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    中考数学 专项训练 考点58 三角形中作辅助线造相似

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    专题58 三角形中作辅助线造相似
    1、如图1,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12.
    (1)求AC边上的高BH的长;
    (2)如图2,点D、E分别在边AB、BC上,G、F在边AC上,当四边形DEGF是正方形时,求DE长

    【解析】(1)过点A作AN⊥BC于N,

    ∵AB=AC=10,BC=12,AN⊥BC,∴BN=CN=6,∴AN===8,
    ∵S△ABC=AC×BH=BC×AN,∴BH==9.6;
    (2)如图2,设BH与DE交于点M,

    ∵四边形DEGF是正方形,
    ∴DE=EG=DF,DE∥AC,∠EDF=∠DFC=90°,且BH⊥AC,
    ∴四边形DFHM是矩形,∴DF=MH,
    ∵DE∥AC,∴△BDE∽△BAC,∴,∴,∴DE=.
    2、【基础巩固】
    (1)如图1,在△ABC中,D为AB上一点,∠ACD=∠B.求证:AC2=AD•AB.
    【尝试应用】
    (2)如图2,在平行四边形ABCD中,E为BC上一点,F为CD延长线上一点,∠BFE=∠A.若BF=4,BE=3,求AD的长.
    【拓展提高】
    (3)如图3,在菱形ABCD中,E是AB上一点,F是△ABC内一点,EF∥AC,AC=2EF,∠EDF=∠BAD,AE=2,DF=5,求菱形ABCD的边长.

    【解析】(1)证明:∵∠ACD=∠B,∠A=∠A,
    ∴△ADC∽△ACB,∴,
    ∴AC2=AD•AB.
    (2)∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴AD=BC,∠A=∠C,
    又∵∠BFE=∠A,
    ∴∠BFE=∠C,
    又∵∠FBE=∠CBF,
    ∴△BFE∽△BCF,
    ∴,
    ∴BF2=BE•BC,
    ∴BC==,
    ∴AD=.
    (3)如图,分别延长EF,DC相交于点G,

    ∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥DC,∠BAC=∠BAD,
    ∵AC∥EF,∴四边形AEGC为平行四边形,
    ∴AC=EG,CG=AE,∠EAC=∠G,
    ∵∠EDF=∠BAD,∴∠EDF=∠BAC,∴∠EDF=∠G,又∵∠DEF=∠GED,
    ∴△EDF∽△EGD,∴,∴DE2=EF•EG,
    又∵EG=AC=2EF,∴DE2=2EF2,∴DE=EF,
    又∵,∴DG=,
    ∴DC=DG﹣CG=5﹣2.

    3、如图,在平面直角坐标系中,正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上,分别过OB,OC的中点D,E作AE,AD的平行线,相交于点F,已知OB=8.
    (1)求证:四边形AEFD为菱形.
    (2)求四边形AEFD的面积.
    (3)若点P在x轴正半轴上(异于点D),点Q在y轴上,平面内是否存在点G,使得以点A,P,Q,G为顶点的四边形与四边形AEFD相似?若存在,求点P的坐标;若不存在,试说明理由.

    (1)证明:如图1中,

    ∵AE∥DF,AD∥EF,
    ∴四边形AEFD是平行四边形,
    ∵四边形ABCD是正方形,
    ∴AC=AB=OC=OB,∠ACE=∠ABD=90°,
    ∵E,D分别是OC,OB的中点,
    ∴CE=BD,
    ∴△CAE≌△ABD(SAS),
    ∴AE=AD,
    ∴四边形AEFD是菱形.
    (2)解:如图1中,连接DE.
    ∵S△ADB=S△ACE=×8×4=16,
    S△EOD=×4×4=8,
    ∴S△AED=S正方形ABOC﹣2S△ABD﹣S△EOD=64﹣2×16﹣8=24,
    ∴S菱形AEFD=2S△AED=48.
    (3)解:如图1中,连接AF,设AF交DE于K,
    ∵OE=OD=4,OK⊥DE,
    ∴KE=KD,
    ∴OK=KE=KD=2,
    ∵AO=8,
    ∴AK=6,
    ∴AK=3DK,
    ①当AP为菱形的一边,点Q在x轴的上方,有图2,图3两种情形:
    如图2中,设AG交PQ于H,过点H作HN⊥x轴于N,交AC于M,设AM=t.

    ∵菱形PAQG∽菱形ADFE,
    ∴PH=3AH,
    ∵HN∥OQ,QH=HP,
    ∴ON=NP,
    ∴HN是△PQO的中位线,
    ∴ON=PN=8﹣t,
    ∵∠MAH=∠PHN=90°﹣∠AHM,∠PNH=∠AMH=90°,
    ∴△HMA∽△PNH,
    ∴===,
    ∴HN=3AM=3t,
    ∴MH=MN﹣NH=8﹣3t,
    ∵PN=3MH,
    ∴8﹣t=3(8﹣3t),
    ∴t=2,
    ∴OP=2ON=2(8﹣t)=12,
    ∴P(12,0).
    如图3中,过点H作HI⊥y轴于I,过点P作PN⊥x轴交IH于N,延长BA交IN于M.

    同法可证:△AMH∽△HNP,
    ∴===,设MH=t,
    ∴PN=3MH=3t,
    ∴AM=BM﹣AB=3t﹣8,
    ∵HI是△OPQ的中位线,
    ∴OP=2IH,
    ∴HIHN,
    ∴8+t=9t﹣24,
    ∴t=4,
    ∴OP=2HI=2(8+t)=24,
    ∴P(24,0).
    ②当AP为菱形的边,点Q在x轴的下方时,有图4,图5两种情形:
    如图4中,QH=3PH,过点H作HM⊥OC于M,过D点P作PN⊥MH于N.

    ∵MH是△QAC的中位线,
    ∴MH=AC=4,
    同法可得:△HPN∽△QHM,
    ∴===,
    ∴PN=HM=,
    ∴OM=PN=,设HN=t,则MQ=3t,
    ∵MQ=MC,
    ∴3t=8﹣,
    ∴t=,
    ∴OP=MN=4+t=,
    ∴点P的坐标为(,0).

    如图5中,QH=3PH,过点H作HM⊥x轴于M交AC于I,过点Q作QN⊥HM于N.

    ∵IH是△ACQ的中位线,
    ∴CQ=2HI,NQ=CI=4,
    同法可得:△PMH∽△HNQ,
    ∴===,则MH=NQ=,
    设PM=t,则HN=3t,
    ∵HN=HI,∴3t=8+,
    ∴t=,
    ∴OP=OM﹣PM=QN﹣PM=4﹣t=,
    ∴P(,0).
    ③如图6中,当AP为菱形的对角线时,有图6一种情形:

    过点H作HM⊥y轴于于点M,交AB于I,过点P作PN⊥HM于N.
    ∵HI∥x轴,AH=HP,
    ∴AI=IB=4,
    ∴PN=IB=4,
    同法可得:△PNH∽△HMQ,
    ∴===,
    ∴MH=3PN=12,HI=MH﹣MI=4,
    ∵HI是△ABP的中位线,
    ∴BP=2IH=8,
    ∴OP=OB+BP=16,
    ∴P(16,0),
    综上所述,满足条件的点P的坐标为(12,0)或(24,0)或(,0)或(,0)或(16,0).

    4、如图1,在菱形ABCD中,AB=,∠BCD=120°,M为对角线BD上一点(M不与点B、D重合),过点MN∥CD,使得MN=CD,连接CM、AM、BN.
    (1)当∠DCM=30°时,求DM的长度;
    (2)如图2,延长BN、DC交于点E,求证:AM•DE=BE•CD;
    (3)如图3,连接AN,则AM+AN的最小值是   .

    【解析】(1)如图1,连接AC交BD于O,


    ∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,BD=2OB,CD=BC=AB=,
    ∵∠BCD=120°,∴∠CBD=30°,
    ∴OC=BC=,∴OB=OC=,∴BD=3,
    ∵∠BCD=120°,∠DCM=30°,∴∠BCM=90°,
    ∴CM=BC=1,∴BM=2CM=2,
    ∴DM=BD﹣BM=1;
    (2)∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,AB=CD,
    ∵MN∥CD,MN=CD,∴AB∥MN,AB=MN,
    ∴四边形ABNM是平行四边形,∴AM∥BN,
    ∴∠AMB=∠EBD,
    ∵AB∥CD,∴∠ABM=∠EDB,
    ∴△ABM∽△EDB,∴,∴AM•DE=BE•AB,
    ∵AB=CD,∴AM•DE=BE•CD;

    (3)如图2,∵四边形ABCD是菱形,
    ∴∠ABD=∠ABC,CD∥AB,
    ∵∠BCD=120°,
    ∴∠ABC=60°,
    ∴∠ABD=30°,
    连接CN并延长交AB的延长线于P,
    ∵CD∥MN,CD=MN,
    ∴四边形CDMN是平行四边形,
    ∴当点M从点D向B运动时,点N从点C向点P运动(点N轨迹是线段CP),∠APC=∠ABD=30°
    由(2)知,四边形ABNM是平行四边形,
    ∴AM=BN,
    ∴AM+AN=AN+BN,
    而AM+AN最小,即:AN+BN最小,
    作点B关于CP的对称点B',当点A,N,B'在同一条线上时,AN+BN最小,
    即:AM+AN的最小值为AB',
    连接BB',B'P,
    由对称得,BP=B'P=AB=,∠BPB'=2∠APC=60°,
    ∴△BB'P是等边三角形,
    B'P过点B'作B'Q⊥BP于Q,
    ∴BQ=B'P=,∴B'Q=BQ=,
    ∴AQ=AB+BQ=,
    在Rt△AQB'中,根据勾股定理得,AB'==3,
    即:AM+AN的最小值为3,

    5、如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,BC>AD,∠D=90°,AC⊥BC,AB=10cM,BC=6cM,F点以2cM/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动,E点
    同时以1cM/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动,设运动时间为t秒(0<t<5).
    (1)求证:△ACD∽△BAC;
    (2)求DC的长;
    (3)试探究:△BEF可以为等腰三角形吗?若能,求t的值;若不能,请说明理由.

    (1)证明:∵CD∥AB,∴∠BAC=∠DCA,又AC⊥BC,∠ACB=90°,∴∠D=∠ACB=90°,∴△ACD∽△BAC;
    (2)Rt△ABC中,=8,由(1)知,△ACD∽△BAC,∴,即 ,DC=6.4;
    (3)能.由运动知,BF=10﹣2t,BE=t,△EFB若为等腰三角形,可分如下三种情况:
    ①当 BF=BE时,10﹣2t=t,解得秒.
    图(1)
    ②当EF=EB时,如图,过点E作AB的垂线,垂足为G,
    则.此时△BEG∽△BAC,∴,即,解得
    图(2)
    ③当FB=FE时,如图2,过点F作BC的垂线,垂足为H
    则.此时△BFH∽△BAC,∴,即 ,解得:
    综上所述:当△EFB为等腰三角形时,t的值为秒或秒或秒.
    6、如图,在矩形ABCD的边AB上取一点E,连接CE并延长和DA的延长线交于点G,过点E作CG的垂线与CD的延长线交于点H,与DG交于点F,连接GH.
    (1)当tAn∠BEC=2且BC=4时,求CH的长;
    (2)求证:DF•FG=HF•EF;
    (3)连接DE,求证:∠CDE=∠CGH.

    (1)解:在Rt△BCE中,当tAn∠BEC=2,
    ∴=2,即=2,解得,BE=2,
    由勾股定理得,CE===2,
    ∵四边形ABCD为矩形,∴AB∥CD,
    ∴∠ECH=∠BEC,
    ∴tAn∠ECH==2,即=2,
    ∴EH=4,
    ∴CH==10;
    (2)证明:∵∠FEG=∠FDH=90°,∠EFG=∠DFH,
    ∴△EFG∽△DFH,∴=,∴DF•FG=HF•EF;
    (3)证明:∵△EFG∽△DFH,
    ∴∠CGD=∠CHE,又∠GCD=∠HCE,
    ∴△GCD∽△HCE,∴=,
    又∠GCD=∠HCE,∴△CDE∽△CGH,
    ∴∠CDE=∠CGH.
    7、已知,如图,AD是直角三角形ABC斜边上的中线,AE⊥AD,AE交CB的延长线于点E.
    (1)求证:△BAE∽△ACE;
    (2)AF⊥BD,垂足为点F,且BE•CE=9,求EF•DE的值.

    【解析】(1)∵AD是直角三角形ABC斜边上的中线,
    ∴AD=BD=CD,
    ∴∠C=∠DAC,
    ∵AE⊥AD,
    ∴∠EAD=90°=∠BAC,
    ∴∠EAB=∠DAC,
    ∴∠EAB=∠C,且∠E=∠E,
    ∴△BAE∽△ACE;
    (2)∵△BAE∽△ACE
    ∴,
    ∴AE2=BE•CE=9,
    ∵∠AFE=∠DAE=90°,∠E=∠E,
    ∴△EAF∽△EFD,

    ∴DE•EF=AE2=9.

    8、如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=20cM,AC=15cM,在这个直角三角形内有一个内接正方形,正方形的一边FG在BC上,另两个顶点E、H分别在边AB、AC上.
    (1)求BC边上的高;
    (2)求正方形EFGH的边长.

    【解析】(1)作AD⊥BC于D,交EH于O,如图所示:
    ∵在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=20cM,AC=15cM,
    ∴BC==25(cM),
    ∵BC×AD=AB×AC,
    ∴AD===12(cM);
    即BC边上的高为12cM;
    (2)设正方形EFGH的边长为xcM,
    ∵四边形EFGH是正方形,∴EH∥BC,
    ∴∠AEH=∠B,∠AHE=∠C,
    ∴△AEH∽△ABC.
    ∴=,即=,解得:x=,
    即正方形EFGH的边长为cM.


    9、如图1,矩形ABCD中,AD=2,AB=3,点E,F分别在边AB,BC上,且BF=FC,连接DE,EF,并以DE,EF为边作▱DEFG.
    (1)连接DF,求DF的长度;
    (2)求▱DEFG周长的最小值;
    (3)当▱DEFG为正方形时(如图2),连接BG,分别交EF,CD于点P、Q,求BP:QG的值.

    【解析】(1)如图1所示:
    ∵四边形ABCD是矩形,∠C=90°,AD=BC,AB=DC,
    ∵BF=FC,AD=2;∴FC=1,
    ∵AB=3;∴DC=3,
    在Rt△DCF中,由勾股定理得,∴DF===;
    (2)如图1所示:

    作点F关直线AB的对称点M,连接DM交AB于点N,
    连接NF,ME,点E在AB上是一个动点,
    ①当点E不与点N重合时点M、E、D可构成一个三角形,∴ME+DE>MD,
    ②当点E与点N重合时点M、E(N)、D在同一条直线上,∴ME+DE=MD
    由①和②DE+EF的值最小时就是点E与点N重合时,
    ∵MB=BF,∴MB=1,∴MC=3,
    又∵DC=3,∴△MCD是等腰直角三角形,
    ∴MD===3,∴NF+DN=MD=3,
    ∴l▱DEFG=2(NF+DF)=6;
    (3)∵▱DEFG为正方形,∴DE=EF,∠DEF=90°,
    ∴∠ADE+∠AED=∠AED+∠BEF=90°,∴∠ADE=∠BEF,
    ∴△ADE≌△BEF(AAS),
    ∴AE=BF=1,BE=AD=2,
    过点B作BH⊥EF,如图2所示:

    在Rt△EBF中,由勾股定理得:EF===,
    ∴BH==,
    又∵△BEF~△FHB,∴=,HF===,
    在△BPH和△GPF中有:∠BPH=∠GPF,∠BHP=∠GFP,
    ∴△BPH∽△GPF,∴===,
    ∴PF=•HF=,
    又∵EP+PF=EF,∴EP=﹣=,
    又∵AB∥BC,EF∥DG,∴∠EBP=∠DQG,∠EPB=∠DGQ,∴△EBP∽△DQG(AA),
    ∴===.
    10、(1)如图①,在△ABC中,AB=M,AC=n(n>M),点P在边AC上.当AP=   时,△APB∽△ABC;
    (2)如图②,已知△DEF(DE>DF),请用直尺和圆规在直线DF上求作一点Q,使DE是线段DF和DQ的比例中项.(保留作图痕迹,不写作法)

    【解析】(1)∵△APB∽△ABC,∴=,∴=,∴AP=,
    (2)作∠DEQ=∠F,如图点Q就是所求作的点.

    11、如图,在矩形ABCD中,已知AD>AB.在边AD上取点E,连结CE.过点E作EF⊥CE,与边AB的延长线交于点F.
    (1)求证:△AEF∽△DCE.
    (2)若AB=3,AE=4,DE=6,求线段BF的长.

    (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠D=90°,∴∠AEF+∠F=90°
    ∵EF⊥CE,∴∠CED+∠AEF=180°﹣90°=90°,
    ∴∠CED=∠F,又∵∠A=∠D=90°,∴△AFE∽△DEC.
    (2)∵△AFE∽△DEC,∴=,
    ∵AB=CD=3,AE=4,DE=6,∴=,解得BF=5.
    答:线段BF的长为5.
    12、如图,△ABC中,AB=AC,点P为BC边上一动点(不与B,C重合),以AP为边作∠APD=∠ABC,与BC的平行线AD交于点D,与AC交于点E,连结CD.
    (1)求证:△ABP∽△DAE.
    (2)已知AB=AC=5,BC=6.设BP=x,CE=y.
    ①求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围;
    ②当S△ACD=时,求CE的值.


    (1)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
    ∵∠APC=∠ABC+∠BAP,∠APC=∠APD+∠EPC,∠APD=∠ABC,
    ∴∠BAP=∠EPC,∴△ABP∽△PCE,
    ∵BC∥AD,∴△PCE∽△DAE,∴△ABP∽△DAE;
    (2)①∵△ABP∽△PCE,
    ∴=,即=,
    ∴y=﹣x2+x(0<x<6);
    ②∵△ABP∽△DAE,∴=,即=,
    ∴AD=,
    ∵AD∥BC,∴,
    ∵,∴,
    ∴,
    即13x2+24x﹣100=0,
    ∴x1=2,(舍去)


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