中考数学 专项训练 考点56 三角形中的辅助线问题

专题56 三角形中的辅助线问题
1、在△ABC中，AB＝AC，CD是AB边上的高，若AB＝10，BC＝．
（1）求CD的长．
（2）动点P在边AB上从点A出发向点B运动，速度为1个单位/秒；动点Q在边AC上，从点A出发向点C运动，速度为v个单位/秒（v＞1）．设运动的时间为t（t＞0），当点Q到点C时，两个点都停止运动．
①若当v＝2时，CP＝BQ，求t的值．
②若在运动过程中存在某一时刻，使CP＝BQ成立，求v关于t的函数表达式，并写出自变量t取值范围．

【解析】（1）如图，作AE⊥BC于点E，

∵AB＝AC，∴BE＝BC＝2
在Rt△ABE中，AE＝＝＝4
∵S△ABC＝BC•AE＝AB•CD，∴CD＝＝＝8
（2）过点B作BF⊥AC于点F，当点Q在AF之间时，如图所示：

∵S△ABC＝AC•BF＝AB•CD，AB＝AC，∴BF＝CD
在Rt△CDP和Rt△BQF中，
∵CP＝BQ，CD＝BF
∴Rt△CDP≌Rt△BQF（HL）
∴PD＝QF
在Rt△ACD中，CD＝8，AC＝AB＝10，∴AD＝＝6
同理可得AF＝6
∴PD＝AD＝AP＝6﹣t，QF＝AF﹣AQ＝6﹣2t
由PD＝QF得6﹣t＝6﹣2t，解得t＝0，∵t＞0，此种情况不符合题意，舍去；
当点Q在FC之间时，如图所示：

此时PD＝6﹣t，QF＝2t﹣6，由PD＝QF，得6﹣t＝2t﹣6，解得t＝4
综上得t的值为4．
②同①可知：
v＞1时，Q在AF之间不存在CP＝BQ，
Q在FC之间存在CP＝BQ，
Q在F点时，显然CP不等于BQ．
∵运动时间为t，则AP＝t，AQ＝vt，
∴PD＝6﹣t，QF＝vt﹣6，
由DP＝QF，得6﹣t＝vt﹣6，整理得v＝
∵Q在FC之间，即AF＜AQ≤AC
∴6＜vt≤10，代入v＝得6＜12﹣t≤10，解得2≤t＜6
所以v＝（2≤t＜6）．

2、已知：如图1，△ABC中，AB＝AC，BC＝6，BE为中线，点D为BC边上一点，BD＝2CD，DF⊥BE于点F，EH⊥BC于点H．
（1）CH的长为　 　；
（2）求BF•BE的值；
（3）如图2，连接FC，求证：∠EFC＝∠ABC．

【解析】（1）如图1，作AG⊥BC于点G，

∵AB＝AC，BC＝6，∴CG＝3，
∵AE＝EC，EH⊥BC，
∴EH∥AG，
∴CH＝CG＝；
故答案为：．
（2）∵BD＝2CD，
∴CD＝BC＝＝2，
∴BD＝4，
∴DH＝CD﹣CH＝2﹣1.5＝0.5，
∴BH＝4+0.5＝4.5，
∵DF⊥BE，EH⊥BC，
∴∠DFB＝∠EHB，
∵∠DBF＝∠EBH，
∴△DFB∽△EHB，
∴，
∴BF•BE＝BH•BD＝＝18．
（3）如图2，过点A作AM∥BC交BE延长线于点M，

∴∠M＝∠EBC，∠AEM＝∠CEB，
又∵AE＝EC，
∴△AEM≌△CEB（AAS），
∴AM＝BC＝6，BM＝2BE，
∴BF•BM＝BF•2BE＝2×18＝36，
∵AM•BC＝6×6＝36，
∴BF•BM＝AM•BC，
∴，
∵∠FBC＝∠M，
∴△FBC∽△AMB，
∴∠ABM＝∠BCF，
∵∠EFC＝∠FBC+∠BCF，
∴∠EFC＝∠FBC+∠ABM，
∴∠EFC＝∠ABC．
3、如图，在△ABC中，AB＝4，∠B＝45°，∠C＝60°．
（1）求BC边上的高线长．
（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．
②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长

【解析】（1）如图1中，过点A作AD⊥BC于D．

在Rt△ABD中，AD＝AB•sin45°＝4×＝4．

（2）①如图2中，

∵△AEF≌△PEF，∴AE＝EP，
∵AE＝EB，∴BE＝EP，∴∠EPB＝∠B＝45°，
∴∠PEB＝90°，
∴∠AEP＝180°﹣90°＝90°．
②如图3中，由（1）可知：AC＝＝，

∵PF⊥AC，∴∠PFA＝90°，
∵△AEF≌△PEF，∴∠AFE＝∠PFE＝45°，∴∠AFE＝∠B，
∵∠EAF＝∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴＝，即＝，∴AF＝2，
在Rt△AFP，AF＝FP，∴AP＝AF＝2．

4、（1）问题发现
如图1，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠ACB＝∠BED＝45°，点E是线段AC上一动点，连接DE．
填空：①则的值为　 　； ②∠EAD的度数为　 　．
（2）类比探究
如图2，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠ACB＝∠BED＝60°，点E是线段AC上一动点，连接DE．请求出的值及∠EAD的度数；
（3）拓展延伸
如图3，在（2）的条件下，取线段DE的中点M，连接AM、BM，若BC＝4，则当△ABM是直角三角形时，求线段AD的长．

【解析】（1）∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠ABC﹣∠ABE＝∠DBE﹣∠ABE，即∠CBE＝∠ABD，
∵∠ACB＝∠BED＝45°，
∴∠ABC＝∠CAB＝45°，∠BED＝∠BDE＝45°，
∴AB＝BC，DB＝BE，∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD＝CE，∠DAB＝∠ECB＝45°，
∴＝1，∠EAD＝45°+45°＝90°．
（2），∠EAD＝90°．
理由如下：∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∠ACB＝∠BED＝60°，
∴∠ABD＝∠EBC，∠BAC＝∠BDE＝30°，
∴在Rt△ABC中，tAn∠ACB＝＝tAn60°＝，
在Rt△DBE中，tAn∠BED＝＝tAn60°＝，∴＝，
又∵∠ABD＝∠EBC，∴△ABD∽△∠CBE，∴＝＝，∠BAD＝∠ACB＝60°．
∵∠BAC＝30°，∴∠EAD＝∠BAD+∠BAC＝60°+30°＝90°．
（3）如图，由（2）知：＝＝，∠EAD＝90°，

∴AD＝CE，
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝4，∴AC＝8，AB＝4，
∵∠EAD＝∠EBD＝90°，且点M是DE的中点，∴AM＝BM＝DE，
∵△ABM为直角三角形，∴AM2+BM2＝AB2＝（4）2＝48，∴AM＝BM＝2，∴DE＝4，
设EC＝x，则AD＝x，AE＝8﹣x，
Rt△ADE中，AE2+AD2＝DE2，∴（8﹣x）2+（x）2＝（4）2，解之得：x＝2+2（负值舍去）．
∴EC＝2+2．∴AD＝CE＝2+6．
∴线段AD的长为（2+6）．

5、已知等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是AC边上一点，以BD为边作等腰直角△BDE，其中BD＝BE，∠DBE＝90°，边AB与DE交于点F，点G是BC上一点．
（1）如图1，若DG⊥DE，连接FG．
①若∠ABD＝30°，DE＝，求BF的长度；
②求证：DG＝EF﹣FG；
（2）如图2，若DG⊥BD，EP⊥BE交BA的延长线于点P，连接PG，请猜想线段PG，DG，PE之间的数量关系，并证明．

【解析】（1）①如图1，过F作FN⊥BD于点N，

∵△BED为等腰直角三角形，DE＝，
∴在Rt△EBD中，，
设FN＝x，
在Rt△FBN与Rt△FDN中，，
∵BN+ND＝BD，∴，∴；
②证明：如图2，在ED上截取EH＝DG，连接BH，

∵DG⊥DE，BD＝BE，
∴∠E＝45°，∠BDG＝∠EDG﹣∠EDB＝45°，
∵在△EBH与△DBG中，∴△EBH≌△DBG（SAS）
∴BH＝BG，∠EBH＝∠DBG，
∴∠HBG＝∠DBG+∠HBD＝∠EBH+∠HBD＝90°，
又∵AB＝AC，∠A＝90°，
∴∠ABC＝∠HBA＝45°，
∵在△FHB与△FGH中，∴△FHB≌△FGB（SAS），∴HF＝FG，
∴DG＝EH＝EF﹣HF＝EF﹣FG，
∴DG＝EF﹣FG；
（2）PE＝PG+DG．
证明：如图3，在EP上截取EM＝DG，连接BM，

∵DG⊥BD，EP⊥BE，
∴∠PEB＝∠BDG＝90°，
∵在△DBG与△MEB中，∴△DBG≌△MEB（SAS），
∴BG＝BM，∠DBG＝∠EBM，
∴∠MBC＝∠MBD+∠DBG＝∠MBD+∠MBE＝90°，
∴∠MBP＝∠PBC＝45°，
∵在△GBP与△MBP中，∴△GBP≌△MBP（SAS），∴PG＝PM，
∴PE＝PM+EM＝PG+DG，
∴PE＝PG+DG．
6、如图，正方形ABCD的边长为6，点E，点F分别在边AB，AD上，AE＝DF＝2，连接DE，CF交于点G．连接AC与DE交于点M，延长CB至点K，使BK＝3，连接GK交AB于点N．
（1）求证：CF⊥DE；
（2）求△AMD的面积；
（3）请直接写出线段GN的长．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AD，∠CDF＝∠DAE＝90°，
∵DF＝AE，∴△CDF≌△DAE（SAS），∴∠DCF＝∠ADE，
∵∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠DCF+∠ADE＝90°，∴∠CGD＝90°，∴CF⊥DE．
（2）∵AE∥CD，∴＝＝＝，∴DM＝DE，
∴S△ADM＝S△ADE＝××2×6＝4．
（3）过点G作GJ⊥CD于J，GH⊥BC于H．
∵DG⊥CF，∴DG＝＝＝，∴CG＝＝＝，
∵GJ⊥CD，∴GJ＝CH＝＝＝，
∴GH＝CJ＝＝＝，HK＝6﹣+3＝
∴GK＝＝＝9．

7、如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的两个动点（不与点A，B，C重合），且AE＝CF，延长BC到G，使CG＝CF，连接EG，DF．
（1）依题意将图形补全；
（2）小华通过观察、实验、提出猜想：在点E，F运动过程中，始终有EG＝DF．经过与同学们充分讨论，形成了几种证明的想法：
想法一：连接DE，DG，证明△DEG是等腰直角三角形；
想法二：过点D作DF的垂线，交BA的延长线于H，可得△DFH是等腰直角三角形，
证明HF＝EG；
…
请参考以上想法，帮助小华证明EG＝DF．（写出一种方法即可）

【解析】（1）依题意补全图形如图所示；
（2）如图，连接DE，DG，
∵在正方形ABCD中，AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°，
∵AE＝CF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，
∵∠DCF＝90°，∴DC⊥FG，
∵CF＝CG，∴DF＝DG，∴∠CDF＝∠CDG，
∴DE＝DG，∠ADE＝∠CDG，
∵∠ADC＝90°，∴∠EDG＝90°，
∴△EDG是等腰直角三角形，
∴EG＝DG＝DF．

8、如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且＝，连接OC，BD，OD．
（1）求证：OC垂直平分BD；
（2）过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接AD，CD．
①依题意补全图形；
②若AD＝6，sin∠AEC＝，求CD的长．


【解析】（1）证明：∵＝，∴∠COD＝∠COB．
∵OD＝OB，∴OC垂直平分BD；
（2）①补全图形，如图所示：
；
②∵CE是⊙O的切线，切点为C，∴OC⊥CE于点C．
记OC与BD交于点F，由（1）知OC⊥BD，
∴∠OCE＝∠OFB＝90°．∴DB∥CE，∴∠AEC＝∠ABD．
∵在Rt△ABD中，AD＝6，sin∠ABD＝sin∠AEC＝，
∴BD＝8，AB＝10．∴OA＝OB＝OC＝5．
由（1）可知OC平分BD，即DF＝BF，
∴BF＝DF＝4，OF为△ABD的中位线，
∴OF＝AD＝3，∴CF＝2．
∴在Rt△CFD中，CD＝＝2．∴CD的长为2．
9、如图，在△ABC中，AB＝AC，点M在△ABC内，AM平分∠BAC．点D与点M在AC所在直线的两侧，AD⊥AB，AD＝BC，点E在AC边上，CE＝AM，连接MD、BE．
（1）补全图形；
（2）请判断MD与BE的数量关系，并进行证明；
（3）点M在何处时，BM+BE会有最小值，画出图形确定点M的位置；如果AB＝5，BC＝6，求出BM+BE的最小值．

【解析】（1）如图1所示：

（2）MD＝BE．
证明：延长AM交BC于点F，如图．
∵AM平分∠BAC，∴∠BAM＝∠CAM．
∵AD⊥AB，∴∠MAD+∠BAM＝90°．∴∠MAD+∠CAM＝90°
∵AB＝AC，AM平分∠BAC，∴AF⊥BC．∴∠C+∠CAM＝90°．∴∠MAD＝∠C．
又∵AM＝CE，AD＝BC，∴△AMD≌△CEB．∴MD＝BE．

（3）点M的位置如图2，
∵AB＝5，BC＝6，∴AD＝BC＝6，∴．
∴BM+BE的最小值为．
10、已知：如下图，△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，连接DE、AE．若DC∥AE，在DC上取一点F，使得DF＝DE，连接EF交AD于O．
（1）求证：EF⊥DA．
（2）若BC＝4，AD＝2，求EF的长．

【解析】（1）∵△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，
∴DE＝AE＝BC，∴∠EDA＝∠EAD，
∵DC∥AE，∴∠ADC＝∠EAD，∴∠ADC＝∠EDA，
∵DF＝DE，∴EF⊥DA；
（2）∵BC＝4，∴DE＝BC＝2，
∵DE＝AE，，∴DO＝AD＝，
在Rt△DEO中，EO＝＝1，
∵DF＝DE，∴EF＝2EO＝2．

11、如图1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，以C为顶点作∠DCE＝90°，交OA于点D，OB于点E．
（1）求证：CD＝CE；
（2）图1中，若OC＝3，求OD+OE的长；
（3）如图2，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，以C为顶点作∠DCE＝60°，交OA于点D，OB于点E．若OC＝3，求四边形OECD的面积．

（1）证明：如图1，过点C作CG⊥OA于G，CH⊥OB于H，
∵OC平分∠AOB，∴CG＝CH

∵∠AOB＝90°，∠DCE＝90°，∴∠CDO+∠CEO＝180°，
∵∠CDG+∠CDO＝180°，∴∠CDG＝∠CEO，
在△CDG与△CEH中，，∴△CDG≌△CEH（AAS），∴CD＝CE；
（2）由（1）得△CDG≌△CEH，∴DG＝HE，
由题易得△OCG与△OCH是全等的等腰直角三角形，且OG＝OH，
∴OD+OE＝OD+OH+HE＝OG+OH＝2OH，
设OH＝CH＝x，在Rt△OCH中，由勾股定理，得：OH2+CH2＝OC2。
∴x2+x2＝32，∴（舍负），∴OH＝，∴OD+OE＝2OH＝；
（3）如图，过点C作CG⊥OA于G，CH⊥OB于H，

∵OC平分∠AOB，∴CG＝CH，又∵∠A0B＝120°，∠DCE＝60°，∴∠CDO+∠CEO＝180°，
∵∠CDG+∠CDO＝180°，∴∠CDG＝∠CEO，
在△CDG与△CEH中，，∴△CDG≌△CEH（AAS），∴DG＝HE，
由题易得△OCG与△OCH是全等的直角三角形，且OG＝OH，
∴OD+OE＝OD+OH+HE＝OG+OH＝2OH，∴S四边形OECD＝S四边形OHCG＝2S△OCG
在Rt△OCH中，有∠COH＝60°，OC＝3，∴OH＝，CH＝，∴
12、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．
（1）如图1，求证：AD＝2DC．
（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；
（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．

证明：（1）如图1，过点D作DE⊥AB，

∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，
∴DC＝DE，
∵∠A＝30°，DE⊥AB，
∴AD＝2DE，
∴AD＝2DC；
（2）如图2，过点M作ME∥BD，

∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，
∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，
∵BM平分∠CBD，∴∠CBM＝15°＝∠DBM，
∵ME∥BD，∴∠MEC＝∠CBD＝30°，∠EMB＝∠DBM＝∠MBE，
∴ME＝BE，
∵∠MEC＝30°，∠C＝90°
∴CE＝MC＝，ME＝2MC＝2＝BE，
∴BC＝+2，
∵∠CBD＝30°，∠C＝90°，
∴BC＝CD，
∴CD＝1+，
∴DM＝，
∴△DBM的面积＝××（+2）＝1+；
（3）若点N在CD上时，AD＝DG+DN，
理由如下：如图3所示：延长ED使得DW＝DN，连接NW，

∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，
∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，
∵DN＝DW，且∠WDN＝60°
∴△WDN是等边三角形，
∴NW＝DN，∠W＝∠WND＝∠BNG＝∠BDN＝60°，
∴∠WNG＝∠BND，
在△WGN和△DBN中，，∴△WGN≌△DBN（SAS），∴BD＝WG＝DG+DN，
∴AD＝DG+DN．
（3）若点N在AD上时，AD＝DG﹣DN，
理由如下：如图4，延长BD至H，使得DH＝DN，连接HN，

由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．
∵DE⊥AB于点E．
∴∠2＝∠3＝60°．
∴∠4＝∠5＝60°．
∴△NDH是等边三角形．
∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．
∴∠H＝∠2．
∵∠BNG＝60°，
∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．
即∠DNG＝∠HNB．
在△DNG和△HNB中，，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．
∵HB＝HD+DB＝ND+AD，
∴DG＝ND+AD．
∴AD＝DG﹣ND．
13、如图．CP是等边△ABC的外角∠ACE的平分线，点D在边BC上，以D为顶点，DA为一条边作∠ADF＝60°，另一边交射线CP于F．

（1）求证．AD＝FD；
（2）若AB＝2，BD＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式；
（3）联结AF，当△ADF的面积为时，求BD的长．
证明：（1）如图1，连接AF，∵∠ACB＝60°，∴∠ACE＝120°，

∵CP平分∠ACE，∴∠ACP＝∠PCE＝60°，∴∠ADF＝∠ACP＝60°，∴A、D、C、F四点共圆，
∴∠AFD＝∠ACB＝60°，∴∠ADF＝∠AFD＝60°，∴∠DAF＝60°，
∴△ADF是等边三角形，∴AD＝FD；
（2）如图2，过点A作AH⊥BC，∵△ABC是等边三角形，AH⊥BC，AB＝2，

∴BH＝1，AH＝BH＝，∴HD＝BD﹣BH＝x﹣1，
∵DF＝＝，∴y＝
（3）∵△ADF是等边三角形，且△ADF的面积为，
∴DF2＝，∴DF2＝＝x2﹣2x+4，∴x＝，∴BD＝或