【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题18 三角函数的图像与性质（含解析）

考点18 三角函数的图像与性质
1、下列函数中，存在最小正周期的是(　　)
A．y＝sin|x|　 B．y＝cos|x|　
C．y＝tan|x| D．y＝(x2＋1)0
2、下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上为减函数的是(　　)
A．y＝sin 2x　　　　　　　 B．y＝2|cos x|
C．y＝cos D．y＝tan(－x)
3、已知函数y＝2cos x的定义域为，值域为[a，b]，则b－a的值是(　　)
A．2　　 B．3
C．＋2 D．2－
4、函数y＝－2cos2＋1是(　　)
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的非奇非偶函数
5、函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
6、若函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点对称，则|φ|的最小值为(　　)
A. B．
C. D．
7、若函数f(x)＝sin(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点(x0,0)成中心对称，x0∈，则x0＝(　　)
A.　　　 B．
C． D．
8、已知函数f(x)＝sin x＋cos x，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a C．b 9、已知函数f(x)＝sin(2x－)(x∈R)，下列结论错误的是(　　)
A．函数f(x)是偶函数　　 　
B．函数f(x)的最小正周期为π
C．函数f(x)在区间上是增函数
D．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
10、函数y＝sin x2的图象是(　　)

11、已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)是偶函数，则θ的值为(　　)
A．0 B．
C． D．
12、设ω>0，m>0，若函数f(x)＝msin cos 在区间上单调递增，则ω的取值范围是(　　)
A. B．
C. D．[1，＋∞)
13、将函数y＝sin的图象向左平移个单位长度后所得函数图象的一条对称轴方程是(　　)
A．x＝　　 B．x＝
C．x＝ D．x＝－
14、已知函数f(x)＝cos－cos 2x，其中x∈R，给出下列四个结论：①函数f(x)是最小正周期为π的奇函数；②函数f(x)图象的一条对称轴是直线x＝；③函数f(x)图象的一个对称中心为；④函数f(x)的递增区间为，k∈Z.则正确结论的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
15、已知函数f(x)＝sin(ω>0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为(　　)
A. B．2
C. D．
16、已知函数f(x)＝sin，其中x∈.若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是(　　)
A.　　 B．
C． D．
17、已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1，f(α)＝－1，f(β)＝1，若|α－β|的最小值为，且f(x)的图象关于点对称，则函数f(x)的单调递增区间是(　　)
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
18、设函数f(x)＝cos(ω>0)．若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．
19、已知ω＞0，在函数y＝2sin ωx与y＝2cos ωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω＝________．
20、已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期是π，则函数f(x)的图象的对称轴方程为________．
21、已知函数f(x)＝sin2 x－cos2 x－2sin xcos x(x∈R)．
(1)求f的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
22、已知函数f(x)＝4tan x·sin·cos(x－)－.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
23、已知函数f(x)＝2sin2x＋bsin x·cos x满足f＝2.
(1)求实数b的值以及函数f(x)的最小正周期；
(2)记g(x)＝f(x＋t)，若函数g(x)是偶函数，求实数t的值．
24、设函数f(x)＝sin＋sin(ωx－)，其中0<ω<3，已知f＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．
25、已知a>0，函数f(x)＝－2a·sin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.
(1)求常数a，b的值；
(2)设g(x)＝f且lg g(x)>0，求g(x)的单调区间．






考点18 三角函数的图像与性质
1、下列函数中，存在最小正周期的是(　　)
A．y＝sin|x|　 B．y＝cos|x|　
C．y＝tan|x| D．y＝(x2＋1)0
【答案】B
【解析】A：y＝sin|x|＝不是周期函数；B：y＝cos|x|＝cos x，最小正周期T＝2π；C：y＝tan|x|＝不是周期函数；D：y＝(x2＋1)0＝1，无最小正周期．故选B.
2、下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上为减函数的是(　　)
A．y＝sin 2x　　　　　　　 B．y＝2|cos x|
C．y＝cos D．y＝tan(－x)
【答案】D
【解析】 A选项，函数在上单调递减，在上单调递增，故排除A；B选项，函数在上单调递增，故排除B；C选项，函数的周期是4π，故排除C.故选D.
3、已知函数y＝2cos x的定义域为，值域为[a，b]，则b－a的值是(　　)
A．2　　 B．3
C．＋2 D．2－
【答案】B
【解析】因为函数y＝2cos x的定义域为，所以函数y＝2cos x的值域为[－2,1]，所以b－a＝1－(－2)＝3.故选B.
4、函数y＝－2cos2＋1是(　　)
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的非奇非偶函数
【答案】A
【解析】.因为y＝－2cos2＋1
＝－＋1＝sin 2x.y＝sin 2x是最小正周期为π的奇函数．故选A.
5、函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
【答案】B
【解析】由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)得，－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数f(x)＝tan的单调递增区间为(k∈Z)．
6、若函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点对称，则|φ|的最小值为(　　)
A. B．
C. D．
【答案】A
【解析】由题意得3cos＝3cos(＋φ＋2π)＝3cos＝0，
∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z.
取k＝0，得|φ|的最小值为.
7、若函数f(x)＝sin(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点(x0,0)成中心对称，x0∈，则x0＝(　　)
A.　　　 B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意得＝，∴T＝π，ω＝2.又2x0＋＝kπ(k∈Z)，∴x0＝－(k∈Z)，而x0∈，∴x0＝.
8、已知函数f(x)＝sin x＋cos x，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a C．b 【答案】B
【解析】 f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，因为函数f(x)在上单调递增，所以f 9、已知函数f(x)＝sin(2x－)(x∈R)，下列结论错误的是(　　)
A．函数f(x)是偶函数　　 　
B．函数f(x)的最小正周期为π
C．函数f(x)在区间上是增函数
D．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
【答案】D
【解析】f(x)＝sin(2x－)＝－cos 2x，此函数为最小正周期为π的偶函数，所以A，B正确；函数图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)，显然，无论k取任何整数，x≠，所以D错误．故选D.
10、函数y＝sin x2的图象是(　　)

【答案】D
【解析】.因为y＝sin x2为偶函数，所以函数的图象关于y轴对称，排除A，C选项；当x2＝，即x＝± 时，ymax＝1，排除B选项．
11、已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)是偶函数，则θ的值为(　　)
A．0 B．
C． D．
【答案】B
【解析】据已知可得f(x)＝2sin，若函数为偶函数，则必有θ＋＝kπ＋(k∈Z)，又由于θ∈，故有θ＋＝，解得θ＝，经代入检验符合题意．故选B.
12、设ω>0，m>0，若函数f(x)＝msin cos 在区间上单调递增，则ω的取值范围是(　　)
A. B．
C. D．[1，＋∞)
【答案】B
【解析】.f(x)＝msin cos ＝msin ωx，若函数在区间上单调递增，则＝≥＋＝，即ω∈.
13、将函数y＝sin的图象向左平移个单位长度后所得函数图象的一条对称轴方程是(　　)
A．x＝　　 B．x＝
C．x＝ D．x＝－
【答案】A
【解析】由题意知平移后的函数解析式为y＝sin＝sin.
令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，则x＝＋(k∈Z)．结合选项知，选A.
14、已知函数f(x)＝cos－cos 2x，其中x∈R，给出下列四个结论：①函数f(x)是最小正周期为π的奇函数；②函数f(x)图象的一条对称轴是直线x＝；③函数f(x)图象的一个对称中心为；④函数f(x)的递增区间为，k∈Z.则正确结论的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【解析】由已知得，f(x)＝cos－cos 2x＝cos 2xcos －sin 2xsin －cos 2x＝－sin，不是奇函数，故①错误；当x＝时f＝－sin＝1，故②正确；当x＝时f＝－sin π＝0，故③正确；令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，故④正确．综上，正确的结论个数为3.
15、已知函数f(x)＝sin(ω>0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为(　　)
A. B．2
C. D．
【答案】D
【解析】因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，所以f(ω)必为一个周期上的最大值，
所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，
所以ω2＝＋2kπ，k∈Z.又ω－(－ω)≤·，
即ω2≤，即ω2＝，所以ω＝.
16、已知函数f(x)＝sin，其中x∈.若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是(　　)
A.　　 B．
C． D．
【答案】D
【解析】若－≤x≤a，则－≤x＋≤a＋，∵当x＋＝－或x＋＝时，sin＝－，∴要使f(x)的值域是，则有≤a＋≤，≤a≤π，即a的取值范围是.
17、已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1，f(α)＝－1，f(β)＝1，若|α－β|的最小值为，且f(x)的图象关于点对称，则函数f(x)的单调递增区间是(　　)
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
【答案】B
【解析】由题意可知f(x)的最小正周期T＝4|α－β|min＝4×＝3π，则＝3π，ω＝，
因为f(x)的图象关于点对称，所以
2sin＋1＝1，即sin＝0.
因为|φ|<，所以φ＝－，
则f(x)＝2sin ＋1.
令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得3kπ－≤x≤3kπ＋π，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间是[－＋3kπ，π＋3kπ]，k∈Z，选B.
18、设函数f(x)＝cos(ω>0)．若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．
【答案】
【解析】∵f(x)≤f对任意x∈R恒成立，∴f为f(x)的最大值，∴f＝cos＝1，∴ω－＝2kπ，解得ω＝8k＋，k∈Z，又∵ω>0，∴当k＝0时，ω的最小值为.
19、已知ω＞0，在函数y＝2sin ωx与y＝2cos ωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω＝________．
【答案】
【解析】由题意，两函数图象交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离，设相邻的两交点坐标分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，易知|PQ|2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2，其中|y2－y1|＝－(－)＝2，|x2－x1|为函数y＝2sin ωx－2cos ωx＝2sin的两个相邻零点之间的距离，恰好为函数最小正周期的一半，所以(2)2＝＋(2)2，ω＝.
20、已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期是π，则函数f(x)的图象的对称轴方程为________．
【答案】x＝＋(k∈Z)
【解析】由T＝π＝⇒ω＝2，∴f(x)＝sin，则对称轴为2x＋＝kπ＋⇒x＝＋(k∈Z)，所以对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
21、已知函数f(x)＝sin2 x－cos2 x－2sin xcos x(x∈R)．
(1)求f的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
【答案】(1) 2 (2) (k∈Z)
【解析】(1)由sin ＝，cos ＝－，得
f＝－－2××，
所以f＝2.
(2)由cos 2x＝cos2 x－sin2 x与sin 2x＝2sin xcos x得
f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin.
所以f(x)的最小正周期是π.
由正弦函数的性质得
＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间是
(k∈Z)．
22、已知函数f(x)＝4tan x·sin·cos(x－)－.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
【答案】(1) π (2) 当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减
【解析】(1)f(x)的定义域为.
f(x)＝4tan xcos xcos－
＝4sin xcos－
＝4sin x－
＝2sin xcos x＋2sin2 x－
＝sin 2x＋(1－cos 2x)－
＝sin 2x－cos 2x
＝2sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)令z＝2x－，函数y＝2sin z的单调递增区间是，k∈Z.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
设A＝，
B＝，易知A∩B＝.
所以，当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
23、已知函数f(x)＝2sin2x＋bsin x·cos x满足f＝2.
(1)求实数b的值以及函数f(x)的最小正周期；
(2)记g(x)＝f(x＋t)，若函数g(x)是偶函数，求实数t的值．
【答案】(1) π (2) ＋，k∈Z
【解析】(1)由f ＝2，得2×＋b××＝2，解得b＝2　.
则f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x＝1－cos 2x＋sin 2x＝1＋2sin，
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由(1)得f(x＋t)＝2sin[2(x＋t)－]＋1，
所以g(x)＝2sin＋1.
又函数g(x)是偶函数，则对于任意的实数x，均有g(－x)＝g(x)成立．
所以sin＝sin，
整理得cos(2t－)sin 2x＝0.
则cos＝0，得2t－＝kπ＋，k∈Z，所以t＝＋，k∈Z.
24、设函数f(x)＝sin＋sin(ωx－)，其中0<ω<3，已知f＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．
【答案】(1) 2 (2) －
【解析】(1)因为f(x)＝sin＋sin，所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx
＝sin ωx－cos ωx
＝
＝sin.
由题设知f＝0，
所以－＝kπ，k∈Z.
故ω＝6k＋2，k∈Z，又0<ω<3，
所以ω＝2.
(2)由(1)得f(x)＝sin，
所以g(x)＝sin＝sin
因为x∈，
所以x－∈.
当x－＝－，
即x＝－时，g(x)取得最小值－.
25、已知a>0，函数f(x)＝－2a·sin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.
(1)求常数a，b的值；
(2)设g(x)＝f且lg g(x)>0，求g(x)的单调区间．
【答案】(1) a＝2，b＝－5 (2) ，k∈Z
【解析】(1)∵x∈，
∴2x＋∈.
∴sin∈，
∴－2asin∈[－2a，a]．
∴f(x)∈[b，3a＋b]，
又∵－5≤f(x)≤1，
∴b＝－5，3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.
(2)由(1)得，f(x)＝－4sin－1，
g(x)＝f
＝－4sin－1
＝4sin－1，又由lg g(x)>0，得g(x)>1，
∴4sin－1>1，
∴sin>，
∴2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，
其中当2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，
g(x)单调递增，即kπ ∴g(x)的单调增区间为，k∈Z.
又∵当2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z时，
g(x)单调递减，即kπ＋ ∴g(x)的单调减区间为，k∈Z.