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【精品】人教版 七年级上册数学 专题10 七年级数学上册期末考试重难点题型（举一反三）（人教版）（解析版）
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专题10 七年级数学上册期末考试重难点题型【举一反三】
【人教版】
【考点1 利用数轴判断符号】
【方法点拨】解决此类问题需由数轴得知字母所表示的数的正负性，再根据有理数加、减、乘、除、乘方、绝对值的意义以及数轴上右边点的数总比左边的数大判断即可.
【例1】（秋•宿松县期末）有理数a，b在数轴上的表示如图所示，则下列结论中：①ab＜0，②﹣a＞﹣b，③a+b＜0，④a﹣b＜0，⑤a＜|b|，正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据数轴知b＜0＜a，且|a|＜|b|，再利用有理数的乘法、加法、减法及绝对值性质等知识点逐一判断可得．
【解答】解：由数轴知b＜0＜a，且|a|＜|b|，
则①ab＜0，此结论正确；
②﹣a＜﹣b，此结论错误；
③a+b＜0，此结论正确；
④a﹣b＞0，此结论错误；
⑤a＜|b|，此结论正确；
故选：B．
【点评】本题考查的是数轴和绝对值，熟知数轴上右边的数总比左边的大及有理数的混合运算法则是解答此题的关键．
【变式1-1】（秋•西城区期末）如图，数轴上A，B两点对应的数分别是a和b，对于以下四个式子：①2a﹣b；②a+b；③|b|﹣|a|：④，其中值为负数的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【分析】根据图示，可得b＜﹣3，0＜a＜3，据此逐项判断即可．
【解答】解：根据图示，可得b＜﹣3，0＜a＜3，
①2a﹣b＞0；
②a+b＜0；
③|b|﹣|a|＞0；
④＜0．
故其中值为负数的是②④．
故选：D．
【点评】此题主要考查了绝对值的含义和求法，以及数轴的特征和应用，要熟变式掌握，解答此题的关键是判断出a、b的取值范围．
【变式1-2】（秋•九龙坡区校级期中）如图，数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，则下列结论：①ab＜0；②a+b＞0；③a﹣b＞1；④a2﹣b2＜0，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据数轴的性质，可以得到两个点表示数的大小关系和符号，根据有理数计算法则可得出结论
【解答】解：∵b＜﹣1＜0，0＜a＜1
∴①ab＜0，正确
②a+b＞0，错误
③a﹣b＞1，正确
④a2﹣b2＜0，正确
故选：C．
【点评】该题考查了数轴及有理数计算，属于常考题，难度不大
【变式1-3】（秋•黄陂区期中）有理数a、b、c在数轴上对应的点的位置，如图所示：①abc＜0；②|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；③（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0；④|a|＜1﹣bc，以上四个结论正确的有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】先根据数轴上a、b、c的位置判断它们的正负、大小，利用乘法的符号法则、有理数的减法法则、绝对值的化简等知识点逐个判断得结论．
【解答】解：由数轴知：a＜﹣1＜0＜b＜c＜1．
∵a＜0．b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①正确；
∵a＜b，b＜c，a＜c，
∴|a﹣b|+|b﹣c|＝b﹣a+c﹣b＝c﹣a，
|a﹣c|＝c﹣a，
∴|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|，故②正确；
∵a＜b，b＜c，a＜c，
∴a﹣b＜0，b﹣c＜0，c﹣a＞0
∴（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0，故③正确；
∵a＜﹣1，∴|a|＞1，
∵0＜b＜c＜1，∴0＜bc＜1，
∴1﹣bc＜1，
∴|a|＞1﹣bc，故④不正确．
故选：B．
【点评】本题考查了数轴上点的特点，有理数乘法的符号法则，有理数的大小比较，绝对值的化简等知识点，掌握减法、乘法的符号法则是解决本题的关键．
【考点2 有理数混合运算】
【方法点拨】解决此类问题需熟变式掌握有理数混合运算的先后顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，
有括号的先算括号里，值得注意有些题可能会运用运算律进行简便运算.
【例2】（2019春•黄州区校级月考）计算：
（1）
（2）
【分析】（1）原式利用乘法分配律计算即可求出值；
（2）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝﹣6+27﹣15＝6；
（2）原式＝9××（﹣）+4+4×（﹣）＝﹣﹣+4＝﹣．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟变式掌握运算法则是解本题的关键．
【变式2-1】（秋•宝应县期末）计算：
（1）
（2）
【分析】（1）先算乘方，再算乘法，最后算减法；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算；
（2）先算乘方，再算除法，最后算减法；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号和绝对值，要先做括号和绝对值内的运算．
【解答】解：（1）﹣15﹣[﹣1﹣（4﹣22×5）]
＝﹣15﹣[﹣1﹣（4﹣4×5）]
＝﹣15﹣[﹣1﹣（4﹣20）]
＝﹣15﹣（﹣1+16）
＝﹣15﹣15
＝﹣30；
（2）﹣12019﹣（1﹣）÷|3﹣（﹣3）2|
＝﹣1﹣÷|3﹣9|
＝﹣1﹣÷6
＝﹣1﹣
＝﹣1．
【点评】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【变式2-2】（2019春•沙坪坝区校级月考）计算：
（1）．
（2）．
【分析】（1）原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可求出值；
（2）原式利用乘方的意义，以及乘法分配律计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝﹣8﹣81﹣27＝﹣113；
（2）原式＝﹣1+8﹣2+4＝9．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟变式掌握运算法则是解本题的关键．
【变式2-3】（秋•渝中区校级期末）有理数的计算：
（1）
（2）
【分析】（1）去括号，再利用加法交换律和结合律计算可得；
（2）根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+2+1+3﹣1
＝﹣1+6
＝5；
（2）原式＝﹣2﹣1××（12﹣+）
＝﹣2﹣×12
＝﹣2﹣9
＝﹣11．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及其运算律．
【考点3 有关数轴的探究题】
【方法点拨】解决此类问题数形结合思想是关键.
【例3】（秋•海淀区校级期中）如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆，有一个公共点与数轴上的原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒2π个单位，
（1）若小圆不动，大圆沿数轴来回滚动，规定大圆向右滚动的时间记为正数，向左滚动时间即为负数，依次滚动的情况录如下（单位：秒）：
﹣1，+2，﹣4，﹣2，+3，+6
①第 次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离最远；
②当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有多少？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？（结果保留π）
（2）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距9π，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数．
【分析】（1）①算出每次滚动后大圆与数轴的公共点到原点的距离，然后比较大小即可；
②总路程与方向无关把每次的移动的距离相加即可；
（2）分同向和反相两种情况讨论，同向路程之差为9π，反向路程之和为9π，然后求出相应时间，再根据不同方向确定两圆与数轴重合的点所表示的数
【解答】解：（1）①：第1次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π|＝2π
第2次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π+2×2π|＝2π
第3次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π|＝6π
第4次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π|＝10π
第5次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π|＝4π
第6次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π+6×2π|＝8π
所以第四次滚动后大圆与数轴的公共点到原点的距离最远．
故答案为4；
②总路程为：|﹣1×2π|+|+2×2π|+|﹣4×2π|+|﹣2×2π|+|+3×2π|+|+6×2π|＝36π
此时两圆与数轴重合的点之间的距离为：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π+6×2π|＝8π
（2）当它们同向运动时
秒，
小圆与数轴重合的点所表示的数为9π，大圆与数轴重合的点所表示的数为18π，
或小圆与数轴重合的点所表示的数为﹣9π，大圆与数轴重合的点所表示的数为﹣18π，
当它们反向运动时
秒，
小圆与数轴重合的点所表示的数为﹣3π，大圆与数轴重合的点所表示的数为6π，
或小圆与数轴重合的点所表示的数为3π，大圆与数轴重合的点所表示的数为﹣6π，
【点评】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．
【变式3-1】（秋•江岸区校级月考）如图，数轴上A，B两点对应的数分别﹣4，8．有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度；然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度；在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，…按照如此规律不断地左右运动
（1）当运动到第次时，求点P所对应的有理数．
（2）点P会不会在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍？若可能请求出此时点P的位置，若不可能请说明理由．
【分析】（1）根据题意可以发现点P运动后对应的点的规律，从而可以解答本题；
（2）根据题意分两种情况：①当P点在A点的左边时；②当P点在AB之间时；可以求得点P对应的有理数．
【解答】解：（1）﹣4﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣…﹣2017+
＝﹣4+1009
＝1005．
故点P所对应的有理数是1005．
（2）①当P点在A点的左边时，
∵PB＝3PA，
∴AB＝2PA，
∴PA＝6，
∴P点对应的数为﹣10，
﹣4﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8﹣9+10﹣11＝﹣10，
∴可以；
②当P点在AB之间时，
∵PB＝3PA，
∴AB＝4PA，
∴PA＝3，
∴P点对应的数为﹣1，﹣4﹣1+2﹣3+4﹣5+6＝﹣1，
∴可以．
∴点P对应的数为﹣10或﹣1．
【点评】本题考查数轴，解答本题的关键是明确数轴的特点，利用分类思想、数形结合的思想解答．
【变式3-2】（秋•淮阴区期中）已知在纸面上有一数轴（如图1），折叠纸面．
（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣4表示的点与 表示的点重合；
（2）若﹣2表示的点与8表示的点重合，回答以下问题：
①16表示的点与 表示的点重合；
②如图2，若数轴上A、B两点之间的距离为（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是 、 ．
（3）如图3，若m和n表示的点C和点D经折叠后重合，（m＞n＞0），现数轴上P、Q两点之间的距离为a（P在Q的左侧），且P、Q两点经折叠后重合，求P、Q两点表示的数分别是多少？（用含m，n，a的代数式表示）
【分析】（1）由表示1与﹣1的两点重合，利用对称性即可得到结果；
（2）由﹣2表示的点与8表示的点重合，确定出3为对称点，得出两项的结果即可；
（3）根据（2）的计算方法进行解答．
【解答】解：（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则原点为对称点，所以﹣4表示的点与4表示的点重合；
（2）由题意得：（﹣2+8）÷2＝3，即3为对称点，
①根据题意得：2×3﹣16＝﹣10；
②∵3为对称点，A、B两点之间的距离为（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，
∴A表示的数＝﹣+3＝﹣1006，B点表示的数＝+3＝1012；
（3）点P表示的数为：；点Q表示的数为：．
故答案为：（1）4；（2）①﹣10； ②﹣1006，1012．
【点评】本题考查了数轴的运用．关键是利用数轴，数形结合求出答案，注意不要漏解．
【变式3-3】（秋•海淀区校级期中）下面材料：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．
当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|
当A、B两点都不在原点时，
（1）如图2，点A、B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|
（2）如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝a﹣b＝|a﹣b|
（3）如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝a﹣b＝|a﹣b|
综上，数轴上A、B两点的距离|AB|＝|a﹣b|
回答下列问题：
（1）数轴上表示﹣2和﹣5两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A、B之间的距离是|x+1|，如果|AB|＝2，那么x为 ；
（3）当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ．
【分析】本题应从绝对值在数轴上的定义（绝对值定义是坐标轴上的点到原点的距离）下手，分别解出答案．
【解答】解：（1）﹣2﹣（﹣5）＝﹣2+5＝3；所以﹣2与﹣5两点之间的距离是3；
（2）因为|x+1|＝2，所以x＝1或﹣3；
（3）根据绝对值的定义，|x+1|+|x﹣2|可表示为x到﹣1与2两点距离的和，根据绝对值的几何意义知，当x在﹣1与2之间时，|x+1|+|x﹣2|有最小值3．
故答案为：（1）3 （2）1或﹣3 （3）﹣1≤x≤2
【点评】本题考查了绝对值的集合意义．读懂并理解题目材料，会利用绝对值的几何意义是解决本题的关键．
【考点4 整式加减化简求值】
【方法点拨】整式加减化简求值的一般步骤：①去括号、合并同类项.；②代入求值.
【例4】（秋•蒙阴县期中）先化简，再求值：，其中，．
【思路点拨】先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值即可．
【答案】解：原式＝5a2b﹣（3a2b﹣4ab+2a2b﹣4a2）﹣3ab
＝5a2b﹣（5a2b﹣4ab﹣4a2）﹣3ab
＝5a2b﹣5a2b+4ab+4a2﹣3ab
＝ab+4a2，
当a＝﹣3，b＝﹣2时，
原式＝﹣3×（﹣2）+4×（﹣3）2＝42．
【方法总结】本题主要考查了化简求值问题，给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
【变式4-1】（秋•朝阳区期中）先化简，再求值：已知，求的
值．
【思路点拨】原式先去括号，再合并同类项化简，继而由x2﹣2y﹣5＝0知x2﹣2y＝5，代入原式＝2（x2﹣2y）计算可得．
【答案】解：原式＝3x2﹣6xy﹣x2+6xy﹣4y
＝2x2﹣4y，
∵x2﹣2y﹣5＝0，
∴x2﹣2y＝5，
则原式＝2（x2﹣2y）＝2×5＝10．
【方法总结】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键．
【变式4-2】（秋•金堂县期中）已知，，先求，并求当，
时，的值．
【思路点拨】此题需要先去括号，再合并同类项，将原整式化简，然后再将a，b的值代入求解即可．
【答案】解：﹣B+2A＝﹣（2ab﹣3b2+4a2）+2（3a2+b2﹣5ab）
＝﹣2ab+3b2﹣4a2+6a2+2b2﹣10ab
＝2a2+5b2﹣12ab，
当a＝﹣，b＝2时，
原式＝2×（﹣）2+5×22﹣12×（﹣）×2
＝2×+5×4+12
＝+20+12
＝32．
【方法总结】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式4-3】（秋•杭州期中）化简求值：已知整式与整式的差不含和
项，试求的值．
【思路点拨】根据两整式的差不含x和x2项，可得差式中x与x2的系数为0，列式求出a、b的值，然后将代数式化简再代值计算．
【答案】解：2x2+ax﹣y+6﹣（2bx2﹣3x+5y﹣1）
＝2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+3x﹣5y+1
＝（2﹣2b）x2+（a+3）x﹣6y+7，
∵两个整式的差不含x和x2项，
∴2﹣2b＝0，a+3＝0，
解得a＝﹣3，b＝1，
4（a2+2b3﹣a2b）+3a2﹣2（4b3+2a2b）
＝4a2+8b3﹣4a2b+3a2﹣8b3﹣4a2b
＝7a2﹣8a2b，
当a＝﹣3，b＝1时，
原式＝7a2﹣8a2b
＝7×（﹣3）2﹣8×（﹣3）2×1
＝7×9﹣8×9×1
＝63﹣72
＝﹣9．
【方法总结】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【考点5 代数式求值—整体代入法】
【方法点拨】整体代入的思想是把联系紧密的几个量作为一个整体来看的数学思想，运用这种方法，有时
可使复杂问题简单化.
【例5】（2019秋•锡山区校级期中）化简与求值：
（1）若，则代数式的值为 ；
（2）若，则代数式的值为 ；
（3）若，请仿照以上求代数式值的方法求出的值．
【思路点拨】（1）把m＝﹣5代入求出即可；
（2）把2m+2n+1变成2（m+n）+1，把m+n的值代入求出即可；
（3）把代数式化简得出10m﹣6n+2，推出2（5m﹣3n）+2，把5m﹣3n＝﹣5代入求出即可．
【答案】（1）解：当m＝﹣5时，m2+1＝×（﹣5）2+1＝5+1＝6，
故答案为：6．
（2）解：∵m+n＝﹣5，
∴2m+2n+1
＝2（m+n）+1
＝2×（﹣5）+1
＝﹣9．
故答案为：﹣9．
（3）解：∵5m﹣3n＝﹣5，
∴2（m﹣n）+4（2m﹣n）+2
＝2m﹣2n+8m﹣4n+2
＝10m﹣6n+2
＝2（5m﹣3n）+2，
当5m﹣3n＝﹣5时，原式＝2×（﹣5）+2＝﹣8．
【方法总结】本题考查了求代数式的值，用了整体代入思想，题目都比较好，难度适中．
【变式5-1】（2019秋•余姚市期末）已知：，求的值．
【思路点拨】把2x﹣y＝5整体代入代数式求得答案即可．
【答案】解：原式＝﹣2（2x﹣y）2﹣3（2x﹣y），
又∵2x﹣y＝5，
∴原式＝﹣2×52﹣3×5，
＝﹣65．
【方法总结】此题考查代数式求值，利用整体代入是解答此题的关键．
【变式5-2】（2019秋•崇川区期末）已知当，时，，求当，时，式子的值．
【思路点拨】将x＝2，y＝﹣4代入代数式使其值为求出4a﹣b的值，将x＝﹣4，y＝﹣代入所求式子，整理后将4a﹣b的值代入计算即可求出值．
【答案】解：当x＝2，y＝﹣4时，
得a×23+b×（﹣4）+8＝，
8a﹣2b+8＝．
8a﹣2b＝2010．
4a﹣b＝1005，
当x＝﹣4，y＝﹣时，
原式＝3a×（﹣4）﹣24b×（﹣）3+6
＝﹣12a+3b+6
＝﹣3（4a﹣b）+6
＝﹣3×1005+6
＝﹣3009．
【方法总结】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式5-3】（秋•慈利县期中）先阅读下面例题的解答过程，再解答后面的问题．
例：已知代数式的值为2，求的值．
解：由得，所以．
问题：（1）已知代数式的值为6，求的值；
（2）已知代数式的值为，求的值．
【思路点拨】（1）变形已知直接整体代入计算求值；
（2）由已知得方程，把已知变形后代入计算即可求出值．
【答案】解：（1）由2a2+3b＝6得a2+b＝3，
所以a2+b﹣5＝3﹣5＝﹣2；
（2）由14x+5﹣21x2＝﹣2得﹣7（3x2﹣2x）＝﹣7，
即3x2﹣2x＝1，
所以6x2﹣4x+5＝2（3x2﹣2x）+5＝2+5＝7．
【方法总结】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【考点6 列代数式】
【例6】（秋•淮阴区期中）如图所示
（1）用代数式表示长方形中阴影部分的面积；
（2）当，时，求其阴影部分的面积．（其中取
【思路点拨】（1）用长方形的面积减去2个半径为b的圆的面积，据此可得；
（2）将a，b的值代入计算可得．
【答案】解：（1）阴影部分的面积为ab﹣2××πb2＝ab﹣πb2；
（2）当a＝10，b＝4时，
ab﹣πb2＝10×4﹣×3.14×16≈14.88．
【方法总结】此题主要考查了如何列代数式，以及代数式值的求法，对于阴影面积不规则时，可以借助规则图形的差求出阴影部分的面积．
【变式6-1】（秋•甘井子区期中）如图（图中单位长度：求：
（1）阴影部分面积（用含的代数式表示）；
（2）当求阴影部分的面积取3.14，结果精确到．
【思路点拨】（1）根据“阴影部分面积＝两个矩形的面积和﹣半圆的面积”列式、化简即可得；
（2）将x的值代入计算可得．
【答案】解：（1）阴影部分面积＝×（x+）+×（x+﹣）﹣×π×[×（+）]2＝x+﹣π；
（2）当x＝时，
阴影部分的面积为+﹣π≈1﹣×3.14≈0.61（cm2）．
【方法总结】本题考查列代数式求值，涉及长方形的面积公式，圆的面积公式，代数式求值等问题．
【变式6-2】（秋•南安市期末）福建省教育厅日前发布文件，从2019年开始，体育成绩将按一定的原始分计入中考总分．某校为适应新的中考要求，决定为体育组添置一批体育器材．学校准备在网上订购一批某品牌足球和跳绳，在查阅天猫网店后发现足球每个定价150元，跳绳每条定价30元．现有、两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．
网店：买一个足球送一条跳绳；
网店：足球和跳绳都按定价的付款．
已知要购买足球40个，跳绳条
（1）若在网店购买，需付款 元（用含的代数式表示）．
若在网店购买，需付款 元（用含的代数式表示）．
（2）若时，通过计算说明此时在哪家网店购买较为合算？
（3）当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？
【思路点拨】（1）由题意在A 店购买可列式：40×150+（x﹣40）×30＝4800+30x．在网店B购买可列式：（40×150+30x）×0.9＝5400+27x
（2）将x＝100分别代入A店，B店即可以比较
（3）由于A店是买一个足球送跳绳，B店是足球和跳绳都按定价的90%付款，所以可以在A店买40个足球，剩下的60条跳绳在B店购买即可
【答案】解：依题意
（1）A 店购买可列式：40×150+（x﹣40）×30＝4800+30x
在网店B购买可列式：（40×150+30x）×0.9＝5400+27x
故答案为：4800+30x；5400+27x
（2）当x＝100时
在A网店购买需付款：4800+30x＝4800+30×100＝7800元
在B网店购买需付款：5400+27x＝5400+27×100＝8100元
∵7800＜8100
∴当x＝100时，应选择在A网店购买合算．
（3）由（2）可知，当x＝100时，在A网店付款7800元，在B网店付款8100元，
在A网店购买40个足球配送40个跳绳，再在B网店购买60个跳绳合计需付款：
150×40+30×60×90%＝7620
∵7620＜7800＜8100
∴省钱的购买方案是：
在A网店购买40个足球配送40个跳绳，再在B网店购买60个跳绳，付款7620元．
【方法总结】此题考查的是列代数式并求值，也可作为一元一次方程来考查，因此做此类题需要掌握解应用题的能力．
【变式6-3】（秋•郑州期中）郑东新区九年制实验学校体育组准备在网上为学校订购一批某品牌羽毛
球拍和羽毛球，在查阅京东网店后发现羽毛球拍一副定价40元，羽毛球每个定价5元．“双十一”期间、
两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．
网店：买一副球拍送1个羽毛球；
网店：羽毛球拍和羽毛球都按定价的付款．
已知要购买羽毛球拍30副，羽毛球个
（1）若在网店购买，需付款 元（用含的代数式表示）；若在网店购买，需付款 元．（用含的代数式表示）；
（2）若时，通过计算说明此时在哪家网店购买较为合算？
（3）当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算出需付款多少元？
【思路点拨】（1）按照对应的方案的计算方法分别列出代数式即可；
（2）把x＝40代入求得的代数式求得数值，进一步比较得出答案即可；
（3）根据两种方案的优惠方式，可得出先A网店购买30副羽毛球拍，送30个羽毛球，另外10副羽毛球拍在B网店购买即可．
【答案】解：（1）A网店购买需付款30×40+（x﹣30）×5＝5x+30×（40﹣5）＝（5x+1050）元；
B网店购买需付款40×90%×30+5×90%×x＝（4.5x+1080）元．
故答案为：（5x+1050），（4.5x+1080）；
（2）当x＝40时，
A网店需5×40+1050＝1250（元）；
B网店需4.5×40+1080＝1260（元）；
所以按方案一购买合算；
（3）先A网店购买30副羽毛球拍，送30个羽毛球需1200元，差10个羽毛球B网店购买需45元，共需1245元．
【方法总结】此题考查列代数式，理解两种方案的优惠方案，得出运算的方法是解决问题的关键．
【考点7 解一元一次方程】
【方法点拨】一元一次方程解法的一般步骤：
化简方程----------分数基本性质
去 分 母----------同乘（不漏乘）最简公分母
去 括 号----------注意符号变化
移 项----------变号（留下靠前）
合并同类项--------合并后符号
系数化为1---------除前面
【例7】（2019秋•安庆期中）解方程
（1）3x﹣5（x﹣2）＝2；
（2）＝1．
【分析】（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【答案】解：（1）去括号得：3x﹣5x+10＝2，
移项合并得：﹣2x＝﹣8，
解得：x＝4；
（2）去分母得：8x+4﹣3x+6＝12，
移项合并得：5x＝2，
解得：x＝．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式7-1】（秋•渭滨区期末）解方程
（1）x﹣2（x﹣4）＝3（1﹣x）
（2）1﹣＝
【分析】（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【答案】解：（1）去括号得：x﹣2x+8＝3﹣3x，
移项合并得：2x＝﹣5，
解得：x＝﹣2.5；
（2）去分母得：4﹣3x+1＝6+2x，
移项合并得：﹣5x＝1，
解得：x＝﹣0.2．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式7-2】（秋•榆次区期末）解方程：
（1）x﹣＝3
（2）
【分析】（1）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【答案】解：（1）去分母得：2x﹣x+1＝6，
解得：x＝5；
（2）方程整理得：5x﹣1＝，
去分母得：10x﹣2＝3﹣15x，
移项合并得：25x＝5，
解得：x＝0.2．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式7-3】（2019春•新泰市期中）解方程：
（1）x﹣3（x+1）﹣1＝2x
（2）y﹣＝3+
【分析】（1）依次去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案，
（2）先把原方程进行整理，然后依次去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案．
【答案】解：（1）去括号得：x﹣3x﹣3﹣1＝2x，
移项得：x﹣3x﹣2x＝3+1，
合并同类项得：﹣4x＝4，
系数化为1得：x＝﹣1，
（2）原方程可整理得：y﹣（4y+20）＝3+，
方程两边同时乘以2得：2y﹣2（4y+20）＝6+（y+3），
去括号得：2y﹣8y﹣40＝6+y+3，
移项得：2y﹣8y﹣y＝6+3+40，
合并同类项得：﹣7y＝49，
系数化为1得：y＝﹣7．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
【考点8 一元一次方程的应用】
【例8】（春•山西期中）某种商品A的零售价为每件1000元，为了适应市场竞争，商店先按零售价的九折优惠，再让利20元销售，每件商品A仍可获利10%．
（1）商品A的进价为多少元？
（2）现有另一种商品B，其进价为每件500元，每件商品B也可获利8%，商品A和商品B共进货100件，若要使这100件商品共获利6320元，则商品A，B需分别进货多少件？
【分析】（1）首先设进价为每件a元，根据题意可得等量关系：（1+利润率）×进价＝原售价×打折﹣让利，代入相应数值列出方程，解方程即可；
（2）设需对商品A进货x件，需对商品B进货（100﹣x）件，根据“这100件商品共获纯利6320元”列方程求解可得．
【答案】解：（1）设这种商品A的进价为每件a元，由题意得：
（1+10%）a＝1000×90%﹣20，
解得：a＝800，
答：这种商品A的进价为800元；
②设需对商品A进货x件，需对商品B进货（100﹣x）件，
根据题意，得：800×10%x+500（100﹣x）×8%＝6320，
解得：x＝58，
答：需对商品A进货58件，需对商品B进货42件．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用，理解题意抓准相等关系并列出方程是解题的关键．
【变式8-1】（秋•开福区校级期末）某厂接到长沙市一所中学的冬季校服订做任务，计划用A、B两台大型设备进行加工．如果单独用A型设备需要90天做完，如果单独用B型设各需要60天做完，为了同学们能及时领到冬季校服，工厂决定由两台设备同时赶制．
（1）两台设备同时加工，共需多少天才能完成？
（2）若两台设备同时加工30天后，B型设备出了故障，暂时不能工作，此时离发冬季校服时间还有13天．如果由A型设备单独完成剩下的任务，会不会影响学校发校服的时间？请通过计算说明理由．
【分析】（1）设共需x天才能完成，依题意得（+）x＝1，解方程即可；
（2）设由A型设备单独完成剩下的任务需要y天才能完成，依题意得（+）×30+＝1，求解并与13天进行比较即可．
【答案】解：（1）设共需x天才能完成，
根据题意得：（+）x＝1，
解得x＝36，
答：两台设备同时加工，共需36天才能完成；
（2）由A型设备单独完成剩下的任务需要y天才能完成，
依题意得：（+）×30+＝1，
解得 y＝15＞13
答：会影响学校发校服的时间．
【点睛】此题考查一元一次方程的应用，关键是要掌握工作量的有关公式：工作总量＝工作时间×工作效率．
【变式8-2】（2019春•南关区校级月考）A、B两地相距480km，C地在A、B两地之间．一辆轿车以100km/h的速度从A地出发匀速行驶，前往B地．同时，一辆货车以80km/h的速度从B地岀发，匀速行驶，前往A地．
（1）当两车相遇时，求轿车行驶的时间；
（2）当两车相距120km时，求轿车行驶的时间；
（3）若轿车到达B地后，立刻以120km/h的速度原路返回，再次经过C地，两次经过C地的时间间隔为2.2h，求C地距离A地路程．
【分析】（1）可设两车相遇时，轿车行驶的时间为t小时，当两车相遇时，两车行驶路程之和为480km，列一元一次方程即可；
（2）可设两车相距120km时，轿车行驶的时间x小时，分类讨论：相遇前和相遇后两车相距120km，列一元一次方程即可；
（3）可设C地距离B地路程为ykm，根据两次经过C地的时间间隔为2.2h列一元一次方程即可，再用总路程减去CB即可．
【答案】解：（1）设两车相遇时，轿车行驶的时间为t小时，由题意可得
100t+80t＝480
解得t＝
答：两车相遇时，轿车行驶的时间为小时．
（2）设两车相距120km时，轿车行驶的时间x小时，由题意可以分相遇前和相遇后两种情况．
①相遇前两车相距120km时，有100t+80t＝480﹣120
解得t＝2
②相遇后两车相距120km时，有100t+80t＝480+120
解得t＝
答：当轿车行驶2小时或小时，两车相距120km．
（3）设C地距离B地路程为ykm，由题意可得
+＝2.2
解得y＝120，即C地距离B地路程为120km
而A、B两地相距480km，
所以AC＝480﹣120＝360（km）
答：A、C两地的路程为360km．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用中的行程问题，根据等量关系正确列出一元一次方程是解决问题的关键．
【变式8-3】（2019春•松江区期中）某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元．
（1）若家电商场同时购进A、B两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，求商场购进这两种型号的电视机各多少台？
（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元．该家电商场用9万元从生产厂家购进两种不同型号的电视机共50台，为了使销售时获利最多，该家电商场应该购买哪两种型号的电视机？分别购进多少台？
【分析】（1）本题的等量关系是：两种电视的台数和＝50台，买两种电视花去的费用＝9万元．然后分进的两种电视是A、B，A、C，B、C三种情况进行讨论．求出正确的方案；
（2）根据（1）得出的方案，分别计算出各方案的利润，然后判断出获利最多的方案．
【答案】解：
（1）设购A种电视机x台，则购B种电视机购（50﹣x）台．
1500x+2100（50﹣x）＝90000
即5x+7（50﹣x）＝300
2x＝50
x＝25
50﹣x＝25．
答：购A、B两种电视机各25台．
（2）按购A，B两种，B，C两种，A，C两种电视机这三种方案分别计算：
设购A种电视机x台，则B种电视机y台
①当选购A，B两种电视机时，设购A种电视机x台，购B种电视机（50﹣x）台，
可得方程1500x+2100（50﹣x）＝90000 即5x+7（50﹣x）＝300 2x＝50 x＝25 50﹣x＝25
②当选购A，C两种电视机时，设购A种电视机x台，购C种电视机（50﹣x）台，
可得方程1500x+2500（50﹣x）＝90000
3x+5（50﹣x）＝180
x＝35
50﹣x＝15
③当购B，C两种电视机时，设购B种电视机y台，购C种电视机为（50﹣y）台，可得方程
2100y+2500（50﹣y）＝90000
21y+25（50﹣y）＝900，4y＝350，不合题意．
由此可选择两种方案：一是购A，B两种电视机各25台；
二是购A种电视机35台，C种电视机15台．
若选择（1）中的方案①，可获利 150×25+200×25＝8750（元）
若选择（1）中的方案②，可获利 150×35+250×15＝9000（元）
9000＞8750 故为了获利最多，选择购A种电视机35台，C种电视机15台．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系：两种电视的台数和＝50台，买两种电视花去的费用＝9万元．列出方程，再求解．
【考点9 一元一次方程之数轴动点问题】
【例9】（2019秋•江汉区期中）如图在以点O为原点的数轴上，点A表示的数是3，点B在原点的左侧，且AB＝6AO（我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记，比如，点A与点B之间的距离记作AB）．
（1）B点表示的数是 ；
（2）若动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度匀速向左运动，问经过几秒钟后PA＝3PB？并求出此时P点在数轴上对应的数；
（3）若动点M、P、N分别同时从A、O、B出发，匀速向右运动，其速度分别为1个单位长度/秒、2个单位长度/秒、4个单位长度/秒，设运动时间为t秒，请直接写出PM、PN、MN中任意两个相等时的时间．
【分析】（1）由OA＝3，得出AB＝6AO＝18，OB＝AB﹣OA＝15，即可得出结果；
（2）设经过x秒钟后PA＝3PB，则PA＝2x+3，PB＝AB﹣PA＝15﹣2x，由题意得2x+3＝3（15﹣2x），解得x＝，则PO＝2×＝；
（3）设运动时间为t秒时，PM＝PN，则15﹣t+2t＝4t+3﹣2t，解得t＝12．
【答案】解：（1）∵点A表示的数是3，
∴OA＝3，
∴AB＝6AO＝18，
∴OB＝AB﹣OA＝15，
∵点B在原点的左侧，
∴B点表示的数是﹣15；
故答案为：﹣15；
（2）设经过x秒钟后PA＝3PB，
则PA＝2x+3，PB＝AB﹣PA＝18﹣（2x+3）＝15﹣2x，
由题意得：2x+3＝3（15﹣2x），
解得：x＝，
∴PO＝2×＝，
即经过秒钟后PA＝3PB，此时P点在数轴上对应的数为﹣；
（3）设运动时间为t秒时，PM＝PN，
则15﹣t+2t＝4t+3﹣2t，
解得：t＝12，
∴运动时间为12秒时，PM＝PN．
【点睛】本题考查了列一元一次方程解应用题和数轴等知识；正确理解题意列出方程是解题的关键．
【变式9-1】（2019秋•江岸区校级月考）已知数轴上的A、B两点分别对应数字a、b，且a、b满足|4a﹣b|+（a﹣4）2＝0
（1）直接写出a、b的值；
（2）P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，当PA＝3PB时，求P运动的时间和P表示的数；
（3）数轴上还有一点C对应的数为36，若点P从A出发，以每秒3个单位长度的速度向点C运动，同时点Q从点B出发．以每秒1个单位长度的速度沿数轴向正方向运动，点P运动到点C立即返回再沿数轴向左运动当PQ＝10时，求P点对应的数．
【分析】（1）根据非负数的性质即可求解；
（2）根据P点运动时间设未知数列方程即可求解；
（3）利用P点和Q点的运动情况借助数轴上两点间的距离列方程即可求解．
【答案】解：（1）∵|4a﹣b|+（a﹣4）2＝0
∴4a﹣b＝0，a﹣4＝0，
解得a＝4，b＝16．
答：a、b的值为4、16．
（2）设P运动的时间为t1秒，P表示的数为x．
根据题意，得
①当P点在A、B之间时，
x﹣4＝3（16﹣x）
解得x＝13．
3t1＝x﹣4＝13﹣4＝9
∴t1＝3．
②当P点在B点右侧时，
x﹣4＝3（x﹣6），解得x＝22，
∴3t1＝x﹣4＝18，∴t1＝6
答：P运动的时间为3或6秒，P表示的数为13或22．
（3）设点P、Q同时出发运动时间为t2秒，则P对应的数为（t2+10）．
根据题意，得
t2+10+3t2﹣32＝36﹣16
解得t2，
t2+10．
答：P点对应的数．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴上两点之间的距离、非负数的性质，解决本题的关键是根据两点间距离找等量关系．
【变式9-2】（2019秋•雨花区校级月考）如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+8|+（b﹣6）2＝0．
（1）A，B两点对应的数分别为a＝ b＝
（2）若将数轴折叠，使得点A与点B重合．则原点O与数 表示的点重合：
（3）若点A，B分别以4个单位/秒和2个单位/秒的速度相向面行，则几秒后A，B两点相距2个单位长度？
（4）若点A，B以（3）中的速度同时向右运动，同时点P从原点O以7个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，请问：在运动过程中，AP+2OB﹣OP的值是否会发生变化？若变化，请用t表示这个值：若不变．请求出这个定值．
【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性和为0求出a、b；
（2）计算点A点B间的距离找到折叠点表示的数，确定与点O重合的点表示的数；
（3）法一：分类讨论，根据相遇问题列方程解题；
法二；根据数轴上两点间的距离公式解题；
（4）设t秒后AP+2OB﹣OP为定值，计算AP+2OB﹣OP，确定t的值及定值．
【答案】解：（1）∵|a+8|+（b﹣6）2＝0，
∴|a+8|＝0，（b﹣6）2＝0，
即a＝﹣8，b＝6．
故答案为：﹣8，6；
（2）∵|AB|＝6﹣（﹣8）＝14，＝7，
∴点A、点B距离折叠点都是7个单位
∴原点O与数﹣2表示的点重合．
故答案为：﹣2．
（3）法一：分两种情况讨论：设x秒后A，B两点相距2个单位长度．
①A，B两点相遇前相距2个单位长度，则4x+2x＝6﹣（﹣8）﹣2
解得：x＝2
②A，B两点相遇后相距2个单位长度，则4x+2x＝6﹣（﹣8）+2
解得：x＝
答：经过2秒或秒后，A，B两点相距2个单位长度．
法二：设x秒后A，B两点相距2个单位长度．
此时点A对应的数为﹣8+4x，点B对应的数为6﹣2x，则：|（﹣8+4x）﹣（6﹣2x）|＝2即：（﹣8+4x）﹣（6﹣2x）＝2或（﹣8+4x）﹣（6﹣2x）＝﹣2；
解得：x＝或x＝2
答：经过2秒或秒后，A，B两点相距2个单位长度．
（4）在运动过程中，AP+2OB﹣OP的值不会发生变化．
由题意可知：t秒后，点A对应的数为﹣8+4t，点B对应的数为6+2t，点P对应的数7t，则：AP＝7t﹣（﹣8+4t）＝3t+8，OB＝6+2t，OP＝7t，
所以AP+2OB﹣OP＝（3t+8）+2（6+2t）﹣7t＝3t+8+12+4t﹣7t＝20．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质及数轴上两点间的距离．题目综合性较强，难度较大．解决（1）需利用非负数的性质，解决（3）注意分类思想的运用，解决（4）利用数轴上两点间的距离公式．
【变式9-3】（秋•永新县期末）【新定义】：A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的3倍，我们就称点C是【A，B】的幸运点．
【特例感知】
（1）如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3．表示2的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的幸运点．
①【B，A】的幸运点表示的数是 ；
A．﹣1； B.0； C.1； D.2
②试说明A是【C，E】的幸运点．
（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为4，则【M，N】的幸运点表示的数为 ．
【拓展应用】
（3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以3个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B三个点中恰好有一个点为其余两点的幸运点？
【分析】（1）①由题意可知，点0到B是到A点距离的3倍；②由数轴可知，AC＝3，AE＝1，可得AC＝3AE；
（2）设【M，N】的幸运点为P，T表示的数为p，由题意可得|p+2|＝3|p﹣4|，求解即可；
（3）由题意可得，BP＝3t，AP＝60﹣3t，分四种情况讨论：①当P是【A，B】的幸运点时，PA＝3PB②当P是【B，A】的幸运点时，PB＝3PA③当A是【B，P】的幸运点时，AB＝3PA，④当B是【A，P】的幸运点时，AB＝3PB．
【答案】解：（1）①由题意可知，点0到B是到A点距离的3倍，
即EA＝1，EB＝3，
故选B．
②由数轴可知，AC＝3，AE＝1，
∴AC＝3AE，
∴A是【C，E】的幸运点．
（2）设【M，N】的幸运点为P，T表示的数为p，
∴PM＝3PN，
∴|p+2|＝3|p﹣4|，
∴p+2＝3（p﹣4）或p+2＝﹣3（p﹣4），
∴p＝7或p＝2.5；
故答案为7或2.5；
（3）由题意可得，BP＝3t，AP＝60﹣3t，
①当P是【A，B】的幸运点时，PA＝3PB，
∴60﹣3t＝3×3t，
∴t＝5；
②当P是【B，A】的幸运点时，PB＝3PA，
∴3t＝3×（60﹣3t），
∴t＝15；
③当A是【B，P】的幸运点时，AB＝3PA，
∴60＝3（60﹣3t）
∴t＝；
④当B是【A，P】的幸运点时，AB＝3PB，
∴60＝3×3t，
∴t＝；
∴t为5秒，15秒，秒，秒时，P、A、B中恰好有一个点为其余两点的幸运点．
【点睛】本题考查一元一次反方程的应用；能够理解题意，将所求问题转化为数轴与绝对值、数轴与一次方程的关系是解题的关键．
【考点10 与中点有关的长度计算】
【方法点拨】线段的中点
如图，点C在线段AB上且使线段AC，CB相等，这样的点C叫做线段AB的中点．
中点定义的推理步骤：
(1)∵AC＝CB(已知)，
∴点C是线段AB的中点(中点的定义)．
(2)∵点C是线段AB的中点(已知)，
∴AC＝BC或AC＝AB或BC＝AB或AB＝2AC或AB＝2BC(中点的定义)．
【例10】（2019秋•洛宁县期末）已知：点C在直线AB上，AC＝8cm，BC＝6cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长．
【分析】分类讨论：点C在线段AB上，点C在线段AB的延长线上，根据线段中点的性质，可得MC、NC的长，根据线段的和差，可得答案．
【答案】解：当点C在线段AB上时，
由点M、N分别是AC、BC的中点，得
MC＝AC＝×8cm＝4cm，CN＝BC＝×6cm＝3cm，
由线段的和差，得MN＝MC+CN＝4cm+3cm＝7cm；
当点C在线段AB的延长线上时，
由点M、N分别是AC、BC的中点，得
MC＝AC＝×8cm＝4cm，CN＝BC＝×6cm＝3cm．
由线段的和差，得MN＝MC﹣CN＝4cm﹣3cm＝1cm；
即线段MN的长是7cm或1cm．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差，分类讨论是解题关键，以防遗漏．
【变式10-1】（2019秋•郯城县期末）如图，线段AB，C是线段AB上一点，M是AB的中点，N是AC的中点．
（1）若AB＝8cm，AC＝3.2cm，求线段MN的长；
（2）若BC＝a，试用含a的式子表示线段MN的长．
【分析】（1）根据中点定义求出AM和AN，则MN＝AM﹣AN；
（2）由MN＝AM﹣AN得：MN＝＝．
【答案】解：（1）因为AB＝8cm，M是AB的中点，
所以AM＝＝4cm，
又因为AC＝3.2cm，N是AC的中点，
所以AN＝＝1.6cm，
所以MN＝AM﹣AN＝4﹣1.6＝2.4cm；
（2）因为M是AB的中点，
所以AM＝，
因为N是AC的中点，
所以AN＝，
∴MN＝AM﹣AN＝＝＝＝．
【点睛】本题考查了线段中点的定义及线段的和、差、倍、分，若点C是线段的中点，则有①AC＝BC＝AB，②AB＝2AC＝2BC；注意（1）的条件和结论（2）不能运用．
【变式10-2】（2019秋•永新县期末）如图，点C是线段AB上，AC＝10cm，CB＝8cm，M，N分别是AC，BC的中点．
（1）求线段MN的长．
（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB＝acm，其他条件不变，不用计算你猜出MN的长度吗？
（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝acm，M，N仍分别为AC，BC的中点，你还能猜出线段MN的长度吗？
（4）由此题你发现了怎样的规律？
【分析】（1）根据M，N分别是AC，BC的中点，找到线段之间的关系，即可求出结果；
（2）根据M，N分别是AC，BC的中点，找到线段之间的关系，即可得出结论；
（3）根据M，N分别是AC，BC的中点，找到线段之间的关系，即可得出结论；
（4）分析上面结论，即可得出“MN的长度与C点的位置无关，只与AB的长度有关”这一结论．
【答案】解：（1）MN＝MC+CN＝AC+CB＝×10+×8＝5+4＝9cm．
答：线段MN的长为9cm．
（2）MN＝MC+CN＝AC+CB＝（AC+CB）＝cm．
（3）如图，
MN＝AC﹣AM﹣NC＝AC﹣AC﹣BC＝（AC﹣BC）＝cm．
（4）当C点在AB线段上时，AC+BC＝AB，
当C点在AB延长线上时，AC﹣BC＝AB，
故找到规律，MN的长度与C点的位置无关，只与AB的长度有关．
【点睛】本题考查了两点间的距离，解题的关键是根据M，N分别是AC，BC的中点，找到线段之间的关系．
【变式10-3】（2019秋•榆社县期末）已知：点M，N分别是线段AC，BC的中点．
（1）如图，点C在线段AB上，且AC＝9cm，CB＝6cm，求线段MN的长；
（2）若点C为线段AB上任一点，且AC＝acm，CB＝bcm，用含有a，b的代数式表示线段MN的长度．
（3）若点C在线段AB的延长线上，且AC＝acm，CB＝bcm，请你画出图形，并且用含有a，b的代数式表示线段MN的长度．
【分析】（1）根据“点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用MN＝CM+CN即可求出MN的长度即可，
（2）当C为线段AB上一点，且M，N分别是AC，BC的中点，可表示线段MC、CN的长度，再利用MN＝CM+CN，则存在MN＝（a+b）；
（3）点C在AB的延长线上时，根据M、N分别为AC、BC的中点，即可求出MN的长度．
【答案】解：（1）∵AC＝9cm，点M是AC的中点，
∴CM＝0.5AC＝4.5cm，
∵BC＝6cm，点N是BC的中点，
∴CN＝0.5BC＝3cm，
∴MN＝CM+CN＝7.5cm，
∴线段MN的长度为7.5cm，
（2）MN＝cm，
∵点M，N分别是线段AC，BC的中点．
∴MC＝AC＝a，CN＝CB＝b，
∴MN＝＝；
（3）当点C在线段AB的延长线时，如图：
则AC＞BC，
∵M是AC的中点，
∴CM＝AC＝a，
∵点N是BC的中点，
∴CN＝＝b，
∴MN＝CM﹣CN＝a﹣b＝．
【点睛】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
【考点11 与角平分线有关的角度计算】
【方法点拨】角平分线：
（1）把一个角平分成二等分的射线，称为角平分线．
（2）若OC平分∠AOB，则有①∠AOC＝∠BOC．②∠AOC＝∠AOB．③∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
【例11】（2019秋•化德县校级期末）如图，已知OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°．
求：（1）∠AOC的度数；
（2）∠MON的度数．
【分析】（1）根据角的和差关系，即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义得到∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，于是得到结论．
【答案】解：（1）∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，
又∵∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝120°；
（2）∵OM平分∠AOC，
∴∠MOC＝∠AOC，
∵∠AOC＝120°，
∴∠MOC＝60°，
∵ON平分∠BOC，
∴∠NOC＝∠BOC，
∵∠BOC＝30°，
∴∠NOC＝15°，
∵∠MON＝∠MOC﹣∠NOC，
∴∠MON＝45°．
【点睛】此题考查了角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，弄清题意是解本题的关键．
【变式11-1】（2019秋•浏阳市校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC＝72°，OF⊥CD，垂足为O，求：
（1）求∠BOE的度数．
（2）求∠EOF的度数．
【分析】（1）由∠BOD＝∠AOC＝72°，OF⊥CD，求出∠BOF＝90°﹣72°＝18°，再由OE平分∠BOD，得出∠BOE＝∠BOD＝36°，
（2）由∠EOF＝∠BOF+∠BOE，得出∠EOF的度数．
【答案】解：（1）∵直线AB和CD相交于点O，
∴∠BOD＝∠AOC＝72°，
∵OF⊥CD，
∴∠BOF＝90°﹣72°＝18°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠BOD＝36°；
（2）∵∠EOF＝∠BOF+∠BOE，
∴∠EOF＝36°+18°＝54°．
【点睛】本题考查了对顶角、邻补角、垂线以及角平分线的定义；弄清各个角之间的关系是解题的关键．
【变式11-2】（2019秋•襄阳期末）如图所示．
（1）已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数；
（2）∠AOB＝α，∠BOC＝β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的大小．
【分析】（1）根据题意可知，∠AOC＝120°，由OM平分∠AOC，ON平分∠BOC；推出∠MOC＝∠AOC＝60°，∠CON＝∠BOC＝15°，由图形可知，∠MON＝∠MOC﹣∠CON，即∠MON＝45°；
（2）同理可得，∠MOC＝（α+β），∠CON＝β，根据图形便可推出∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝（α+β）﹣β＝α．
【答案】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+30°＝120°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC＝∠AOC＝60°，∠CON＝∠BOC＝15°，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝60°﹣15°＝45°；
故答案为：45°；
（2）同理可得，∠MOC＝（α+β），∠CON＝β，
则∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝（α+β）﹣β＝α．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，角的度数的计算，关键在于运用数形结合的思想推出∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠MON＝∠MOC﹣∠CON．
【变式11-3】（2019秋•沙河口区期末）已知∠AOB＝α，过O作射线OC，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．
（1）如图，若α＝120°，当OC在∠AOB内部时，求∠MON的度数；
（2）当OC在∠AOB外部时，画出相应图形，求∠MON的度数（用含α的式子表示）．
【分析】（1）根据角平分线的性质，可得∠NOC与∠BOC的关系，∠COM与∠COA的关系，根据角的和差，可得答案；
（2）根据角的和差，可得∠AOC的度数，根据角平分线的性质，可得∠COM的度数，∠CON的度数，根据角的和差，可得答案．
【答案】解：（1）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝∠AOC+∠BOC＝（∠AOC+∠BOC）＝∠AOB＝α＝60°；
（2）如图：
，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC＝（∠AOB+∠BOC），∠CON＝∠BOC．
∴∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝（AOB+∠BOC）﹣∠BOC＝∠AOB＝α．
【点睛】本题考查了角的计算，利用了角平分线的性质，角的和差．
【考点12 与几何有关的规律问题】
【例12】（2019秋•禹会区校级月考）阅读表：
线段AB上的点数n（包括A，B两点）
图例
线段总条数N
3
3＝2+1
4
6＝3+2+1
5
10＝4+3+2+1
6
15＝5+4+3+2+1
解答下列问题：
（1）根据表中规律猜测线段总数N与线段上的点数n（包括线段两个端点）有什么关系？
（2）根据上述关系解决如下实际问题：有一辆客车往返于A，B两地，中途停靠三个站点，如果任意两站间的票价都不同，问：①有 种不同的票价？②要准备 种车票？（直接写答案）
【分析】（1）根据表格找出规律即可求解．（2）由题意可知：n＝5，然后代入（1）的等式即可求出答案．
【答案】解：（1）由表格可知：点数n时，N＝（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1＝，
（2）由题意可知：n＝5，
∴N＝10，
由于客车是往返行使，故准备2×10＝20种车票．
故答案为：10；20
【点睛】本题考查数字规律，涉及代入求值问题，注重考查学生观察推理能力．
【变式12-1】（秋•滦县期中）（1）试验探索：
如果过每两点可以画一条直线，那么请下面三组图中分别画线，并回答问题：
第（1）组最多可以画条直线；
第（2）组最多可以画条直线；
第（3）组最多可以画条直线．
（2）归纳结论：
如果平面上有n（n≥3）个点，且每3个点均不在一条直线上，那么最多可以画出直线条．（作用含n的代数式表示）
（3）解决问题：
某班50名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握一次手问好，则共握 次手；最后，每两个人要互赠礼物留念，则共需 件礼物．
【分析】（1）根据图形画出直线即可；
（2）根据上面得到的规律用代数式表示即可；
（3）将n＝50代入即可求解．
【答案】解：（1）根据图形得：如图：（1）试验观察
如果每过两点可以画一条直线，那么：
第①组最多可以画3条直线；
第②组最多可以画6条直线；
第③组最多可以画10条直线．
（2）探索归纳：
如果平面上有n（n≥3）个点，且每3个点均不在1条直线上，那么最多可以画1+2+3+…+n﹣1＝条直线．（用含n的代数式表示）
（3）解决问题：某班50名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握1225次手．最后，每两个人要互赠礼物留念，则共需2450件礼物．
故答案为1225，2450．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细的观察图形并找到其中的规律．
【变式12-2】（2019秋•江山市期末）为了探究n条直线能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手．
（1）一条直线把平面分成2部分；
（2）两条直线最多可把平面分成4部分；
（3）三条直线最多可把平面分成7部分…；
把上述探究的结果进行整理，列表分析：
直线条数
把平面分成部分数
写成和形式
1
2
1+1
2
4
1+1+2
3
7
1+1+2+3
4
11
1+1+2+3+4
…
…
…
（1）当直线条数为5时，把平面最多分成 部分，写成和的形式 ；
（2）当直线为10条时，把平面最多分成 部分；
（3）当直线为n条时，把平面最多分成 部分．（不必说明理由）
【分析】根据表中数据，总结出规律，再根据规律解题．
【答案】解：（1）根据表中规律，当直线条数为5时，把平面最多分成16部分，1+1+2+3+4+5＝16；
（2）根据表中规律，当直线为10条时，把平面最多分成56部分，为1+1+2+3+…+10＝56；
（3）设直线条数有n条，分成的平面最多有m个．
有以下规律：
n m
1 1+1
2 1+1+2
3 1+1+2+3
：
：
：
n m＝1+1+2+3+…+n＝+1．
【点睛】本题体现了由“特殊到一般再到特殊”的思维过程，有利于培养同学们的探究意识．
【变式12-3】（秋•桥东区校级期中）观察下图，回答下列问题：
（1）在图①中有几个角？
（2）在图②中有几个角？
（3）在图③中有几个角？
（4）以此类推，如图④所示，若一个角内有n条射线，此时共有多少个角？
【分析】解答此题首先要弄清楚题目的规律：当图中有n条射线时，每条射线都与（n﹣1）条射线构成了（n﹣1）个角，则共有n（n﹣1）个角，由于两条射线构成一个角，因此角的总数为：，可根据这个规律，直接求出（1）（2）（3）的结论；
在解答（4）题时，首先要弄清图中共有多少条射线，已知角内共n条射线，那么图中共有（n+2）条射线，代入上面的规律，即可得到所求的结论．
【答案】解：由分析知：
（1）①图中有2条射线，则角的个数为：＝1（个）；
（2）②图中有3条射线，则角的个数为：＝3（个）；
（3）③图中有4条射线，则角的个数为：＝6（个）；
（4）由前三问类推，角内有n条射线时，图中共有（n+2）条射线，则角的个数为个．
【点睛】解答此类规律型问题，一定要弄清题目的规律，可以从简单的图形入手进行总结，然后得到一般化结论再进行求解．
【人教版】
【考点1 利用数轴判断符号】
【方法点拨】解决此类问题需由数轴得知字母所表示的数的正负性，再根据有理数加、减、乘、除、乘方、绝对值的意义以及数轴上右边点的数总比左边的数大判断即可.
【例1】（秋•宿松县期末）有理数a，b在数轴上的表示如图所示，则下列结论中：①ab＜0，②﹣a＞﹣b，③a+b＜0，④a﹣b＜0，⑤a＜|b|，正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据数轴知b＜0＜a，且|a|＜|b|，再利用有理数的乘法、加法、减法及绝对值性质等知识点逐一判断可得．
【解答】解：由数轴知b＜0＜a，且|a|＜|b|，
则①ab＜0，此结论正确；
②﹣a＜﹣b，此结论错误；
③a+b＜0，此结论正确；
④a﹣b＞0，此结论错误；
⑤a＜|b|，此结论正确；
故选：B．
【点评】本题考查的是数轴和绝对值，熟知数轴上右边的数总比左边的大及有理数的混合运算法则是解答此题的关键．
【变式1-1】（秋•西城区期末）如图，数轴上A，B两点对应的数分别是a和b，对于以下四个式子：①2a﹣b；②a+b；③|b|﹣|a|：④，其中值为负数的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【分析】根据图示，可得b＜﹣3，0＜a＜3，据此逐项判断即可．
【解答】解：根据图示，可得b＜﹣3，0＜a＜3，
①2a﹣b＞0；
②a+b＜0；
③|b|﹣|a|＞0；
④＜0．
故其中值为负数的是②④．
故选：D．
【点评】此题主要考查了绝对值的含义和求法，以及数轴的特征和应用，要熟变式掌握，解答此题的关键是判断出a、b的取值范围．
【变式1-2】（秋•九龙坡区校级期中）如图，数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，则下列结论：①ab＜0；②a+b＞0；③a﹣b＞1；④a2﹣b2＜0，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据数轴的性质，可以得到两个点表示数的大小关系和符号，根据有理数计算法则可得出结论
【解答】解：∵b＜﹣1＜0，0＜a＜1
∴①ab＜0，正确
②a+b＞0，错误
③a﹣b＞1，正确
④a2﹣b2＜0，正确
故选：C．
【点评】该题考查了数轴及有理数计算，属于常考题，难度不大
【变式1-3】（秋•黄陂区期中）有理数a、b、c在数轴上对应的点的位置，如图所示：①abc＜0；②|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；③（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0；④|a|＜1﹣bc，以上四个结论正确的有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】先根据数轴上a、b、c的位置判断它们的正负、大小，利用乘法的符号法则、有理数的减法法则、绝对值的化简等知识点逐个判断得结论．
【解答】解：由数轴知：a＜﹣1＜0＜b＜c＜1．
∵a＜0．b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①正确；
∵a＜b，b＜c，a＜c，
∴|a﹣b|+|b﹣c|＝b﹣a+c﹣b＝c﹣a，
|a﹣c|＝c﹣a，
∴|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|，故②正确；
∵a＜b，b＜c，a＜c，
∴a﹣b＜0，b﹣c＜0，c﹣a＞0
∴（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0，故③正确；
∵a＜﹣1，∴|a|＞1，
∵0＜b＜c＜1，∴0＜bc＜1，
∴1﹣bc＜1，
∴|a|＞1﹣bc，故④不正确．
故选：B．
【点评】本题考查了数轴上点的特点，有理数乘法的符号法则，有理数的大小比较，绝对值的化简等知识点，掌握减法、乘法的符号法则是解决本题的关键．
【考点2 有理数混合运算】
【方法点拨】解决此类问题需熟变式掌握有理数混合运算的先后顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，
有括号的先算括号里，值得注意有些题可能会运用运算律进行简便运算.
【例2】（2019春•黄州区校级月考）计算：
（1）
（2）
【分析】（1）原式利用乘法分配律计算即可求出值；
（2）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝﹣6+27﹣15＝6；
（2）原式＝9××（﹣）+4+4×（﹣）＝﹣﹣+4＝﹣．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟变式掌握运算法则是解本题的关键．
【变式2-1】（秋•宝应县期末）计算：
（1）
（2）
【分析】（1）先算乘方，再算乘法，最后算减法；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算；
（2）先算乘方，再算除法，最后算减法；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号和绝对值，要先做括号和绝对值内的运算．
【解答】解：（1）﹣15﹣[﹣1﹣（4﹣22×5）]
＝﹣15﹣[﹣1﹣（4﹣4×5）]
＝﹣15﹣[﹣1﹣（4﹣20）]
＝﹣15﹣（﹣1+16）
＝﹣15﹣15
＝﹣30；
（2）﹣12019﹣（1﹣）÷|3﹣（﹣3）2|
＝﹣1﹣÷|3﹣9|
＝﹣1﹣÷6
＝﹣1﹣
＝﹣1．
【点评】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【变式2-2】（2019春•沙坪坝区校级月考）计算：
（1）．
（2）．
【分析】（1）原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可求出值；
（2）原式利用乘方的意义，以及乘法分配律计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝﹣8﹣81﹣27＝﹣113；
（2）原式＝﹣1+8﹣2+4＝9．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟变式掌握运算法则是解本题的关键．
【变式2-3】（秋•渝中区校级期末）有理数的计算：
（1）
（2）
【分析】（1）去括号，再利用加法交换律和结合律计算可得；
（2）根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+2+1+3﹣1
＝﹣1+6
＝5；
（2）原式＝﹣2﹣1××（12﹣+）
＝﹣2﹣×12
＝﹣2﹣9
＝﹣11．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及其运算律．
【考点3 有关数轴的探究题】
【方法点拨】解决此类问题数形结合思想是关键.
【例3】（秋•海淀区校级期中）如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆，有一个公共点与数轴上的原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒2π个单位，
（1）若小圆不动，大圆沿数轴来回滚动，规定大圆向右滚动的时间记为正数，向左滚动时间即为负数，依次滚动的情况录如下（单位：秒）：
﹣1，+2，﹣4，﹣2，+3，+6
①第 次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离最远；
②当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有多少？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？（结果保留π）
（2）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距9π，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数．
【分析】（1）①算出每次滚动后大圆与数轴的公共点到原点的距离，然后比较大小即可；
②总路程与方向无关把每次的移动的距离相加即可；
（2）分同向和反相两种情况讨论，同向路程之差为9π，反向路程之和为9π，然后求出相应时间，再根据不同方向确定两圆与数轴重合的点所表示的数
【解答】解：（1）①：第1次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π|＝2π
第2次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π+2×2π|＝2π
第3次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π|＝6π
第4次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π|＝10π
第5次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π|＝4π
第6次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π+6×2π|＝8π
所以第四次滚动后大圆与数轴的公共点到原点的距离最远．
故答案为4；
②总路程为：|﹣1×2π|+|+2×2π|+|﹣4×2π|+|﹣2×2π|+|+3×2π|+|+6×2π|＝36π
此时两圆与数轴重合的点之间的距离为：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π+6×2π|＝8π
（2）当它们同向运动时
秒，
小圆与数轴重合的点所表示的数为9π，大圆与数轴重合的点所表示的数为18π，
或小圆与数轴重合的点所表示的数为﹣9π，大圆与数轴重合的点所表示的数为﹣18π，
当它们反向运动时
秒，
小圆与数轴重合的点所表示的数为﹣3π，大圆与数轴重合的点所表示的数为6π，
或小圆与数轴重合的点所表示的数为3π，大圆与数轴重合的点所表示的数为﹣6π，
【点评】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．
【变式3-1】（秋•江岸区校级月考）如图，数轴上A，B两点对应的数分别﹣4，8．有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度；然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度；在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，…按照如此规律不断地左右运动
（1）当运动到第次时，求点P所对应的有理数．
（2）点P会不会在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍？若可能请求出此时点P的位置，若不可能请说明理由．
【分析】（1）根据题意可以发现点P运动后对应的点的规律，从而可以解答本题；
（2）根据题意分两种情况：①当P点在A点的左边时；②当P点在AB之间时；可以求得点P对应的有理数．
【解答】解：（1）﹣4﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣…﹣2017+
＝﹣4+1009
＝1005．
故点P所对应的有理数是1005．
（2）①当P点在A点的左边时，
∵PB＝3PA，
∴AB＝2PA，
∴PA＝6，
∴P点对应的数为﹣10，
﹣4﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8﹣9+10﹣11＝﹣10，
∴可以；
②当P点在AB之间时，
∵PB＝3PA，
∴AB＝4PA，
∴PA＝3，
∴P点对应的数为﹣1，﹣4﹣1+2﹣3+4﹣5+6＝﹣1，
∴可以．
∴点P对应的数为﹣10或﹣1．
【点评】本题考查数轴，解答本题的关键是明确数轴的特点，利用分类思想、数形结合的思想解答．
【变式3-2】（秋•淮阴区期中）已知在纸面上有一数轴（如图1），折叠纸面．
（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣4表示的点与 表示的点重合；
（2）若﹣2表示的点与8表示的点重合，回答以下问题：
①16表示的点与 表示的点重合；
②如图2，若数轴上A、B两点之间的距离为（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是 、 ．
（3）如图3，若m和n表示的点C和点D经折叠后重合，（m＞n＞0），现数轴上P、Q两点之间的距离为a（P在Q的左侧），且P、Q两点经折叠后重合，求P、Q两点表示的数分别是多少？（用含m，n，a的代数式表示）
【分析】（1）由表示1与﹣1的两点重合，利用对称性即可得到结果；
（2）由﹣2表示的点与8表示的点重合，确定出3为对称点，得出两项的结果即可；
（3）根据（2）的计算方法进行解答．
【解答】解：（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则原点为对称点，所以﹣4表示的点与4表示的点重合；
（2）由题意得：（﹣2+8）÷2＝3，即3为对称点，
①根据题意得：2×3﹣16＝﹣10；
②∵3为对称点，A、B两点之间的距离为（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，
∴A表示的数＝﹣+3＝﹣1006，B点表示的数＝+3＝1012；
（3）点P表示的数为：；点Q表示的数为：．
故答案为：（1）4；（2）①﹣10； ②﹣1006，1012．
【点评】本题考查了数轴的运用．关键是利用数轴，数形结合求出答案，注意不要漏解．
【变式3-3】（秋•海淀区校级期中）下面材料：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．
当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|
当A、B两点都不在原点时，
（1）如图2，点A、B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|
（2）如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝a﹣b＝|a﹣b|
（3）如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝a﹣b＝|a﹣b|
综上，数轴上A、B两点的距离|AB|＝|a﹣b|
回答下列问题：
（1）数轴上表示﹣2和﹣5两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A、B之间的距离是|x+1|，如果|AB|＝2，那么x为 ；
（3）当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ．
【分析】本题应从绝对值在数轴上的定义（绝对值定义是坐标轴上的点到原点的距离）下手，分别解出答案．
【解答】解：（1）﹣2﹣（﹣5）＝﹣2+5＝3；所以﹣2与﹣5两点之间的距离是3；
（2）因为|x+1|＝2，所以x＝1或﹣3；
（3）根据绝对值的定义，|x+1|+|x﹣2|可表示为x到﹣1与2两点距离的和，根据绝对值的几何意义知，当x在﹣1与2之间时，|x+1|+|x﹣2|有最小值3．
故答案为：（1）3 （2）1或﹣3 （3）﹣1≤x≤2
【点评】本题考查了绝对值的集合意义．读懂并理解题目材料，会利用绝对值的几何意义是解决本题的关键．
【考点4 整式加减化简求值】
【方法点拨】整式加减化简求值的一般步骤：①去括号、合并同类项.；②代入求值.
【例4】（秋•蒙阴县期中）先化简，再求值：，其中，．
【思路点拨】先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值即可．
【答案】解：原式＝5a2b﹣（3a2b﹣4ab+2a2b﹣4a2）﹣3ab
＝5a2b﹣（5a2b﹣4ab﹣4a2）﹣3ab
＝5a2b﹣5a2b+4ab+4a2﹣3ab
＝ab+4a2，
当a＝﹣3，b＝﹣2时，
原式＝﹣3×（﹣2）+4×（﹣3）2＝42．
【方法总结】本题主要考查了化简求值问题，给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
【变式4-1】（秋•朝阳区期中）先化简，再求值：已知，求的
值．
【思路点拨】原式先去括号，再合并同类项化简，继而由x2﹣2y﹣5＝0知x2﹣2y＝5，代入原式＝2（x2﹣2y）计算可得．
【答案】解：原式＝3x2﹣6xy﹣x2+6xy﹣4y
＝2x2﹣4y，
∵x2﹣2y﹣5＝0，
∴x2﹣2y＝5，
则原式＝2（x2﹣2y）＝2×5＝10．
【方法总结】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键．
【变式4-2】（秋•金堂县期中）已知，，先求，并求当，
时，的值．
【思路点拨】此题需要先去括号，再合并同类项，将原整式化简，然后再将a，b的值代入求解即可．
【答案】解：﹣B+2A＝﹣（2ab﹣3b2+4a2）+2（3a2+b2﹣5ab）
＝﹣2ab+3b2﹣4a2+6a2+2b2﹣10ab
＝2a2+5b2﹣12ab，
当a＝﹣，b＝2时，
原式＝2×（﹣）2+5×22﹣12×（﹣）×2
＝2×+5×4+12
＝+20+12
＝32．
【方法总结】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式4-3】（秋•杭州期中）化简求值：已知整式与整式的差不含和
项，试求的值．
【思路点拨】根据两整式的差不含x和x2项，可得差式中x与x2的系数为0，列式求出a、b的值，然后将代数式化简再代值计算．
【答案】解：2x2+ax﹣y+6﹣（2bx2﹣3x+5y﹣1）
＝2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+3x﹣5y+1
＝（2﹣2b）x2+（a+3）x﹣6y+7，
∵两个整式的差不含x和x2项，
∴2﹣2b＝0，a+3＝0，
解得a＝﹣3，b＝1，
4（a2+2b3﹣a2b）+3a2﹣2（4b3+2a2b）
＝4a2+8b3﹣4a2b+3a2﹣8b3﹣4a2b
＝7a2﹣8a2b，
当a＝﹣3，b＝1时，
原式＝7a2﹣8a2b
＝7×（﹣3）2﹣8×（﹣3）2×1
＝7×9﹣8×9×1
＝63﹣72
＝﹣9．
【方法总结】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【考点5 代数式求值—整体代入法】
【方法点拨】整体代入的思想是把联系紧密的几个量作为一个整体来看的数学思想，运用这种方法，有时
可使复杂问题简单化.
【例5】（2019秋•锡山区校级期中）化简与求值：
（1）若，则代数式的值为 ；
（2）若，则代数式的值为 ；
（3）若，请仿照以上求代数式值的方法求出的值．
【思路点拨】（1）把m＝﹣5代入求出即可；
（2）把2m+2n+1变成2（m+n）+1，把m+n的值代入求出即可；
（3）把代数式化简得出10m﹣6n+2，推出2（5m﹣3n）+2，把5m﹣3n＝﹣5代入求出即可．
【答案】（1）解：当m＝﹣5时，m2+1＝×（﹣5）2+1＝5+1＝6，
故答案为：6．
（2）解：∵m+n＝﹣5，
∴2m+2n+1
＝2（m+n）+1
＝2×（﹣5）+1
＝﹣9．
故答案为：﹣9．
（3）解：∵5m﹣3n＝﹣5，
∴2（m﹣n）+4（2m﹣n）+2
＝2m﹣2n+8m﹣4n+2
＝10m﹣6n+2
＝2（5m﹣3n）+2，
当5m﹣3n＝﹣5时，原式＝2×（﹣5）+2＝﹣8．
【方法总结】本题考查了求代数式的值，用了整体代入思想，题目都比较好，难度适中．
【变式5-1】（2019秋•余姚市期末）已知：，求的值．
【思路点拨】把2x﹣y＝5整体代入代数式求得答案即可．
【答案】解：原式＝﹣2（2x﹣y）2﹣3（2x﹣y），
又∵2x﹣y＝5，
∴原式＝﹣2×52﹣3×5，
＝﹣65．
【方法总结】此题考查代数式求值，利用整体代入是解答此题的关键．
【变式5-2】（2019秋•崇川区期末）已知当，时，，求当，时，式子的值．
【思路点拨】将x＝2，y＝﹣4代入代数式使其值为求出4a﹣b的值，将x＝﹣4，y＝﹣代入所求式子，整理后将4a﹣b的值代入计算即可求出值．
【答案】解：当x＝2，y＝﹣4时，
得a×23+b×（﹣4）+8＝，
8a﹣2b+8＝．
8a﹣2b＝2010．
4a﹣b＝1005，
当x＝﹣4，y＝﹣时，
原式＝3a×（﹣4）﹣24b×（﹣）3+6
＝﹣12a+3b+6
＝﹣3（4a﹣b）+6
＝﹣3×1005+6
＝﹣3009．
【方法总结】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式5-3】（秋•慈利县期中）先阅读下面例题的解答过程，再解答后面的问题．
例：已知代数式的值为2，求的值．
解：由得，所以．
问题：（1）已知代数式的值为6，求的值；
（2）已知代数式的值为，求的值．
【思路点拨】（1）变形已知直接整体代入计算求值；
（2）由已知得方程，把已知变形后代入计算即可求出值．
【答案】解：（1）由2a2+3b＝6得a2+b＝3，
所以a2+b﹣5＝3﹣5＝﹣2；
（2）由14x+5﹣21x2＝﹣2得﹣7（3x2﹣2x）＝﹣7，
即3x2﹣2x＝1，
所以6x2﹣4x+5＝2（3x2﹣2x）+5＝2+5＝7．
【方法总结】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【考点6 列代数式】
【例6】（秋•淮阴区期中）如图所示
（1）用代数式表示长方形中阴影部分的面积；
（2）当，时，求其阴影部分的面积．（其中取
【思路点拨】（1）用长方形的面积减去2个半径为b的圆的面积，据此可得；
（2）将a，b的值代入计算可得．
【答案】解：（1）阴影部分的面积为ab﹣2××πb2＝ab﹣πb2；
（2）当a＝10，b＝4时，
ab﹣πb2＝10×4﹣×3.14×16≈14.88．
【方法总结】此题主要考查了如何列代数式，以及代数式值的求法，对于阴影面积不规则时，可以借助规则图形的差求出阴影部分的面积．
【变式6-1】（秋•甘井子区期中）如图（图中单位长度：求：
（1）阴影部分面积（用含的代数式表示）；
（2）当求阴影部分的面积取3.14，结果精确到．
【思路点拨】（1）根据“阴影部分面积＝两个矩形的面积和﹣半圆的面积”列式、化简即可得；
（2）将x的值代入计算可得．
【答案】解：（1）阴影部分面积＝×（x+）+×（x+﹣）﹣×π×[×（+）]2＝x+﹣π；
（2）当x＝时，
阴影部分的面积为+﹣π≈1﹣×3.14≈0.61（cm2）．
【方法总结】本题考查列代数式求值，涉及长方形的面积公式，圆的面积公式，代数式求值等问题．
【变式6-2】（秋•南安市期末）福建省教育厅日前发布文件，从2019年开始，体育成绩将按一定的原始分计入中考总分．某校为适应新的中考要求，决定为体育组添置一批体育器材．学校准备在网上订购一批某品牌足球和跳绳，在查阅天猫网店后发现足球每个定价150元，跳绳每条定价30元．现有、两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．
网店：买一个足球送一条跳绳；
网店：足球和跳绳都按定价的付款．
已知要购买足球40个，跳绳条
（1）若在网店购买，需付款 元（用含的代数式表示）．
若在网店购买，需付款 元（用含的代数式表示）．
（2）若时，通过计算说明此时在哪家网店购买较为合算？
（3）当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？
【思路点拨】（1）由题意在A 店购买可列式：40×150+（x﹣40）×30＝4800+30x．在网店B购买可列式：（40×150+30x）×0.9＝5400+27x
（2）将x＝100分别代入A店，B店即可以比较
（3）由于A店是买一个足球送跳绳，B店是足球和跳绳都按定价的90%付款，所以可以在A店买40个足球，剩下的60条跳绳在B店购买即可
【答案】解：依题意
（1）A 店购买可列式：40×150+（x﹣40）×30＝4800+30x
在网店B购买可列式：（40×150+30x）×0.9＝5400+27x
故答案为：4800+30x；5400+27x
（2）当x＝100时
在A网店购买需付款：4800+30x＝4800+30×100＝7800元
在B网店购买需付款：5400+27x＝5400+27×100＝8100元
∵7800＜8100
∴当x＝100时，应选择在A网店购买合算．
（3）由（2）可知，当x＝100时，在A网店付款7800元，在B网店付款8100元，
在A网店购买40个足球配送40个跳绳，再在B网店购买60个跳绳合计需付款：
150×40+30×60×90%＝7620
∵7620＜7800＜8100
∴省钱的购买方案是：
在A网店购买40个足球配送40个跳绳，再在B网店购买60个跳绳，付款7620元．
【方法总结】此题考查的是列代数式并求值，也可作为一元一次方程来考查，因此做此类题需要掌握解应用题的能力．
【变式6-3】（秋•郑州期中）郑东新区九年制实验学校体育组准备在网上为学校订购一批某品牌羽毛
球拍和羽毛球，在查阅京东网店后发现羽毛球拍一副定价40元，羽毛球每个定价5元．“双十一”期间、
两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．
网店：买一副球拍送1个羽毛球；
网店：羽毛球拍和羽毛球都按定价的付款．
已知要购买羽毛球拍30副，羽毛球个
（1）若在网店购买，需付款 元（用含的代数式表示）；若在网店购买，需付款 元．（用含的代数式表示）；
（2）若时，通过计算说明此时在哪家网店购买较为合算？
（3）当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算出需付款多少元？
【思路点拨】（1）按照对应的方案的计算方法分别列出代数式即可；
（2）把x＝40代入求得的代数式求得数值，进一步比较得出答案即可；
（3）根据两种方案的优惠方式，可得出先A网店购买30副羽毛球拍，送30个羽毛球，另外10副羽毛球拍在B网店购买即可．
【答案】解：（1）A网店购买需付款30×40+（x﹣30）×5＝5x+30×（40﹣5）＝（5x+1050）元；
B网店购买需付款40×90%×30+5×90%×x＝（4.5x+1080）元．
故答案为：（5x+1050），（4.5x+1080）；
（2）当x＝40时，
A网店需5×40+1050＝1250（元）；
B网店需4.5×40+1080＝1260（元）；
所以按方案一购买合算；
（3）先A网店购买30副羽毛球拍，送30个羽毛球需1200元，差10个羽毛球B网店购买需45元，共需1245元．
【方法总结】此题考查列代数式，理解两种方案的优惠方案，得出运算的方法是解决问题的关键．
【考点7 解一元一次方程】
【方法点拨】一元一次方程解法的一般步骤：
化简方程----------分数基本性质
去 分 母----------同乘（不漏乘）最简公分母
去 括 号----------注意符号变化
移 项----------变号（留下靠前）
合并同类项--------合并后符号
系数化为1---------除前面
【例7】（2019秋•安庆期中）解方程
（1）3x﹣5（x﹣2）＝2；
（2）＝1．
【分析】（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【答案】解：（1）去括号得：3x﹣5x+10＝2，
移项合并得：﹣2x＝﹣8，
解得：x＝4；
（2）去分母得：8x+4﹣3x+6＝12，
移项合并得：5x＝2，
解得：x＝．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式7-1】（秋•渭滨区期末）解方程
（1）x﹣2（x﹣4）＝3（1﹣x）
（2）1﹣＝
【分析】（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【答案】解：（1）去括号得：x﹣2x+8＝3﹣3x，
移项合并得：2x＝﹣5，
解得：x＝﹣2.5；
（2）去分母得：4﹣3x+1＝6+2x，
移项合并得：﹣5x＝1，
解得：x＝﹣0.2．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式7-2】（秋•榆次区期末）解方程：
（1）x﹣＝3
（2）
【分析】（1）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【答案】解：（1）去分母得：2x﹣x+1＝6，
解得：x＝5；
（2）方程整理得：5x﹣1＝，
去分母得：10x﹣2＝3﹣15x，
移项合并得：25x＝5，
解得：x＝0.2．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式7-3】（2019春•新泰市期中）解方程：
（1）x﹣3（x+1）﹣1＝2x
（2）y﹣＝3+
【分析】（1）依次去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案，
（2）先把原方程进行整理，然后依次去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案．
【答案】解：（1）去括号得：x﹣3x﹣3﹣1＝2x，
移项得：x﹣3x﹣2x＝3+1，
合并同类项得：﹣4x＝4，
系数化为1得：x＝﹣1，
（2）原方程可整理得：y﹣（4y+20）＝3+，
方程两边同时乘以2得：2y﹣2（4y+20）＝6+（y+3），
去括号得：2y﹣8y﹣40＝6+y+3，
移项得：2y﹣8y﹣y＝6+3+40，
合并同类项得：﹣7y＝49，
系数化为1得：y＝﹣7．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
【考点8 一元一次方程的应用】
【例8】（春•山西期中）某种商品A的零售价为每件1000元，为了适应市场竞争，商店先按零售价的九折优惠，再让利20元销售，每件商品A仍可获利10%．
（1）商品A的进价为多少元？
（2）现有另一种商品B，其进价为每件500元，每件商品B也可获利8%，商品A和商品B共进货100件，若要使这100件商品共获利6320元，则商品A，B需分别进货多少件？
【分析】（1）首先设进价为每件a元，根据题意可得等量关系：（1+利润率）×进价＝原售价×打折﹣让利，代入相应数值列出方程，解方程即可；
（2）设需对商品A进货x件，需对商品B进货（100﹣x）件，根据“这100件商品共获纯利6320元”列方程求解可得．
【答案】解：（1）设这种商品A的进价为每件a元，由题意得：
（1+10%）a＝1000×90%﹣20，
解得：a＝800，
答：这种商品A的进价为800元；
②设需对商品A进货x件，需对商品B进货（100﹣x）件，
根据题意，得：800×10%x+500（100﹣x）×8%＝6320，
解得：x＝58，
答：需对商品A进货58件，需对商品B进货42件．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用，理解题意抓准相等关系并列出方程是解题的关键．
【变式8-1】（秋•开福区校级期末）某厂接到长沙市一所中学的冬季校服订做任务，计划用A、B两台大型设备进行加工．如果单独用A型设备需要90天做完，如果单独用B型设各需要60天做完，为了同学们能及时领到冬季校服，工厂决定由两台设备同时赶制．
（1）两台设备同时加工，共需多少天才能完成？
（2）若两台设备同时加工30天后，B型设备出了故障，暂时不能工作，此时离发冬季校服时间还有13天．如果由A型设备单独完成剩下的任务，会不会影响学校发校服的时间？请通过计算说明理由．
【分析】（1）设共需x天才能完成，依题意得（+）x＝1，解方程即可；
（2）设由A型设备单独完成剩下的任务需要y天才能完成，依题意得（+）×30+＝1，求解并与13天进行比较即可．
【答案】解：（1）设共需x天才能完成，
根据题意得：（+）x＝1，
解得x＝36，
答：两台设备同时加工，共需36天才能完成；
（2）由A型设备单独完成剩下的任务需要y天才能完成，
依题意得：（+）×30+＝1，
解得 y＝15＞13
答：会影响学校发校服的时间．
【点睛】此题考查一元一次方程的应用，关键是要掌握工作量的有关公式：工作总量＝工作时间×工作效率．
【变式8-2】（2019春•南关区校级月考）A、B两地相距480km，C地在A、B两地之间．一辆轿车以100km/h的速度从A地出发匀速行驶，前往B地．同时，一辆货车以80km/h的速度从B地岀发，匀速行驶，前往A地．
（1）当两车相遇时，求轿车行驶的时间；
（2）当两车相距120km时，求轿车行驶的时间；
（3）若轿车到达B地后，立刻以120km/h的速度原路返回，再次经过C地，两次经过C地的时间间隔为2.2h，求C地距离A地路程．
【分析】（1）可设两车相遇时，轿车行驶的时间为t小时，当两车相遇时，两车行驶路程之和为480km，列一元一次方程即可；
（2）可设两车相距120km时，轿车行驶的时间x小时，分类讨论：相遇前和相遇后两车相距120km，列一元一次方程即可；
（3）可设C地距离B地路程为ykm，根据两次经过C地的时间间隔为2.2h列一元一次方程即可，再用总路程减去CB即可．
【答案】解：（1）设两车相遇时，轿车行驶的时间为t小时，由题意可得
100t+80t＝480
解得t＝
答：两车相遇时，轿车行驶的时间为小时．
（2）设两车相距120km时，轿车行驶的时间x小时，由题意可以分相遇前和相遇后两种情况．
①相遇前两车相距120km时，有100t+80t＝480﹣120
解得t＝2
②相遇后两车相距120km时，有100t+80t＝480+120
解得t＝
答：当轿车行驶2小时或小时，两车相距120km．
（3）设C地距离B地路程为ykm，由题意可得
+＝2.2
解得y＝120，即C地距离B地路程为120km
而A、B两地相距480km，
所以AC＝480﹣120＝360（km）
答：A、C两地的路程为360km．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用中的行程问题，根据等量关系正确列出一元一次方程是解决问题的关键．
【变式8-3】（2019春•松江区期中）某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元．
（1）若家电商场同时购进A、B两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，求商场购进这两种型号的电视机各多少台？
（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元．该家电商场用9万元从生产厂家购进两种不同型号的电视机共50台，为了使销售时获利最多，该家电商场应该购买哪两种型号的电视机？分别购进多少台？
【分析】（1）本题的等量关系是：两种电视的台数和＝50台，买两种电视花去的费用＝9万元．然后分进的两种电视是A、B，A、C，B、C三种情况进行讨论．求出正确的方案；
（2）根据（1）得出的方案，分别计算出各方案的利润，然后判断出获利最多的方案．
【答案】解：
（1）设购A种电视机x台，则购B种电视机购（50﹣x）台．
1500x+2100（50﹣x）＝90000
即5x+7（50﹣x）＝300
2x＝50
x＝25
50﹣x＝25．
答：购A、B两种电视机各25台．
（2）按购A，B两种，B，C两种，A，C两种电视机这三种方案分别计算：
设购A种电视机x台，则B种电视机y台
①当选购A，B两种电视机时，设购A种电视机x台，购B种电视机（50﹣x）台，
可得方程1500x+2100（50﹣x）＝90000 即5x+7（50﹣x）＝300 2x＝50 x＝25 50﹣x＝25
②当选购A，C两种电视机时，设购A种电视机x台，购C种电视机（50﹣x）台，
可得方程1500x+2500（50﹣x）＝90000
3x+5（50﹣x）＝180
x＝35
50﹣x＝15
③当购B，C两种电视机时，设购B种电视机y台，购C种电视机为（50﹣y）台，可得方程
2100y+2500（50﹣y）＝90000
21y+25（50﹣y）＝900，4y＝350，不合题意．
由此可选择两种方案：一是购A，B两种电视机各25台；
二是购A种电视机35台，C种电视机15台．
若选择（1）中的方案①，可获利 150×25+200×25＝8750（元）
若选择（1）中的方案②，可获利 150×35+250×15＝9000（元）
9000＞8750 故为了获利最多，选择购A种电视机35台，C种电视机15台．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系：两种电视的台数和＝50台，买两种电视花去的费用＝9万元．列出方程，再求解．
【考点9 一元一次方程之数轴动点问题】
【例9】（2019秋•江汉区期中）如图在以点O为原点的数轴上，点A表示的数是3，点B在原点的左侧，且AB＝6AO（我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记，比如，点A与点B之间的距离记作AB）．
（1）B点表示的数是 ；
（2）若动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度匀速向左运动，问经过几秒钟后PA＝3PB？并求出此时P点在数轴上对应的数；
（3）若动点M、P、N分别同时从A、O、B出发，匀速向右运动，其速度分别为1个单位长度/秒、2个单位长度/秒、4个单位长度/秒，设运动时间为t秒，请直接写出PM、PN、MN中任意两个相等时的时间．
【分析】（1）由OA＝3，得出AB＝6AO＝18，OB＝AB﹣OA＝15，即可得出结果；
（2）设经过x秒钟后PA＝3PB，则PA＝2x+3，PB＝AB﹣PA＝15﹣2x，由题意得2x+3＝3（15﹣2x），解得x＝，则PO＝2×＝；
（3）设运动时间为t秒时，PM＝PN，则15﹣t+2t＝4t+3﹣2t，解得t＝12．
【答案】解：（1）∵点A表示的数是3，
∴OA＝3，
∴AB＝6AO＝18，
∴OB＝AB﹣OA＝15，
∵点B在原点的左侧，
∴B点表示的数是﹣15；
故答案为：﹣15；
（2）设经过x秒钟后PA＝3PB，
则PA＝2x+3，PB＝AB﹣PA＝18﹣（2x+3）＝15﹣2x，
由题意得：2x+3＝3（15﹣2x），
解得：x＝，
∴PO＝2×＝，
即经过秒钟后PA＝3PB，此时P点在数轴上对应的数为﹣；
（3）设运动时间为t秒时，PM＝PN，
则15﹣t+2t＝4t+3﹣2t，
解得：t＝12，
∴运动时间为12秒时，PM＝PN．
【点睛】本题考查了列一元一次方程解应用题和数轴等知识；正确理解题意列出方程是解题的关键．
【变式9-1】（2019秋•江岸区校级月考）已知数轴上的A、B两点分别对应数字a、b，且a、b满足|4a﹣b|+（a﹣4）2＝0
（1）直接写出a、b的值；
（2）P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，当PA＝3PB时，求P运动的时间和P表示的数；
（3）数轴上还有一点C对应的数为36，若点P从A出发，以每秒3个单位长度的速度向点C运动，同时点Q从点B出发．以每秒1个单位长度的速度沿数轴向正方向运动，点P运动到点C立即返回再沿数轴向左运动当PQ＝10时，求P点对应的数．
【分析】（1）根据非负数的性质即可求解；
（2）根据P点运动时间设未知数列方程即可求解；
（3）利用P点和Q点的运动情况借助数轴上两点间的距离列方程即可求解．
【答案】解：（1）∵|4a﹣b|+（a﹣4）2＝0
∴4a﹣b＝0，a﹣4＝0，
解得a＝4，b＝16．
答：a、b的值为4、16．
（2）设P运动的时间为t1秒，P表示的数为x．
根据题意，得
①当P点在A、B之间时，
x﹣4＝3（16﹣x）
解得x＝13．
3t1＝x﹣4＝13﹣4＝9
∴t1＝3．
②当P点在B点右侧时，
x﹣4＝3（x﹣6），解得x＝22，
∴3t1＝x﹣4＝18，∴t1＝6
答：P运动的时间为3或6秒，P表示的数为13或22．
（3）设点P、Q同时出发运动时间为t2秒，则P对应的数为（t2+10）．
根据题意，得
t2+10+3t2﹣32＝36﹣16
解得t2，
t2+10．
答：P点对应的数．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴上两点之间的距离、非负数的性质，解决本题的关键是根据两点间距离找等量关系．
【变式9-2】（2019秋•雨花区校级月考）如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+8|+（b﹣6）2＝0．
（1）A，B两点对应的数分别为a＝ b＝
（2）若将数轴折叠，使得点A与点B重合．则原点O与数 表示的点重合：
（3）若点A，B分别以4个单位/秒和2个单位/秒的速度相向面行，则几秒后A，B两点相距2个单位长度？
（4）若点A，B以（3）中的速度同时向右运动，同时点P从原点O以7个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，请问：在运动过程中，AP+2OB﹣OP的值是否会发生变化？若变化，请用t表示这个值：若不变．请求出这个定值．
【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性和为0求出a、b；
（2）计算点A点B间的距离找到折叠点表示的数，确定与点O重合的点表示的数；
（3）法一：分类讨论，根据相遇问题列方程解题；
法二；根据数轴上两点间的距离公式解题；
（4）设t秒后AP+2OB﹣OP为定值，计算AP+2OB﹣OP，确定t的值及定值．
【答案】解：（1）∵|a+8|+（b﹣6）2＝0，
∴|a+8|＝0，（b﹣6）2＝0，
即a＝﹣8，b＝6．
故答案为：﹣8，6；
（2）∵|AB|＝6﹣（﹣8）＝14，＝7，
∴点A、点B距离折叠点都是7个单位
∴原点O与数﹣2表示的点重合．
故答案为：﹣2．
（3）法一：分两种情况讨论：设x秒后A，B两点相距2个单位长度．
①A，B两点相遇前相距2个单位长度，则4x+2x＝6﹣（﹣8）﹣2
解得：x＝2
②A，B两点相遇后相距2个单位长度，则4x+2x＝6﹣（﹣8）+2
解得：x＝
答：经过2秒或秒后，A，B两点相距2个单位长度．
法二：设x秒后A，B两点相距2个单位长度．
此时点A对应的数为﹣8+4x，点B对应的数为6﹣2x，则：|（﹣8+4x）﹣（6﹣2x）|＝2即：（﹣8+4x）﹣（6﹣2x）＝2或（﹣8+4x）﹣（6﹣2x）＝﹣2；
解得：x＝或x＝2
答：经过2秒或秒后，A，B两点相距2个单位长度．
（4）在运动过程中，AP+2OB﹣OP的值不会发生变化．
由题意可知：t秒后，点A对应的数为﹣8+4t，点B对应的数为6+2t，点P对应的数7t，则：AP＝7t﹣（﹣8+4t）＝3t+8，OB＝6+2t，OP＝7t，
所以AP+2OB﹣OP＝（3t+8）+2（6+2t）﹣7t＝3t+8+12+4t﹣7t＝20．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质及数轴上两点间的距离．题目综合性较强，难度较大．解决（1）需利用非负数的性质，解决（3）注意分类思想的运用，解决（4）利用数轴上两点间的距离公式．
【变式9-3】（秋•永新县期末）【新定义】：A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的3倍，我们就称点C是【A，B】的幸运点．
【特例感知】
（1）如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3．表示2的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的幸运点．
①【B，A】的幸运点表示的数是 ；
A．﹣1； B.0； C.1； D.2
②试说明A是【C，E】的幸运点．
（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为4，则【M，N】的幸运点表示的数为 ．
【拓展应用】
（3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以3个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B三个点中恰好有一个点为其余两点的幸运点？
【分析】（1）①由题意可知，点0到B是到A点距离的3倍；②由数轴可知，AC＝3，AE＝1，可得AC＝3AE；
（2）设【M，N】的幸运点为P，T表示的数为p，由题意可得|p+2|＝3|p﹣4|，求解即可；
（3）由题意可得，BP＝3t，AP＝60﹣3t，分四种情况讨论：①当P是【A，B】的幸运点时，PA＝3PB②当P是【B，A】的幸运点时，PB＝3PA③当A是【B，P】的幸运点时，AB＝3PA，④当B是【A，P】的幸运点时，AB＝3PB．
【答案】解：（1）①由题意可知，点0到B是到A点距离的3倍，
即EA＝1，EB＝3，
故选B．
②由数轴可知，AC＝3，AE＝1，
∴AC＝3AE，
∴A是【C，E】的幸运点．
（2）设【M，N】的幸运点为P，T表示的数为p，
∴PM＝3PN，
∴|p+2|＝3|p﹣4|，
∴p+2＝3（p﹣4）或p+2＝﹣3（p﹣4），
∴p＝7或p＝2.5；
故答案为7或2.5；
（3）由题意可得，BP＝3t，AP＝60﹣3t，
①当P是【A，B】的幸运点时，PA＝3PB，
∴60﹣3t＝3×3t，
∴t＝5；
②当P是【B，A】的幸运点时，PB＝3PA，
∴3t＝3×（60﹣3t），
∴t＝15；
③当A是【B，P】的幸运点时，AB＝3PA，
∴60＝3（60﹣3t）
∴t＝；
④当B是【A，P】的幸运点时，AB＝3PB，
∴60＝3×3t，
∴t＝；
∴t为5秒，15秒，秒，秒时，P、A、B中恰好有一个点为其余两点的幸运点．
【点睛】本题考查一元一次反方程的应用；能够理解题意，将所求问题转化为数轴与绝对值、数轴与一次方程的关系是解题的关键．
【考点10 与中点有关的长度计算】
【方法点拨】线段的中点
如图，点C在线段AB上且使线段AC，CB相等，这样的点C叫做线段AB的中点．
中点定义的推理步骤：
(1)∵AC＝CB(已知)，
∴点C是线段AB的中点(中点的定义)．
(2)∵点C是线段AB的中点(已知)，
∴AC＝BC或AC＝AB或BC＝AB或AB＝2AC或AB＝2BC(中点的定义)．
【例10】（2019秋•洛宁县期末）已知：点C在直线AB上，AC＝8cm，BC＝6cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长．
【分析】分类讨论：点C在线段AB上，点C在线段AB的延长线上，根据线段中点的性质，可得MC、NC的长，根据线段的和差，可得答案．
【答案】解：当点C在线段AB上时，
由点M、N分别是AC、BC的中点，得
MC＝AC＝×8cm＝4cm，CN＝BC＝×6cm＝3cm，
由线段的和差，得MN＝MC+CN＝4cm+3cm＝7cm；
当点C在线段AB的延长线上时，
由点M、N分别是AC、BC的中点，得
MC＝AC＝×8cm＝4cm，CN＝BC＝×6cm＝3cm．
由线段的和差，得MN＝MC﹣CN＝4cm﹣3cm＝1cm；
即线段MN的长是7cm或1cm．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差，分类讨论是解题关键，以防遗漏．
【变式10-1】（2019秋•郯城县期末）如图，线段AB，C是线段AB上一点，M是AB的中点，N是AC的中点．
（1）若AB＝8cm，AC＝3.2cm，求线段MN的长；
（2）若BC＝a，试用含a的式子表示线段MN的长．
【分析】（1）根据中点定义求出AM和AN，则MN＝AM﹣AN；
（2）由MN＝AM﹣AN得：MN＝＝．
【答案】解：（1）因为AB＝8cm，M是AB的中点，
所以AM＝＝4cm，
又因为AC＝3.2cm，N是AC的中点，
所以AN＝＝1.6cm，
所以MN＝AM﹣AN＝4﹣1.6＝2.4cm；
（2）因为M是AB的中点，
所以AM＝，
因为N是AC的中点，
所以AN＝，
∴MN＝AM﹣AN＝＝＝＝．
【点睛】本题考查了线段中点的定义及线段的和、差、倍、分，若点C是线段的中点，则有①AC＝BC＝AB，②AB＝2AC＝2BC；注意（1）的条件和结论（2）不能运用．
【变式10-2】（2019秋•永新县期末）如图，点C是线段AB上，AC＝10cm，CB＝8cm，M，N分别是AC，BC的中点．
（1）求线段MN的长．
（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB＝acm，其他条件不变，不用计算你猜出MN的长度吗？
（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝acm，M，N仍分别为AC，BC的中点，你还能猜出线段MN的长度吗？
（4）由此题你发现了怎样的规律？
【分析】（1）根据M，N分别是AC，BC的中点，找到线段之间的关系，即可求出结果；
（2）根据M，N分别是AC，BC的中点，找到线段之间的关系，即可得出结论；
（3）根据M，N分别是AC，BC的中点，找到线段之间的关系，即可得出结论；
（4）分析上面结论，即可得出“MN的长度与C点的位置无关，只与AB的长度有关”这一结论．
【答案】解：（1）MN＝MC+CN＝AC+CB＝×10+×8＝5+4＝9cm．
答：线段MN的长为9cm．
（2）MN＝MC+CN＝AC+CB＝（AC+CB）＝cm．
（3）如图，
MN＝AC﹣AM﹣NC＝AC﹣AC﹣BC＝（AC﹣BC）＝cm．
（4）当C点在AB线段上时，AC+BC＝AB，
当C点在AB延长线上时，AC﹣BC＝AB，
故找到规律，MN的长度与C点的位置无关，只与AB的长度有关．
【点睛】本题考查了两点间的距离，解题的关键是根据M，N分别是AC，BC的中点，找到线段之间的关系．
【变式10-3】（2019秋•榆社县期末）已知：点M，N分别是线段AC，BC的中点．
（1）如图，点C在线段AB上，且AC＝9cm，CB＝6cm，求线段MN的长；
（2）若点C为线段AB上任一点，且AC＝acm，CB＝bcm，用含有a，b的代数式表示线段MN的长度．
（3）若点C在线段AB的延长线上，且AC＝acm，CB＝bcm，请你画出图形，并且用含有a，b的代数式表示线段MN的长度．
【分析】（1）根据“点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用MN＝CM+CN即可求出MN的长度即可，
（2）当C为线段AB上一点，且M，N分别是AC，BC的中点，可表示线段MC、CN的长度，再利用MN＝CM+CN，则存在MN＝（a+b）；
（3）点C在AB的延长线上时，根据M、N分别为AC、BC的中点，即可求出MN的长度．
【答案】解：（1）∵AC＝9cm，点M是AC的中点，
∴CM＝0.5AC＝4.5cm，
∵BC＝6cm，点N是BC的中点，
∴CN＝0.5BC＝3cm，
∴MN＝CM+CN＝7.5cm，
∴线段MN的长度为7.5cm，
（2）MN＝cm，
∵点M，N分别是线段AC，BC的中点．
∴MC＝AC＝a，CN＝CB＝b，
∴MN＝＝；
（3）当点C在线段AB的延长线时，如图：
则AC＞BC，
∵M是AC的中点，
∴CM＝AC＝a，
∵点N是BC的中点，
∴CN＝＝b，
∴MN＝CM﹣CN＝a﹣b＝．
【点睛】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
【考点11 与角平分线有关的角度计算】
【方法点拨】角平分线：
（1）把一个角平分成二等分的射线，称为角平分线．
（2）若OC平分∠AOB，则有①∠AOC＝∠BOC．②∠AOC＝∠AOB．③∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
【例11】（2019秋•化德县校级期末）如图，已知OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°．
求：（1）∠AOC的度数；
（2）∠MON的度数．
【分析】（1）根据角的和差关系，即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义得到∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，于是得到结论．
【答案】解：（1）∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，
又∵∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝120°；
（2）∵OM平分∠AOC，
∴∠MOC＝∠AOC，
∵∠AOC＝120°，
∴∠MOC＝60°，
∵ON平分∠BOC，
∴∠NOC＝∠BOC，
∵∠BOC＝30°，
∴∠NOC＝15°，
∵∠MON＝∠MOC﹣∠NOC，
∴∠MON＝45°．
【点睛】此题考查了角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，弄清题意是解本题的关键．
【变式11-1】（2019秋•浏阳市校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC＝72°，OF⊥CD，垂足为O，求：
（1）求∠BOE的度数．
（2）求∠EOF的度数．
【分析】（1）由∠BOD＝∠AOC＝72°，OF⊥CD，求出∠BOF＝90°﹣72°＝18°，再由OE平分∠BOD，得出∠BOE＝∠BOD＝36°，
（2）由∠EOF＝∠BOF+∠BOE，得出∠EOF的度数．
【答案】解：（1）∵直线AB和CD相交于点O，
∴∠BOD＝∠AOC＝72°，
∵OF⊥CD，
∴∠BOF＝90°﹣72°＝18°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠BOD＝36°；
（2）∵∠EOF＝∠BOF+∠BOE，
∴∠EOF＝36°+18°＝54°．
【点睛】本题考查了对顶角、邻补角、垂线以及角平分线的定义；弄清各个角之间的关系是解题的关键．
【变式11-2】（2019秋•襄阳期末）如图所示．
（1）已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数；
（2）∠AOB＝α，∠BOC＝β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的大小．
【分析】（1）根据题意可知，∠AOC＝120°，由OM平分∠AOC，ON平分∠BOC；推出∠MOC＝∠AOC＝60°，∠CON＝∠BOC＝15°，由图形可知，∠MON＝∠MOC﹣∠CON，即∠MON＝45°；
（2）同理可得，∠MOC＝（α+β），∠CON＝β，根据图形便可推出∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝（α+β）﹣β＝α．
【答案】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+30°＝120°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC＝∠AOC＝60°，∠CON＝∠BOC＝15°，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝60°﹣15°＝45°；
故答案为：45°；
（2）同理可得，∠MOC＝（α+β），∠CON＝β，
则∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝（α+β）﹣β＝α．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，角的度数的计算，关键在于运用数形结合的思想推出∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠MON＝∠MOC﹣∠CON．
【变式11-3】（2019秋•沙河口区期末）已知∠AOB＝α，过O作射线OC，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．
（1）如图，若α＝120°，当OC在∠AOB内部时，求∠MON的度数；
（2）当OC在∠AOB外部时，画出相应图形，求∠MON的度数（用含α的式子表示）．
【分析】（1）根据角平分线的性质，可得∠NOC与∠BOC的关系，∠COM与∠COA的关系，根据角的和差，可得答案；
（2）根据角的和差，可得∠AOC的度数，根据角平分线的性质，可得∠COM的度数，∠CON的度数，根据角的和差，可得答案．
【答案】解：（1）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝∠AOC+∠BOC＝（∠AOC+∠BOC）＝∠AOB＝α＝60°；
（2）如图：
，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC＝（∠AOB+∠BOC），∠CON＝∠BOC．
∴∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝（AOB+∠BOC）﹣∠BOC＝∠AOB＝α．
【点睛】本题考查了角的计算，利用了角平分线的性质，角的和差．
【考点12 与几何有关的规律问题】
【例12】（2019秋•禹会区校级月考）阅读表：
线段AB上的点数n（包括A，B两点）
图例
线段总条数N
3
3＝2+1
4
6＝3+2+1
5
10＝4+3+2+1
6
15＝5+4+3+2+1
解答下列问题：
（1）根据表中规律猜测线段总数N与线段上的点数n（包括线段两个端点）有什么关系？
（2）根据上述关系解决如下实际问题：有一辆客车往返于A，B两地，中途停靠三个站点，如果任意两站间的票价都不同，问：①有 种不同的票价？②要准备 种车票？（直接写答案）
【分析】（1）根据表格找出规律即可求解．（2）由题意可知：n＝5，然后代入（1）的等式即可求出答案．
【答案】解：（1）由表格可知：点数n时，N＝（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1＝，
（2）由题意可知：n＝5，
∴N＝10，
由于客车是往返行使，故准备2×10＝20种车票．
故答案为：10；20
【点睛】本题考查数字规律，涉及代入求值问题，注重考查学生观察推理能力．
【变式12-1】（秋•滦县期中）（1）试验探索：
如果过每两点可以画一条直线，那么请下面三组图中分别画线，并回答问题：
第（1）组最多可以画条直线；
第（2）组最多可以画条直线；
第（3）组最多可以画条直线．
（2）归纳结论：
如果平面上有n（n≥3）个点，且每3个点均不在一条直线上，那么最多可以画出直线条．（作用含n的代数式表示）
（3）解决问题：
某班50名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握一次手问好，则共握 次手；最后，每两个人要互赠礼物留念，则共需 件礼物．
【分析】（1）根据图形画出直线即可；
（2）根据上面得到的规律用代数式表示即可；
（3）将n＝50代入即可求解．
【答案】解：（1）根据图形得：如图：（1）试验观察
如果每过两点可以画一条直线，那么：
第①组最多可以画3条直线；
第②组最多可以画6条直线；
第③组最多可以画10条直线．
（2）探索归纳：
如果平面上有n（n≥3）个点，且每3个点均不在1条直线上，那么最多可以画1+2+3+…+n﹣1＝条直线．（用含n的代数式表示）
（3）解决问题：某班50名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握1225次手．最后，每两个人要互赠礼物留念，则共需2450件礼物．
故答案为1225，2450．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细的观察图形并找到其中的规律．
【变式12-2】（2019秋•江山市期末）为了探究n条直线能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手．
（1）一条直线把平面分成2部分；
（2）两条直线最多可把平面分成4部分；
（3）三条直线最多可把平面分成7部分…；
把上述探究的结果进行整理，列表分析：
直线条数
把平面分成部分数
写成和形式
1
2
1+1
2
4
1+1+2
3
7
1+1+2+3
4
11
1+1+2+3+4
…
…
…
（1）当直线条数为5时，把平面最多分成 部分，写成和的形式 ；
（2）当直线为10条时，把平面最多分成 部分；
（3）当直线为n条时，把平面最多分成 部分．（不必说明理由）
【分析】根据表中数据，总结出规律，再根据规律解题．
【答案】解：（1）根据表中规律，当直线条数为5时，把平面最多分成16部分，1+1+2+3+4+5＝16；
（2）根据表中规律，当直线为10条时，把平面最多分成56部分，为1+1+2+3+…+10＝56；
（3）设直线条数有n条，分成的平面最多有m个．
有以下规律：
n m
1 1+1
2 1+1+2
3 1+1+2+3
：
：
：
n m＝1+1+2+3+…+n＝+1．
【点睛】本题体现了由“特殊到一般再到特殊”的思维过程，有利于培养同学们的探究意识．
【变式12-3】（秋•桥东区校级期中）观察下图，回答下列问题：
（1）在图①中有几个角？
（2）在图②中有几个角？
（3）在图③中有几个角？
（4）以此类推，如图④所示，若一个角内有n条射线，此时共有多少个角？
【分析】解答此题首先要弄清楚题目的规律：当图中有n条射线时，每条射线都与（n﹣1）条射线构成了（n﹣1）个角，则共有n（n﹣1）个角，由于两条射线构成一个角，因此角的总数为：，可根据这个规律，直接求出（1）（2）（3）的结论；
在解答（4）题时，首先要弄清图中共有多少条射线，已知角内共n条射线，那么图中共有（n+2）条射线，代入上面的规律，即可得到所求的结论．
【答案】解：由分析知：
（1）①图中有2条射线，则角的个数为：＝1（个）；
（2）②图中有3条射线，则角的个数为：＝3（个）；
（3）③图中有4条射线，则角的个数为：＝6（个）；
（4）由前三问类推，角内有n条射线时，图中共有（n+2）条射线，则角的个数为个．
【点睛】解答此类规律型问题，一定要弄清题目的规律，可以从简单的图形入手进行总结，然后得到一般化结论再进行求解．
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