【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题56 排列与组合（含解析）

考点56  排列与组合

1．郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,其中小李和小王不在一起,不同的安排方案共有(　　)　　　

A.168种 B.156种

C.172种 D.180种

2．若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数，②所有数位上的数字和为偶数，则这样的三位数的个数是(　　)

A．540  B．480

C．360  D．200

3．将7个座位连成一排,安排4个人就座,恰有两个空位相邻的不同坐法有(　　)

A.240 B.480

C.720 D.960

4．身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相间的一个队形，则甲丁不相邻的不同的排法共有(　　)

A．12  B．14

C．16  D．18

5．某地环保部门召集6家企业的负责人座谈,其中甲企业有2人到会,其余5家企业各有1人到会,会上有3人发言,则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为(　　)

A.15 B.30 C.35 D.42

6．将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有(　　)

A．18种  B．24种

C．36种  D．72种

7．将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案共有(　　)

A.30种 B.90种 C.180种 D.270种

8．甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是(　　)

A.258 B.306 C.336 D.296

9．某中学高一学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现从中任选3人，要求这三人不能全是同一个班的学生，且在三班至多选1人，则不同选法的种数为(　　)

A．484  B．472

C．252  D．232

10．把7个字符a,a,a,b,b,α,β排成一排,要求三个“a”两两不相邻,且两个“b”也不相邻,则这样的排法共有(　　)

A.144种 B.96种

C.30种 D.12种

11．将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则不同放法共有 (　　)

A.480种 B.360种

C.240种 D.120种

12．某城市关系要好的A, B, C, D四个家庭各有两个小孩共8人,分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩,每车限坐4名 (乘同一辆车的4名小孩不考虑位置),其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有(　　)

A.18种 B.24种

C.36种 D.48种

13．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的放法共有(　　)

A.12种 B.18种 C.36种 D.54种

14．A,B,C,D,E,F六人围坐在一张圆桌周围开会,A是会议的中心发言人,必须坐最北面的椅子,B,C二人必须坐相邻的两把椅子,其余三人坐剩余的三把椅子,则不同的座次有(　　)

A.60种 B.48种 C.30种 D.24种

15．将除颜色外完全相同的一个白球、一个黄球、两个红球分给三名小朋友,且每名小朋友至少分得一个球的分法种数为(　　)

A.15 B.21 C.18 D.24

16．用四种不同的颜色为正六边形(如图)中的六块区域涂色,要求有公共边的区域涂不同颜色,一共有　　　种不同的涂色方法. 

17．从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务,每天安排一人,每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加,且当甲、乙两人都参加时,他们参加社区服务的日期不相邻,那么不同的安排种数为　　　　　　　　　　　.(用数字作答) 

18．从2名语文老师、2名数学老师、4名英语老师中选派5人组成一个支教小组,则语文老师、数学老师、英语老师都至少有1名的选派方法种数为　　　　　.(用数字作答) 

19．设x1,x2,x3,x4∈{-1,0,2},那么满足2≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|≤4的所有有序数组(x1,x2,x3,x4)的组数为　　　. 

20．用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)

21．设a，b，c∈{1,2,3,4,5,6}，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三角形有________个．

考点56  排列与组合

1．郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,其中小李和小王不在一起,不同的安排方案共有(　　)　　　

A.168种 B.156种

C.172种 D.180种

【答案】B　

【解析】分类:(1)小李和小王分别去甲、乙2个展区,共有=12种情况,(2)小王,小李一人去甲或乙,共=96种情况,(3)小王,小李均没有去甲或乙,共=48种情况,总共N=12+96+48=156种情况,故选B.

2．若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数，②所有数位上的数字和为偶数，则这样的三位数的个数是(　　)

A．540  B．480

C．360  D．200

【答案】D

【解析】由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字1奇1偶，有CCA＝50(种)排法；所有数位上的数字和为偶数，则百位数字是奇数，有C＝4(种)满足题意的选法，故满足题意的三位数共有50×4＝200(个)．

3．将7个座位连成一排,安排4个人就座,恰有两个空位相邻的不同坐法有(　　)

A.240 B.480

C.720 D.960

【答案】B　

【解析】(1,2)或(6,7)为空时,第三个空位有4种选择;(2,3)或(3,4)或(4,5)或(5,6)为空时,第三个空位有3种选择;因此空位共有2×4+4×3=20种情况相邻,所以不同坐法有20=480种,故选B.

4．身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相间的一个队形，则甲丁不相邻的不同的排法共有(　　)

A．12  B．14

C．16  D．18

【答案】B

【解析】从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人的身高可记为1,2,3,4,5.要求1,4不相邻．分四类：①先排4,5时，则1只有1种排法，2,3在剩余的两个位上，这样有AA＝4(种)排法；②先排3,5时，则4只有1种排法，2,1在剩余的两个位上，这样有AA＝4种排法；③先排1,2时，则4只有1种排法，3,5在剩余的两个位上，这样有AA＝4(种)排法；④先排1,3时，则这样的数只有两个，即21534,43512，只有两种排法．综上共有4＋4＋4＋2＝14(种)排法，故选B.

5．某地环保部门召集6家企业的负责人座谈,其中甲企业有2人到会,其余5家企业各有1人到会,会上有3人发言,则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为(　　)

A.15 B.30 C.35 D.42

【答案】B　

【解析】由间接法得可能情况数为-·=35-5=30.

6．将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有(　　)

A．18种  B．24种

C．36种  D．72种

【答案】C

【解析】不同的分配方案可分为以下两种情况：①甲、乙两人在一个路口，其余三人分配在另外的两个路口，其不同的分配方案有CA＝18(种)；②甲、乙所在路口分配三人，另外两个路口各分配一个人，其不同的分配方案有CA＝18(种)．由分类加法计数原理可知不同的分配方案共有18＋18＝36(种)．

7．将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案共有(　　)

A.30种 B.90种 C.180种 D.270种

【答案】B　

【解析】由每班至少1名,最多2名,知分配名额为1,2,2,所以分配方案有··=90(种).

8．甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是(　　)

A.258 B.306 C.336 D.296

【答案】C　

【解析】若7级台阶上每一级至多站1人,有种不同的站法;

若1级台阶站2人,另一级站1人,共有种不同的站法.

所以共有不同的站法种数是+=336.故选C.

9．某中学高一学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现从中任选3人，要求这三人不能全是同一个班的学生，且在三班至多选1人，则不同选法的种数为(　　)

A．484  B．472

C．252  D．232

【答案】B

【解析】若三班有1人入选，则另两人从三班以外的12人中选取，共有CC＝264(种)选法．若三班没有人入选，则要从三班以外的12人中选3人，又这3人不能全来自同一个班，故有C－3C＝208(种)选法．故总共有264＋208＝472(种)不同的选法．

10．把7个字符a,a,a,b,b,α,β排成一排,要求三个“a”两两不相邻,且两个“b”也不相邻,则这样的排法共有(　　)

A.144种 B.96种

C.30种 D.12种

【答案】B　

【解析】先排列b,b,α,β,若α,β不相邻,有种排法,若α,β相邻,有种,共有6+6=12种排法,从所形成的5个空档中选3个插入a,a,a,共有12×=120种排法,若b,b相邻时,从所形成的4个空档中选3个插入a,a,a,共有6×=24种排法,所以三个“a”两两不相邻,且两个“b”也不相邻,这样的排法共有120-24=96种,故选B.

11．将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则不同放法共有 (　　)

A.480种 B.360种

C.240种 D.120种

【答案】C　

【解析】第一步:先从4个盒子中选一个盒子准备装两个球,有4种选法;第二步:从5个球里选出两个球放在刚才的盒子里,有种选法;第三步:把剩下的3个球全排列,有种排法,由分步乘法计数原理得不同方法共有4=240种,故选C.

12．某城市关系要好的A, B, C, D四个家庭各有两个小孩共8人,分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩,每车限坐4名 (乘同一辆车的4名小孩不考虑位置),其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有(　　)

A.18种 B.24种

C.36种 D.48种

【答案】B　

【解析】若A户家庭的孪生姐妹乘坐甲车,即剩下的两个小孩来自其他的2个家庭,有·22=12种不同的方法,若A户家庭的孪生姐妹乘坐乙车,那来自同一家庭的2名小孩来自剩下的3个家庭中的一个,有·22=12种不同的方法.所以共有12+12=24种方法.故选B.

13．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的放法共有(　　)

A.12种 B.18种 C.36种 D.54种

【答案】B　

【解析】先放标号1,2的卡片,有种放法,再将标号3,4,5,6的卡片平均分成两组再放置,有·种放法,故共有·=18种不同的放法.

14．A,B,C,D,E,F六人围坐在一张圆桌周围开会,A是会议的中心发言人,必须坐最北面的椅子,B,C二人必须坐相邻的两把椅子,其余三人坐剩余的三把椅子,则不同的座次有(　　)

A.60种 B.48种 C.30种 D.24种

【答案】B　

【解析】由题意知,不同的座次有=48(种),故选B.

15．将除颜色外完全相同的一个白球、一个黄球、两个红球分给三名小朋友,且每名小朋友至少分得一个球的分法种数为(　　)

A.15 B.21 C.18 D.24

【答案】B　

【解析】分四类,第一类:两个红球分给其中一个人,有种分法;第二类:白球和黄球分给一个人,有种分法;第三类:白球和一个红球分给一个人,有种分法;第四类:黄球和一个红球分给一个人,有种方法,总共有++2=21种分法,故选B.

16．用四种不同的颜色为正六边形(如图)中的六块区域涂色,要求有公共边的区域涂不同颜色,一共有　　　种不同的涂色方法. 

【答案】732　

【解析】如图,记六个区域的涂色数为a6,若A,F涂色相同,则相当于5个区域涂色,记5个区域涂色数为a5,同理只有4个区域时涂色数记为a4,易知a4=++=84, a6=4×35-a5=4×35-=4×35-4×34+84=732.

17．从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务,每天安排一人,每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加,且当甲、乙两人都参加时,他们参加社区服务的日期不相邻,那么不同的安排种数为　　　　　　　　　　　.(用数字作答) 

【答案】5 040　

【解析】分两类,一类是甲、乙都参加,另一类是从甲、乙中选一人,方法数为N=+=1 440+3 600=5 040.填5 040.

18．从2名语文老师、2名数学老师、4名英语老师中选派5人组成一个支教小组,则语文老师、数学老师、英语老师都至少有1名的选派方法种数为　　　　　.(用数字作答) 

【答案】44　

【解析】由题意可知分四类,

第一类,2名语文老师,2名数学老师,1名英语老师,有=4种选派方法;

第二类,1名语文老师,2名数学老师,2名英语老师,有=12种选派方法;

第三类,2名语文老师,1名数学老师,2名英语老师,有=12种选派方法;

第四类,1名语文老师,1名数学老师,3名英语老师,有=16种选派方法;

则一共有4+12+12+16=44种选派方法.

19．设x1,x2,x3,x4∈{-1,0,2},那么满足2≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|≤4的所有有序数组(x1,x2,x3,x4)的组数为　　　. 

【答案】45　

【解析】分类讨论:

① |x1|+|x2|+|x3|+|x4|=2,则这四个数为2,0,0,0或-1,-1,0,0,

有+=4+6=10(组);

② |x1|+|x2|+|x3|+|x4|=3,则这四个数为2,-1,0,0或-1,-1,-1,0,

有+=12+4=16(组);

③ |x1|+|x2|+|x3|+|x4|=4,则这四个数为2,2,0,0或-1,-1,2,0或-1,-1,-1,-1,

有++=6+6×2+1=19(组);

综上可得,所有有序数组(x1,x2,x3,x4)的组数为10+16+19=45.

20．用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)

【答案】1 080

【解析】分两种情况：第一种：四位数都不是偶数的个数为：A＝120(个)，第二种：四位数中有一位为偶数的个数为CCA＝960(个)，则共有1 080个．

21．设a，b，c∈{1,2,3,4,5,6}，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三角形有________个．

【答案】27

【解析】由题意知以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，

(1)先考虑等边三角形情况

则a＝b＝c＝1,2,3,4,5,6，此时有6个．

(2)再考虑等腰三角形情况，若a，b是腰，则a＝b，

当a＝b＝1时，c＜a＋b＝2，则c＝1，与等边三角形情况重复；

当a＝b＝2时，c＜4，则c＝1,3(c＝2的情况等边三角形已经讨论了)，此时有2个；

当a＝b＝3时，c＜6，则c＝1,2,4,5，此时有4个；

当a＝b＝4时，c＜8，则c＝1,2,3,5,6，此时有5个；

当a＝b＝5时，c＜10，有c＝1,2,3,4,6，此时有5个；

当a＝b＝6时，c＜12，有c＝1,2,3,4,5，此时有5个；

由分类加法计数原理知有2＋4＋5＋5＋5＋6＝27(个)．