【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题03 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词（含解析）

考点03 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1．“∀x∈R，x2－πx≥0”的否定是(　　)
A．∀x∈R，x2－πx＜0　　 B．∀x∈R，x2－πx≤0
C．∃x0∈R，x－πx0≤0 D．∃x0∈R，x－πx0＜0
2．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是(　　)
A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数
B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数
C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数
D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数
3．下列命题错误的是（ ）
A． 命题“ ，”的否定是“，”;
B． 若是假命题，则，都是假命题
C． 双曲线的焦距为
D． 设，是互不垂直的两条异面直线，则存在平面，使得，且
4．在射击训练中，某战士射击了两次，设命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是(　　)
A．(¬p)∨(¬q)为真命题
B．p∨(¬q)为真命题
C．(¬p)∧(¬q)为真命题
D．p∨q为真命题
5．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是
A． (1，+∞) B． (－∞，3) C． (1，3) D．
6．已知a，b都是实数，那么“2a＞2b”是“a2＞b2”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知命题，使；命题，都有，下列结论中正确的是
A． 命题“p∧q”是真命题 B． 命题“p∧q”是真命题
C． 命题“p∧q”是真命题 D． 命题“p∨q”是假命题
8．已知命题p：存在x0∈R，x0－2＞lg x0；命题q：任意x∈R，x2＋x＋1＞0.给出下列结论：
①命题“p且q”是真命题；②命题“p且¬q”是假命题；
③命题“¬p或q”是真命题；④命题“p或¬q”是假命题．
其中所有正确结论的序号为(　　)
A．②③ B．①④
C．①③④ D．①②③
9．函数f(x)＝有且只有一个零点的充分不必要条件是(　　)
A．a＜0 B．0＜a＜
C.＜a＜1 D．a≤0或a＞1
10．下列命题正确的是（ ）
A． 命题的否定是：
B． 命题中，若，则的否命题是真命题
C． 如果为真命题，为假命题，则为真命题，为假命题
D． 是函数的最小正周期为的充分不必要条件
11．设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
12．(2018·温州模拟)下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是(　　)
A．a＞b＋1 B．a＞b－1
C．a2＞b2 D．a3＞b3
13．已知命题p：对任意x∈(0，＋∞)，log4x＜log8x；命题q：存在x∈R，使得tan x＝1－3x，则下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧q B．(¬p)∧(¬q)
C．p∧(¬q) D．(¬p)∧q
14．有关下列说法正确的是(　　)
A．“f(0)＝0”是“函数f(x)是奇函数”的必要不充分条件
B．若p：∃x0∈R，x－x0－1＞0，则¬p：∀x∈R，x2－x－1＜0
C．命题“若x2－1＝0，则x＝1或x＝－1”的否命题是“若x2－1≠0，则x≠1或x≠－1”
D．命题p和命题q有且仅有一个为真命题的充要条件是(¬p∧q)∨(¬q∧p)为真命题
15． 若“∀x∈，m≤tan x＋2”为真命题，则实数m的最大值为________．
16．已知命题p：∃x0∈R，使tan x0＝1，命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}．现有以下结论：
①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧¬q”是假命题；
③命题“¬p∨q”是真命题；④命题“¬p∨¬q”是假命题．
其中正确结论的序号为________．
17．已知函数f(x)＝a2x－2a＋1.若命题“∀x∈(0，1)，f(x)≠0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
18．设p：实数a满足不等式3a≤9，q：函数f(x)＝x3＋x2＋9x无极值点．
已知“p∧q”为真命题，并记为r，且t：a2－a＋m＞0，若r是¬t的必要不充分条件，则正整数m的值为________．

考点03 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1．“∀x∈R，x2－πx≥0”的否定是(　　)
A．∀x∈R，x2－πx＜0　　 B．∀x∈R，x2－πx≤0
C．∃x0∈R，x－πx0≤0 D．∃x0∈R，x－πx0＜0
【答案】D
【解析】全称命题的否定是特称命题，所以“∀x∈R，x2－πx≥0”的否定是“∃x0∈R，x－πx0＜0”．故选D.
2．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是(　　)
A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数
B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数
C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数
D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数
【答案】C
【解析】.将原命题的条件和结论互换的同时进行否定即得逆否命题，因此“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，所以选C.
3．下列命题错误的是（ ）
A． 命题“ ，”的否定是“，”;
B． 若是假命题，则，都是假命题
C． 双曲线的焦距为
D． 设，是互不垂直的两条异面直线，则存在平面，使得，且
【答案】B
【解析】对于选项A，由于特称命题的否定是特称命题，所以命题“ ，”的否定是“，”，是正确的.
对于选项B, 若是假命题，则，至少有一个是假命题，所以命题是假命题.
对于选项C, 双曲线的焦距为2c=2 ,所以是真命题.
对于选项D, 设，是互不垂直的两条异面直线，则存在平面，使得，且,是真命题.
故答案为：B.
4．在射击训练中，某战士射击了两次，设命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是(　　)
A．(¬p)∨(¬q)为真命题
B．p∨(¬q)为真命题
C．(¬p)∧(¬q)为真命题
D．p∨q为真命题
【答案】A
【解析】.命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，则命题¬p是“第一次射击没击中目标”，命题¬q是“第二次射击没击中目标”，故命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是(¬p)∨(¬q)为真命题，故选A.
5．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是
A． (1，+∞) B． (－∞，3) C． (1，3) D．
【答案】C
【解析】由“”是真命题可知命题p,q均为真命题，
若命题p为真命题，则：，解得：，
若命题q为真命题，则：，即，
综上可得，实数a的取值范围是，表示为区间形式即.
本题选择C选项.
6．已知a，b都是实数，那么“2a＞2b”是“a2＞b2”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】.充分性：若2a＞2b，则2a－b＞1，∴a－b＞0，即a＞b.当a＝－1，b＝－2时，满足2a＞2b，但a2＜b2，故由2a＞2b不能得出a2＞b2，因此充分性不成立．必要性：若a2＞b2，则|a|＞|b|.当a＝－2，b＝1时，满足a2＞b2，但2－2＜21，即2a＜2b，故必要性不成立．综上，“2a＞2b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件．故选D.
7．已知命题，使；命题，都有，下列结论中正确的是
A． 命题“p∧q”是真命题 B． 命题“p∧q”是真命题
C． 命题“p∧q”是真命题 D． 命题“p∨q”是假命题
【答案】A
【解析】由判断 ，所以为假命题；
命题，所以为真命题，
所以命题“p∧q”是真命题，故选A．
8．已知命题p：存在x0∈R，x0－2＞lg x0；命题q：任意x∈R，x2＋x＋1＞0.给出下列结论：
①命题“p且q”是真命题；②命题“p且¬q”是假命题；
③命题“¬p或q”是真命题；④命题“p或¬q”是假命题．
其中所有正确结论的序号为(　　)
A．②③ B．①④
C．①③④ D．①②③
【答案】D
【解析】对于命题p，取x0＝10，则有10－2＞lg 10，即8＞1，故命题p为真命题；对于命题q，方程x2＋x＋1＝0，Δ＝1－4×1＜0，故方程无解，即任意x∈R，x2＋x＋1＞0，所以命题q为真命题．综上“p且q”是真命题，“p且¬q”是假命题，“¬p或q”是真命题，“p或¬q”是真命题，即正确的结论为①②③.故选D.
9．函数f(x)＝有且只有一个零点的充分不必要条件是(　　)
A．a＜0 B．0＜a＜
C.＜a＜1 D．a≤0或a＞1
【答案】A
【解析】.因为函数f(x)过点(1，0)，所以函数f(x)有且只有一个零点⇔函数y＝－2x＋a(x≤0)没有零点⇔函数y＝2x(x≤0)与直线y＝a无公共点．由数形结合可得a≤0或a＞1.观察选项，根据集合间的关系{a|a＜0}{a|a≤0或a＞1}，故选A.
10．下列命题正确的是（ ）
A． 命题的否定是：
B． 命题中，若，则的否命题是真命题
C． 如果为真命题，为假命题，则为真命题，为假命题
D． 是函数的最小正周期为的充分不必要条件
【答案】D
【解析】在A中，命题的否定是：，故A错误；
在B中，命题中，若，则的否命题是假命题，故B错误；
在C中，如果为真命题，为假命题，则与中一个是假命题，另一个是真命题，故C错误；
在D中，∴ω=1⇒函数f（x）=sinωx-cosωx的最小正周期为2π，
函数f（x）=sinωx-cosωx的最小正周期为2π⇒ω=±1．
∴是函数的最小正周期为的充分不必要条件，故D正确．
故选：D．
11．设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】.|a－3b|＝|3a＋b|⇔|a－3b|2＝|3a＋b|2⇔a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2⇔2a2＋3a·b－2b2＝0，又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝0⇔a⊥b，故选C.
12．(2018·温州模拟)下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是(　　)
A．a＞b＋1 B．a＞b－1
C．a2＞b2 D．a3＞b3
【答案】A
【解析】.由选项中的不等式可得a＞b，a＞b推不出选项中的不等式．选项A中，a＞b＋1＞b，反之a＞b推不出a＞b＋1；选项B中，a＞b＞b－1，反之a＞b－1推不出a＞b，为必要不充分条件；选项C为既不充分也不必要条件；选项D为充要条件，故选A.
13．已知命题p：对任意x∈(0，＋∞)，log4x＜log8x；命题q：存在x∈R，使得tan x＝1－3x，则下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧q B．(¬p)∧(¬q)
C．p∧(¬q) D．(¬p)∧q
【答案】D
【解析】.当x＝1时，log4x＝log8x，所以命题p是假命题；函数y＝tan x的图象与y＝1－3x的图象有无数个交点，所以存在x∈R，使得tan x＝1－3x，即命题q是真命题，故(¬p)∧q是真命题，选D.
14．有关下列说法正确的是(　　)
A．“f(0)＝0”是“函数f(x)是奇函数”的必要不充分条件
B．若p：∃x0∈R，x－x0－1＞0，则¬p：∀x∈R，x2－x－1＜0
C．命题“若x2－1＝0，则x＝1或x＝－1”的否命题是“若x2－1≠0，则x≠1或x≠－1”
D．命题p和命题q有且仅有一个为真命题的充要条件是(¬p∧q)∨(¬q∧p)为真命题
【答案】D
【解析】对于A，由f(0)＝0，不一定有f(x)是奇函数，如f(x)＝x2；反之，函数f(x)是奇函数，也不一定有f(0)＝0，如f(x)＝.
∴“f(0)＝0”是“函数f(x)是奇函数”的既不充分也不必要条件．故A错误；对于B，若p：∃x0∈R，x－x0－1＞0，则¬p：∀x∈R，x2－x－1≤0.故B错误；对于C，命题“若x2－1＝0，则x＝1或x＝－1”的否命题是“若x2－1≠0，则x≠1且x≠－1”．故C错误；对于D，若命题p和命题q有且仅有一个为真命题，不妨设p为真命题，q为假命题，则¬p∧q为假命题，¬q∧p为真命题，则(¬p∧q)∨(¬q∧p)为真命题；反之，若(¬p∧q)∨(¬q∧p)为真命题，则¬p∧q或¬q∧p至少有一个为真命题．若¬p∧q真，¬q∧p假，则p假q真；若¬p∧q假，¬q∧p真，则p真q假；不可能¬p∧q与¬q∧p都为真．故命题p和命题q有且仅有一个为真命题的充要条件是(¬p∧q)∨(¬q∧p)为真命题．故选D.
15．若“∀x∈，m≤tan x＋2”为真命题，则实数m的最大值为________．
【答案】1
【解析】由x∈可得－1≤tan x≤.∴1≤tan x＋2≤2＋，∵“∀x∈，m≤tan x＋2”为真命题，∴实数m的最大值为1.
16．已知命题p：∃x0∈R，使tan x0＝1，命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}．现有以下结论：
①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧¬q”是假命题；
③命题“¬p∨q”是真命题；④命题“¬p∨¬q”是假命题．
其中正确结论的序号为________．
【答案】①②③④
【解析】∵当x＝时，tan x＝1，
∴命题p为真命题，命题¬p为假命题．
由x2－3x＋2＜0，解得1＜x＜2，
∴命题q为真命题，命题¬q为假命题．
∴命题“p∧q”是真命题，命题“p∧¬q”是假命题，命题“¬p∨q”是真命题，命题“¬p∨¬q”是假命题．
17．已知函数f(x)＝a2x－2a＋1.若命题“∀x∈(0，1)，f(x)≠0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
【答案】∪(1，＋∞)
【解析】已知函数f(x)＝a2x－2a＋1，命题“∀x∈(0，1)，f(x)≠0”是假命题，
∴原命题的否定是“∃x0∈(0，1)，使f(x0)＝0”是真命题，显然a≠0.∴f(1)f(0)＜0，
即(a2－2a＋1)(－2a＋1)＜0，
即(a－1)2(2a－1)＞0，
解得a＞，且a≠1，
∴实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．
18．设p：实数a满足不等式3a≤9，q：函数f(x)＝x3＋x2＋9x无极值点．
已知“p∧q”为真命题，并记为r，且t：a2－a＋m＞0，若r是¬t的必要不充分条件，则正整数m的值为________．
【答案】1
【解析】若p为真，则3a≤9，得a≤2.
若q为真，则函数f(x)无极值点，∴f′(x)＝x2＋3(3－a)x＋9≥0恒成立，
得Δ＝9(3－a)2－4×9≤0，解得1≤a≤5.
∵“p∧q”为真命题，
∴p、q都为真命题，
∴⇒1≤a≤2.
∵a2－a＋m＞0，
∴(a－m)＞0，
∴a＜m或a＞m＋，
即t：a＜m或a＞m＋，
从而¬t：m≤a≤m＋，
∵r是¬t的必要不充分条件，
∴¬t⇒r，r¬t，
∴或
解得1≤m≤，
又∵m∈N*，∴m＝1.