2020-2021学年北师大版初一数学上册难点突破讲义04 绝对值

专题04 绝对值

【专题说明】

1．掌握一个数的绝对值的求法和性质；

2．进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；

3．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；

4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.

【知识点总结】

一、绝对值

1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.

要点诠释：

（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：

（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．

（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．

2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．

二、有理数的大小比较

1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．

2.法则比较法：

两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：

要点诠释：

利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小：

（3）判定两数的大小．

3. 作差法：设a、b为任意数，若a－b＞0，则a＞b；若a－b＝0，则a＝b；若a－b＜0，a＜b；反之成立．

4. 求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．

5. 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小.

【精典例题】

一、绝对值的概念

1、求下列各数的绝对值．

    ，－0.3，0，

【思路点拨】，－0.3，0，在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字就是各数的绝对值．还可以用绝对值法则来求解．

【答案与解析】

方法1：因为到原点距离是个单位长度，所以．

因为－0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以|－0.3|＝0.3．

因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0|＝0．

因为到原点的距离是个单位长度，所以．

方法2：因为，所以．

因为－0.3＜0，所以|－0.3|＝－(－0.3)＝0.3．

因为0的绝对值是它本身，所以|0|＝0

因为，所以

【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1)，一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法2)，后种方法的具体做法为：首先判断这个数是正数、负数还是零．再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是零．从而求出该数的绝对值．

2、已知一个数的绝对值等于2009，则这个数是________．

【答案】2009或－2009

【解析】根据绝对值的定义，到原点的距离是2009的点有两个，从原点向左侧移动2009个单位长度，得到表示数－2009的点；从原点向右侧移动2009个单位长度，得到表示数2009的点．

【总结升华】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法都要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数.

3、计算：（1）  （2）|－4|+|3|+|0|   （3）－|+(－8)|

【答案与解析】运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果.

(1) ，

         (2)|－4|+|3|+|0|＝4+3+0＝7，

         (3)－|+(－8)|＝－[－(－8)]＝－8．

【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解，一种是利用绝对值的代数意义求解，后种方法的具体做法为：首先判断这个数是正数、负数还是零．再根据绝对值的代数意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是零．从而求出该数的绝对值．

4、如果|x|＝6，|y|＝4，且x＜y．试求x、y的值．

【思路点拨】6和－6的绝对值都等于6，4和－4的绝对值都等于4，所以要注意分类讨论．

【答案与解析】因为|x|＝6，所以x＝6或x＝－6；

              因为|y|＝4，所以y＝4或y＝－4；

              由于x＜y，故x只能是－6，因此x＝－6，y＝±4．

【总结升华】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数.此外，此题x＝－6，y＝±4，就是x＝－6，y＝4或x＝－6，y＝－4.

二、比较大小

1、比较下列有理数大小：(1)－1和0；  (2)－2和|－3| ；(3)和 ；（4）______

【答案】(1)0大于负数，即－1＜0；

    (2)先化简|－3|＝3，负数小于正数，所以－2＜3，即－2＜|－3|；

(3)先化简，，，即．

(4)先化简，，这是两个负数比较大小：因为，，而，

所以，即＜

【解析】(2)、(3)、（4）先化简，再运用有理数大小比较法则．

【点评】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断．

2、比较下列每组数的大小：

    (1)－(－5)与－|－5|；(2)－(+3)与0；(3)与；(4)与．

【思路点拨】先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与零、负数与零、正数与负数、两个正数还是两个负数”，然后比较．

【答案与解析】 (1)化简得：－(－5)＝5，－|－5|＝－5．

          因为正数大于一切负数，所以－(－5)＞－|－5|．

(2)化简得：－(+3)＝－3．因为负数小于零，所以－(+3)＜0．

(3)化简得：．这是两个负数比较大小，因为，，且．所以．

    (4)化简得：－|－3.14|＝－3.14，这是两个负数比较大小，因为 |－π|＝π，|－3.14|＝3.14，而π＞3.14，所以－π＜－|－3.14|．

【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断．

三、绝对值非负性的应用

1、已知|2－m|+|n－3|＝0，试求m－2n的值．

【思路点拨】由｜a｜≥0即绝对值的非负性可知，｜2－m｜≥0，｜n－3｜≥0，而它们的和为0．所以｜2－m｜＝0，|n－3|＝0．因此，2－m＝0，n－3＝0，所以m＝2，n＝3．

【答案与解析】因为|2－m|+|n－3|＝0

        且|2－m|≥0，|n－3|≥0

        所以|2－m|＝0，|n－3|＝0

        即2－m＝0，n－3＝0

        所以m＝2，n＝3

        故m－2n＝2－2×3＝－4．

【总结升华】若几个数的绝对值的和为0，则每个数都等于0，即|a|+|b|+…+|m|＝0时，则a＝b＝…＝m＝0．

2、已知a、b为有理数，且满足：，则a=_______，b=________．

【答案与解析】由，，，可得 ∴

【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0，要使这两个数的和为0，需要这两个数都为0．几个非负数的和为0，则每一个数均为0．

四、含有字母的绝对值的化简

1、把下列各式去掉绝对值的符号．

    (1)|a－4|(a≥4)；(2)|5－b|(b＞5)．

【答案与解析】

(1)∵ a≥4，∴a－4≥0，∴  |a－4|＝a－4．

    (2)∵ b＞5，∴ 5－b＜0，∴  |5－b|＝－(5－b)＝b－5．

【总结升华】由字母的取值范围来判断绝对值里面的符号情况，再根据绝对值的意义去掉绝对值的符号.

五、绝对值的实际应用 

1、正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：－25，+10，－20，+30，+15，－40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．

【答案】 因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜－20｜＜｜－25｜＜｜+30｜＜｜－40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．

【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，则足球的质量越好．这个偏差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小，反之绝对值越大偏差也就越大．

【点评】绝对值越小，越接近标准.