二次函数18精讲 专题02 二次函数中的线段长度问题

专题02 二次函数中的线段长度问题
1、如图抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式，并指出抛物线的顶点坐标．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S△PAM＝S△PAC，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴，得，∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该抛物线的顶点坐标为（1，4）
即该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为（1，4）；
（2）点A关于对称轴的对称点是点B，连接CB与对称轴的交点为P，此时点P即为所求，如图所示：

设过点B（3，0），点C（0，3）的直线解析式为y＝kx+m，，得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，
∴点P的坐标为（1，2），
∵点A（﹣1，0），点C（0，3），点B（3，0），
∴AC＝，BC＝3，
∴△PAC的周长是：AC+CP+PA＝AC+CB＝，
即点P的坐标为（1，2），△PAC的周长是；
（3）存在点M（不与C点重合），使得S△PAM＝S△PAC，
∵S△PAM＝S△PAC，
∴当以PA为底边时，只要两个三角形等高即可，
即点M和点C到PA的距离相等，
当点M在点C的上方时，
则CM∥PA时，点M和点C到PA的距离相等，
设过点A（﹣1，0），点P（1，2）的直线l1解析式为：y＝kx+m，，得，
∴直线AP的解析式为y＝x+1，
∴直线CM的解析式为y＝x+3，由得，，，∴点M的坐标为（1，4）；
当点M在点C的下方时，
则点M所在的直线l2与AP平行，且直线l2与直线AP之间的距离与直线l1与直线AP之间的距离相等，
∴直线l2的的解析式为y＝x﹣1，
由得，，，
∴M的坐标为（，）或（，）；
由上可得，点M的坐标为（1，4），（，）或（，）
2、如图，抛物线y=ax2﹣ x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），已知B点坐标为（4，0）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，记点M到线段BC的距离为d，当d取最大值时，求出此时M点的坐标；
（3）若点P是抛物线上一点，点E是直线y=﹣x上的动点，是否存在点P、E，使以点A，点B，点P，点E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意得c=-2，0=a×42-×4-2， 解得a= ，
∴抛物线的解析式为：y=x2-x-2.
（2）作MN∥y轴交BC于点N，
∵的面积==2MN=，
∴当MN最大时，的面积也最大，此时M到线段BC的距离d也最大，
设直线BC的解析式为y=kx+b, ∴,解得,∴y=x-2，
∴MN=x-2-( x2 - x-2)=- x2+2x=-(x-2)2+2，
∴当x=2时，MN有最大值2，∴M（2，-3）.
∴当d取最大值时， M点的坐标是（2，-3）；
（3）存在，理由如下：
设点 E 的坐标为 (n,−n),  以点A,点B,点P,点E为顶点的平行四边形分两种情况，如图，
①以线段AB为边，点E在点P的左边时，
∵A(−1,0),B(4,0),E(n,−n)，∴P(5+n,−n)，
∵点P(5+n,−n)在抛物线y= x2 - x-2上，

∴−n=(5+n)2−(5+n)−2,，解得：n1=, n2= ，
此时点E的坐标为(,)或(,)；
以线段AB为边，点E在点P的右边时，
∵A(−1,0),B(4,0),E(n,−n)，∴P(n−5,−n)，
∵点P(n−5,−n)在抛物线y=x2−x−2上，∴−n=(n−5)2−(n−5)−2,即n2−11n+36=0，
此时△=(−11)2−4×36=−23<0，∴方程无解；
②以线段AB为对角线时，
∵A(−1,0),B(4,0),E(n,−n)，∴P(3−n,n)，
∵点P(3−n,n)在抛物线y=x2−x−2上，∴n=(3−n)2−(3−n)−2,，解得：n3=,n4= ，
此时点E的坐标为（,)或(,).
综上可知：存在点P、E, 使以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，点E坐标为(,)、(,)、（,)或(,).

3、如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），A(-1,0)，B(3,0)，直线l与抛物线交于A，C两点，其中C点的横坐标为2。
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A，C，F，G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由。

【解析】
（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx-3，得：a=1，b=﹣2，∴y=x2﹣2x﹣3．
（2）将C点的横坐标x=2代入y=x2﹣2x﹣3，得：y=﹣3，∴C（2，﹣3），∴直线AC的函数解析式是y=﹣x﹣1．
设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3）．
∵P点在E点的上方，∴PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+x+2，∴当x=12时，PE的最大值=94．
（3）存在．讨论如下：
①如图，连接C与抛物线和y轴的交点．
∵C（2，﹣3），G（0，﹣3），∴CG∥x轴，此时AF=CG=2，∴F点的坐标是（﹣3，0）；

②如图，AF=CG=2，A点的坐标为（﹣1，0），因此F点的坐标为（1，0）；

③如图，设F（x，0）．
∵ACFG是平行四边形，∴AF的中点与CG的中点重合．
∵AF的中点的纵坐标为0，∴C，G两点的纵坐标互为相反数，∴G点的纵坐标为3，∴x2﹣2x﹣3=3，解得：x=1±7，∴G点的坐标为（1±7，3），∴AF的中点的横坐标=CG的中点的横坐标，∴2+1±72=-1+x2 ，解得：x=4±7，∴F的坐标为（4±7，0）．

综上所述：存在4个符合条件的F点，分别为F（﹣3，0），（1，0），（4+7，0），（4﹣7，0）．


4、在如图的平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2amx+am2+1（a＜0）与x轴交于点A和点B，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，顶点是D，且∠DAB＝45°．
（1）填空：点C的纵坐标是　 　（用含a、m的式子表示）；
（2）求a的值；
（3）点C绕O逆时针旋转90°得到点C′，当﹣12≤m≤52时，求BC′的长度范围．

【解析】（1）当x＝0时，y＝ax2﹣2amx+am2+1＝am2+1，∴点C的纵坐标为am2+1．
（2）设抛物线对称轴与x轴交于点E，如图1所示．
∵DA＝DB，∠DAB＝45°，∴△ABD为等腰直角三角形，∴AB＝2DE．
∵y＝ax2﹣2amx+am2+1＝a（x﹣m）2+1，∴点D的坐标为（m，1）．
当y＝0时，ax2﹣2amx+am2+1＝0，即a（x﹣m）2＝﹣1，解得：x1＝m﹣-1a，x2＝m+-1a，
∴AB＝2-1a＝2，解得：a＝﹣1．
（3）由（1）（2）可知：点C的坐标为（0，1﹣m2），点B的坐标为（m+1，0）．
∵点C绕O逆时针旋转90°得到点C′，∴点C′的坐标为（m2﹣1，0），
∴BC′＝|m+1﹣（m2﹣1）|＝|﹣m2+m+2|．
∵﹣m2+m+2＝﹣（m﹣12）2+94，﹣12≤m≤52，
∴当m＝52时，﹣m2+m+2取得最小值，最小值为﹣74；
当m＝12时，﹣m2+m+2取得最大值，最大值为94，
∴当﹣12≤m≤52时，﹣74≤﹣m2+m+2≤94，
∴当﹣12≤m≤52时，0≤BC′≤94．
5、如图，直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点D，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+5交于B，D两点，点C是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是直线BD上方抛物线上的一个动点，其横坐标为m，过点M作x轴的垂线，交直线BD于点P，当线段PM的长度最大时，求m的值及PM的最大值；
（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为3，若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．
【分析】
（1）y=-x+5，令x=0，则y=5，令y=0，则x=5，故点B、D的坐标分别为（5，0）、（0，5），利用待定系数法即可求解；
（2）由题意可得M点坐标为（m，﹣m2+4m+5），则则P点坐标为（m，﹣m+5），表示出PM的长度：PM=-m2+4m+5-（-m+5）=-m2+5m=-（m-）2+，利用二次函数的性质即可求解；
（3）过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，设出Q点坐标Q（x，﹣x2+4x+5），则G（x，﹣x+5），表示出QG的长度QG=|-x2+4x+5-（-x+5）|=|-x2+5x|，由条件可得△BOD是等腰直角三角形，，可证得△QHG为等腰直角三角形，则当△BDQ中BD边上的高为3时，即QH=HG=3，QG=×3=6，|-x2+5x|=6，即可求解．
【解析】
（1）y＝﹣x+5，令x＝0，则y＝5，令y＝0，则x＝5，
故点B、D的坐标分别为（5，0）、（0，5），
则二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+5，将点B坐标代入上式并解得：b＝4，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x+5；
（2）设M点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+5），M（m，﹣m2+4m+5），
∴PM＝﹣m2+4m+5﹣（﹣m+5）＝﹣m2+5m＝﹣（m-）2+，
∴当m＝时，PM有最大值；
（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，

设Q（x，﹣x2+4x+5），则G（x，﹣x+5），
∴QG＝|﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）|＝|﹣x2+5x|，
∵△BOD是等腰直角三角形，
∴∠DBO＝45°，
∴∠HGQ＝∠BGE＝45°，
∴△QHG是等腰直角三角形，
当△BDQ中BD边上的高为3时，即QH＝HG＝3，
∴QG＝×3＝6，
∴|﹣x2+5x|＝6，
当﹣x2+5x＝6时，解得x＝2或x＝3，
∴Q（2，9）或（3，8），
当﹣x2+5x＝﹣6时，解得x＝﹣1或x＝6，
∴Q（﹣1，0）或（6，﹣7），
综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为Q1（2，9），Q2（3，8），Q3（﹣1，0），Q4（6，﹣7）．
【小结】
本题考查二次函数综合运用，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质及方程思想等知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．在（1）中主要是待定系数法的考查，在（2）中用P点坐标表示出PM的长是解题的关键，在（3）中构造等腰直角三角形求得QG的长是解题的关键．

6、如图1，抛物线y＝﹣x2+mx+n交x轴于点A(﹣2，0)和点B，交y轴于点C(0，2)．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点M在抛物线上，且S△AOM＝2S△BOC，求点M的坐标；
(3)如图2，设点N是线段AC上的一动点，作DN⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DN长度的最大值．

【解析】（1）A（﹣2，0），C（0，2）代入抛物线的解析式y=﹣x2+mx+n，得，解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2．
（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2，则易得B（1，0），设M（m，n）然后依据S△AOM=2S△BOC列方程可得：•AO×|n|=2××OB×OC，
∴×2×|﹣m2﹣m+2|=2，
∴m2+m=0或m2+m﹣4=0，解得m=0或﹣1或，
∴符合条件的点M的坐标为：（0，2）或（﹣1，2）或（，﹣2）或（，﹣2）．
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（﹣2，0），C（0，2）代入得，解得，
∴直线AC的解析式为y=x+2，
设N（x，x+2）（﹣2≤x≤0），则D（x，﹣x2﹣x+2），
ND=（﹣x2﹣x+2）﹣（x+2）=﹣x2﹣2x=﹣（x+1）2+1，
∵﹣1＜0，∴x=﹣1时，ND有最大值1．
∴ND的最大值为1．
7、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x（x﹣b）﹣12与y轴相交于A点，与x轴相交于B、C两点，且点C在点B的右侧，设抛物线的顶点为P．
（1）若点B与点C关于直线x＝1对称，求b的值；
（2）若OB＝OA，求△BCP的面积；
（3）当﹣1≤x≤1时，该抛物线上最高点与最低点纵坐标的差为h，求出h与b的关系；若h有最大值或最小值，直接写出这个最大值或最小值．

【解析】（1）∵点B与点C关于直线x＝1对称，y＝x（x﹣b）﹣12＝x2﹣bx﹣12，
∴﹣-b2＝1，解得：b＝2．
（2）当x＝0时，y＝x2﹣bx﹣12＝﹣12，
∴点A的坐标为（0，﹣12）．
又∵OB＝OA，∴点B的坐标为（﹣12，0）．
将B（﹣12，0）代入y＝x2﹣bx﹣12，得：0＝14+12b﹣12，解得：b＝12，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣12x﹣12．
∵y＝x2﹣12x﹣12＝（x﹣14）2﹣916，
∴点P的坐标为（14，﹣916）．
当y＝0时，x2﹣12x﹣12＝0，解得：x1＝﹣12，x2＝1，
∴点C的坐标为（1，0）．
∴S△BCP＝12×[1﹣（﹣12）]×|﹣916|＝2764．
（3）y＝x2﹣bx﹣12＝（x﹣b2）2﹣12﹣b24．
当b2≥1，即b≥2时，如图1所示，
y最大＝b+12，y最小＝﹣b+12，
∴h＝2b；
当0≤b2＜1，即0≤b＜2时，如图2所示，
y最大＝b+12，y最小＝﹣12﹣b24，
∴h＝1+b+b24＝（1+b2）2；
当﹣1＜b2＜0，﹣2＜b＜0时，如图3所示
y最大＝12﹣b，y最小＝﹣12﹣b24，
∴h＝1﹣b+b24＝（1﹣b2）2；
当b2≤﹣1，即b≤﹣2时，如图4所示，
y最大＝﹣b+12，y最小＝b+12，
h＝﹣2b．
综上所述：h＝2b(b⩾2)1+b22(0≤b<2)1-b22(-2
8、如图，抛物线交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；
（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．
【解析】（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入，得：，解得：，故该抛物线的解析式为：；
（2）由（1）知，该抛物线的解析式为，则易得B（1，0），设P点坐标为（x，），∵，∴，整理，得或，解得x=﹣1或x=，则符合条件的点P的坐标为：（﹣1，4），，；
（3）设直线AC的解析式为，将A（﹣3，0），C（0，3）代入，得：，解得：，即直线AC的解析式为．设Q点坐标为（x，x+3），（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，），QD===，∴当x=时，QD有最大值．

9、如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，．点在函数图像上，轴，且，直线是抛物线的对称轴，是抛物线的顶点．
（1）求、的值；
（2）如图①，连接，线段上的点关于直线的对称点恰好在线段上，求点的坐标；
（3）如图②，动点在线段上，过点作轴的垂线分别与交于点，与抛物线交于点．试问：抛物线上是否存在点，使得与的面积相等，且线段的长度最小？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．

【解析】（1）轴，，抛物线对称轴为直线，点的坐标为
解得或（舍去），
（2）设点的坐标为对称轴为直线点关于直线的对称点的坐标为.
直线经过点利用待定系数法可得直线的表达式为.
因为点在上，即点的坐标为
（3）存在点满足题意.设点坐标为，则
作垂足为
①点在直线的左侧时，点的坐标为点的坐标为点的坐标为在中，时，取最小值.此时点
②点在直线的右侧时，点的坐标为同理，时，取最小值.此时点的坐标为
综上所述：满足题意得点的坐标为和
10、函数y=x2+bx+c的图像与x 轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图像上，CD//x轴，且CD=2，直线l 是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．
（1）求b、c 的值；
（2）如图①，连接BE，线段OC 上的点F 关于直线l 的对称点F′ 恰好在线段BE上，求点F的坐标；
（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P 作x 轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．

图 ① 图②
【解析】
（1）∵CD∥x轴，CD=2，∴抛物线对称轴为x=1，∴-b2=1，b=-2．
∵OB=OC，C（0，c），∴B点的坐标为（﹣c，0），∴0=c2+2c+c，解得：c=﹣3或c=0（舍去），∴c=﹣3；
（2）设点F的坐标为（0，m）．
∵对称轴为直线x=1，∴点F关于直线l的对称点F的坐标为（2，m）．
由（1）可知抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴E（1，﹣4）．
∵直线BE经过点B（3，0），E（1，﹣4），∴利用待定系数法可得直线BE的表达式为y=2x﹣6．
∵点F在BE上，∴m=2×2﹣6=﹣2，即点F的坐标为（0，﹣2）；
（3）存在点Q满足题意．
设点P坐标为（n，0），则PA=n+1，PB=PM=3﹣n，PN=﹣n2+2n+3．
作QR⊥PN，垂足为R．
∵S△PQN=S△APM，∴12（n+1）（3-n）=12（-n2+2n+3）⋅QR，∴QR=1．
分两种情况讨论：
①点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为（n﹣1，n2﹣4n），R点的坐标为（n，n2﹣4n），N点的坐标为（n，n2﹣2n﹣3），∴在Rt△QRN中，NQ2=1+（2n﹣3）2，∴n=32时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为（12，-154）；
②点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为（n+1，n2﹣4）．
同理，NQ2=1+（2n﹣1）2，∴n=12时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为（32，-154）．
综上可知存在满足题意的点Q，其坐标为（12，-154）或（32，-154）．

11、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数a≠0）与x轴，y轴分别交于A，B，C三点，已知A（-1，0），B（3，0），C（0，3），动点E从抛物线的顶点点D出发沿线段DB向终点B运动．
（1）直接写出抛物线解析式和顶点D的坐标；
（2）过点E作EF⊥y轴于点F，交抛物线对称轴左侧的部分于点G，交直线BC于点H，过点H作HP⊥x轴于点P，连接PF，求当线段PF最短时G点的坐标；
（3）在点E运动的同时，另一个动点Q从点B出发沿直线x=3向上运动，点E的速度为每秒个单位长度，点Q速度均为每秒1个单位长度，当点E到达终点B时点Q也随之停止运动，设点E的运动时间为t秒，试问存在几个t值能使△BEQ为等腰三角形？并直接写出相应t值．

【解析】(1)由题意得，解得，∴抛物线y=−x2+2x+3，顶点D为(1,4)；
(2)如图，连接OH，

∵EF⊥y轴，HP⊥x轴，x轴⊥y轴，∴四边形HPOF是矩形，∴PF=OH，
∴当OH最短时，PF最短，∴OH⊥BC时，PF最短，可得H的纵坐标为，
把y=代入y=−x2+2x+3中，则=−x2+2x+3，得x1=,x2= (舍)，∴G点坐标(，)
（3）如图，

DB=2，yBD=-2x+6，即，点E坐标为（，）,Q(3，t)
当BE=BQ时，2-t=t t=；
当BE=EQ时(2-t)2=(+(,
当BQ=EQ时 t2=(+( ,
所以存在3个t值：t=．，

12、如图（1），二次函数y＝ax2﹣bx（a≠0）的图象与x轴、直线y＝x的交点分别为点A(4，0)、B(5，5)．

（1）a＝　 　，b＝　 　，∠AOB＝　 　°；
（2）连接AB，点P是抛物线上一点（异于点A），且∠PBO＝∠OBA，求点P的坐标　 　；
（3）如图（2），点C、D是线段OB上的动点，且CD＝2．设点C的横坐标为m．
①过点C、D分别作x轴的垂线，与抛物线相交于点F、E，连接EF．当CF+DE取得最大值时，求m的值并判断四边形CDEF的形状；
②连接AC、AD，求m为何值时，AC+AD取得最小值，并求出这个最小值．
【分析】（1）将点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）证明△HOB≌△AOB（AAS），得OA＝OH＝4，即点H（0，4），即可求解；
（3）①则CF+DE＝m﹣m2+4m+（m+2）﹣[（m+2）2﹣4（m+2）]＝﹣2m2+6m+6，即可求解；
②如图所示，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，交于点G，则四边形ACDG是平行四边形，当A'、D、G三点共线时，A'D+DG＝A'G最短，即可求解．
【解析】（1）将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故二次函数表达式为：y＝x2+4x，
∵点O，B在直线y=x上，∴OB平分∠xOy，∴∠AOB=45︒；
（2）设直线BP交y轴于点H，

∵∠HOB＝∠AOB＝45°，∠PBO＝∠OBA，BO＝BO，
∴△HOB≌△AOB（AAS），∴OA＝OH＝4，即点H（0，4），
则直线PB的表达式为：y＝kx+4，将点B坐标代入上式并解得：直线PB的表达式为：y＝x+4，
将上式与二次函数表达式联立并解得：x＝5或﹣（舍去正值），则点P（﹣，）；
（3）①由题意得：直线OB的表达式为：y＝x，
设点C（m，m），CD＝2，直线OB的倾斜角为45度，则点D（m+2，m+2），
则点F（m，m2﹣4m），点E[（m+2），（m+2）2﹣4（m+2）]，
则CF+DE＝m﹣m2+4m+（m+2）﹣[（m+2）2﹣4（m+2）]＝﹣2m2+6m+6，
∵﹣2＜0，故CF+DE有最大值，此时，m＝，
则点C、F、D、E的坐标分别为（，）、（，﹣）、（，）、（，﹣），
则CF＝DE＝，CF∥ED，
故四边形CDEF为平行四边形；
②如图所示，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，交于点G，则四边形ACDG是平行四边形，

∴AC＝DG，
作点A关于直线OB的对称点A'（0，4），连接A'D，则A'D＝AD，
∴当A'、D、G三点共线时，A'D+DG＝A'G最短，此时AC+AD最短，
∵A（4，0），AG＝CD＝2，
则点G（6，2），则AC+AD最小值＝A'G＝＝2；
【小结】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．