高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算优秀导学案

集合的基本运算

【学习目标】

1．理解并集、交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。

2．体验通过实例的分析和阅读来自学探究集合间的关系与运算的过程，培养学生的自学阅读能力和自主探究能力。

3．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

【学习重难点】

1．学习重点：并集、交集、补集的含义，利用维恩图与数轴进行交并补的运算。

2．学习难点：弄清并集、交集、补集的概念，符号之间的区别与联系。

【学习过程】

1．一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集，记作（读作“A并B”），即。

2．由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作，读作A交B，即。

3． _____A_____， _____A_____，__________，．

4．若，则_____A_____，_____B_____。

5．，，，．

一、求两个集合的交集与并集

例1　求下列两个集合的并集和交集。

（1），；

（2）。

解：（1）如图所示，，

。

（2）结合数轴（如图所示）得：

。

点评:求两个集合的交集依据它们的定义，借用Venn图或结合数轴分析两个集合的元素的分布情况，有利于准确写出交集。

变式迁移1

（1）设集合等于（　　）

A．

B．

C．

D．

（2）若将（1）中A改为，求．

（1）答案　A

解析　画出数轴，故。

（2）解　如图所示，

当时，；

当时，；

当时。

二、已知集合的交集、并集求参数问题

例2：已知集合，若，求的值。

分析:由题目可获取以下主要信息：①集合A、B中均含有参数；②且．解答此题可由条件知，从而有或，解得后再进行检验。

解：∵，

∴，∴或，∴或．

当时，。

此时。故舍去。

当时，，不符合要求，舍去。

经检验可知符合题意。

点评：处理与集合元素有关问题时，最后结果要检验，一方面看是否符合题意，一方面看是否符合集合元素的三大特征。

变式迁移2：本例中，若将条件“”变为“”。则的值又是什么？

解　∵且，∴，

∴或∴或．

而当时，，故舍去。

∴或．

三、并集、交集性质的综合应用

例3　设。

（1）若，求的值；

（2）若，求的值。

解：

化简集合A，得。

（1）由于，则有可知集合B或为空集，或只含有根0或．

①若，由，得．

②若，代入，

得，即或，

当时，，符合题意；

当时，，也符合题意。

③若，代入，

得，即或，

当时，②中已讨论，符合题意；

当时，，不合题意。

综合①②③得或．

（2）因为，所以，又，

而B至少只有两个根，且根据一元二次方程根的特点，

因此应有．由（1）知，．

点评：明确和的含义，根据问题的需要，将和转化为等价的关系式和是解决本题的关键。另外在时易忽视时的情况。

变式迁移3：已知集合，若，求实数的取值范围。

解　∵，∴，

∴，∴．

【达标检测】

一、

1．的定义中“或”的意义与通常所说的“非此即彼”有原则的区别，它们是“相容”的。求A∪B时，相同的元素在集合中只出现一次。

2．，，这两个性质非常重要，另外，在解决有条件的集合问题时，不要忽视的情况

二、选择题

1．设集合，，则等于（　　）

A．

B．

C．

D．

答案　A

2．下列四个推理：①；②；③；④其中正确的个数是（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

答案　C

解析　②③④正确。

3．设，，则等于（　　）

A．

B．

C．

D．

答案　A

解析　结合数轴知。

4．已知，，若，则实数的取值范围是（　　）

A．

B．

C．

D．

答案　C

解析　结合数轴知答案C正确。

5．满足条件的集合的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

答案　B

解析:由已知得或，共2个。

三、填空题

6．设集合，集合，则_________________________，A∩B=_________________________。

答案　

7．设集合，，若，则实数的取值范围为____________________。

答案　

解析　由，借助于数轴知．

8．已知集合，且，则____________________。

答案　

解析　如图所示，

可知，，．

四、解答题

9．已知集合，，若，求及．

解：　∵，∴．

∴或．解得或。

若，则。

若，则。

10.设集合，，若，求实数的取值范围。

解　，∵，

∴，集合B有两种情况，或。

（1）时，方程无实数根，

∴，∴．

（2）时，当时，，满足条件；

当时，若1，2是方程的根，

由根与系数的关系知矛盾，无解，∴．

综上，的取值范围是．