【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题28 数列的概念与简单表示法（含解析）

考点28 数列的概念与简单表示法
1、数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21为(　　)
A．5　　 B．
C． D．
2、给定数列1,2+3+4,5+6+7+8+9,10+11+12+13+14+15+16,…,则这个数列的一个通项公式是(　　)
A.an=2n2+3n-1 B.an=n2+5n-5
C.an=2n3-3n2+3n-1 D.an=2n3-n2+n-2
3、在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则的值是(　　)
A.　　 B．　
C．　 D．　
4、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8, 13,….该数列的特点是:前两个数都是1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”,则(a1a3-)(a2a4-)(a3a5-)…(a2 015a2 017-)=(　　)
A.1 B.-1
C.2 017 D.-2 017
5、已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则满足≤2的正整数n的集合为(　　)
A．{1,2,3} B．{2,3,4}
C．{1,2,3,4} D．{1,2,3,4,5}
6、已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则a2 018的值为(　　)
A．－8　　 B．－3　　
C．－4 D．
7、已知数列{an}的前n项和为Sn,若3Sn=2an-3n,则a2 018= (　　)
A.22 018-1 B.32 018-6
C. 2 018- D. 2 018-
8、已知数列{an}与{bn}的通项公式分别为an＝－n2＋4n＋5，bn＝n2＋(2－a)n－2a.若对任意正整数n，an＜0或bn＜0，则a的取值范围为(　　)
A．(5，＋∞)　 B．(－∞，5)
C．(6，＋∞) D．(－∞，6)
9、在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项公式an＝(　　)
A．2n－1 B．2n－1＋1
C．2n－1 D．2(n－1)
10、若数列{an}满足(n－1)an＝(n＋1)an－1(n≥2)且a1＝2，则满足不等式an＜462的最大正整数n为(　　)
A．19　　 B．20　　
C．21 D．22
11、数列{an}满足a1=,an+1-1=an(an-1)(n∈N+),且Sn=+…+,则Sn的整数部分的所有可能值构成的集合是(　　)
A.{0,1,2} B.{0,1,2,3}
C.{1,2} D.{0,2}
12、在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和,已知数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,那么a18=　　　　　. 
13、已知数列{an}的通项公式an＝则a3a4＝________.
14、数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N+,则S5=　　　　　. 
15、已知数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝________.
16、在数列{an}中,a1=0,an+1=,则S2 019=　　　　　. 
17、已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-n,则an=　　　　　. 
18、已知数列{an}，{bn}，Sn为数列{an}的前n项和，且满足a2＝4b1，Sn＝2an－2，nbn＋1－(n＋1)bn＝n3＋n2(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{bn}的通项公式．
19、设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a∈R且a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.
(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；
(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．
20、已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4＝2S2＋4，数列{bn}中，bn＝.
(1)求公差d的值；
(2)若a1＝－，求数列{bn}中的最大项和最小项的值；
(3)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围．


考点28 数列的概念与简单表示法
1、数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21为(　　)
A．5　　 B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵an＋an＋1＝，a2＝2，
∴an＝∴S21＝11×＋10×2＝.
2、给定数列1,2+3+4,5+6+7+8+9,10+11+12+13+14+15+16,…,则这个数列的一个通项公式是(　　)
A.an=2n2+3n-1 B.an=n2+5n-5
C.an=2n3-3n2+3n-1 D.an=2n3-n2+n-2
【答案】C　
【解析】当n=1时,a1=1,代入四个选项,排除A、D;当n=2时,a2=9,代入B、C选项,B、C都正确;当n=3时,a3=35,代入B、C选项,B错误,C正确,所以选C.
3、在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则的值是(　　)
A.　　 B．　
C．　 D．　
【答案】C
【解析】由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，∴2a3＝2＋(－1)3，a3＝，∴a4＝＋(－1)4，a4＝3，∴3a5＝3＋(－1)5，∴a5＝，∴＝×＝.
4、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8, 13,….该数列的特点是:前两个数都是1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”,则(a1a3-)(a2a4-)(a3a5-)…(a2 015a2 017-)=(　　)
A.1 B.-1
C.2 017 D.-2 017
【答案】B　
【解析】∵a1a3-=1×2-12=1,a2a4-=1×3-22=-1,a3a5-=2×5-32=1,…,
a2 015a2 017-=1.
∴(a1a3-)(a2a4-)(a3a5-)·…·(a2 015a2 017-)=11 008×(-1)1 007=-1.
5、已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则满足≤2的正整数n的集合为(　　)
A．{1,2,3} B．{2,3,4}
C．{1,2,3,4} D．{1,2,3,4,5}
【答案】C
【解析】因为Sn＝2an－1，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，两式相减得an＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1.又a1＝2a1－1，所以a1＝1，故an＝2n－1.又≤2，即2n－1≤2n，所以有n∈{1,2,3,4}．
6、已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则a2 018的值为(　　)
A．－8　　 B．－3　　
C．－4 D．
【答案】B
【解析】由a1＝2，an＋1＝(n∈N*)得，a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，可见数列{an}的周期为4，所以a2 018＝a504×4＋2＝a2＝－3.
7、已知数列{an}的前n项和为Sn,若3Sn=2an-3n,则a2 018= (　　)
A.22 018-1 B.32 018-6
C. 2 018- D. 2 018-
【答案】A　
【解析】由题意可得3Sn=2an-3n,3Sn+1=2an+1-3 (n+1),
两式作差可得3an+1=2an+1-2an-3,
即an+1=-2an-3,则an+1+1=-2(an+1),
结合3S1=2a1-3=3a1可得a1=-3,a1+1=-2,
则数列{an+1}是首项为-2,公比为-2的等比数列,
据此有a2 018+1=(-2)×(-2)2 017=22 018,
∴a2 018=22 018-1.
故选A.
8、已知数列{an}与{bn}的通项公式分别为an＝－n2＋4n＋5，bn＝n2＋(2－a)n－2a.若对任意正整数n，an＜0或bn＜0，则a的取值范围为(　　)
A．(5，＋∞)　 B．(－∞，5)
C．(6，＋∞) D．(－∞，6)
【答案】A
【解析】由an＝－n2＋4n＋5＝－(n＋1)(n－5)可知，当n＞5时，an＜0.由bn＝n2＋(2－a)n－2a＝(n＋2)(n－a)＜0及已知易知－2＜n＜a，为使当0＜n≤5时，bn＜0，只需a＞5.故选A.
9、在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项公式an＝(　　)
A．2n－1 B．2n－1＋1
C．2n－1 D．2(n－1)
【答案】A
【解析】由an＋1＝2an＋1，可求a2＝3，a3＝7，a4＝15，…，验证可知an＝2n－1.
10、若数列{an}满足(n－1)an＝(n＋1)an－1(n≥2)且a1＝2，则满足不等式an＜462的最大正整数n为(　　)
A．19　　 B．20　　
C．21 D．22
【答案】B
【解析】由(n－1)an＝(n＋1)an－1得，＝，则an＝a1×××…×＝2×××…×＝n(n＋1)．又an＜462，即n(n＋1)＜462，所以n2＋n－462＜0，即(n－21)(n＋22)＜0，因为n＞0，所以n＜21.故所求的最大正整数n＝20.
11、数列{an}满足a1=,an+1-1=an(an-1)(n∈N+),且Sn=+…+,则Sn的整数部分的所有可能值构成的集合是(　　)
A.{0,1,2} B.{0,1,2,3}
C.{1,2} D.{0,2}
【答案】A　
【解析】对an+1-1=an(an-1)两边取倒数,得-=,
Sn=++…+=-+-+…+-=3-,
由an+1-an=≥0,an+1≥an,an为递增数列,
a1=,a2=,a3=,其中S1=,整数部分为0,S2=3-=,整数部分为0,S3=,整数部分为1,由于Sn<3,故选A.
12、在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和,已知数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,那么a18=　　　　　. 
【答案】3　
【解析】由题意得an+an+1=5⇒an+2+an+1=5⇒an=an+2,所以a18=a2=5-a1=3.
13、已知数列{an}的通项公式an＝则a3a4＝________.
【答案】 54
【解析】由题意知，a3＝2×3－5＝1，a4＝2×34－1＝54，∴a3a4＝54.
14、数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N+,则S5=　　　　　. 
【答案】121　
【解析】由于解得a1=1.由an+1=Sn+1-Sn=2Sn+1,得Sn+1=3Sn+1,
所以Sn+1+=3Sn+,
所以是以为首项,3为公比的等比数列,
所以Sn+=×3n-1,即Sn=,所以S5=121.
15、已知数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝________.
【答案】n－1
【解析】当n＝1时，a1＝S1＝a1＋，
∴a1＝1; 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，∴＝－.
∴数列{an}是首项a1＝1，公比q＝－的等比数列，故an＝n－1.
16、在数列{an}中,a1=0,an+1=,则S2 019=　　　　　. 
【答案】0　
【解析】∵a1=0,an+1=,
∴a2==,
a3===-,
a4==0,
即数列{an}的取值具有周期性,周期为3,且a1+a2+a3=0,则S2 019=S3×673=0.
17、已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-n,则an=　　　　　. 
【答案】2n-1　
【解析】当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1),
即an=2an-1+1,
∴an+1=2(an-1+1).
又a1=S1=2a1-1,∴a1=1.
∴数列{an+1}是以首项为a1+1=2,公比为2的等比数列,
∴an+1=2·2n-1=2n,
∴an=2n-1.
18、已知数列{an}，{bn}，Sn为数列{an}的前n项和，且满足a2＝4b1，Sn＝2an－2，nbn＋1－(n＋1)bn＝n3＋n2(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{bn}的通项公式．
【答案】(1) 2n (2) ，n∈N*

【解析】(1)当n＝1时，S1＝2a1－2，则a1＝2.
当n≥2时，由得an＝2an－2an－1，则an＝2an－1，n≥2.
综上，数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，故an＝2n，n∈N*.
(2)∵a2＝4b1＝4，∴b1＝1.
∵nbn＋1－(n＋1)bn＝n3＋n2，∴－＝n，
故－＝n－1，…，－＝2，－＝1，n≥2，
将上面各式累加得－＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＝，
∴bn＝，n∈N*.
19、设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a∈R且a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.
(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；
(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．
【答案】(1) (a－3)2n－1 (2) [－9,3)∪(3，＋∞)
【解析】(1)由题意知，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，
即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2Sn＋3n－3n＋1＝2(Sn－3n)，
又S1－31＝a－3(a≠3)，
故数列{Sn－3n}是首项为a－3，公比为2的等比数列，因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*.
(2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，
于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，
所以an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2＝2n－2，
当n≥2时，an＋1≥an⇔12·n－2＋a－3≥0⇔a≥－9.
又a2＝a1＋3＞a1.
综上，所求的a的取值范围是[－9,3)∪(3，＋∞)．
20、已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4＝2S2＋4，数列{bn}中，bn＝.
(1)求公差d的值；
(2)若a1＝－，求数列{bn}中的最大项和最小项的值；
(3)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围．
【答案】(1) 1 (2) 3 －1 (3) (－7，－6)
【解析】(1)∵S4＝2S2＋4，∴4a1＋d＝2(2a1＋d)＋4，解得d＝1.
(2)∵a1＝－，∴数列{an}的通项公式为an＝－＋(n－1)＝n－，
∴bn＝1＋＝1＋.
∵函数f(x)＝1＋在和上分别是单调减函数，
∴b3＜b2＜b1＜1，当n≥4时，1＜bn≤b4，
∴数列{bn}中的最大项是b4＝3，最小项是b3＝－1.
(3)由bn＝1＋，得bn＝1＋.
又函数f(x)＝1＋在(－∞，1－a1)和(1－a1，＋∞)上分别是单调减函数，且x＜1－a1时，y＜1；
当x＞1－a1时，y＞1.
∵对任意的n∈N*，都有bn≤b8，
∴7＜1－a1＜8，∴－7＜a1＜－6，
∴a1的取值范围是(－7，－6)．