中考数学 专项训练 考点05 手拉手模型构造全等三角形

专题05 手拉手模型构造全等三角形

【专题说明】

两个具有公共顶点的相似多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等或相似三角形，这样的图形称作共点旋转模型；为了更加直观，我们形象的称其为“手拉手”模型。

【知识总结】

【基本模型】

一、等边三角形手拉手-出全等

图1                                              图2

  [来源:学科网]

图3                                             图4

二、等腰直角三角形手拉手-出全等

两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：[来源:Z#xx#k.Com]

①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE；

图1                                         图2

图3                                                图4

1、如图，点C在线段AB上，△DAC和△DBE都是等边三角形，求证：△DAB≌△DCE;DA∥EC.

解析：

（1）△DAC和△DBE都是等边三角形.

∴DA=DC,DB=DE,∠ADC=∠BDE=60°.

∴DA=DC,DB=DE,∠ADC=∠BDE=60°

∴∠ADC+∠CDB=∠BDE+∠CDB,（重点）

即∠ADB=∠CDE

在△DAB和△DCE中，

DA=DC

∠ADB=∠CDE

DB=DE

∴△DAB≌△DCE.

（2）∵△DAB≌△DCE

∴∠A=∠DCE=60°

∵∠ADC=60°

∴∠DCE=∠ADC

∴DA∥EC.

2、已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连结AE,BD交于点O,AE与DC交于点0，AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.

解析:

∵△ACB和△DCE都是等腰三角形

∠ACB=∠DCE=90°

∴AC=BC,DC=EC

∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD

∴∠BCD=∠ACE

在△ACE和△BCD中

AC=BC

∠ACE=∠BCD

CE=CD

∴△ACE≌△BCD(SAS)

∴AE=BD

3、已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平面内一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP，

⑴若点P在△ABC内部，求证BQ＝CP；

⑵若点P在△ABC外部，以上结论还成立吗？

解析：（1）∵∠QAP＝∠BAC

∴∠QAP－∠BAP

＝∠BAC－∠BAP[来源:Z#xx#k.Com]

即∠QAB＝∠PAC

另由旋转得AQ＝AP

在△AQB和△APC中

AQ＝AP

∠QAB＝∠PAC

AB＝AC

∴△AQB≌△APC

∴BQ＝CP

（2）∵∠QAP＝∠BAC

∴∠QAP＋∠BAP

＝∠BAC＋∠BAP[来源:学科网]

即∠QAB＝∠PAC

另由旋转得AQ＝AP

在△AQB和△APC中

AQ＝AP

∠QAB＝∠PAC

AB＝AC

∴△AQB≌△APC

∴BQ＝CP

4、如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H.若AB=，AG=1，则EB=________________.

解析：连接BD交于AC于点O,

∵四边形ABCD、AGFE是正方形

∴AB=AD,AE=AG,∠DAB=∠EAG

∴∠EAB=∠GAD

在△AEB和△AGD中

AE=AG

∠EAB=∠GAD

AB=AD

∴△EAB≌△GAD（SAS）

∴EB=GD

∵四边形ABCD是正方形，AB=

∴BD⊥AC,AC=BD==2

∴∠DOG=90°，OA=OD=BD=1

∵AG=1

∴OG=OA+AG=2

∴GD=，EB=

5、已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点，点G、E分别在线段AD、AB上，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG,在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长度始终相等？并说明理由。

解析：连接BE

∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形

∴AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90°

∴∠BAD-∠BAG=∠EAG-∠BAG,即∠DAG=∠BAE

AB=AD

∠DAG=∠BAE

AE=AG

∴△BAE≌△DAG(SAS)

∴BE=DG

6、已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE,点C、D、E三点在同一直线上，连接BD,BE.以下四个结论:①BD=CE;②BD⊥CE;③∠ACE+∠BDC=45°；④其中结论正确的个数是_______

解析：①∵∠BAC=∠DAE=90°

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD

即∠BAD=∠CAE

∵在△BAD和△CAE中

AB=AC

∠BAD=∠CAE

AD=AE

∴△BAD≌△CAE(SAS)

∴BD=CE

②∵△BAD≌△CAE[来源:Z&xx&k.Com]

∴∠ABD=∠ACE

∵∠ABD+∠DBC=45°

∴∠ACE+∠DBC=45°

∴∠DBC+∠DCB=90°

则BD⊥CE

③∵△ABC为等腰直角三角形

∴∠ABC=∠ACB=45°

∴∠ABD+∠DBC=45°

∵∠ABD=∠ACE

∴∠ACE+∠DBC=45°

④∵BD⊥CE

∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得：

即