二次函数18精讲 专题17 二次函数中的正方形问题

专题17 二次函数中的正方形问题
1、如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），
①如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求的最大值；
②如图3，若点P在x轴的上方，连接PC，以PC为边作正方形CPEF，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点E或F恰好落在y轴上，直接写出对应的点P的坐标．
【答案】（1） ；（2）①；②P点坐标（，），（， ），（，2 ）（，2 ）
【分析】
（1）利用直线解析式求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）作PF∥BO交AB于点F，证△PFD∽△OBD，得比例线段，则PF取最大值时，求得的最大值；
（3）（i）点F在y轴上时，过点P作PH⊥x轴于H，根据正方形的性质可证明△CPH≌△FCO，根据全等三角形对应边相等可得PH=CO=2，然后利用二次函数解析式求解即可；（ii）点E在y轴上时，过点PK⊥x轴于K，作PS⊥y轴于S，同理可证得△EPS≌△CPK，可得PS=PK，则P点的横纵坐标互为相反数，可求出P点坐标；点E在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，同理可证得△PEN≌△PCM，可得PN=PM，则P点的横纵坐标相等，可求出P点坐标．
【解析】
【解析】（1）直线y＝x+4与坐标轴交于A、B两点，
当x＝0时，y＝4，x＝﹣4时，y＝0，
∴A（﹣4，0），B（0，4），
把A，B两点的坐标代入解析式得，，解得，，
∴抛物线的解析式为 ；

（2）①如图1，作PF∥BO交AB于点F，
∴△PFD∽△OBD，
∴，
∵OB为定值，
∴当PF取最大值时，有最大值，
设P（x，），其中﹣4＜x＜0，则F（x，x+4），
∴PF＝＝，
∵且对称轴是直线x＝﹣2，
∴当x＝﹣2时，PF有最大值，
此时PF＝2，；
②∵点C（2，0），
∴CO＝2，
（i）如图2，点F在y轴上时，过点P作PH⊥x轴于H，

在正方形CPEF中，CP＝CF，∠PCF＝90°，
∵∠PCH+∠OCF＝90°，∠PCH+∠HPC＝90°，
∴∠HPC＝∠OCF，
在△CPH和△FCO中，，
∴△CPH≌△FCO（AAS），
∴PH＝CO＝2，
∴点P的纵坐标为2，
∴，
解得，，
∴，，

（ii）如图3，点E在y轴上时，过点PK⊥x轴于K，作PS⊥y轴于S，
同理可证得△EPS≌△CPK，
∴PS＝PK，
∴P点的横纵坐标互为相反数，
∴，
解得x＝2（舍去），x＝﹣2，
∴，

如图4，点E在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，
同理可证得△PEN≌△PCM
∴PN＝PM，
∴P点的横纵坐标相等，
∴，
解得，（舍去），
∴，
综合以上可得P点坐标（，），（， ），（，2 ）（，2 ）．
【小结】
本题主要考查二次函数的综合应用，全等三角形的判定与性质以及待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质的应用，解题的关键是正确进行分类讨论．
2、如图1．在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点，顶点为，设点是轴的正半轴上一点，将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线．

求抛物线的函数表达式:
若抛物线与抛物线在轴的右侧有两个不同的公共点，求的取值范围．
如图2，是第一象限内抛物线上一点，它到两坐标轴的距离相等，点在抛物线上的对应点，设是上的动点，是上的动点，试探究四边形能否成为正方形？若能，求出的值；若不能，请说明理由．

【答案】；；四边形可以为正方形，
【解析】
【解析】

将三点代入得
解得
；
如图．

关于对称的抛物线为

当过点时有
解得:
当过点时有
解得:
；
四边形可以为正方形
由题意设，
是抛物线第一象限上的点

解得:(舍去)即
如图作，于，

于
四边形为正方形
易证


为
将代入得

解得:(舍去)
当时四边形为正方形.
3、如图1．在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点，顶点为，设点是轴的正半轴上一点，将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线．

求抛物线的函数表达式:
若抛物线与抛物线在轴的右侧有两个不同的公共点，求的取值范围．
如图2，是第一象限内抛物线上一点，它到两坐标轴的距离相等，点在抛物线上的对应点，设是上的动点，是上的动点，试探究四边形能否成为正方形？若能，求出的值；若不能，请说明理由．

【答案】；；四边形可以为正方形，
【解析】
【解析】

将三点代入得
解得
；
如图．

关于对称的抛物线为

当过点时有
解得:
当过点时有
解得:
；
四边形可以为正方形
由题意设，
是抛物线第一象限上的点

解得:(舍去)即
如图作，于，

于
四边形为正方形
易证


为
将代入得

解得:(舍去)
当时四边形为正方形.
4、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的任意一点．
（1）求这个二次函数y=x2+bx+c的解析式．
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，如果四边形POP′C为菱形,求点P的坐标．
（3）如果点P在运动过程中，能使得以P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，请求出此时点P的坐标．

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3（2）（2）（2+102，-32）（3）P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，此时点P的坐标（1，﹣4）
【解析】（1）将B、C点代入函数解析式，得：9+3b+c=0c=-3，解得：b=-2c=-3，这个二次函数y＝x2+bx+c的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵四边形POP′C为菱形，∴OC与PP′互相垂直平分，∴yP=-OC2=-32，即x2﹣2x﹣3=-32，解得：x1=2+102，x2=2-102（舍），P（2+102，-32）；
（3）∵∠PBC＜90°，∴分两种情况讨论：
①如图1，当∠PCB＝90°时，过P作PH⊥y轴于点H，BC的解析式为y＝x﹣3，CP的解析式为y＝﹣x﹣3，设点P的坐标为（m，﹣3﹣m），将点P代入代入y═x2﹣2x﹣3中，解得：m1＝0（舍），m2＝1，即P（1，﹣4）；
AO＝1，OC＝3，CB=32+32=32，CP=12+（-4+3）2=2，此时BCCP=COAO=3，△AOC∽△PCB；
②如图2，当∠BPC＝90°时，作PH⊥y轴于H，作BD⊥PH于D．
∵PC⊥PB，∴△PHC∽△BDP，∴PHHC=BDPD．设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则PH=m，HC=－（m2﹣2m﹣3）－（－3）=－m2+2m，BD=－（m2﹣2m﹣3），PD=3－m，∴m-m2+2m=-(m2-2m-3)3-m，∴1m-2=-(m+1)，解得：m=1+52或1-52（舍去）．当m=1+52时，m2﹣2m﹣3=-5+52．
∵△PHC∽△BDP，∴PCPB=HCPD=-m2+2m3-m=5-15-5=15=55≠COAO =3，以P、C、B为顶点的三角形与△AOC不相似．
综上所述：P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，此时点P的坐标（1，﹣4）．

5、如图，在平面直角些标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣的图象经过点A（﹣1，0），C（2，0），与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．

（1）求二次函数的表达式及其顶点的坐标；
（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求PB+PD的最小值；
（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一个动点，若平面内存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有　 　个．
【答案】（1），抛物线的顶点坐标为（）；（2）最小值为；（3）5个
【解析】
(1)∵二次函数的图象经过点A(﹣1，0)C(2，0)，
∴，
解得：，
∴二次函数的表达式为，
∵y=，
∴抛物线的顶点坐标为()；
(2)如图，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．

理由：∵OA=1，OB=，
∴，
∵，
∴∠ABO=30°，
∴PH=PB，
∴PB+PD=PH+PD=DH，
∴此时PB+PD最短(垂线段最短);
∵抛物线的顶点坐标为()，
∴，
∵∠ABO=30°，
∴∠HAD=60°，
在Rt△ADH中，∵∠AHD=90°，AD=，∠HAD=60°，
∴sin60°=，
∴DH=，
∴PB+PD的最小值为；
(3)①以A为圆心AB为半径画弧，因为AB＞AD，故此时圆弧与对称轴有两个交点，且AM=AB，即M点存在两个，所以满足条件的N点有两个；
②以B为圆心AB为半径画弧，因为，故此时圆弧与对称轴有两个交点，且BM=AB，即M点有两个，所以满足条件的N点有两个；
③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM=BM，因为M点有一个，所以满足条件的N点有一个；
则满足条件的N点共有5个，
故答案为：5．
6、已知，在平面直角坐标系内一直线l1:y=-x+3分别与x轴、y轴交于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点，y轴右侧部分抛物线上有一动点C，过点C作y轴的平行线交直线l1于点D.

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，C在第一象限，求以CD为直径的⊙E的最大面积，并判断此时⊙E与抛物线的对称轴是否相切？若不相切，求出使得⊙E与该抛物线对称轴相切时点C的横坐标；
（3）坐标平面内是否存在点M，使B、C、D、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点M的坐标；不存在，请说明理由.
【答案】(1)y=-x2+2x+3；（2）不相切， C的横坐标分别为2和5-172；（3）M（0,1），（2,3）（0,1-32），（0,1+32）.
【解析】
【解析】（1）直线l1:y=-x+3分别与x轴、y轴交于A、B两点，可得A点（3，0），B点（0，3），将A、B两点坐标代入y=-x2+bx+c，可得
0=-9+3b+c3=c，可得b=2，c=3
∴抛物线的函数表达式y=-x2+2x+3；
（2）①可得抛物线对称轴为：x=-b2a=1，
∵ C在第一象限,以CD为直径的⊙E的最大面积，即CD最长时，圆的面积最大，
设直线CD的横坐标为t，0＜t＜3，
∴D点坐标（t，-t+3），C点坐标（t，-t2+2t+3），
∴ |CD|=-t2+2t+3-(-t+3)= -t2+3t（0＜t＜3），
∴当t=-b2a=32时，CD最长，此时CD最长为94，
此时圆E的半径为98，此时CD与对称轴的距离为32-1=12≠98，
故不相切.
②当CD在对称轴右边时，即1＜t＜3时
|CD|= -t2+3t（1＜t＜3）；圆E的半径为t-1，
可得|CD|=2r；-t2+3t=2（t-1），解得：t1=-1（舍去）；
t2=2；
当CD在对称轴左边时，即即0＜t＜1时，
有-t2+3t=2（1-t），解得：t1=5+172（舍去），
t2=5-172；
综上所述：t=2或t=5-172，⊙E与该抛物线对称轴相切.
(3)存在，由菱形性质可得M点坐标（0,1），（2,3）（0,1-32），（0,1+32）.
7、如图，二次函数y=-x2+3x+m的图象与x轴的一个交点为B(4,0)，另一个交点为A，且与y轴相交于C点
（1）求m的值及C点坐标；
（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由
（3）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q，当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标(直接写出答案)；

【答案】(1)m=4, C(0,4)
(2) 存在, M(2,6)
(3)P点坐标为(1+5,1+5)或(1-5,1-5)
【解析】【解析】(1) 将点B(4,0)的坐标代入二次函数y=-x2+3x+m，即-42+3×4+m=0，解得m=4，故二次函数解析式为y=-x2+3x+4，令x=0，解得y=4，故C点坐标为(0,4);
(2)存在，
理由：∵B(4,0)，C(0,4)
∴直线BC的解析式为y=-x+4，
当直线BC向上平移b单位后和抛物线只有一个公共点时，△MBC面积最大，
∴y=-x+4+by=-x2+3x+4
整理得：x2-4x+b=0
∴∆=16-4b=0，
∴b=4
∴x=2y=6
∴M(2,6)
(3)

如图2、图3所示，连接PQ交BC于点G。
因为四边形PBQC是菱形，所以G为BC的中点，
因为点B、C的坐标分别为(4,0)、(0,4)，所以由中点坐标公式得G点坐标为(2,2)，
由(2)可知直线BC的解析式为y=-x+4，
由于PG⊥BC，所以设直线PG的解析式为y=x+b，
将G(2,2)代入，求得直线PG的解析式为y=x，
将直线PG的解析式与抛物线解析式联立得：
y=-x2+3x+4y=x，消去y得：x=-x2+3x+4，
解得：x=1±5，
将x=1+5代入直线PG的解析式得y=1+5，
将x=1-5代入直线PG的解析式得y=1-5，
故当四边形PBQC为菱形时，P点坐标为(1+5,1+5)或(1-5,1-5).

8、如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B坐标为(4，t)(t＞0)．二次函数y＝x2＋bx(b＜0)的图象经过点B，顶点为点D.
(1)当t＝12时，顶点D到x轴的距离等于____；
(2)点E是二次函数y＝x2＋bx(b＜0)的图象与x轴的一个公共点(点E与点O不重合)．求OE·EA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；
(3)矩形OABC的对角线OB，AC交于点F，直线l平行于x轴，交二次函数y＝x2＋bx(b＜0)的图象于点M，N，连结DM，DN.当△DMN≌△FOC时，求t的值．

【解析】 (1)将B点坐标(4，12)代入y＝x2＋bx求出二次函数关系式，再用配方法或二次函数的顶点坐标公式解决问题；
(2)分别用含b的代数式表示OE，AE的长，再运用二次函数的求最值的方法(配方法)求出OE·EA的最大值；
(3)由△DMN≌△FOC可得MN＝CO＝t，再分别用含b，t的代数式表示出点M，N的坐标，将点M或点N的坐标代入y＝x2＋bx就可以求出t的值．
【解析】(2)∵二次函数y＝x2＋bx与x轴交于点E，∴E(－b，0)．
∴OE＝－b，AE＝4＋b.∴OE·EA＝－b(b＋4)＝－b2－4b＝－(b＋2) 2＋4.
∴当b＝－2时，OE·EA有最大值，其最大值为4.此时b＝－2，二次函数表达式为y＝x2－2x；
第1题答图
(3)如答图，过D作DG⊥MN，垂足为G，过点F作FH⊥CO，垂足为H.
∵△DMN≌△FOC，∴MN＝CO＝t，DG＝FH＝2.
∵D，
∴N，即N.
把x＝，y＝代入y＝x2＋bx，
得＝＋b·，
解得t＝±2，∵t＞0，∴t＝2.
9、如图所示，直线y＝kx＋m分别交y轴，x 轴于A(0，2)，B(4，0)两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c过A，B两点．
(1)求直线和抛物线的表达式；
(2)设N(x，y)是(1)所得抛物线上的一个动点，过点N作直线MN垂直x轴交直线AB于点M，若点N在第一象限内．试问：线段MN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；
(3)在(2)的情况下，以A，M，N，D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．

【解析】 (1)由直线y＝kx＋m分别交y轴、x 轴于A(0，2)，B(4，0)两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c过A，B两点，利用待定系数法即可求得直线和抛物线的表达式；
(2)假设x＝t时，线段MN的长度是最大值，可得M，N，则可得MN＝－＝－t2＋4t
＝－(t－2)2＋4，然后由二次函数的最值问题，求得答案；
(3)根据平行四边形的性质即可求得答案．
【解析】(1)∵直线y＝kx＋m分别交y轴，x 轴于A(0，2)，B(4，0)两点，
∴解得
∴直线的表达式为y＝－x＋2，
将A(0，2)，B(4，0)分别代入抛物线，得
解得
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋2；
(2)存在．
假设x＝t时，线段MN的长度是最大值，
由题意，得M，N，
∴MN＝－＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4，
∴当t＝2时，MN有最大值4；
第2题答图
(3)由题意可知，D的可能位置有如答图三种情形．
当D在y轴上时，
设D的坐标为(0，a)，
由AD＝MN，得|a－2|＝4，
解得a1＝6，a2＝－2，
∴D(0，6)或D(0，－2)；
当D不在y轴上时，由图可知D为D1N与D2M的交点，
∵直线D1N的表达式为y＝－x＋6，直线D2M的表达式为y＝x－2，
由两方程联立解得D(4，4)．
综上可得，D的坐标为(0，6)，(0，－2)或(4，4)．
10、如图所示，抛物线y＝－x2＋6x交x轴正半轴于点A，顶点为M，对称轴MB交x轴于点B，过点C(2，0)作射线CD交MB于点D(D在x轴上方)，OE∥CD交MB于点E，EF∥x轴交CD的延长线于点F，作直线MF.

(1)求点A，M的坐标；
(2)当BD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？
(3)当BD＝1时，
①求直线MF的表达式，并判断点A是否落在该直线上；
②延长OE交FM于点G，取CF中点P，连结PG，△FPG，四边形DEGP，四边形OCDE的面积分别记为S1，S2，S3，则S1∶S2∶S3＝__3∶4∶8__.
【解析】(1)令y＝0，则－x2＋6x＝0，解得x1＝0，x2＝6，∴A(6，0)，∴对称轴是直线x＝3，∴M(3，9)；
(2)∵OE∥CF，OC∥EF，C(2，0)，
∴EF＝OC＝2，∴BC＝1，
∴点F的横坐标为5，
∵点F落在抛物线y＝－x2＋6x上，
∴F(5，5)，BE＝5.∵＝＝，
∴DE＝2BD，∴BE＝3BD，∴BD＝；
(3)①当BD＝1时，BE＝3，∴F(5，3)．
第3题答图
设MF的表达式为y＝kx＋b，将M(3，9)，F(5，3)代入，
得解得
∴y＝－3x＋18.
∵当x＝6时，y＝－3×6＋18＝0，
∴点A落在直线MF上；
②∵BD＝1，BC＝1，
∴△BDC为等腰直角三角形，
∴△OBE为等腰直角三角形，
∴CD＝，CF＝OE＝3，
∴DP＝，PF＝，
根据MF及OE的表达式求得点G的坐标为，如答图，过点G作GN⊥EF交EF于点N，则EN＝GN＝，∴EG＝，S△FPG，S梯形DEGP，S梯形OCDE的高相等，所以三者面积比等于底之比，
故S△FPG∶S梯形DEGP∶S梯形OCDE
＝PF∶(DP＋EG)∶(DC＋OE)
＝∶2∶4
＝∶2∶4＝3∶4∶8.



11、如图所示，抛物线y＝ax2＋bx－3经过点A(2，－3)，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB.
(1)求抛物线的表达式；
(2)点D在y轴上，且∠BDO＝∠BAC，求点D的坐标；
(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】 (1)本题需先根据已知条件，求出C点坐标，即OC，进而根据OC＝3OB求出点B的坐标，再根据过A，B两点，即可得出结果；
(2)过点B作BE⊥x轴交AC的延长线于点E，由∠BDO＝∠BAC，∠BOD＝∠BEA＝90°得到Rt△BDO和Rt△BAE相似，得到OD，进而得到点D的坐标；
(3)根据题意可知N点在对称轴x＝1上，而A，B，M，N四点构成平行四边形符合题意的有三种情况：①BM∥AN，AM∥BN；②BN∥AM，AB∥MN；③BM∥AN，AB∥MN，然后根据平行直线k相同可以得到点M的坐标．
【解析】(1)令x＝0，由y＝ax2＋bx－3，得y＝－3，∴C(0，－3)，∴OC＝3，
又∵OC＝3OB，∴OB＝1，∴B(－1，0)，
把点B(－1，0)和A(2，－3)分别代入y＝ax2＋bx－3，
得 解得
∴该二次函数的表达式为y＝x2－2x－3.
(2)如答图①，过点B作BE⊥x轴交AC的延长线于点E.
∵∠BDO＝∠BAC，∠BOD＝∠BEA＝90°，
∴Rt△BDO∽Rt△BAE，
∴OD∶OB＝AE：BE，∴OD∶1＝3∶3，∴OD＝1，
∴D点坐标为(0，1)或(0，－1)．

第4题答图① 　　　第4题答图②
(3)如答图②，M1(0，－3)，M2(－2，5)，M3(4，5)．
12、如图所示，顶点为的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点M(2，0)．

　 原图　　　 备用图
(1)求抛物线的表达式；
(2)点A是抛物线与x轴的交点(不与点M重合)，点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y＝x＋1上一点(处于x轴下方)，点D是反比例函数y＝(k>0)图象上一点．若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值．
【解析】 (1)已知抛物线的顶点坐标，可设顶点式为 y＝a－，再把点M(2，0)代入，可求a＝1，所以抛物线的表达式可求；
(2)先分别求出A，B两点的坐标，及AB的长，再根据反比例函数y＝(k>0)，考虑点C在x轴下方，故点D只能在第一、三象限．确定菱形有两种情形：①菱形以AB为边，如答图①，过点D作y轴的垂线，交y轴于点N，因此，∠BDN＝∠GAO＝45°，BD＝AB，从而求出DN，NO，即D的坐标可求，从而k可求．② 菱形以AB为对角线，如答图②，过点D作x轴的垂线，与x轴交于点F，与过点B作y轴的垂线交于点E，可证△DBE是等腰直角三角形，所以设BE＝DE＝x，则DF＝x－2，DB＝x，在Rt△ADF中，AD＝BD＝x，AF＝x＋1，利用勾股定理，构造关于x的方程，求出x，则D点坐标(x，x－2)可求，k可求．
【解析】(1)依题意可设抛物线为y＝a－，将点M(2，0)代入可得a＝1，∴抛物线的表达式为y＝－＝x2－x－2；
(2)当y＝0时，x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2，∴A(－1，0)，当x＝0时，y＝－2，∴B(0，－2)．
在 Rt△OAB 中，OA＝1，OB＝2，∴AB＝.设直线 y ＝ x＋1 与 y 轴的交点为点 G，易求 G(0，1)，∴Rt△AOG为等腰直角三角形，∴∠AGO＝45°.∵点 C 在 y＝x＋1 上且在 x 轴下方，而 k>0，∴y＝的图象位于第一、三象限，故点 D 只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下两种情况：
第5题答图①
∴①菱形以 AB 为边且 AC 也为边，如答图①所示，过点 D 作 DN⊥y 轴于点 N，
在 Rt△BDN 中，
∵∠DBN＝∠AGO ＝45°，
∴DN＝BN＝，
∴D，点D在y＝(k>0)的图象上，∴k＝－×＝＋.
②菱形以 AB 为对角线，如答图②所示，作 AB 的垂直平分线 CD 交直线 y ＝ x＋1 于点 C，交 y＝的图象于点 D．再分别过点 D，B 作 DE⊥x 轴于点 F，BE⊥y 轴，DE 与 BE 相交于点 E.
在 Rt△BDE 中，同①可证∠AGO＝∠DBO ＝∠BDE＝ 45°，∴BE＝DE.设点 D 的坐标为(x，x－2)．
第5题答图②
∵BE2＋DE2＝BD2，∴BD＝BE ＝x.∵四边形ACBD是菱形，∴AD＝BD＝x.
∴在Rt△ADF中，AD2＝AF2＋DF2，(x)2＝(x＋1)2＋(x－2)2，解得x＝，
∴点D的坐标为，点D在y＝(k>0)的图象上，
∴k＝.
综上所述，k的值为＋或.

13、如图所示，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB＝OC＝6.
(1)求抛物线的表达式及点D的坐标；
(2)连结BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB＝∠EDB时，求点F的坐标；
(3)平行于x轴的直线交抛物线于M，N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ＝MN时，求菱形对角线MN的长．

【解析】 (1)利用OB＝OC＝6得到点B(6，0)，C(0，－6)，将其代入抛物线的表达可求出b，c的值，进而得到抛物线的表达式，最后通过配方得到顶点坐标；
(2)由于F为抛物线上一动点，∠FAB＝∠EDB，可以分两种情况求【解析】一是点F在x轴上方；二是点F在x轴下方．每一种情况都可以作FG⊥x轴于点G，构造Rt△AFG与Rt△DBE相似，利用对应边成比例或三角函数的定义求点F的坐标．
(3)首先根据MN与x轴的位置关系画出符合要求的两种图形：一是MN在x轴上方；二是MN在x轴下方．设菱形对角线的交点T到x轴的距离为n，利用PQ＝MN，得到MT＝2n，进而得到点M的坐标为(2＋2n，n)，再由点M在抛物线上，得n＝(2＋2n)2－2(2＋2n)－6，求出n的值，最后可以求得MN＝2MT＝4n的两个值．
【解析】(1)∵OB＝OC＝6，∴B(6，0)，C(0，－6)．
∴ 解得∴抛物线的表达式为y＝x2－2x－6.
∵y＝x2－2x－6＝(x－2)2－8，
∴点D的坐标为(2，－8)；
(2)如答图①，当点F在x轴上方时，设点F的坐标为.过点F作FG⊥x轴于点G，易求得OA＝2，则AG＝x＋2，FG＝x2－2x－6.
第7题答图①
∵∠FAB＝∠EDB，
∴tan∠FAG＝tan∠EDB，
即 ＝，
解得x1＝7，x2＝－2(舍去)．
当x＝7时，y＝，
∴点F的坐标为.
当点F在x轴下方时，同理求得点F的坐标为.
综上所述，点F的坐标为或.
(3)∵点P在x轴上，∴根据菱形的对称性可知点P的坐标为(2，0)．
如答图②，当MN在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点．
第7题答图②
∵PQ＝MN，∴MT＝2PT.设TP＝n，则MT＝2n.
∴M(2＋2n，n)．∵点M在抛物线上，
∴n＝(2＋2n)2－2(2＋2n)－6，即2n2－n－8＝0.
解得n1＝，n2＝(舍去)．
∴MN＝2MT＝4n＝＋1.
当MN在x轴下方时，设TP＝n，得M(2＋2n，－n)．
∵点M在抛物线上，
∴－n＝(2＋2n)2－2(2＋2n)－6，
即2n2＋n－8＝0.
解得n1＝，n2＝(舍去)．
∴MN＝2MT＝4n＝－1.
综上所述，菱形对角线MN的长为＋1或－1.