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2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第七章7.2一元二次不等式及其解法
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§7.2 一元二次不等式及其解法
最新考纲
考情考向分析
1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．
2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．
3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.
以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想、分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．在高考中常以选择题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高.
一元二次不等式的解集
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根
有两相异实根x1，x2(x1
没有实数根
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
{x|xx2}
{x|x∈R}
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
{x|x1< x
∅
概念方法微思考
1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集与其对应的函数y＝ax2＋bx＋c的图象有什么关系？
提示 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是其对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围．
2．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件是什么？
提示 显然a≠0.ax2＋bx＋c>0恒成立的条件是ax2＋bx＋c<0恒成立的条件是
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( √ )
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( × )
(3)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.( × )
(4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．( √ )
题组二 教材改编
2．已知集合A＝{x|x2－x－6>0}，则∁RA等于( )
A．{x|－2
C．{x|x<－2或x>3}
D．{x|x≤－2或x≥3}
答案 B
解析 ∵x2－x－6>0，∴(x＋2)(x－3)>0，∴x>3或x<－2，即A＝{x|x>3或x<－2}．在数轴上表示出集合A，如图所示．
由图可得∁RA＝{x|－2≤x≤3}．
故选B.
3．y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是________________．
答案 ∪
解析 由题意，得3x2－2x－2>0，
令3x2－2x－2＝0，得x1＝，x2＝，
∴3x2－2x－2>0的解集为
∪.
题组三 易错自纠
4．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示)
答案 (－4,1)
解析 由－x2－3x＋4>0可知，(x＋4)(x－1)<0，
得－4
答案 －14
解析 ∵x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，
∴解得∴a＋b＝－14.
6．不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0，对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 (－2,2]
解析 当a－2≠0时，由得－2
∴－2
命题点1 不含参的不等式
例1 (2019·新乡模拟)已知集合A＝{x|x2－4x<5}，则下列选项中正确的是( )
A．－1.2∈A B．30.9∉A
C．log230∈A D．A∩N＝{1,2,3,4}
答案 C
解析 因为A＝{x|－1
例2 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
解 原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，
因为a>0，所以(x－1)<0.
所以当a>1时，解得
当0
当a>1时，不等式的解集为.
思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
跟踪训练1 (1)(2019·北京市海淀区期末)不等式x2＋2x－3<0的解集为( )
A．{x|x<－3或x>1} B．{x|x<－1或x>3}
C．{x|－1
解析 由x2＋2x－3<0得(x＋3)(x－1)<0，解得－3
答案 {x|x≥3或x≤2}
解析 由题意，知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a<0，
所以解得
故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，
解得x≥3或x≤2.
(3)解不等式12x2－ax>a2(a∈R)．
解 原不等式可化为12x2－ax－a2>0，
即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，
解得x1＝－，x2＝.
当a>0时，不等式的解集为∪；
当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
当a<0时，不等式的解集为∪.
一元二次不等式恒成立问题
命题点1 在R上的恒成立问题
例3 已知函数f (x)＝mx2－mx－1.若对于x∈R，f (x)<0恒成立，求实数m的取值范围．
解 当m＝0时，f (x)＝－1<0恒成立．
当m≠0时，则即－4
例4 已知函数f (x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f (x)<5－m恒成立，求实数m的取值范围．
解 要使f (x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，
即m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．
有以下两种方法：
方法一 令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，
所以m<，所以0
当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，
所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，
所以m<6，所以m<0.
综上所述，m的取值范围是.
方法二 因为x2－x＋1＝2＋>0，
又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<.
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．
所以m的取值范围是.
若将“f (x)<5－m恒成立”改为“f (x)<5－m无解”，如何求m的取值范围？
解 若f (x)<5－m无解，即f (x)≥5－m恒成立，
即m≥恒成立，
又x∈[1,3]时，max＝6，得m≥6，
即m的取值范围为[6，＋∞)．
若将“f (x)<5－m恒成立”改为“存在x，使f (x)<5－m成立”，如何求m的取值范围？
解 由题意知f (x)<5－m有解，
即m<有解，则m
命题点3 给定参数范围的恒成立问题
例5 若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，求实数x的取值范围．
解 设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直线，当m∈[1,2]时，图象为一条线段，
则即
解得
思维升华 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
跟踪训练2 函数f (x)＝x2＋ax＋3.
(1)若当x∈R时，f (x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若当x∈[－2,2]时，f (x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若当a∈[4,6]时，f (x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．
解 (1)∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
解得－6≤a≤2，∴实数a的取值范围是[－6,2]．
(2)由题意可转化为x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2,2]上恒成立，
则(x2＋ax＋3－a)min≥0(x∈[－2,2])．
令g(x)＝x2＋ax＋3－a，x∈[－2,2]，
函数图象的对称轴方程为x＝－.
当－<－2，即a>4时，g(x)min＝g(－2)＝7－3a≥0，解得a≤，舍去；
当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，g(x)min＝g＝－－a＋3≥0，解得－6≤a≤2，
∴－4≤a≤2；
当－>2，即a<－4时，g(x)min＝g(2)＝7＋a≥0，
解得a≥－7，∴－7≤a<－4.
综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7,2]．
(3)令h(a)＝xa＋x2＋3.
当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立．
只需即
解得x≤－3－或x≥－3＋.
∴实数x的取值范围是
(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞)．
设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ>0)有不相等的两根为x1，x2，且x1
分布情况
两个负根即两根都小于0(x1<0，x2<0)
两个正根即两根都大于0(x1>0，x2>0)
一正根一负根即一个根小于0，一个根大于0(x1<0
得出的结论
f (0)<0
大致图象(a<0)
得出的结论
f (0)>0
综合结论(不讨论a)
a·f (0)<0
表二：(两根与k的大小比较)
分布情况
两根都小于k即x1
一个根小于k，一个根大于k即x1
得出的结论
f (k)<0
大致图象(a<0)
得出的结论
f (k)>0
综合结论(不讨论a)
a·f (k)<0
表三：(根在区间上的分布)
分布情况
两根都在(m，n)内
两根有且仅有一根在(m，n)内(图象有两种情况，只画了一种)
一根在(m，n)内，另一根在(p，q)内，m
得出的结论
f (m)·f (n) <0
或
大致图象(a<0)
得出的结论
f (m)·f (n) <0
或
综合结论(不讨论a)
f (m)·f (n) <0
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m，n)外，即在区间两侧x1n，(图形分别如下)需满足的条件是
(1)a>0时，
(2)a<0时，
对以上的根的分布表中，两根有且仅有一根在(m，n)内有以下特殊情况：
(ⅰ)若f (m)＝0或f (n)＝0，则此时f (m)·f (n)<0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m，n)内，从而可以求出参数的值．如方程mx2－(m＋2)x＋2＝0在区间(1,3)上有一根，因为f (1)＝0，所以mx2－(m＋2)x＋2＝(x－1)(mx－2)，另一根为，由1<<3得
解 设f (x)＝(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)，
由(2m＋1)·f (0)<0 ，即(2m＋1)(m－1)<0，
解得－
解 设f (x)＝2x2－(m＋1)x＋m，
由⇒
⇒ ⇒03＋2，即m的取值范围为(0,3－2)∪(3＋2，＋∞)．
例3 已知二次函数f (x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围．
解 由(m＋2)·f (1)<0 ，
即(m＋2)·(2m＋1)<0⇒－2
1．(2019·武汉调研)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|x2＋3x<0}，则A∩B等于( )
A．(0,2) B．(－1,0)
C．(－3,2) D．(－1,3)
答案 B
解析 A＝{x|－1
A.∪
B.
C.∪
D.
答案 A
解析 由f (x)＝(ax－1)(x＋b)>0的解集是(－1,3)，则a<0，故＝－1，－b＝3，即a＝－1，b＝－3.
∴f (x)＝－x2＋2x＋3，
∴f (－2x)＝－4x2－4x＋3，
由－4x2－4x＋3<0，解得x>或x<－，
故不等式f (－2x)<0的解集是
∪.故选A.
3．(2020·永州模拟)“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件是( )
A．m> B．m<
C．m<1 D．m>1
答案 A
解析 ∵不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，
∴Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>，
又∵m>，∴Δ＝1－4m<0，
∴“m>”是“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件．故选A.
4．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是( )
A．[－4,1] B．[－4,3]
C．[1,3] D．[－1,3]
答案 B
解析 原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1
A. B.
C．(1，＋∞) D.
答案 A
解析 由Δ＝a2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为x1x2＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图象的示意图如图．所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a>－，故选A.
6．在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含1个整数，则a的取值范围是( )
A．(－3,5) B．(－2,4)
C．[－1,3] D．[－2,4]
答案 C
解析 因为关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0，
当a>1时，不等式的解集为{x|1
要使得解集中至多包含1个整数，则a＝1或1
7．(2020·北京市石景山区模拟)已知集合A＝{－5，－1,2,4,5}，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素，这个不等式可以是______________．
答案 (x＋4)(x－6)>0(答案不唯一)
解析 因为不等式(x＋4)(x－6)>0解集为{x|x>6或x<－4}，解集中只有－5在集合A中．
8．(2019·北京市顺义区模拟)满足关于x的不等式(ax－b)(x－2)>0的解集为，则满足条件的一组有序实数对(a，b)的值可以是________．
答案 (－2，－1)(答案不唯一)
解析 不等式(ax－b)(x－2)>0的解集为，
∴方程(ax－b)(x－2)＝0的实数根为和2，
且即a＝2b<0，
则满足条件的一组有序实数对(a，b)的值可以是(－2，－1)．
9．(2019·江西省宜丰中学月考)在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)，若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为________．
答案
解析 由题意，可知不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x都成立，
又由(x－a)⊗(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，
即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x都成立，
所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，即4a2－4a－3<0，
解得－
①当x∈[－1,0]时， f (x)的取值范围是________；
②当函数f (x)的图象在直线y＝x的下方时， x的取值范围是________．
答案 [－1,0] (－1,0)∪(1，＋∞)
解析 因为f (x)为奇函数，故可以求函数在[0,1]上的值域，当x>0时， f (x)＝－(x－1)2＋1在[0,1]上的值域为[0,1]，故在x∈[－1,0]上的值域为x∈[－1,0]；如图所示，当函数f (x)的图象在直线y＝x的下方时，得x的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．
11．(2019·衡水第十三中学质检)已知关于x的不等式－x2＋ax＋b>0.
(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a，b的值；
(2)若b＝a＋1，求此不等式的解集．
解 (1)根据题意得
解得a＝－2，b＝8.
(2)当b＝a＋1时，－x2＋ax＋b>0⇔x2－ax－(a＋1)<0，
即[x－(a＋1)](x＋1)<0.
当a＋1＝－1，即a＝－2时，原不等式的解集为∅；
当a＋1<－1，即a<－2时，原不等式的解集为(a＋1，－1)；
当a＋1>－1，即a>－2时，原不等式的解集为(－1，a＋1)．
综上，当a<－2时，不等式的解集为(a＋1，－1)；当a＝－2时，不等式的解集为∅；当a>－2时， 不等式的解集为(－1，a＋1)．
12．甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是100元．
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，则甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．
解 (1)根据题意，得200≥3 000，
整理得5x－14－≥0，即5x2－14x－3≥0，
又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.
故要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x的取值范围是[3,10]．
(2)设利润为y元，则y＝·100
＝9×104
＝9×104，
故当x＝6时，ymax＝457 500.
故甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元．
13．设a<0，(4x2＋a)(2x＋b)≥0在(a，b)上恒成立，则b－a的最大值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意知a<0，a
所以(4x2＋a)(2x＋b)≥0在(a，b)上恒成立可转化为∀x∈(a，b)，a≤－4x2，
所以a≤－4a2，所以－≤a<0，所以0
当x＝0时，(4x2＋a)(2x＋b)＝ab<0，不符合题意；
③当b＝0时，由题意知x∈(a,0)，(4x2＋a)2x≥0恒成立，
所以4x2＋a≤0，所以－≤a<0，所以0
14．已知对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2－2(a－2)x＋a>0，则实数a的取值范围是________．
答案 (1,5]
解析 设f (x)＝x2－2(a－2)x＋a，
当Δ＝4(a－2)2－4a<0，
即10 对x∈R恒成立，符合题意；
当a＝1时，f (－1)＝0，不符合题意；
当a＝4时，f (2)＝0 符合题意；
当Δ>0 时，由得
即4
15．(2020·上海市金山区模拟)若集合A＝{x∈Z|x2－(a＋2)x＋2－a<0}中有且只有一个元素，则正实数a的取值范围是________．
答案
解析 f (x)＝x2－(a＋2)x＋2－a<0，
即x2－2x＋1
y2＝a(x＋1)－1，易知y2过定点(－1，－1)，
在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图所示，
若集合A＝{x∈Z|f (x)<0}中有且只有一个元素，结合图象可得，即点(0,1)和点(2,1)在直线上或者在直线上方，点(1,0)在直线下方，
∴解得
解 ∵f (x)＝x2－2ax＋2a－1的对称轴为x＝a，且a∈(0,3)，
∴函数f (x)＝x2－2ax＋2a－1在[0，a]上是减函数，
在[a,4]上是增函数；
∴函数f (x)＝x2－2ax＋2a－1在[0,4]上的最小值为f (a)＝－(a－1)2∈(－4,0]，|f (a)|＝(a－1)2，
①当2≤a<3时，函数f (x)＝x2－2ax＋2a－1(x∈[0,4])在x＝0时取得最大值，且最大值为2a－1，由于此时2≤a<3，则3≤2a－1<5，
易知当2≤a<3时，(a－1)2<2a－1，
所以|f (x)|max＝max{|f (a)|，|f (0)|}＝|f (0)|＝2a－1∈[3,5)．
∴t≤3.
②当0
∴t≤3.
综上， t的取值范围是(－∞，3]．
最新考纲
考情考向分析
1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．
2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．
3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.
以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想、分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．在高考中常以选择题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高.
一元二次不等式的解集
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根
有两相异实根x1，x2(x1
没有实数根
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
{x|x
{x|x∈R}
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
{x|x1< x
∅
概念方法微思考
1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集与其对应的函数y＝ax2＋bx＋c的图象有什么关系？
提示 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是其对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围．
2．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件是什么？
提示 显然a≠0.ax2＋bx＋c>0恒成立的条件是ax2＋bx＋c<0恒成立的条件是
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( √ )
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( × )
(3)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.( × )
(4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．( √ )
题组二 教材改编
2．已知集合A＝{x|x2－x－6>0}，则∁RA等于( )
A．{x|－2
C．{x|x<－2或x>3}
D．{x|x≤－2或x≥3}
答案 B
解析 ∵x2－x－6>0，∴(x＋2)(x－3)>0，∴x>3或x<－2，即A＝{x|x>3或x<－2}．在数轴上表示出集合A，如图所示．
由图可得∁RA＝{x|－2≤x≤3}．
故选B.
3．y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是________________．
答案 ∪
解析 由题意，得3x2－2x－2>0，
令3x2－2x－2＝0，得x1＝，x2＝，
∴3x2－2x－2>0的解集为
∪.
题组三 易错自纠
4．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示)
答案 (－4,1)
解析 由－x2－3x＋4>0可知，(x＋4)(x－1)<0，
得－4
答案 －14
解析 ∵x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，
∴解得∴a＋b＝－14.
6．不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0，对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 (－2,2]
解析 当a－2≠0时，由得－2
∴－2
命题点1 不含参的不等式
例1 (2019·新乡模拟)已知集合A＝{x|x2－4x<5}，则下列选项中正确的是( )
A．－1.2∈A B．30.9∉A
C．log230∈A D．A∩N＝{1,2,3,4}
答案 C
解析 因为A＝{x|－1
例2 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
解 原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，
因为a>0，所以(x－1)<0.
所以当a>1时，解得
当0
当a>1时，不等式的解集为.
思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
跟踪训练1 (1)(2019·北京市海淀区期末)不等式x2＋2x－3<0的解集为( )
A．{x|x<－3或x>1} B．{x|x<－1或x>3}
C．{x|－1
解析 由x2＋2x－3<0得(x＋3)(x－1)<0，解得－3
答案 {x|x≥3或x≤2}
解析 由题意，知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a<0，
所以解得
故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，
解得x≥3或x≤2.
(3)解不等式12x2－ax>a2(a∈R)．
解 原不等式可化为12x2－ax－a2>0，
即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，
解得x1＝－，x2＝.
当a>0时，不等式的解集为∪；
当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
当a<0时，不等式的解集为∪.
一元二次不等式恒成立问题
命题点1 在R上的恒成立问题
例3 已知函数f (x)＝mx2－mx－1.若对于x∈R，f (x)<0恒成立，求实数m的取值范围．
解 当m＝0时，f (x)＝－1<0恒成立．
当m≠0时，则即－4
例4 已知函数f (x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f (x)<5－m恒成立，求实数m的取值范围．
解 要使f (x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，
即m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．
有以下两种方法：
方法一 令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，
所以m<，所以0
当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，
所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，
所以m<6，所以m<0.
综上所述，m的取值范围是.
方法二 因为x2－x＋1＝2＋>0，
又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<.
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．
所以m的取值范围是.
若将“f (x)<5－m恒成立”改为“f (x)<5－m无解”，如何求m的取值范围？
解 若f (x)<5－m无解，即f (x)≥5－m恒成立，
即m≥恒成立，
又x∈[1,3]时，max＝6，得m≥6，
即m的取值范围为[6，＋∞)．
若将“f (x)<5－m恒成立”改为“存在x，使f (x)<5－m成立”，如何求m的取值范围？
解 由题意知f (x)<5－m有解，
即m<有解，则m
命题点3 给定参数范围的恒成立问题
例5 若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，求实数x的取值范围．
解 设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直线，当m∈[1,2]时，图象为一条线段，
则即
解得
思维升华 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
跟踪训练2 函数f (x)＝x2＋ax＋3.
(1)若当x∈R时，f (x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若当x∈[－2,2]时，f (x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若当a∈[4,6]时，f (x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．
解 (1)∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
解得－6≤a≤2，∴实数a的取值范围是[－6,2]．
(2)由题意可转化为x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2,2]上恒成立，
则(x2＋ax＋3－a)min≥0(x∈[－2,2])．
令g(x)＝x2＋ax＋3－a，x∈[－2,2]，
函数图象的对称轴方程为x＝－.
当－<－2，即a>4时，g(x)min＝g(－2)＝7－3a≥0，解得a≤，舍去；
当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，g(x)min＝g＝－－a＋3≥0，解得－6≤a≤2，
∴－4≤a≤2；
当－>2，即a<－4时，g(x)min＝g(2)＝7＋a≥0，
解得a≥－7，∴－7≤a<－4.
综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7,2]．
(3)令h(a)＝xa＋x2＋3.
当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立．
只需即
解得x≤－3－或x≥－3＋.
∴实数x的取值范围是
(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞)．
设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ>0)有不相等的两根为x1，x2，且x1
分布情况
两个负根即两根都小于0(x1<0，x2<0)
两个正根即两根都大于0(x1>0，x2>0)
一正根一负根即一个根小于0，一个根大于0(x1<0
得出的结论
f (0)<0
大致图象(a<0)
得出的结论
f (0)>0
综合结论(不讨论a)
a·f (0)<0
表二：(两根与k的大小比较)
分布情况
两根都小于k即x1
一个根小于k，一个根大于k即x1
得出的结论
f (k)<0
大致图象(a<0)
得出的结论
f (k)>0
综合结论(不讨论a)
a·f (k)<0
表三：(根在区间上的分布)
分布情况
两根都在(m，n)内
两根有且仅有一根在(m，n)内(图象有两种情况，只画了一种)
一根在(m，n)内，另一根在(p，q)内，m
得出的结论
f (m)·f (n) <0
或
大致图象(a<0)
得出的结论
f (m)·f (n) <0
或
综合结论(不讨论a)
f (m)·f (n) <0
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m，n)外，即在区间两侧x1
(1)a>0时，
(2)a<0时，
对以上的根的分布表中，两根有且仅有一根在(m，n)内有以下特殊情况：
(ⅰ)若f (m)＝0或f (n)＝0，则此时f (m)·f (n)<0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m，n)内，从而可以求出参数的值．如方程mx2－(m＋2)x＋2＝0在区间(1,3)上有一根，因为f (1)＝0，所以mx2－(m＋2)x＋2＝(x－1)(mx－2)，另一根为，由1<<3得
解 设f (x)＝(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)，
由(2m＋1)·f (0)<0 ，即(2m＋1)(m－1)<0，
解得－
解 设f (x)＝2x2－(m＋1)x＋m，
由⇒
⇒ ⇒0
例3 已知二次函数f (x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围．
解 由(m＋2)·f (1)<0 ，
即(m＋2)·(2m＋1)<0⇒－2
1．(2019·武汉调研)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|x2＋3x<0}，则A∩B等于( )
A．(0,2) B．(－1,0)
C．(－3,2) D．(－1,3)
答案 B
解析 A＝{x|－1
A.∪
B.
C.∪
D.
答案 A
解析 由f (x)＝(ax－1)(x＋b)>0的解集是(－1,3)，则a<0，故＝－1，－b＝3，即a＝－1，b＝－3.
∴f (x)＝－x2＋2x＋3，
∴f (－2x)＝－4x2－4x＋3，
由－4x2－4x＋3<0，解得x>或x<－，
故不等式f (－2x)<0的解集是
∪.故选A.
3．(2020·永州模拟)“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件是( )
A．m> B．m<
C．m<1 D．m>1
答案 A
解析 ∵不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，
∴Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>，
又∵m>，∴Δ＝1－4m<0，
∴“m>”是“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件．故选A.
4．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是( )
A．[－4,1] B．[－4,3]
C．[1,3] D．[－1,3]
答案 B
解析 原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1
A. B.
C．(1，＋∞) D.
答案 A
解析 由Δ＝a2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为x1x2＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图象的示意图如图．所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a>－，故选A.
6．在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含1个整数，则a的取值范围是( )
A．(－3,5) B．(－2,4)
C．[－1,3] D．[－2,4]
答案 C
解析 因为关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0，
当a>1时，不等式的解集为{x|1
要使得解集中至多包含1个整数，则a＝1或1
7．(2020·北京市石景山区模拟)已知集合A＝{－5，－1,2,4,5}，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素，这个不等式可以是______________．
答案 (x＋4)(x－6)>0(答案不唯一)
解析 因为不等式(x＋4)(x－6)>0解集为{x|x>6或x<－4}，解集中只有－5在集合A中．
8．(2019·北京市顺义区模拟)满足关于x的不等式(ax－b)(x－2)>0的解集为，则满足条件的一组有序实数对(a，b)的值可以是________．
答案 (－2，－1)(答案不唯一)
解析 不等式(ax－b)(x－2)>0的解集为，
∴方程(ax－b)(x－2)＝0的实数根为和2，
且即a＝2b<0，
则满足条件的一组有序实数对(a，b)的值可以是(－2，－1)．
9．(2019·江西省宜丰中学月考)在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)，若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为________．
答案
解析 由题意，可知不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x都成立，
又由(x－a)⊗(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，
即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x都成立，
所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，即4a2－4a－3<0，
解得－
①当x∈[－1,0]时， f (x)的取值范围是________；
②当函数f (x)的图象在直线y＝x的下方时， x的取值范围是________．
答案 [－1,0] (－1,0)∪(1，＋∞)
解析 因为f (x)为奇函数，故可以求函数在[0,1]上的值域，当x>0时， f (x)＝－(x－1)2＋1在[0,1]上的值域为[0,1]，故在x∈[－1,0]上的值域为x∈[－1,0]；如图所示，当函数f (x)的图象在直线y＝x的下方时，得x的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．
11．(2019·衡水第十三中学质检)已知关于x的不等式－x2＋ax＋b>0.
(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a，b的值；
(2)若b＝a＋1，求此不等式的解集．
解 (1)根据题意得
解得a＝－2，b＝8.
(2)当b＝a＋1时，－x2＋ax＋b>0⇔x2－ax－(a＋1)<0，
即[x－(a＋1)](x＋1)<0.
当a＋1＝－1，即a＝－2时，原不等式的解集为∅；
当a＋1<－1，即a<－2时，原不等式的解集为(a＋1，－1)；
当a＋1>－1，即a>－2时，原不等式的解集为(－1，a＋1)．
综上，当a<－2时，不等式的解集为(a＋1，－1)；当a＝－2时，不等式的解集为∅；当a>－2时， 不等式的解集为(－1，a＋1)．
12．甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是100元．
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，则甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．
解 (1)根据题意，得200≥3 000，
整理得5x－14－≥0，即5x2－14x－3≥0，
又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.
故要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x的取值范围是[3,10]．
(2)设利润为y元，则y＝·100
＝9×104
＝9×104，
故当x＝6时，ymax＝457 500.
故甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元．
13．设a<0，(4x2＋a)(2x＋b)≥0在(a，b)上恒成立，则b－a的最大值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意知a<0，a
所以(4x2＋a)(2x＋b)≥0在(a，b)上恒成立可转化为∀x∈(a，b)，a≤－4x2，
所以a≤－4a2，所以－≤a<0，所以0
当x＝0时，(4x2＋a)(2x＋b)＝ab<0，不符合题意；
③当b＝0时，由题意知x∈(a,0)，(4x2＋a)2x≥0恒成立，
所以4x2＋a≤0，所以－≤a<0，所以0
14．已知对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2－2(a－2)x＋a>0，则实数a的取值范围是________．
答案 (1,5]
解析 设f (x)＝x2－2(a－2)x＋a，
当Δ＝4(a－2)2－4a<0，
即1
当a＝1时，f (－1)＝0，不符合题意；
当a＝4时，f (2)＝0 符合题意；
当Δ>0 时，由得
即4
15．(2020·上海市金山区模拟)若集合A＝{x∈Z|x2－(a＋2)x＋2－a<0}中有且只有一个元素，则正实数a的取值范围是________．
答案
解析 f (x)＝x2－(a＋2)x＋2－a<0，
即x2－2x＋1
y2＝a(x＋1)－1，易知y2过定点(－1，－1)，
在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图所示，
若集合A＝{x∈Z|f (x)<0}中有且只有一个元素，结合图象可得，即点(0,1)和点(2,1)在直线上或者在直线上方，点(1,0)在直线下方，
∴解得
解 ∵f (x)＝x2－2ax＋2a－1的对称轴为x＝a，且a∈(0,3)，
∴函数f (x)＝x2－2ax＋2a－1在[0，a]上是减函数，
在[a,4]上是增函数；
∴函数f (x)＝x2－2ax＋2a－1在[0,4]上的最小值为f (a)＝－(a－1)2∈(－4,0]，|f (a)|＝(a－1)2，
①当2≤a<3时，函数f (x)＝x2－2ax＋2a－1(x∈[0,4])在x＝0时取得最大值，且最大值为2a－1，由于此时2≤a<3，则3≤2a－1<5，
易知当2≤a<3时，(a－1)2<2a－1，
所以|f (x)|max＝max{|f (a)|，|f (0)|}＝|f (0)|＝2a－1∈[3,5)．
∴t≤3.
②当0
∴t≤3.
综上， t的取值范围是(－∞，3]．
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