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2020届二轮复习排列2学案（全国通用）
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排列(二)
学习目标 1.进一步加深对排列概念的理解.2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题.
1.排列数公式
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝.
A＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的阶乘).另外，我们规定0！＝1.
2.应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤
类型一 无限制条件的排列问题
例1 (1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
解 (1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有A＝7×6×5＝210(种)不同的送法.
(2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有不同的送法7×7×7＝343(种).
反思与感悟 例1中两题的区别在于：(1)是典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；(2)不是排列问题，需用分步乘法计数原理求其方法种数.排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取出m个元素”.即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中.元素可以重复选取.
跟踪训练1 (1)某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？
(2)将4名体育生，4名美术生分配到4个不同的班，每个班要分配一名体育生和一名美术生，共有多少种分配方案？
解 (1)分3类：第一类用1面旗表示的信号有A种；
第二类用2面旗表示的信号有A种；
第三类用3面旗表示的信号有A种，
由分类加法计数原理，得所求的信号种数是：
A＋A＋A＝3＋3×2＋3×2×1＝15，
即一共可以表示15种不同的信号.
(2)解决这类问题可以分为两步：
第1步：把4名体育生分配到4个不同的班有A种方法，第2步：把4名美术生分配到4个不同的班，有A种方法，由分步乘法计数原理得共有N＝AA＝576(种)分配方案.
类型二 排队问题
角度1 “相邻”与“不相邻”问题
例2 3名男生，4名女生，这7个人站成一排在下列情况下，各有多少种不同的站法.
(1)男、女各站在一起；
(2)男生必须排在一起；
(3)男生不能排在一起；
(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻.
解 (1)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有A种排法，
女生必须站在一起，即把4名女生进行全排列，有A种排法，
全体男生、女生各看作一个元素全排列有A种排法，
由分步乘法计数原理知共有A·A·A＝288(种)排法.
(2)(捆绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，
故有A·A＝720(种)不同的排法.
(3)(不相邻问题插空法)先排女生有A种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的五个空中，有A种排法，故有A·A＝1 440(种)不同的排法.
(4)先排男生有A种排法.让女生插空，有AA＝144(种)不同的排法.
反思与感悟 处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则.元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列.元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素.
跟踪训练2 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单.
(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？
(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？
解 (1)先排歌唱节目有A种，歌唱节目之间以及两端共有6个空位，从中选4个放入舞蹈节目，共有A种方法，所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有A·A＝43 200(种)方法.
(2)先排舞蹈节目有A种方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入.所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有A·A＝2 880(种)方法.
角度2 定序问题
例3 7人站成一排.
(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法；
(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少不同的排列方法.
解 (1)甲在乙前面的排法种数占全体全排列种数的一半，故有＝2 520(种)不同的排法.
(2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的.
故有＝840(种)不同的排法.
反思与感悟 这类问题的解法是采用分类法.n个不同元素的全排列有A种排法，m个元素的全排列有A种排法.因此A种排法中，关于m个元素的不同分法有A类，而且每一分类的排法数是一样的.当这m个元素顺序确定时，共有种排法.
跟踪训练3 7名师生排成一排照相，其中老师1人，女生2人，男生4人，若4名男生的身高都不等，按从高到低的顺序站，有多少种不同的站法？
解 7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同站法，所以共有不同站法2·＝420(种).
角度3 元素的“在”与“不在”问题
例4 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题：
(1)甲不在首位的排法有多少种？
(2)甲既不在首位，又不在末位的排法有多少种？
(3)甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多少种？
(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？
解 (1)方法一 把同学作为研究对象.
第一类：不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中取出5名放在5个位置上，有A种.
第二类：含有甲，甲不在首位：先从4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有A种排法.根据分步乘法计数原理，含有甲时共有4×A种排法.
由分类加法计数原理，共有A＋4×A＝2 160(种)排法.
方法二 把位置作为研究对象.
第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有A种方法.
第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有A种方法.
由分步乘法计数原理，可得共有A·A＝2 160(种)排法.
方法三 (间接法)：即先不考虑限制条件，从7名同学中选出5名进行排列，然后把不满足条件的排列去掉.
不考虑甲在首位的要求，总的可能情况有A种；甲在首位的情况有A种，所以符合要求的排法有A－A＝2 160(种).
(2)把位置作为研究对象，先满足特殊位置.
第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有A种方法.
第二步，从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A种方法.
根据分步乘法计数原理，有A·A＝1 800(种)方法.
(3)把位置作为研究对象.
第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有A种方法.
第二步，从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A种方法.
根据分步乘法计数原理，共有A·A＝1 200(种)方法.
(4)用间接法.
总的可能情况是A种，减去甲在首位的A种，再减去乙在末位的A种.注意到甲在首位同时乙在末位的情况被减去了两次，所以还需补回一次A种，所以共有A－2A＋A＝1 860(种)排法.
反思与感悟 “在”与“不在”排列问题解题原则及方法
(1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先.
(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置.
提醒：解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要贯彻到底.不能一会考虑元素，一会考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误.
跟踪训练4 7人站成一排，甲必须站在中间或两端，则有多少种不同站法？
解 先考虑甲有A种站法，再考虑其余6人全排，故不同的站法总数为：AA＝2 160(种).
类型三 数字排列问题
例5 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？
(1)六位奇数；
(2)个位数字不是5的六位数；
(3)不大于4 310的四位偶数.
解 (1)第一步，排个位，有A种排法；
第二步，排十万位，有A种排法；
第三步，排其他位，有A种排法.
故共有AAA＝288(个)六位奇数.
(2)方法一 (直接法)：
十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类.
第一类，当个位排0时，有A个；
第二类，当个位不排0时，有AAA个.
故符合题意的六位数共有A＋AAA＝504(个).
方法二 (排除法)：
0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况.
故符合题意的六位数共有A－2A＋A＝504(个).
(3)分三种情况，具体如下：
①当千位上排1,3时，有AAA个.
②当千位上排2时，有AA个.
③当千位上排4时，形如4 0××，4 2××的各有A个；
形如4 1××的有AA个；
形如4 3××的只有4 310和4 302这两个数.
故共有AAA＋AA＋2A＋AA＋2＝110(个).
反思与感悟 数字排列问题是排列问题的重要题型，解题时要着重注意从附加受限制条件入手分析，找出解题的思路.常见附加条件有：(1)首位不能为0；(2)有无重复数字；(3)奇偶数；(4)某数的倍数；(5)大于(或小于)某数.
跟踪训练5 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的
(1)能被5整除的五位数；
(2)能被3整除的五位数；
(3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an}，则240 135是第几项.
解 (1)个位上的数字必须是0或5.个位上是0，有A个；个位上是5，若不含0，则有A个；若含0，但0不作首位，则0的位置有A种排法，其余各位有A种排法，故共有A＋A＋AA＝216(个)能被5整除的五位数.
(2)能被3整除的条件是各位数字之和能被3整徐，则5个数可能有{1,2,3,4,5}和{0,1,2,4,5}两种情况，能够组成的五位数分别有A个和AA个.
故能被3整除的五位数有A＋AA＝216(个).
(3)由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A个数，首位数字为2，万位上为0,1,3中的一个有3A个数，∴240 135的项数是A＋3A＋1＝193，即240 135是数列的第193项.
1.用1,2,3，…，9这九个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( )
A.324 B.224 C.360 D.648
答案 B
解析 分两步，个位x为偶数，有A种选法，从余下的8个数中选2个数字排在三位数的百位，十位上，有A种选法，由分步乘法计数原理.得共有AA＝224(个).
2.6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( )
A.36 B.120 C.720 D.240
答案 C
解析 6个人站成两排，每排3人，分2类完成不同的排法有AA＝720(种).
3.从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有________种参赛方案.
答案 240
解析 方法一 从人(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：
第1类，甲不参赛，有A种参赛方案；
第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种方法，然后安排其他3棒，有A种方法，此时有2A种参赛方案.
由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A＋2A＝240(种).
方法二 从位置(元素)的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲之外的5人中选2人，有A种方法；其余两棒从剩余4人中选，有A种方法.
由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有AA＝240(种).
方法三 (排除法)：不考虑甲的约束，6个人占4个位置，有A种安排方法，剔除甲跑第一棒和第四棒的参赛方案有2A种，所以甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A－2A＝240(种).
4.高二(一)班学生安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同的排法的种数是________(填数字).
答案 3 600
解析 先对4个音乐节目和1个曲艺节目，全排列，有A种.2个舞蹈节目进行插空，有A种，由分步乘法计数原理，共有AA＝3 600(种)排法.
5.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________.
答案 96
解析 将5张参观券分成4堆，有2个联号的有4种分法，每种分法再分给4人，各有A种分法，∴不同的分法种数共有4A＝96.
求解排列问题的主要方法：
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中
定序问题
除法处理
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法
正难则反，等价转化的方法
一、选择题
1.数列{an}共有6项，其中4项为2，其余两项各不相同，则满足上述条件的数列{an}共有( )
A.30个 B.31个 C.60个 D.61个
答案 A
解析 在数列{an}的6项中，只考虑两个非2的项的位置，即可将不同数列共有A＝30个.
2.从a，b，c，d，e五人中选2人分别参加数学和物理竞赛，但a不能参加物理竞赛，则不同的选法有( )
A.12种 B.16种 C.20种 D.10种
答案 B
解析 先选1人参加物理竞赛有A种方法.再从剩下的4人中选1人参加数学竞赛，有A种方法，共有AA＝16(种)方法.
3.由1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{an}，则a72等于( )
A.1 543 B.2 543
C.3 542 D.4 532
答案 C
解析 首位是1的四位数有A＝24个，
首位是2的四位数有A＝24个，
首位是3的四位数有A＝24个，
由分类加法计数原理得，
首位小于4的所有四位数共3×24＝72(个).
由此得：a72＝3 542.
4.在制作飞机的某一零件时，要先后实施6个工序，其中工序A只能出现在第一步或最后一步，工序B和C在实施时必须相邻，则实施顺序的编排方法共有( )
A.34种 B.48种
C.96种 D.144种
答案 C
解析 由题意可知，先排工序A，有2种编排方法；再将工序B和C视为一个整体(有2种顺序)与其他3个工序全排列共有2A种编排方法.故实施顺序的编排方法共有2×2A＝96(种).故选C.
5.一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )
A.3×3! B.3×(3！)3
C.(3！)4 D.9!
答案 C
解析 利用“捆绑法”求解，满足题意的坐法种数为A·(A)3＝(3！)4.故选C.
6.由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有( )
A.210个 B.300个
C.464个 D.600个
答案 B
解析 由于组成没有重复数字的六位数，个位小于十位的与个位大于十位的一样多，故有＝300(个).
7.某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )
A.72 B.120
C.144 D.168
答案 B
解析 先排3个歌舞类节目，有A＝6种方法，再用相声分类.
第一类：相声排在歌舞类的两端有A＝2种方法，此时歌舞类中必插两个小品有A＝2种方法，共有2×2＝4种.
第二类：相声排在歌舞类的中间有A＝2种方法，此时余下相邻歌舞类中必插一个小品有A＝2，另一个小品有A＝4，共有2×2×4＝16(种).
共有排法数为6×(4＋16)＝120(种).
二、填空题
8.5个人排成一排，要求甲、乙两人之间至少有一人，则不同的排法有________种.
答案 72
解析 甲、乙两人相邻共有AA种排法，则甲、乙两人至少有一人共有：A－AA＝72(种)排法.
9.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有________个.
答案 120
解析 数字0,1,2,3,4,5中仅有0,2,4三个偶数，比40 000大的偶数为以4开头与以5开头的数.其中以4开头的偶数又分以0结尾与以2结尾，有2A＝48个；同理，以5开头的有3A＝72个.于是共有48＋72＝120(个).
10.两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园.为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________.
答案 24
解析 第一步：将两位爸爸排在两端有2种排法；第二步：将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有2A种排法，故总的排法有2×2×A＝24(种).
11.将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答).
答案 480
解析 不考虑A，B，C的位置限定时有A＝720种，只考虑A，B, C三个字母的顺序有A＝6种，而A，B在C的同侧有2A＝4，故满足条件的排法有A×＝480(种).
三、解答题
12.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1个，每人值班1天.若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有多少种？
解 依题意，满足甲、乙两人值班安排在相邻两天的方法共有AA＝1 440(种)，
其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班的方法共有AA＝240(种)；
满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在10月7日值班的方法共有AA＝240(种)；
满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班，丁在10月7日值班的方法共有AA＝48(种).
因此满足题意的方法共有1 440－2×240＋48＝1 008(种).
13.用1,2,3,4,5,6,7排出无重复数字的七位数，按下述要求各有多少个？
(1)偶数不相邻；
(2)偶数一定在奇数位上；
(3)1和2之间恰夹有一个奇数，没有偶数；
(4)三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列.
解 (1)用插空法，共有AA＝1 440(个).
(2)先把偶数排在奇数位上有A种排法，再排奇数有A种排法，所以共有AA＝576(个).
(3)在1和2之间放一个奇数有A种方法，把1,2和相应的奇数看成整体和其他4个数进行排列有A种排法，所以共有AAA＝720(个).
(4)七个数的全排列为A，三个数的全排列为A，所以满足要求的七位数有＝840(个).
学习目标 1.进一步加深对排列概念的理解.2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题.
1.排列数公式
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝.
A＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的阶乘).另外，我们规定0！＝1.
2.应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤
类型一 无限制条件的排列问题
例1 (1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
解 (1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有A＝7×6×5＝210(种)不同的送法.
(2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有不同的送法7×7×7＝343(种).
反思与感悟 例1中两题的区别在于：(1)是典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；(2)不是排列问题，需用分步乘法计数原理求其方法种数.排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取出m个元素”.即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中.元素可以重复选取.
跟踪训练1 (1)某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？
(2)将4名体育生，4名美术生分配到4个不同的班，每个班要分配一名体育生和一名美术生，共有多少种分配方案？
解 (1)分3类：第一类用1面旗表示的信号有A种；
第二类用2面旗表示的信号有A种；
第三类用3面旗表示的信号有A种，
由分类加法计数原理，得所求的信号种数是：
A＋A＋A＝3＋3×2＋3×2×1＝15，
即一共可以表示15种不同的信号.
(2)解决这类问题可以分为两步：
第1步：把4名体育生分配到4个不同的班有A种方法，第2步：把4名美术生分配到4个不同的班，有A种方法，由分步乘法计数原理得共有N＝AA＝576(种)分配方案.
类型二 排队问题
角度1 “相邻”与“不相邻”问题
例2 3名男生，4名女生，这7个人站成一排在下列情况下，各有多少种不同的站法.
(1)男、女各站在一起；
(2)男生必须排在一起；
(3)男生不能排在一起；
(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻.
解 (1)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有A种排法，
女生必须站在一起，即把4名女生进行全排列，有A种排法，
全体男生、女生各看作一个元素全排列有A种排法，
由分步乘法计数原理知共有A·A·A＝288(种)排法.
(2)(捆绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，
故有A·A＝720(种)不同的排法.
(3)(不相邻问题插空法)先排女生有A种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的五个空中，有A种排法，故有A·A＝1 440(种)不同的排法.
(4)先排男生有A种排法.让女生插空，有AA＝144(种)不同的排法.
反思与感悟 处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则.元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列.元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素.
跟踪训练2 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单.
(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？
(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？
解 (1)先排歌唱节目有A种，歌唱节目之间以及两端共有6个空位，从中选4个放入舞蹈节目，共有A种方法，所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有A·A＝43 200(种)方法.
(2)先排舞蹈节目有A种方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入.所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有A·A＝2 880(种)方法.
角度2 定序问题
例3 7人站成一排.
(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法；
(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少不同的排列方法.
解 (1)甲在乙前面的排法种数占全体全排列种数的一半，故有＝2 520(种)不同的排法.
(2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的.
故有＝840(种)不同的排法.
反思与感悟 这类问题的解法是采用分类法.n个不同元素的全排列有A种排法，m个元素的全排列有A种排法.因此A种排法中，关于m个元素的不同分法有A类，而且每一分类的排法数是一样的.当这m个元素顺序确定时，共有种排法.
跟踪训练3 7名师生排成一排照相，其中老师1人，女生2人，男生4人，若4名男生的身高都不等，按从高到低的顺序站，有多少种不同的站法？
解 7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同站法，所以共有不同站法2·＝420(种).
角度3 元素的“在”与“不在”问题
例4 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题：
(1)甲不在首位的排法有多少种？
(2)甲既不在首位，又不在末位的排法有多少种？
(3)甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多少种？
(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？
解 (1)方法一 把同学作为研究对象.
第一类：不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中取出5名放在5个位置上，有A种.
第二类：含有甲，甲不在首位：先从4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有A种排法.根据分步乘法计数原理，含有甲时共有4×A种排法.
由分类加法计数原理，共有A＋4×A＝2 160(种)排法.
方法二 把位置作为研究对象.
第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有A种方法.
第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有A种方法.
由分步乘法计数原理，可得共有A·A＝2 160(种)排法.
方法三 (间接法)：即先不考虑限制条件，从7名同学中选出5名进行排列，然后把不满足条件的排列去掉.
不考虑甲在首位的要求，总的可能情况有A种；甲在首位的情况有A种，所以符合要求的排法有A－A＝2 160(种).
(2)把位置作为研究对象，先满足特殊位置.
第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有A种方法.
第二步，从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A种方法.
根据分步乘法计数原理，有A·A＝1 800(种)方法.
(3)把位置作为研究对象.
第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有A种方法.
第二步，从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A种方法.
根据分步乘法计数原理，共有A·A＝1 200(种)方法.
(4)用间接法.
总的可能情况是A种，减去甲在首位的A种，再减去乙在末位的A种.注意到甲在首位同时乙在末位的情况被减去了两次，所以还需补回一次A种，所以共有A－2A＋A＝1 860(种)排法.
反思与感悟 “在”与“不在”排列问题解题原则及方法
(1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先.
(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置.
提醒：解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要贯彻到底.不能一会考虑元素，一会考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误.
跟踪训练4 7人站成一排，甲必须站在中间或两端，则有多少种不同站法？
解 先考虑甲有A种站法，再考虑其余6人全排，故不同的站法总数为：AA＝2 160(种).
类型三 数字排列问题
例5 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？
(1)六位奇数；
(2)个位数字不是5的六位数；
(3)不大于4 310的四位偶数.
解 (1)第一步，排个位，有A种排法；
第二步，排十万位，有A种排法；
第三步，排其他位，有A种排法.
故共有AAA＝288(个)六位奇数.
(2)方法一 (直接法)：
十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类.
第一类，当个位排0时，有A个；
第二类，当个位不排0时，有AAA个.
故符合题意的六位数共有A＋AAA＝504(个).
方法二 (排除法)：
0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况.
故符合题意的六位数共有A－2A＋A＝504(个).
(3)分三种情况，具体如下：
①当千位上排1,3时，有AAA个.
②当千位上排2时，有AA个.
③当千位上排4时，形如4 0××，4 2××的各有A个；
形如4 1××的有AA个；
形如4 3××的只有4 310和4 302这两个数.
故共有AAA＋AA＋2A＋AA＋2＝110(个).
反思与感悟 数字排列问题是排列问题的重要题型，解题时要着重注意从附加受限制条件入手分析，找出解题的思路.常见附加条件有：(1)首位不能为0；(2)有无重复数字；(3)奇偶数；(4)某数的倍数；(5)大于(或小于)某数.
跟踪训练5 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的
(1)能被5整除的五位数；
(2)能被3整除的五位数；
(3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an}，则240 135是第几项.
解 (1)个位上的数字必须是0或5.个位上是0，有A个；个位上是5，若不含0，则有A个；若含0，但0不作首位，则0的位置有A种排法，其余各位有A种排法，故共有A＋A＋AA＝216(个)能被5整除的五位数.
(2)能被3整除的条件是各位数字之和能被3整徐，则5个数可能有{1,2,3,4,5}和{0,1,2,4,5}两种情况，能够组成的五位数分别有A个和AA个.
故能被3整除的五位数有A＋AA＝216(个).
(3)由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A个数，首位数字为2，万位上为0,1,3中的一个有3A个数，∴240 135的项数是A＋3A＋1＝193，即240 135是数列的第193项.
1.用1,2,3，…，9这九个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( )
A.324 B.224 C.360 D.648
答案 B
解析 分两步，个位x为偶数，有A种选法，从余下的8个数中选2个数字排在三位数的百位，十位上，有A种选法，由分步乘法计数原理.得共有AA＝224(个).
2.6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( )
A.36 B.120 C.720 D.240
答案 C
解析 6个人站成两排，每排3人，分2类完成不同的排法有AA＝720(种).
3.从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有________种参赛方案.
答案 240
解析 方法一 从人(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：
第1类，甲不参赛，有A种参赛方案；
第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种方法，然后安排其他3棒，有A种方法，此时有2A种参赛方案.
由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A＋2A＝240(种).
方法二 从位置(元素)的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲之外的5人中选2人，有A种方法；其余两棒从剩余4人中选，有A种方法.
由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有AA＝240(种).
方法三 (排除法)：不考虑甲的约束，6个人占4个位置，有A种安排方法，剔除甲跑第一棒和第四棒的参赛方案有2A种，所以甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A－2A＝240(种).
4.高二(一)班学生安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同的排法的种数是________(填数字).
答案 3 600
解析 先对4个音乐节目和1个曲艺节目，全排列，有A种.2个舞蹈节目进行插空，有A种，由分步乘法计数原理，共有AA＝3 600(种)排法.
5.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________.
答案 96
解析 将5张参观券分成4堆，有2个联号的有4种分法，每种分法再分给4人，各有A种分法，∴不同的分法种数共有4A＝96.
求解排列问题的主要方法：
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中
定序问题
除法处理
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法
正难则反，等价转化的方法
一、选择题
1.数列{an}共有6项，其中4项为2，其余两项各不相同，则满足上述条件的数列{an}共有( )
A.30个 B.31个 C.60个 D.61个
答案 A
解析 在数列{an}的6项中，只考虑两个非2的项的位置，即可将不同数列共有A＝30个.
2.从a，b，c，d，e五人中选2人分别参加数学和物理竞赛，但a不能参加物理竞赛，则不同的选法有( )
A.12种 B.16种 C.20种 D.10种
答案 B
解析 先选1人参加物理竞赛有A种方法.再从剩下的4人中选1人参加数学竞赛，有A种方法，共有AA＝16(种)方法.
3.由1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{an}，则a72等于( )
A.1 543 B.2 543
C.3 542 D.4 532
答案 C
解析 首位是1的四位数有A＝24个，
首位是2的四位数有A＝24个，
首位是3的四位数有A＝24个，
由分类加法计数原理得，
首位小于4的所有四位数共3×24＝72(个).
由此得：a72＝3 542.
4.在制作飞机的某一零件时，要先后实施6个工序，其中工序A只能出现在第一步或最后一步，工序B和C在实施时必须相邻，则实施顺序的编排方法共有( )
A.34种 B.48种
C.96种 D.144种
答案 C
解析 由题意可知，先排工序A，有2种编排方法；再将工序B和C视为一个整体(有2种顺序)与其他3个工序全排列共有2A种编排方法.故实施顺序的编排方法共有2×2A＝96(种).故选C.
5.一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )
A.3×3! B.3×(3！)3
C.(3！)4 D.9!
答案 C
解析 利用“捆绑法”求解，满足题意的坐法种数为A·(A)3＝(3！)4.故选C.
6.由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有( )
A.210个 B.300个
C.464个 D.600个
答案 B
解析 由于组成没有重复数字的六位数，个位小于十位的与个位大于十位的一样多，故有＝300(个).
7.某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )
A.72 B.120
C.144 D.168
答案 B
解析 先排3个歌舞类节目，有A＝6种方法，再用相声分类.
第一类：相声排在歌舞类的两端有A＝2种方法，此时歌舞类中必插两个小品有A＝2种方法，共有2×2＝4种.
第二类：相声排在歌舞类的中间有A＝2种方法，此时余下相邻歌舞类中必插一个小品有A＝2，另一个小品有A＝4，共有2×2×4＝16(种).
共有排法数为6×(4＋16)＝120(种).
二、填空题
8.5个人排成一排，要求甲、乙两人之间至少有一人，则不同的排法有________种.
答案 72
解析 甲、乙两人相邻共有AA种排法，则甲、乙两人至少有一人共有：A－AA＝72(种)排法.
9.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有________个.
答案 120
解析 数字0,1,2,3,4,5中仅有0,2,4三个偶数，比40 000大的偶数为以4开头与以5开头的数.其中以4开头的偶数又分以0结尾与以2结尾，有2A＝48个；同理，以5开头的有3A＝72个.于是共有48＋72＝120(个).
10.两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园.为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________.
答案 24
解析 第一步：将两位爸爸排在两端有2种排法；第二步：将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有2A种排法，故总的排法有2×2×A＝24(种).
11.将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答).
答案 480
解析 不考虑A，B，C的位置限定时有A＝720种，只考虑A，B, C三个字母的顺序有A＝6种，而A，B在C的同侧有2A＝4，故满足条件的排法有A×＝480(种).
三、解答题
12.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1个，每人值班1天.若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有多少种？
解 依题意，满足甲、乙两人值班安排在相邻两天的方法共有AA＝1 440(种)，
其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班的方法共有AA＝240(种)；
满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在10月7日值班的方法共有AA＝240(种)；
满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班，丁在10月7日值班的方法共有AA＝48(种).
因此满足题意的方法共有1 440－2×240＋48＝1 008(种).
13.用1,2,3,4,5,6,7排出无重复数字的七位数，按下述要求各有多少个？
(1)偶数不相邻；
(2)偶数一定在奇数位上；
(3)1和2之间恰夹有一个奇数，没有偶数；
(4)三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列.
解 (1)用插空法，共有AA＝1 440(个).
(2)先把偶数排在奇数位上有A种排法，再排奇数有A种排法，所以共有AA＝576(个).
(3)在1和2之间放一个奇数有A种方法，把1,2和相应的奇数看成整体和其他4个数进行排列有A种排法，所以共有AAA＝720(个).
(4)七个数的全排列为A，三个数的全排列为A，所以满足要求的七位数有＝840(个).
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