2019届二轮复习简单的线性规划问题（2）学案（全国通用）

【情景激趣我爱读】

线性规划的实际应用主要有两类：①给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最好（即求目标函数的最大值）；②给一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务耗费的人力、物力资源最少（即求目标函数的最小值）.

【学习目标我预览】

【基础知识我填充】

限制条件，

目标函数

【基础题型我先练】

1. 答案A解析：通过直线在可行域内平移得出截距的最大和最小的点即为最优解.学  

2. 答案B解析：先作不等式组对应的平面区域.再让动直线： ，即平移分析易知：当直线经过点时，取得最大值，即取得最小值.故所求.

3. 解：设需用甲型货车x辆，乙型货车y辆，由题目条件可得约束条件为，目标函数 ＝400x＋300y，画图可知，当平移直线400x＋300y＝0至经过点(4,2)时， 取得最小值2200,即该厂安排甲型货车4辆，乙型货车2辆时，所花的最少运输费是2200元.

【典型例题我剖析】

典例1：

我的基本思路：先设出电视台每周应播映两套片集的集数，然后根据限制条件（主要有广告时间限制、播放时间限制，同时集数是自然数）列出约束条件，建立目标函数求解.

我的解题过程：设片集甲播映x集，片集乙播映y集，

则有

目标函数为 ＝60x＋20y，

要使收视率最高，则只要 ＝60x＋20y最大即可．

如图所示，作出可行域，作直线平移直线，当平移至点A（2,4）时截距最大，即满足题意的最优解为(2,4)，

∴ max＝60×2＋20×4＝200，故电视台每周片集甲播映2集，片集乙播映4集，其收视率最高．

我的感悟点：收视率最高其实就是利益最大化问题，线性规划的实际应用问题，关键是根据题目正确的列出变量的约束条件和目标函数，然后准确地画出可行域，确定其最优解.

典例2：

我的基本思路：约束条件没有什么特别的，主要是这里的目标函数不是线性的，联系线性目标函数求最值的图解法本质：寻求目标函数的几何意义直观求解.

我的解题过程：如图作出约束条件所表示的平面区域△ABC，易求A(2,2)，B(1，)，C(，)，因为＝，又因为方程 ＝(x＋1)2＋(y＋2)2表示的曲线为以点D(－1，－2)为圆心，半径为的圆，所以观察图知，当圆过A点时，取得最大值5.过D作DE垂直直线BC于E，易知kDE＝，从而知直线DE的方程为x－2y－3＝0，

由得即点E的坐标为(2，－)，显然点E在线段BC的延长线上，从而知当圆过点C时，取得最小值，故 ＝的取值范围为[，2].

我的感悟点评：在本例中目标函数的几何意义是可行域内的点与一个定点的距离，在约束条件下的目标函数最值问题，远不只是线性目标函数，只要能找到它的几何意义，一般都可以借助与图形直观找到它的最优解，从而求得最值，这才是线性规划的本质.

【变式思维我迁移】

2. 我的基本思路：该题是将两种铁矿石的含铁率、CO2排放量、价格用表格的形式给出，而采购方案主要受产量要求和碳排放两个限制，目标函数的确定则由资金来决定.

作不等式组( )对应的平面区域，如图阴影部分所示.现让直线，即平移分析即知，当直线经过点时，取得最小值.又解方程组得点坐标为.所以.故购买铁矿石的最少费用为百万元.

我的感悟点评：通过上例可以看出对于数据条件比较多的线性规划问题，将数据列表可帮助我们清晰直观的理清数据间的复杂关系.

3. 我的基本思路：

我的解题过程：作出不等式组表示的平面区域如下图所示，

目标函数 =可以看做是可行域内任意一点M（x，y）与定点P（-1，1）连线斜率的取值范围，由图可知=，＜1，∴．学/ 

我的感悟点评：确定目标函数的几何意义是可行域内的任意一点与定点连线的斜率是解题的关键，同时还要弄清楚斜率的大小与直线倾斜角变化之间的关系.

【易错问题我纠错】

【方法技巧我归纳】

2. 利用线性规划解决实际问题基本步骤是：

①分析并将已知数据列出表格（实际问题中数据比较多，列出表格可以直观看出数据的逻辑关系）；

②确定线性约束条件；

③确定线性目标函数；

④画出可行域；

⑤通过直线的平移求出线性目标函数的最优解，从而得解.

2.常见的线性目标函数主要有截距型（）、斜率型（）、距离型（等，数形结合是解题的金钥匙.

【课后巩固我做主】

A层

1.答案D 解析：画出平面区域，根据平面区域，可以知道当过点时，对应取得最小值；当过点时，对应取得最大值.故所求．

3. 答案：C  解析：的几何意义是可行域内的点与原点连线的斜率.

3.答案：A 解析：　作出可行域如图，|PA|的最小值为点A到直线x－y＝0的距离，可求得为.

5.答案： 解析：由题目所给的不等式组可知，其表示的平面区域如右图所示，这里直线y＝kx＋只需要经过线段AB的中点D即可，此时D点的坐标为(，)，代入即可解得k的值为.

6.解：设投资甲为x万元，投资乙为y万元，获得利润为 万元，则

＝0.4x＋0.6y，且

作出不等式组表示的区域，如下图所示，作直线l0：0.4x＋0.6y＝0并将l0向上平移到过A点时 取得最大值，即∴ max＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)，

B层

8.答案：B.解析：由对称性易得不等式表示的平面区域如右图所示：

设目标函数为，由图可知直线平移到B,C点时，目标函数分别取最大值和最小值，分别将B（0,1），C（0，－1）代入目标函数可得的最大值和最小值分别2，2.

9.答案：A解析：点(x，y)所满足的可行域如图中阴影部分所示，根据目标函数所表示的直线的斜率是负值，可知目标函数只有在点A处取得最大值，故实数a，b满足4a＋6b=12，即2a＋3b＝6，故＋＝(2a＋3b)(＋)＝(13＋＋)≥(13＋12)＝，当且仅当a＝b时取等号．

10.设配制药剂A x剂，药剂B y剂，则

目标函数为 ＝x＋2y.作出可行域如下图所示．令 ＝0得直线x＋2y＝0，平移此直线过点M时 最大， 学  ]

由，得M(，)，调整得最优解(2,3)，

∴ max＝2＋2×3＝8(百元)． 

11.解：设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，租赁费 元，

由题意得

 ＝200x＋300y.学  

作出下图所示的可行域．

令 ＝0，得l0：2x＋3y＝0，

平移l0可知，当l0过点A时， 有最小值．

又由得A点坐标为(4,5)．

所以 min＝4×200＋5×300＝2300.即租赁甲种设备4台，乙种设备5台时租赁费用最低，为2300元.

12.　(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，

所以利润ω＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.

约束条件为

1. 整理得目标函数为ω＝2x＋3y＋300.如图所示，作出可行域．初始直线l0：2x＋3y＝0，平移初始直线经过点A时，ω有最大值．由得最优解为A(50,50)，所以ωmax＝550元．

答：每天生产的卫兵个数50个，骑兵个数50个，伞兵个数0个时利润最大为550元．

【命题规律我总结】

【疑难问题我存档】