上网时间为900 min.
『规律方法』 1.解答函数在实际问题中的应用题目，应认真读题、审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助图象，表格信息确定解析式，同时要特别注意定义域．2．在构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理，不漏不重．同时求分段函数的最值时，应在每一段上分别求出各自的最值．然后比较哪一个最大(小)取哪一个．
〔跟踪练习1〕某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上．该股票在30天内(包括30天)的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：
(1)根据图象提供的信息，写出该种股票每股的交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；(3)用y(万元)表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求出这30天中第几天日交易额最大，最大值为多少？
命题方向2 ⇨二次函数模型问题
某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(2)求该批发商平均每天的销售利润ω(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
[思路分析] 本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函数关系，虽然x∈[50,55]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润ω(元)与销售单位x(元/箱)是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题．[解析] (1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)．(2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．所以ω＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N)．
(3)因为ω＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200，所以当x<60时，ω随x的增大而增大．又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，ω有最大值，最大值为1 125.∴当每箱苹果售价为55元时，可以获得最大利润，最大利润为1 125元．
『规律方法』 1.在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答．2．对于本题要清楚平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．
〔跟踪练习2〕(2019·江苏苏州高一期中测试)某商场将进价为2 000元的冰箱以2 400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．(1)假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；(不要求写自变量的取值范围)(2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4 800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？(3)每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
命题方向3 ⇨指数型、对数型函数模型应用问题
医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的总数与天数的数据记录如下表.
已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候，小白鼠将会死亡．如注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98%.(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物(答案精确到天，lg2＝0.301 0)?(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命(只列出相关的关系式即可，不要求求解)?
[解析] (1)由题意知，病毒细胞个数y关于天数t的函数关系式为y＝2t－1(t∈N＋)．则由2t－1≤108两边取常用对数，得(t－1)lg2≤8，解得t≤27.6.即第一次最迟应在第27天注射该种药物．(2)由题意知，注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为226×2%，再经过x天后小白鼠体内病毒细胞个数为226×2%×2x.由题意，得关系式226×2%×2x≤108.
『规律方法』 指数函数的应用型问题已经进入各级各类考试中，一般地，在读懂题意的基础上，提炼指数函数模型，在解决实际问题中，涉及运算问题常转化为对数运算问题，要求同学们有一定的运算能力．
忽视实际问题对定义域的限制致误
生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数．现知一企业生产某种商品的数量为x(件)时的成本函数为y＝10＋2x＋2x2(万元)，如果售出一件商品的价格是20万元，那么该企业所能获取的最大利润是多少？[错解] 设该企业所能获取的最大利润为z万元，则z＝20x－(10＋2x＋2x2)，即z＝－2x2＋18x－10＝－2(x－4.5)2＋30.5，故z的最大值为30.5，即该企业所能获取的最大利润为30.5万元．
[错因分析] 题目中的条件已经暗示了x为自然数，而该错解中却是在x＝4.5时取到的最大值30.5，这种情况在实际中是无法操作的．[正解] 设该企业所能获取的最大利润为z万元，则z＝20x－(10＋2x＋2x2)(x∈N)，即z＝－2x2＋18x－10＝－2(x－4.5)2＋30.5，故当x＝4或5时，z取最大值30，即该企业生产4件或5件商品时所取得的利润最大，为30万元．
建模思想——函数模型的确定
1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元．若普通车存车数为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( )A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000)B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000)D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)[解析] 据题意知：y＝0.2x＋0.3(4 000－x)＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)．
2．某企业生产的一种电子产品的成本是每件500元，计划在今后的3年内，使成本降低到每件256元，则平均每年成本应降低( )A．10% B．15%C．20%D．35%[解析] 设平均每年降低百分比为x，则500(1－x)3＝256，解得x＝20%，故选C．
3．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况：注：“累计里程”是指汽车从出厂开始累计的路程．在这段时间内，该车每100 km平均耗油量为( )A．6 LB．8 LC．10 LD．12 L
[解析] 因为第一次(即5月1日)把油加满，而第二次把油加满加了48 L，即汽车行驶35 600－35 000＝600 km耗油48 L，所以每100 km的耗油量为8 L，选B．
4．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：min)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A．3.50 minB．3.75 minC．4.00 minD．4.25 min
[解析] (1)当0
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