初中华师大版27.2 与圆有关的位置关系综合与测试优质教案

这是一份初中华师大版27.2 与圆有关的位置关系综合与测试优质教案，共5页。教案主要包含了情景导入，探究新知，讲解例题，巩固新知，巩固练习，课堂小结，课外作业等内容，欢迎下载使用。

第十课时 圆与圆的位置关系


＆.教学目标：


1、使学生了解圆与圆的位置关系的定义，掌握用数量关系来识别圆与圆的位置关系。


2、经历探索、猜想两圆位置关系的过程，认识到现实世界里，两圆之间的位置关系的广泛存在。


3、能用运动变化的观点认识两圆的位置关系，学会用类比法获取知识。


＆.教学重点、难点：


重点：两圆之间的位置关系及根据两圆半径与圆心距之间关系来判断两圆的位置关系。


难点：对数量关系的探究和理解。


＆.教学过程：


一、情景导入


1、回顾：点和圆的位置关系有几种？怎样判断点和圆的位置关系？


2、回顾：直线和圆的位置关系有几种？怎样判断直线和圆的位置关系？


3、问题：你每天骑自行车或乘车上学，如果把车轮看作圆，它实际上体现了圆与圆之间的一种位置关系.我们常常能见到很多美丽的图案，它们的设计很多也是基于基本图形——圆，请同学们结合日常生活及图情况，你能描述其中圆和圆的位置关系吗？


图 1

















二、探究新知


§.探究两圆的位置关系：


问题1：用你准备好的两个圆做实验，固定一个圆，平行移动另一个圆，观察在移动过程中两圆的公共点个数的变化，由此你能总结圆与圆有哪几种位置关系？


教学方法：引导学生从运动变化的观点感知圆与圆的位置关系。


图 2


（1）


O1


O2


O1


O2


（2）


O1


O2


（3）


O1


O2


（4）


O1


O2


（5）


O1


O2


（6）























＆.圆与圆的位置关系：


1、当两圆半径不相等时，两圆的位置关系有以下类型：


（1）外离：两圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，称两圆外离，如图2（1）；


（2）外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，称为两圆外切，如图2（2）；


（3）相交：两个圆有两个公共点时，称为两圆相交，如图2（3）；


（4）内切：两个圆有唯一的公共点，并且除这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，称为两圆内切，如图2（4）；


（5）内含：两圆没有公共点，一个圆上的点都在另一个圆的内部，称为两圆内含，如图2（5）、2（6），同心圆是内含的特例.


2、当两圆半径相等时，两圆的位置关系有以下类型：外离、外切、相交三种。


§.探究用数量关系识别两圆的位置关系：


问题2：如图，设两圆的半径为和，圆心距为，类比直线与圆位置关系的探究方法，探究五种位置关系时三者的数量关系如何？（假定）


图 3


O1


（1）


O2


r


d


R


O1


（2）


O2


r


d


R


O1


（3）


O2


r


d


R


r


（4）


O1


O2


d


R


r


d


O1


（5）


O2


R














＆.用数量关系识别两圆的位置关系：


注意：判断两圆的位置关系，往往利用两圆的半径与两圆的圆心距相比较。


问题3：


（1）上面的图形都是轴对称图形吗？


（2）根据对称性，两圆相切时有何性质？两圆相交时你能得到什么结论？


（3）和两圆同时相切的直线称为两圆的公切线，你能画出几种位置时两圆的公切线吗？


＆.两圆位置关系的相关结论：


（1）上面的图形都是轴对称图形，对称轴是连心线；


（2）根据对称性，两圆相切时连心线过切点，而相交时，公共弦被连心线垂直平分；


（3）两圆外离时，有条公切线；外切时，有条公切线；相交时，有条公切线；内切时，有条公切线；内含时，没有公切线。


注意：


（1）连心线和圆心距是两个不同的概念：连心线是通过两圆圆心的一条直线，圆心距是指两个圆圆心之间的线段的长度，圆心距是连心线的一部分。


（2）相切两圆的性质：相切两圆的连心线必过切点。在相切两圆中，连心线是一条常见的辅助线。


（3）相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。


三、讲解例题，巩固新知


§.例1、已知⊙、⊙相切，圆心距为，其中⊙的半径为，求⊙的半径。


解：设⊙的半径为.


（1）如果两圆外切，那么：


，解得：


（2）如果两圆内切，那么：


，解得：（舍去），


所以⊙的半径为或.


变式例题：已知⊙、⊙的圆心距为，其中⊙的半径为.


（1）当⊙、⊙外离时，求⊙的半径取值范围；


（2）当⊙、⊙相交时，求⊙的半径取值范围；


（3）当⊙、⊙内含时，求⊙的半径取值范围。


§.例2、已知⊙与⊙的半径分别为、，且，、是方程的两根，设.


（1）若，试判断⊙与⊙的位置关系；


（2）若，试判断⊙与⊙的位置关系；


（3）若，试判断⊙与⊙的位置关系；


（4）若两圆相切，求的值。


解析：根据两圆的位置关系与、、的关系求解判定。


解：由、是方程的两根，得，


故


（1），即，所以两圆外离；


（2），即，所以两圆内含；


（3），，即，所以两圆相交；


（4）要使两圆相切，则两圆外切时，；当两圆内切时，，所以当或时，两圆相切。


点拨：判断两圆的位置关系时，先计算，的值，再与圆心距比较大小而确定，另外，两圆相切包括两种情况，即外切与内切，考虑时，不能遗漏。


同步练习：已知两圆的半径分别为和，且这两个圆有公共点，求这两个圆的圆心距取值范围。


O1


P


A


B


O2


图 4（2）


1


P


A


B


O2


图 4（1）


O1


2


§.例3、如图，⊙与⊙外切于点，过点作直线交⊙、⊙于、，连结、.











（1）试问与有怎样的位置关系？证明你的结论。


（2）若将⊙与⊙外切于点改为内切于点，（1）的结论是否仍成立？证明你的结论。


解析：猜想，因此证明，由两圆相切可知，作连心线，可得两个等腰三角形，由等腰三角形可证明.


解：（1）如图（），与的位置关系是：.


作连心线，则必过点


∵，


∴，，而


∴


∴


（2）如图（），的结论仍然成立.


C


图 5


P


A


B


O2


O1


作连心线，则必过点


∵，


∴，


∴


∴


点拨：条件中有两圆相切时，常把两圆的连心线作为辅助线。


同步练习：如图所示，⊙与⊙外切于点，过点作直线交⊙、⊙于、，，点是⊙上任意一点，求的度数.（答案：）.


§.例4、如图，⊙与⊙相交于、两点，⊙的半径为，⊙的半径为，公共弦，求两圆的圆心距。


解析：本题求两圆的圆心距应该首先注意确定两圆的圆心和公共弦的位置关系，由于两圆的半径不等，所求这两圆的圆心既可以在公共弦的两侧，又可能在公共弦的同侧，所以解题时这两种情况都应考虑。


解：（1）若⊙、⊙位于的两侧（如图）


C


图 6（1）


A


B


O2


O1


设与相交于点，连结、


则垂直平分


∴


又∵，得


在中，


图 6（2）


C


B


A


O2


O1


在中，


故


（2）若⊙、⊙位于的同侧（如图）


设的延长线与相交于点，连结、


则垂直平分


∴


又∵，得


在中，


在中，


故


方法归纳：在解决两圆相交的问题时，常作出连心线、公共弦或连结交点与圆心，从而把两圆半径、公共弦长的一半、圆心距集中到一个三角形中，利用三角形的有关知识解决。


同步练习：已知两圆的半径分别是和，当公共弦取得最大值时，圆心距为多少？（答案：）


四、巩固练习


教材 练习


五、课堂小结


通过本节课的学习，要求同学们


1、掌握用运动的变换的观点认识两圆的五种位置关系，同时要熟练地利用数量关系判断两圆的位置。


2、掌握相交两圆的性质及相切两圆的性质，把握常见的辅助线作法。


六、课外作业


教材 习题27.2


两圆的位置关系
公共点个数
数量关系及其判定方法
外离
外切
相交
内切
内含