中考数学 专项训练 考点04 角平分线模型在三角形中的应用

专题04 角平分线模型在三角形中的应用

【专题说明】

在初中几何证明中，常会遇到与角平分线有关的问题。不少同学遇到这类问题时，不清楚应该怎样去作辅助线。实际上这类问题是有章可循的，其策略是:明确辅助线作用，记清相应模型辅助线作法，理解作辅助线以后的目的。能做到这三点，就能在解题时得心应手。

【知识总结】[来源:学。科。网Z。X。X。K]

【模型】一、角平分线垂两边

角平分线+外垂直

当已知条件中出现为的角平分线、于点时，辅助线的作法大都为过点作即可.即有、≌等，利用相关结论解决问题.

【模型】二、角平分线垂中间

角平分线+内垂直   

当已知条件中出现为的角平分线,于点时，辅助线的作法大都为延长交于点即可.即有是等腰三角形、是三线等，利用相关结论解决问题.

【模型】三、角平分线构造轴对称

角平分线+截线段等

当已知条件中出现为的角平分线、不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在上截取，连结即可.即有≌，利用相关结论解决问题.

【模型】四、角平分线加平行线等腰现

角平分线+平行线[来源:学科网]

当已知条件中出现为的角平分线，点角平分线上任一点时，辅助线的作法大都为过点作//或//即可.即有是等腰三角形，利用相关结论解决问题.

1、 如图, , 为上的一点，并且于点,,求证：.

【思路点拔】已知条件中出现为的角平分线,于点，属于角平分线基本模型一.辅助线的作法可尝试过点作，即有, ≌等，利用相关结论解决问题.

证明  过点作于点.

且,

.

在和中，  ,

≌,.

.

.

在和中,   

≌,.

,

.

2、如图，在中，是的平分线，于点,//交于点，求证:.

【思路点拨】已知条件中出现为的平分线，于点，属于角平分线基本模型二.辅助线的作法可尝试延长交于点，即有是等腰三角形、

是三线，利用相关结论解决问题.

    证明  延长交于点.

平分,  .

又

≌,.

又∥,.

3、已知:如图7,，求证:.

     [来源:学科网ZXXK]

【思路点拨】已知条件中出现为的角平分线，不具备特殊位置，属于

角平分线基本模型三.辅助线的作法可尝试在上截取，连结.即有

≌，利用相关结论解决问题.

    证明  在上截取，连结.[来源:Z§xx§k.Com]

，且 , .

又.

又

≌,,即有.[来源:学科网ZXXK]

4、如图8,//,、分别平分和.探究:在线段上是否存在点，使得.  

【思路点拨】已知条件中出现、分别平分和，点为角平分线上任一点时，猜侧属于角平分线基本模型四.辅助线的作法可尝试过点作//，或//.即有()是等腰三角形，利用相关结论解决问题.

解  过点作//.    [来源:学科网]

∥,.

又平分,

即,.

又∥,∥,

同理可得.

    又.

    线段上存在点，使得.

以上四个例题并不复杂，但对研究含有角平分线的几何证明题具有指导意义.在教学过程中，要利用基本模型将复杂的几何证明简单化，要真正看透问题的本质，并将课本知识内化为自己的知识，从而提高自己探究问题的能力和数学绘合素养.