中考数学 专项训练 考点05 手拉手模型构造全等三角形(基础)
展开专题05 手拉手模型构造全等三角形
1、已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B,点C重合）.以AD为边作等边三角形ADE,连接CE.
如图1，当点D在边BC上时，求证：△ABD≌△ACE;直接判断结论BC=DC+CE是否成立（不需要证明）；
如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC、DC、CE之间存在的数量关系，并写出证明过程.
解析：
(1)∵△ABC和△ADE是等边三角形
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC,AD=DE=AE
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC
∴∠BAD=∠EAC
在△ABD和△ACE中
AB=AC
∠BAD=∠EAC
AD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)[来源:学科网ZXXK]
∵△ABD≌△ACE
∴BD=CE
∵BC=BD+CD
∴BC=CE+CD
（2）∵△ABC和△ADE是等边三角形
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC,AD=DE=AE
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC
∴∠BAD=∠EAC
在△ABD和△ACE中
AB=AC
∠BAD=∠EAC[来源:学§科§网Z§X§X§K]
AD=AE
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE[来源:Zxxk.Com]
∵BD=BC+CD
∴CE=BC+CD
2、如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点D为AB边上的一点.
若DE=13，BD=12，求线段AB的长.
∵△ACE≌△BCD
∴AE=BD,∠EAC=∠B=45°
∵BD=12
∴∠EAD=45°+45°=90°，AE=12
在Rt△EAD中，∠EAD=90°，DE=13，AE=12，由勾股定理得：AD=5
∴AB=BD+AD=12+5=17
3、如图，点A、B、C在一条直线上，△ABD,△BCE均为等边三角形，连接AE和CD,AE分别交CD,BD于点M,P,CD交BE于点Q，连接PQ,BM.
下面结论：△ABE≌△DBC;∠DMA=60°；△BPQ为等边三角形；MB平分∠AMC.其中正确的有____________
解析：
∵△ABD,△BCE为等边三角形[来源:学+科+网]
∴AB=DB,∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC
∴∠ABE=∠DBC,∠PBQ=60°
在△ABE和△DBC中
AB=DB
∠ABE=∠DBC
BE=BC
∴△ABE≌△DBC ∴(1)正确
∵△ABE≌△DBC
∴∠BAE=∠BDC
∵∠BDC+∠BCD=180°-60°-60°=60°
∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°（2）正确
∵在△ABP和△BDQ中
∠BAP=∠BDQ
AB=DB
∠ABP=∠DBQ=60°
∴△ABP≌△DBQ
∴BP=BQ
∴△BPQ为等边三角形（3）正确
∵∠DMA=60°
∴∠AMC=120°
∴∠AMC+∠PBQ=180°
∴P、B、Q、M四点共圆
∵=
∴∠BMP=∠BMQ
即MB平分∠AMC
4、如图1，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α，AD、BE相交于点M,连接CM.
求证：BE=AD;用含α的式子表示∠AMB的度数；当α=90°时，取AD、BE的中点分别为点P、Q，连接CP,CQ,PQ,如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明.
解析：（1）如图1，∵∠ACB=∠DCE=α
∴∠ACD=∠BCE
在△ACD和△BCE中
CA=CB
∠ACD=∠BCE
CD=CE
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴BE=AD
(2) 如图1，∵△ACD≌△BCE
∴∠CAD=∠CBE[来源:Z_xx_k.Com]
∵△ABC中，∠BAC+∠ABC=180°-α
∴∠BAM+∠AMB=180°-α
∴△ABM中，∠AMB=180°-（180°-α）=α.
如图2，由（1）可得，BE=AD，
∵AD,BE的中点分别为点P、Q
∴AP=BQ
∵△ACQ≌△BCE
∴∠CAP=∠CBQ
在△ACP和△BCQ中，
CA=CB
∠CAP=∠CBQ
AP=BQ
∴△ACP≌△BCQ（SAS）
∴CP=CQ,且∠ACP=∠BCQ
又∵∠ACP+∠PCB=90°
∴∠BCQ+∠PCB=90°
∴∠PCQ=90°
∴△CPQ为等腰直角三角形.
