2020-2021学年北师大版初一数学上册难点突破讲义05 数轴与相反数

专题05 数轴与相反数

【专题说明】

1．理解数轴的概念及三要素；

2．理解有理数与数轴上的点的关系，并会借助数轴比较两个数的大小；

3．会求一个数的相反数，并能借助数轴理解相反数的概念及几何意义；

4. 掌握多重符号的化简.

【知识点总结】

一、数轴

1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴

要点诠释：

（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.

（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等．

（3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动．

2. 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理教，还可以表示其他数，比如.

要点诠释：

（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.

（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.

二、相反数

1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.

要点诠释：

（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同.

（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.

（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.

（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“－”号即可.

2.性质：

（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）.

（2）互为相反数的两数和为0.

三、多重符号的化简

多重符号的化简，由数字前面“－”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如－{－[－(－4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如－{+[－(－4)]}=－4 .

要点诠释：

（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5.

（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3.

【精典例题】

一、数轴的概念

1、如图所示是几位同学所画的数轴，其中正确的是    (    )

    A．(1)(2)(3)    B．(2)(3)(4)    C．只有(2)    D．(1)(2)(3)(4)

【答案】C

【解析】对数轴的三要素掌握不清.（1）中忽略了单位长度，相邻两整点之间的距离不一致；（3）中负有理数的标记有错误；（4）图中漏画了表示方向的箭头.

【总结升华】数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可．

2、小明的家与他上学的学校、书店依次坐落在一条东西走向的大街上，小明家位于学校西边30米处，书店位于学校东边100米处，小明从学校沿这条大街向东走了40米，接着又向西走了100米到达超市，试用数轴表示出小明的家、学校、书店、超市的位置．

【思路点拨】我们把小明行走的过程想象为点在数轴上移动的过程，使问题化难为易.用数轴表示数时，要根据实际需要，每个单位表示的数可大可小，但整体要保持统一.

【答案与解析】以学校作为数轴的原点，向东的方向即学校的东边为正方向，把20米作为单位长度，所以学校、家、书店和超市的位置如图所示

【总结升华】原点，正方向，单位长度三者缺一不可.

二、相反数的概念

1、下列各组数互为相反数的是（    ）

A．和       B．和     C．和     D．和

【思路点拨】解决这类问题的关键是抓住互为相反数的特征“只有符号不同”，所以只要将原数的符号变为相反的符号，即可求出其相反数.

【答案】C

【解析】的相反数是，而不是；的相反数是，而不是，－6的相反数就是，所以C正确；的相反数是，不是.

【总结升华】求一个数的相反数，只改变这个数的符号，其他部分都不变.

2、下列各数中，相反数等于5的数是

    A．－5    B．5    C．    D．

【答案】A

【解析】只有－5的相反数才等于5．

【总结升华】相反数是成对出现的，不能单独存在，例如－3和+3互为相反数，是说－3的相反数是+3，同时+3的相反数也是－3.

3、已知互为相反数，则         ．

【答案】2

【解析】根据互为相反数的两个数的性质，可知，代入上式可得：.

【总结升华】若互为相反数，则或.

三、多重符号的化简

1、化简下列各数中的符号

（1）   （2）－(+5)  （3）－(－0.25)  （4）

（5）－[－(+1)]    （6）－(－a)

【答案】  (1)  （2）－(+5)＝－5       （3）－(－0.25)＝0.25

      （4）  （5）－[－(+1)]＝－(－1)＝1    (6)－(－a)＝a

【解析】

 (1) 表示的相反数，而的相反数是，所以 ；

（2）－(+5)表示+5的相反数，即－5， 所以－(+5)=－5；

（3）－(－0.25)表示－0.25的相反数，而－0.25的相反数是0.25，所以－(－0.25)＝0.25；

（4）负数前面的“+”号可以省略，所以；

（5）先看中括号内－(+1)表示1的相反数，即－1，因此－[－(+1)]＝－(－1)而－(－1)表示－1的相反数，即1，所以－[－(+1)]＝－(－1)=1；(6)－(－a)表示－a的相反数，即a．

所以－(－a)= a

【总结升华】运用多重符号化简的规律解决这类问题较为简单．即数一下数字前面有多少个负号．若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负．

2、化简下列各数．

①；  ②；  ③ ；④；⑤

【答案】①6； ②；③6；④－6；⑤6

【解析】①表示－6的相反数，所以；

②表示+6的相反数，所以；

③ 前面共有2个“－”号，为偶数个，而“+”可以省略，所以；

④中共有3个“－”号，即奇数个，而“+”可以省略，所以=－6；

⑤中共有4个“－”号，即偶数个，而 “+”可以省略，所以

【总结升华】多重符号化简的规律解决这类问题较为简单．即数一下数字前面有多少个负号．若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负．

四、利用数轴比较大小 

1、在数轴上表示2.5，0，，－1，－2.5，，3有理数，并用“＜”把它连接起来．

【答案与解析】如图所示，点A、B、C、D、E、F、G分别表示有理数2.5，0，，－1，－2.5，，3．

   由上图可得：

∴

【总结升华】根据数轴的三要素先画好数轴，表示数的字母要依次对应有理数，然后根据在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，比较大小．

2、若p，q两数在数轴上的位置如下图所示，请用“＜”或“＞”填空．

①p______q；    ②－p______0；  ③－p______－q； ④－p______q；

【答案】>; <;<;>

【解析】根据相反数的几何意义，将p，q，－p, －q均表示在数轴上，如下图：

然后再根据数轴上右边的数比左边的数大，及原点右边的点表示大于0的正数，而原点左边的点表示小于0的负数，可得上述答案.

【总结升华】在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数.

五、数轴与相反数的综合应用（数形结合的应用）

1、已知数轴上点A和点B分别表示互为相反数的两个数a，b(a＜b)并且A、B两点间的距离是，求a、b两数．

【思路点拨】因为a、b两数互为相反数(a＜b)，所以表示a，b的两点A、B离原点的距离相等，而A、B两点间的距离是，所以A、B两点到原点的距离就是．

【答案与解析】

解：由题意A、B两点到原点的距离都是：而a＜b，所以，．

【总结升华】(1)理解相反数的几何意义． (2)从相反数的意义入手，明确互为相反数的两数关于原点对称．

2、点A在数轴上，若将A向左移动4个单位长度，再向右移动2个单位长度，此时A点所表示的数是原来A点所表示的数的相反数，原来A点表示的是什么数?把你的研究过程在数轴上表示出来．

【思路点拨】根据数轴是以向右为正方向，故数的大小变化和平移变化之间的规律：左减右加．

【答案与解析】

解：如图所示，B点表示A点移动后的位置．则AB＝2．因为A、B表示一对相反数．所以原点O是AB的中点，AO＝OB，所以A点表示1．

【总结升华】先画出数轴，根据数轴理解题目中的数量关系，将有利于问题的解决.