【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题17 同角三角函数的基本关系式与诱导公式（含解析）
展开考点17 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
1、已知cos α＝k，k∈R，α∈，则sin(π＋α)＝( )
A．－ B．
C．± D．－k
2、已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋＝( )
A．－ B．
C. D．
3、已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|＜，则θ＝( )
A．－ B．－
C． D．
4、已知x∈，cos x＝，则tan x的值为( )
A. B．－
C. D．－
5、已知sin＝，则cos＝( )
A. B．－
C． D．－
6、若sin<0，cos>0，则θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
7、已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝( )
A．150° B．135°
C．300° D．60°
8、已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为( )
A．－ B．－
C． D．
9、知曲线f(x)＝x3在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则＝( )
A. B．2
C. D．－
10、若sin θcos θ＝，则tan θ＋的值是( )
A．－2 B．2
C．±2 D．
11、已知sin＝，则cos的值是( )
A．－ B．
C. D．－
12、已知2tan αsin α＝3，－<α<0，则sin α＝( )
A. B．－
C． D．－
13、若＝2，则cos α－3sin α＝( )
A．－3 B．3
C．－ D．
14、已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为( )
A. B．－
C． D．－
15、已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( )
A．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos β
B．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan β
C．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos β
D．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β
16、已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是( )
A. B．
C． D．
17、已知cos＝且－π<α<－，则cos＝( )
A. B．
C．－ D．－
18、已知在锐角△ABC中，角α＋的终边过点P(sin B－cos A，cos B－sin A)，且cos＝，则cos 2α的值为( )
A. B．－－
C.－ D．－－
19、已知角α的顶点在原点，始边为x轴正半轴，终边与圆心在原点的单位圆交于点A(m，m)，则sin 2α＝________．
20、现有如下命题：
①若点P(a，2a)(a≠0)为角α终边上一点，则sin α＝；
②同时满足sin α＝，cos α＝的角有且仅有一个；
③设tan α＝且π＜α＜，则sin α＝－；
④设cos(sin θ)·tan(cos θ)＞0(θ为象限角)，则θ在第一象限．
则其中正确的命题是________．(将正确命题的序号填在横线上)
21、已知＝5，则sin xcos x＋cos2x＝________．
22、已知在△ABC中，tan A＝－，则cos A＝________.
23、若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为________．
24、若sin(π－α)＝－2sin，则sin αcos α的值等于________．
25、已知＝，则的值为( )
A. B．－
C. D．－
26、已知tan(θ－π)＝2，求sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＋3的值．
27、如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于C(2，1)时，的坐标为________．
28、已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且cos＝，求f(α)的值．
考点17 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
1、已知cos α＝k，k∈R，α∈，则sin(π＋α)＝( )
A．－ B．
C．± D．－k
【答案】A
【解析】由cos α＝k，α∈得sin α＝，∴sin(π＋α)＝－sin α＝－.故选A.
2、已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋＝( )
A．－ B．
C. D．
【答案】D
【解析】.∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－，cos α＝，∴sin α＋＝－＋＝.故选D.
3、已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|＜，则θ＝( )
A．－ B．－
C． D．
【答案】D
【解析】∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，
∴－sin θ＝－cos θ，∴tan θ＝.
∵|θ|＜，∴θ＝.
4、已知x∈，cos x＝，则tan x的值为( )
A. B．－
C. D．－
【答案】B
【解析】因为x∈，所以sin x＝－＝－，所以tan x＝＝－.故选B.
5、已知sin＝，则cos＝( )
A. B．－
C． D．－
【答案】D
【解析】∵cos＝sin＝sin＝－sin＝－.
6、若sin<0，cos>0，则θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】B
【解析】∵sin＝cos θ<0，cos＝sin θ>0，所以θ是第二象限角，故选B.
7、已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝( )
A．150° B．135°
C．300° D．60°
【答案】C
【解析】因为sin 150°＝>0，cos 150°＝－<0，所以角α终边上一点的坐标为，所以该点在第四象限，由三角函数的定义得sin α＝－，又0°≤α<360°，所以角α的值是300°，故选C.
8、已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为( )
A．－ B．－
C． D．
【答案】B
【解析】sin4α－cos4α＝(sin2α－cos2α)(sin2α＋cos2α)＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－1＝－.
9、知曲线f(x)＝x3在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则＝( )
A. B．2
C. D．－
【答案】C
【解析】.由f′(x)＝2x2，得tan α＝f′(1)＝2，所以＝＝.故选C.
10、若sin θcos θ＝，则tan θ＋的值是( )
A．－2 B．2
C．±2 D．
【答案】B
【解析】tan θ＋＝＋＝＝＝2.
11、已知sin＝，则cos的值是( )
A．－ B．
C. D．－
【答案】A
【解析】.∵sin＝，
∴cos
＝cos＝－sin＝－，故选A.
12、已知2tan αsin α＝3，－<α<0，则sin α＝( )
A. B．－
C． D．－
【答案】B
【解析】由2tan αsin α＝3，得＝3，即2cos2α＋3cos α－2＝0.又－<α<0，解得cos α＝(cos α＝－2舍去)，故sin α＝－.
13、若＝2，则cos α－3sin α＝( )
A．－3 B．3
C．－ D．
【答案】C
【解析】∵＝2，∴cos α＝2sin α－1，又sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＋(2sin α－1)2＝1，5sin2α－4sin α＝0，解得sin α＝或sin α＝0(舍去)，∴cos α－3sin α＝－sin α－1＝－.故选C.
14、已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为( )
A. B．－
C． D．－
【答案】B
【解析】 ∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝，
∴sin 2θ＝.又θ∈，∴sin θ＜cos θ，sin θ－cos θ＝－＝－＝－＝－.
15、已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( )
A．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos β
B．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan β
C．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos β
D．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β
【答案】D
【解析】作出α，β的图象如图，由三角函数线可知选D.
16、已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是( )
A. B．
C． D．
【答案】C
【解析】由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，故sin α＝.
17、已知cos＝且－π<α<－，则cos＝( )
A. B．
C．－ D．－
【答案】D
【解析】因为－π<α<－，所以－<＋α<－，故cos＝cos＝sin＝－＝－.
18、已知在锐角△ABC中，角α＋的终边过点P(sin B－cos A，cos B－sin A)，且cos＝，则cos 2α的值为( )
A. B．－－
C.－ D．－－
【答案】D
【解析】∵△ABC是锐角三角形，∴A＋B＞⇒＞B＞－A＞0⇒sin B＞sin＝cos A，即sin B－cos A＞0，同理，cos B－sin A＜0，∴角α＋为第四象限角，
∴sin＝－，∴cos α＝cos
＝coscos＋sinsin＝－，
∴cos 2α＝2cos2α－1＝－－，故选D.
19、已知角α的顶点在原点，始边为x轴正半轴，终边与圆心在原点的单位圆交于点A(m，m)，则sin 2α＝________．
【答案】
【解析】由题意得|OA|2＝m2＋3m2＝1，故m2＝.
由任意角三角函数定义知cos α＝m，sin α＝m，由此sin 2α＝2sin αcos α＝2m2＝.
20、现有如下命题：
①若点P(a，2a)(a≠0)为角α终边上一点，则sin α＝；
②同时满足sin α＝，cos α＝的角有且仅有一个；
③设tan α＝且π＜α＜，则sin α＝－；
④设cos(sin θ)·tan(cos θ)＞0(θ为象限角)，则θ在第一象限．
则其中正确的命题是________．(将正确命题的序号填在横线上)
【答案】③
【解析】①中，当α在第三象限时，sin α＝－，故①错误；②中，同时满足sin α＝，cos α＝的角为α＝2kπ＋(k∈Z)，有无数个，故②错误；③正确；④θ可能在第一象限或第四象限，故④错误．综上选③.
21、已知＝5，则sin xcos x＋cos2x＝________．
【答案】．
【解析】由已知，得＝5，解得tan x＝2，
所以sin xcos x＋cos2x＝＝＝＝.
22、已知在△ABC中，tan A＝－，则cos A＝________.
【答案】－
【解析】∵在△ABC中，tan A＝－，∴A为钝角，cos A＜0.由＝－，sin2A＋cos2A＝1，可得cos A＝－.
23、若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为________．
【答案】1－
【解析】由题意知：sin θ＋cos θ＝－，sin θcos θ＝，
又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，
∴＝1＋，解得：m＝1±，又Δ＝4m2－16m≥0，
∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.
24、若sin(π－α)＝－2sin，则sin αcos α的值等于________．
【答案】－
【解析】由sin(π－α)＝－2sin，可得sin α＝－2cos α，则tan α＝－2，所以sin α cos α＝＝－.
25、已知＝，则的值为( )
A. B．－
C. D．－
【答案】B
【解析】因为＝，所以＝，所以＝－.故选B.
26、已知tan(θ－π)＝2，求sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＋3的值．
【答案】
【解】由tan(θ－π)＝2得tan θ＝2，
所以sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＋3
＝＋3
＝＋3＝.
27、如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于C(2，1)时，的坐标为________．
【答案】(2－sin 2，1－cos 2)
【解析】如图所示，
过圆心C作x轴的垂线，垂足为A，过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B.因为圆心移动的距离为2，所以劣弧＝2，即圆心角∠PCA＝2，
则∠PCB＝2－，所以|PB|＝sin＝－cos 2，
|CB|＝cos＝sin 2，
所以xP＝2－|CB|＝2－sin 2，yP＝1＋|PB|＝1－cos 2，
所以＝(2－sin 2，1－cos 2)．
28、已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且cos＝，求f(α)的值．
【答案】(1) －cos α (2)
【解析】(1)f(α)＝
＝
＝－cos α.
(2)∵cos＝－sin α＝，
∴sin α＝－，又α是第三象限角，
∴cos α＝－＝－.
故f(α)＝.
