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2023-2024学年下学期人教版初中七年级数学下册单元测试AB卷第5章 B卷
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这是一份2023-2024学年下学期人教版初中七年级数学下册单元测试AB卷第5章 B卷，共26页。
第5章 B卷 一．选择题（共10小题） 1．下列各语句中，不是真命题的是（ ） A．直角都相等 B．对顶角相等 C．若∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，则∠1与∠3相等 D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 2．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠2＝30°，则∠3的度数为（ ） A．35° B．45° C．55° D．65° 3．如图，已知AB∥CD，BC平分∠ACD，∠B＝35°，E是CA延长线上一点，则∠BAE的度数是（ ） A．35° B．60° C．65° D．70° 4．如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，若∠1＝58°，则下列结论正确的是（ ） A．∠3＝42° B．∠4＝138° C．∠5＝42° D．∠2＝58° 5．如图，直线AB、CD相交于点M，EM⊥AB，∠EMD：∠DMB＝1：5，则∠BMC的度数是（ ） A．15° B．75° C．105° D．108° 6．如图，△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B＝90°，AB＝6，DH＝4，平移距离为7，则阴影部分的面积为（ ） A．12 B．16 C．28 D．24 7．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4； ③∠2+∠4＝90°；④∠4+∠5＝180°，其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，一条街道有两个拐角∠ABC和∠BCD，已知AB∥CD，若∠ABC＝150°，则∠BCD的度数是（ ） A．30° B．120° C．130° D．150° 9．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，下列不能判定DE∥AC的条件是（ ） A．∠3＝∠C B．∠1+∠4＝180° C．∠1＝∠AFE D．∠1+∠2＝180° 10．如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AFE，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB＝55°，则∠DAF＝（ ） A．40° B．35° C．20° D．15° 二．填空题（共5小题） 11．如图，直线AB∥EF，直线AG，BD分别交直线EF于点C，D．若∠A＝2∠B，∠ECG＝108°，则∠BDF的度数为 °． 12．“内错角相等，两直线平行”的逆命题是 ． 13．如图，直线m∥n，以直线m上的点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线m、n于点B，C，连接AB，BC．若∠1＝40°，则∠ABC＝ °． 14．如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位摆放，点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADE＝131°，则∠DBC的度数为 ． 15．如图，是一副三角板的摆放图，已知OA⊥OB，OC⊥OD，若∠AOC＝35°，则∠BOD的度数是 °． 三．解答题（共8小题） 16．如图，在△ABC中，D、E、F三点分别在AB、AC、BC上，过点D的直线与线段EF相交于点M，已知∠1+∠2＝180°． （1）说明：AC∥DM； （2）若DE∥BC，∠1＝115°，∠C＝50°，求∠3的度数． 17．将一副直角三角尺如图摆放，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，∠F＝45°，求∠CED的度数． 18．如图，点O在直线AB上，∠BOC＝40°，射线OD在∠BOC内部． （1）如图1，当∠BOD＝∠COD时，用量角器画出射线OD，则∠AOD度数为 °； （2）如图2，当∠BOD＝α时，OE⊥OD，垂足为点O，求∠AOE度数（用含α的式子表示）． 19．如图，已知AB∥CD，一条直线分别交AB、CD于点E、F，∠EFB＝∠B，FH⊥FB，点Q在BF上，连接QH． （1）已知∠EFD＝70°，直接写出∠HFG的度数； （2）求证：FH平分∠GFD． 20．【问题提出】 如图，已知GE∥AP∥BD，点C、F分别在BD、GE上，连接AC、AF、DE，点Q在BD的延长线上，∠1＝∠PAF． （1）判断AF与DE的位置关系，并说明理由； 【问题探究】 （2）若AQ平分∠FAC，且∠1＝50°，∠ACB＝80°，求∠Q的度数． 21．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF＝90°， （1）若∠BOD：∠BOE＝1：2，求∠BOD的度数； （2）若∠BOE＝70°，求∠AOF的度数． 22．补全下列题目的解题过程． 如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证DF∥AC． 证明：∵∠1＝∠2（已知）， 且∠2＝∠3，∠1＝∠4（ ）， ∴∠3＝∠4（等量代换）， ∴DB∥ （ ）， ∴∠C＝∠ABD （ ）， ∵∠C＝∠D（已知）， ∴∠D＝∠ABD（ ）， ∴DF∥AC（ ）． 23．（1）阅读并回答： 科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1＝∠2，∠3＝∠4． ①由条件可知：∠1＝∠3，依据是 ；∠2＝∠4，依据是 ； ②反射光线BC与EF平行，依据是 ． （2）解决问题： 如图2．一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b反射出的光线n平行于m，且∠1＝40°，则∠2＝ ；∠3＝ ． 第5章 B卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下列各语句中，不是真命题的是（ ） A．直角都相等 B．对顶角相等 C．若∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，则∠1与∠3相等 D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 【考点】命题与定理；余角和补角；对顶角、邻补角；同位角、内错角、同旁内角． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】D 【分析】利用余角的性质、对顶角的性质及平行线的性质分别进行判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、直角都相等，是真命题，故此选项不符合题意； B、对顶角相等，是真命题，故此选项不符合题意； C、若∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，则∠1与∠3相等，是真命题，故此选项不符合题意； D、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题是假命题，故此选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟练掌握余角、对顶角的性质及平行线的性质，属于基础题． 2．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠2＝30°，则∠3的度数为（ ） A．35° B．45° C．55° D．65° 【考点】平行线的性质；对顶角、邻补角． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】C 【分析】由平行线的性质求出∠OFB＝25°，由对顶角的性质得到∠POF＝∠2＝30°，由三角形外角的性质即可求出∠3的度数． 【解答】解：∵AB∥OF， ∴∠1+∠OFB＝180°， ∵∠1＝155°， ∴∠OFB＝25°， ∵∠POF＝∠2＝30°， ∴∠3＝∠POF+∠OFB＝30°+25°＝55°． 故选：C． 【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质求出∠OFB的度数，由对顶角的性质得到∠POF的度数，由三角形外角的性质即可解决问题． 3．如图，已知AB∥CD，BC平分∠ACD，∠B＝35°，E是CA延长线上一点，则∠BAE的度数是（ ） A．35° B．60° C．65° D．70° 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】D 【分析】由平行线的性质可得∠BCD＝∠B＝35°，∠BAE＝∠DCE，再由角平分线的定义求得∠DCE＝2∠BCD，即可求∠BAE的度数． 【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝35°， ∴∠BCD＝∠B＝35°，∠BAE＝∠DCE， ∵BC平分∠ACD， ∴∠DCE＝2∠BCD＝70°， ∴∠BAE＝70°． 故选：D． 【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等． 4．如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，若∠1＝58°，则下列结论正确的是（ ） A．∠3＝42° B．∠4＝138° C．∠5＝42° D．∠2＝58° 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形． 【答案】D 【分析】利用平行线的性质、直角的定义即可解决问题． 【解答】解：∵a∥b，∠1＝58°， ∴∠3＝∠1＝58°，∠2＝∠1＝58°， ∠4＝180°﹣∠3＝180°﹣58°＝122°， ∵三角板为直角三角板， ∴∠5＝90°﹣∠3＝90°﹣58°＝32°． ∴选项D正确， 故选：D． 【点评】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等． 5．如图，直线AB、CD相交于点M，EM⊥AB，∠EMD：∠DMB＝1：5，则∠BMC的度数是（ ） A．15° B．75° C．105° D．108° 【考点】垂线；对顶角、邻补角． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】C 【分析】根据条件可求出∠END和∠DNB，再根据角平分线的意义求出∠BMC的度数． 【解答】解：∵EM⊥AB， ∴∠EMB＝90°， ∵∠EMD：∠DMB＝1：5，∠EMD+∠DMB＝90°， ∴∠BMD＝90°×56=75°， ∴∠BMC＝180°﹣∠BMD＝180°﹣75°＝105°， 故选：C． 【点评】考查邻补角的性质，正确的识图和推理是解决问题的前提． 6．如图，△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B＝90°，AB＝6，DH＝4，平移距离为7，则阴影部分的面积为（ ） A．12 B．16 C．28 D．24 【考点】平移的性质． 【专题】平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】C 【分析】由S△ABC＝S△DEF，推出S四边形ABEH＝S阴即可解决问题． 【解答】解：∵平移距离为7， ∴BE＝7， ∵AB＝6，DH＝4， ∴EH＝6﹣4＝2， ∵S△ABC＝S△DEF， ∴S四边形ABEH＝S阴， ∴阴影部分的面积为=12×（6+2）×7＝28． 故选：C． 【点评】此题主要考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，要熟练掌握． 7．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4； ③∠2+∠4＝90°；④∠4+∠5＝180°，其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质，直角三角板的性质对各小题进行验证即可得解． 【解答】解：∵纸条的两边互相平行， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠4+∠5＝180°，故①，②，④正确； ∵三角板是直角三角板， ∴∠2+∠4＝180°﹣90°＝90°，故③正确． 综上所述，正确的个数是4． 故选：D． 【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角板的性质，熟记性质与概念并准确识图是解题的关键． 8．如图，一条街道有两个拐角∠ABC和∠BCD，已知AB∥CD，若∠ABC＝150°，则∠BCD的度数是（ ） A．30° B．120° C．130° D．150° 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】D 【分析】直接根据平行线的性质解答即可． 【解答】解：∵AB∥CD，∠ABC＝150°， ∴∠BCD＝∠ABC＝150°． 故选：D． 【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键． 9．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，下列不能判定DE∥AC的条件是（ ） A．∠3＝∠C B．∠1+∠4＝180° C．∠1＝∠AFE D．∠1+∠2＝180° 【考点】平行线的判定． 【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识． 【答案】D 【分析】利用平行线的判定方法分别分析得出答案． 【解答】解：A、当∠C＝∠3时，DE∥AC，故不符合题意； B、当∠1+∠4＝180°时，DE∥AC，故不符合题意； C、当∠1＝∠AFE时，DE∥AC，故不符合题意； D、当∠1+∠2＝180°时，EF∥BC，不能判定DE∥AC，故符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键． 10．如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AFE，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB＝55°，则∠DAF＝（ ） A．40° B．35° C．20° D．15° 【考点】平行线的性质． 【答案】C 【分析】由△ABE沿AE折叠到△AEF，得出∠BAE＝∠FAE，由∠AEB＝55°，∠ABE＝90°求出∠BAE，利用∠DAF＝∠BAD﹣∠BAE﹣∠FAE求解． 【解答】解：∵△ABE沿AE折叠到△AEF， ∴∠BAE＝∠FAE， ∵∠AEB＝55°，∠ABE＝90°， ∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°， ∴∠DAF＝∠BAD﹣∠BAE﹣∠FAE＝90°﹣35°﹣35°＝20°． 故选：C． 【点评】本题主要考查了折叠问题以及矩形的性质的运用，解题的关键是利用折叠图形中的对应角相等进行求解． 二．填空题（共5小题） 11．如图，直线AB∥EF，直线AG，BD分别交直线EF于点C，D．若∠A＝2∠B，∠ECG＝108°，则∠BDF的度数为 36 °． 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】36． 【分析】由∠ECG＝108°，AB∥EF，可得∠A＝72°，而∠A＝2∠B，知∠B=12∠A＝36°；故∠BDF＝∠B＝36°． 【解答】解：∵∠ECG＝108°， ∴∠ACD＝108°， ∵AB∥EF， ∴∠A＝180°﹣∠ACD＝72°， ∵∠A＝2∠B， ∴∠B=12∠A＝36°； ∵AB∥EF， ∴∠BDF＝∠B＝36°； 故答案为：36． 【点评】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补是解题的关键． 12．“内错角相等，两直线平行”的逆命题是 两直线平行，内错角相等 ． 【考点】命题与定理． 【专题】常规题型． 【答案】见试题解答内容 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题． 【解答】解：“内错角相等，两直线平行”的条件是：内错角相等，结论是：两直线平行． 将条件和结论互换得逆命题为：两条直线平行，内错角相等． 故答案为：两直线平行，内错角相等． 【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 13．如图，直线m∥n，以直线m上的点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线m、n于点B，C，连接AB，BC．若∠1＝40°，则∠ABC＝ 70 °． 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力；应用意识． 【答案】70． 【分析】根据等腰三角形的性质、平行线的性质，可以求得∠ABC的度数，本题得以解决． 【解答】解：∵m∥n， ∴（∠1+∠2）+∠3＝180°， ∵AB＝AC， ∴∠2＝∠3， ∵∠1＝40°， ∴40°+2∠2＝180°， 解得∠2＝70°， 即∠ABC＝70°， 故答案为：70． 【点评】本题考查平行线的性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 14．如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位摆放，点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADE＝131°，则∠DBC的度数为 49° ． 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】49°． 【分析】由平行线是的性质推出∠GED＝∠ADE＝131°，∠DBC+∠GED＝180°，即可求出∠DBC的度数． 【解答】解：∵AD∥EG， ∴∠GED＝∠ADE＝131°， ∵EG∥BC， ∴∠DBC+∠GED＝180°， ∴∠DBC＝49°． 故答案为：49°． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质得到∠GED＝∠ADE，∠DBC+∠GED＝180°． 15．如图，是一副三角板的摆放图，已知OA⊥OB，OC⊥OD，若∠AOC＝35°，则∠BOD的度数是 35 °． 【考点】垂线；余角和补角． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】35． 【分析】根据题意可得：∠AOB＝∠COD＝90°，然后利用等式的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOB﹣∠AOD＝∠COD﹣∠AOD， ∴∠DOB＝∠AOC＝35°， 故答案为：35． 【点评】本题考查了垂线，余角和补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 16．如图，在△ABC中，D、E、F三点分别在AB、AC、BC上，过点D的直线与线段EF相交于点M，已知∠1+∠2＝180°． （1）说明：AC∥DM； （2）若DE∥BC，∠1＝115°，∠C＝50°，求∠3的度数． 【考点】平行线的判定与性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）证明见解析； （2）50°． 【分析】（1）根据邻补角及题意得出∠DME＝∠2，再由平行线的判定证明即可； （2）根据平行线的判定和性质得出∠DEM＝65°，再由三角形内角和定理求解即可． 【解答】（1）证明：∵∠1+∠DME＝180°，∠1+∠2＝180° ∴∠DME＝∠2 ∴AC∥DM； （2）解：∵DE∥BC， ∴∠DEC+∠C＝180°， ∵∠C＝50°， ∴∠DEC＝130°， 又∵∠1＝115°， ∴∠DME＝65°． ∵∠DME＝∠2， ∴∠2＝65°， ∴∠DEM＝∠DEC﹣∠2＝130°﹣65°＝65°． ∴∠3＝180°﹣∠DME﹣∠DEM＝180°﹣65°﹣65°＝50°． 【点评】本题主要考查平行线的判定和性质及三角形内角和定理，根据题意找出各角之间的关系是解题关键． 17．将一副直角三角尺如图摆放，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，∠F＝45°，求∠CED的度数． 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】15°． 【分析】由∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，∠F＝45°，利用三角形内角和定理可得出∠ACB＝60°，∠DEF＝45°，由EF∥BC，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠CEF的度数，结合∠CED＝∠CEF﹣∠DEF，即可求出∠CED的度数，此题得解． 【解答】解：∵∠B＝90°，∠A＝30°， ∴∠ACB＝60°． ∵∠EDF＝90°，∠F＝45°， ∴∠DEF＝45°． ∵EF∥BC， ∴∠CEF＝∠ACB＝60°， ∴∠CED＝∠CEF﹣∠DEF＝60°﹣45°＝15°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 18．如图，点O在直线AB上，∠BOC＝40°，射线OD在∠BOC内部． （1）如图1，当∠BOD＝∠COD时，用量角器画出射线OD，则∠AOD度数为 160 °； （2）如图2，当∠BOD＝α时，OE⊥OD，垂足为点O，求∠AOE度数（用含α的式子表示）． 【考点】垂线；角的计算． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】（1）160； （2）90°﹣α． 【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠BOD＝20°，用量角器画出射线OD即可，再计算∠AOD度数即可； （2）根据垂直的定义得∠DOE＝90°，再利用角的和与差即可得∠AOE度数． 【解答】解：（1）∵∠BOC＝40°，∠BOD＝∠COD， ∴∠BOD=12∠BOC＝20°， ∴∠AOD＝180°﹣20°＝160°； 如图1： 故答案为：160； （2）如图2， ∵OE⊥OD， ∴∠DOE＝90°， ∵∠BOD＝α时， ∴∠AOE＝180°﹣90°﹣α＝90°﹣α． 【点评】本题主要考查垂线、角平分线的定义和角的计算，熟练掌握垂直的定义和角平分线的定义是解题的关键． 19．如图，已知AB∥CD，一条直线分别交AB、CD于点E、F，∠EFB＝∠B，FH⊥FB，点Q在BF上，连接QH． （1）已知∠EFD＝70°，直接写出∠HFG的度数； （2）求证：FH平分∠GFD． 【考点】平行线的性质；角平分线的定义；垂线． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）55°； （2）证明见解析． 【分析】（1）由平行线的性质得到∠B＝∠BFD，而∠EFB＝∠B，得到∠BFD＝∠EFB，求出∠EFB=12∠EFD＝35°，由垂直的 定义得到∠HFQ＝90°，即可求出∠HFG＝180°﹣∠EFB﹣∠HFQ＝55°； （2）由（1）知∠BFD＝∠EFB，∠HFQ＝90°，由余角的性质推出∠HFG＝∠DFH，即可证明FH平分∠GFD． 【解答】（1）解：AB∥CD， ∴∠B＝∠BFD， ∵∠EFB＝∠B， ∴∠BFD＝∠EFB， ∵∠EFD＝70°， ∴∠EFB=12∠EFD＝35°， ∵FH⊥FB， ∴∠HFQ＝90°， ∴∠HFG＝180°﹣∠EFB﹣∠HFQ＝55°； （2）证明：由（1）知∠BFD＝∠EFB，∠HFQ＝90°， ∴∠HFG+∠EFB＝180°﹣∠HFQ＝90°，∠DFH+∠BFD＝90°， ∴∠HFG＝∠DFH， ∴FH平分∠GFD． 【点评】本题考查角平分线定义，垂线，平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠BFD＝∠EFB． 20．【问题提出】 如图，已知GE∥AP∥BD，点C、F分别在BD、GE上，连接AC、AF、DE，点Q在BD的延长线上，∠1＝∠PAF． （1）判断AF与DE的位置关系，并说明理由； 【问题探究】 （2）若AQ平分∠FAC，且∠1＝50°，∠ACB＝80°，求∠Q的度数． 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）AF∥DE，理由见解答过程； （2）15°． 【分析】（1）根据平行线的性质及等量代换推出∠E＝∠AFG，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解； （2）根据平行线的性质及角平分线定义求出∠PAF＝50°，∠FAQ＝65°，根据角的和差及平行线的性质求解即可． 【解答】解：（1）AF∥DE， 理由：因为GE∥AP∥BD， 所以∠1＝∠E，∠AFG＝∠PAF， 因为∠1＝∠PAF， 所以∠E＝∠AFG， 所以AF∥DE； （2）因为∠1＝50°，∠1＝∠PAF， 所以∠PAF＝50°， 因为AP∥BD，∠ACB＝80°， 所以∠PAC＝∠ACB＝80°， 所以∠FAC＝∠PAF+∠PAC＝50°+80°＝130°， 因为AQ平分∠FAC， 所以∠FAQ=12∠FAC=12×130°=65°， 所以∠PAQ＝∠FAQ﹣∠PAF＝65°﹣50°＝15°， 因为AP∥BD， 所以∠Q＝∠PAQ＝15°． 【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． 21．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF＝90°， （1）若∠BOD：∠BOE＝1：2，求∠BOD的度数； （2）若∠BOE＝70°，求∠AOF的度数． 【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】（1）∠BOD＝36°； （2）∠AOF＝50°． 【分析】（1）根据OE平分∠BOC，可得∠COE＝∠BOE，再结合∠BOD：∠BOE＝1：2可得∠BOD：∠BOE：∠EOC＝1：2：2，最后利用平角的定义即可求解； （2）由∠BOE＝70°可求得∠BOD＝40°，根据对顶角的定义可得∠AOC＝40°，然后根据∠COF＝90°，即可求得结果． 【解答】解：（1）∵OE平分∠BOC， ∴∠COE＝∠BOE， ∵∠BOD：∠BOE＝1：2， ∴∠BOD：∠BOE：∠EOC＝1：2：2， ∵∠BOD+∠BOE+∠EOC＝180°， ∴∠BOD=180°×11+2+2=36°． （2）∵OE平分∠BOC，∠BOE＝70°， ∴∠BOC＝2∠BOE＝140°， ∴∠BOD＝180°﹣140°＝40°， ∴∠AOC＝∠BOD＝40°， ∵∠COF＝90°， ∴∠AOF＝∠COF﹣∠AOC＝90°﹣40°＝50°． 【点评】本题考查了角平分线的性质、平角的定义、对顶角的定义及角的和差计算，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 22．补全下列题目的解题过程． 如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证DF∥AC． 证明：∵∠1＝∠2（已知）， 且∠2＝∠3，∠1＝∠4（ 对顶角相等 ）， ∴∠3＝∠4（等量代换）， ∴DB∥ CE （ 内错角相等，两直线平行 ）， ∴∠C＝∠ABD （ 两直线平行，同位角相等 ）， ∵∠C＝∠D（已知）， ∴∠D＝∠ABD（ 等量代换 ）， ∴DF∥AC（ 内错角相等，两直线平行 ）． 【考点】平行线的判定与性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】对顶角相等；CE；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行． 【分析】根据已知条件∠1＝∠2及对顶角相等求得∠3＝∠4，从而推知两直线DB∥EC，所以同位角∠C＝∠ABD；然后由已知条件∠C＝∠D推知内错角∠D＝∠ABD，所以两直线AC∥DF． 【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知）， 且∠2＝∠3，∠1＝∠4（对顶角相等）， ∴∠3＝∠4（等量代换）， ∴DB∥CE（内错角相等，两直线平行）， ∴∠C＝∠ABD （两直线平行，同位角相等）， ∵∠C＝∠D（已知）， ∴∠D＝∠ABD （等量代换）， ∴DF∥A C （内错角相等，两直线平行）， 故答案为：对顶角相等；CE；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行． 【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能正确运用性质进行推理和计算是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 23．（1）阅读并回答： 科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1＝∠2，∠3＝∠4． ①由条件可知：∠1＝∠3，依据是 两直线平行，同位角相等 ；∠2＝∠4，依据是 等量代换 ； ②反射光线BC与EF平行，依据是 同位角相等，两直线平行 ． （2）解决问题： 如图2．一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b反射出的光线n平行于m，且∠1＝40°，则∠2＝ 80° ；∠3＝ 90° ． 【考点】平行线的判定与性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）①两直线平行，同位角相等；等量代换．②同位角相等，两直线平行．（2）80°，90°． 【分析】（1）根据平行线的判定与性质逐一求解可得； （2）根据入射角等于反射角得出∠1＝∠4，∠5＝∠7，求出∠6，根据平行线性质即可求出∠2，求出∠5，根据三角形内角和求出∠3即可． 【解答】解：（1）①由条件可知：∠1＝∠3，依据是：两直线平行，同位角相等；∠2＝∠4，依据是：等量代换； ②反射光线BC与EF平行，依据是：同位角相等，两直线平行； 故答案为：①两直线平行，同位角相等；等量代换．②同位角相等，两直线平行． （2）如图， ∵∠1＝40°， ∴∠4＝∠1＝40°， ∴∠6＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∵m∥n， ∴∠2+∠6＝180°， ∴∠2＝80°， ∴∠5＝∠7=180°−∠22=50°， ∴∠3＝180°﹣50°﹣40°＝90°． 故答案为：80°，90°． 【点评】本题考查了平行线的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键
第5章 B卷 一．选择题（共10小题） 1．下列各语句中，不是真命题的是（ ） A．直角都相等 B．对顶角相等 C．若∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，则∠1与∠3相等 D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 2．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠2＝30°，则∠3的度数为（ ） A．35° B．45° C．55° D．65° 3．如图，已知AB∥CD，BC平分∠ACD，∠B＝35°，E是CA延长线上一点，则∠BAE的度数是（ ） A．35° B．60° C．65° D．70° 4．如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，若∠1＝58°，则下列结论正确的是（ ） A．∠3＝42° B．∠4＝138° C．∠5＝42° D．∠2＝58° 5．如图，直线AB、CD相交于点M，EM⊥AB，∠EMD：∠DMB＝1：5，则∠BMC的度数是（ ） A．15° B．75° C．105° D．108° 6．如图，△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B＝90°，AB＝6，DH＝4，平移距离为7，则阴影部分的面积为（ ） A．12 B．16 C．28 D．24 7．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4； ③∠2+∠4＝90°；④∠4+∠5＝180°，其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，一条街道有两个拐角∠ABC和∠BCD，已知AB∥CD，若∠ABC＝150°，则∠BCD的度数是（ ） A．30° B．120° C．130° D．150° 9．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，下列不能判定DE∥AC的条件是（ ） A．∠3＝∠C B．∠1+∠4＝180° C．∠1＝∠AFE D．∠1+∠2＝180° 10．如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AFE，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB＝55°，则∠DAF＝（ ） A．40° B．35° C．20° D．15° 二．填空题（共5小题） 11．如图，直线AB∥EF，直线AG，BD分别交直线EF于点C，D．若∠A＝2∠B，∠ECG＝108°，则∠BDF的度数为 °． 12．“内错角相等，两直线平行”的逆命题是 ． 13．如图，直线m∥n，以直线m上的点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线m、n于点B，C，连接AB，BC．若∠1＝40°，则∠ABC＝ °． 14．如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位摆放，点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADE＝131°，则∠DBC的度数为 ． 15．如图，是一副三角板的摆放图，已知OA⊥OB，OC⊥OD，若∠AOC＝35°，则∠BOD的度数是 °． 三．解答题（共8小题） 16．如图，在△ABC中，D、E、F三点分别在AB、AC、BC上，过点D的直线与线段EF相交于点M，已知∠1+∠2＝180°． （1）说明：AC∥DM； （2）若DE∥BC，∠1＝115°，∠C＝50°，求∠3的度数． 17．将一副直角三角尺如图摆放，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，∠F＝45°，求∠CED的度数． 18．如图，点O在直线AB上，∠BOC＝40°，射线OD在∠BOC内部． （1）如图1，当∠BOD＝∠COD时，用量角器画出射线OD，则∠AOD度数为 °； （2）如图2，当∠BOD＝α时，OE⊥OD，垂足为点O，求∠AOE度数（用含α的式子表示）． 19．如图，已知AB∥CD，一条直线分别交AB、CD于点E、F，∠EFB＝∠B，FH⊥FB，点Q在BF上，连接QH． （1）已知∠EFD＝70°，直接写出∠HFG的度数； （2）求证：FH平分∠GFD． 20．【问题提出】 如图，已知GE∥AP∥BD，点C、F分别在BD、GE上，连接AC、AF、DE，点Q在BD的延长线上，∠1＝∠PAF． （1）判断AF与DE的位置关系，并说明理由； 【问题探究】 （2）若AQ平分∠FAC，且∠1＝50°，∠ACB＝80°，求∠Q的度数． 21．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF＝90°， （1）若∠BOD：∠BOE＝1：2，求∠BOD的度数； （2）若∠BOE＝70°，求∠AOF的度数． 22．补全下列题目的解题过程． 如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证DF∥AC． 证明：∵∠1＝∠2（已知）， 且∠2＝∠3，∠1＝∠4（ ）， ∴∠3＝∠4（等量代换）， ∴DB∥ （ ）， ∴∠C＝∠ABD （ ）， ∵∠C＝∠D（已知）， ∴∠D＝∠ABD（ ）， ∴DF∥AC（ ）． 23．（1）阅读并回答： 科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1＝∠2，∠3＝∠4． ①由条件可知：∠1＝∠3，依据是 ；∠2＝∠4，依据是 ； ②反射光线BC与EF平行，依据是 ． （2）解决问题： 如图2．一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b反射出的光线n平行于m，且∠1＝40°，则∠2＝ ；∠3＝ ． 第5章 B卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下列各语句中，不是真命题的是（ ） A．直角都相等 B．对顶角相等 C．若∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，则∠1与∠3相等 D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 【考点】命题与定理；余角和补角；对顶角、邻补角；同位角、内错角、同旁内角． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】D 【分析】利用余角的性质、对顶角的性质及平行线的性质分别进行判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、直角都相等，是真命题，故此选项不符合题意； B、对顶角相等，是真命题，故此选项不符合题意； C、若∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，则∠1与∠3相等，是真命题，故此选项不符合题意； D、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题是假命题，故此选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟练掌握余角、对顶角的性质及平行线的性质，属于基础题． 2．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠2＝30°，则∠3的度数为（ ） A．35° B．45° C．55° D．65° 【考点】平行线的性质；对顶角、邻补角． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】C 【分析】由平行线的性质求出∠OFB＝25°，由对顶角的性质得到∠POF＝∠2＝30°，由三角形外角的性质即可求出∠3的度数． 【解答】解：∵AB∥OF， ∴∠1+∠OFB＝180°， ∵∠1＝155°， ∴∠OFB＝25°， ∵∠POF＝∠2＝30°， ∴∠3＝∠POF+∠OFB＝30°+25°＝55°． 故选：C． 【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质求出∠OFB的度数，由对顶角的性质得到∠POF的度数，由三角形外角的性质即可解决问题． 3．如图，已知AB∥CD，BC平分∠ACD，∠B＝35°，E是CA延长线上一点，则∠BAE的度数是（ ） A．35° B．60° C．65° D．70° 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】D 【分析】由平行线的性质可得∠BCD＝∠B＝35°，∠BAE＝∠DCE，再由角平分线的定义求得∠DCE＝2∠BCD，即可求∠BAE的度数． 【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝35°， ∴∠BCD＝∠B＝35°，∠BAE＝∠DCE， ∵BC平分∠ACD， ∴∠DCE＝2∠BCD＝70°， ∴∠BAE＝70°． 故选：D． 【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等． 4．如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，若∠1＝58°，则下列结论正确的是（ ） A．∠3＝42° B．∠4＝138° C．∠5＝42° D．∠2＝58° 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形． 【答案】D 【分析】利用平行线的性质、直角的定义即可解决问题． 【解答】解：∵a∥b，∠1＝58°， ∴∠3＝∠1＝58°，∠2＝∠1＝58°， ∠4＝180°﹣∠3＝180°﹣58°＝122°， ∵三角板为直角三角板， ∴∠5＝90°﹣∠3＝90°﹣58°＝32°． ∴选项D正确， 故选：D． 【点评】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等． 5．如图，直线AB、CD相交于点M，EM⊥AB，∠EMD：∠DMB＝1：5，则∠BMC的度数是（ ） A．15° B．75° C．105° D．108° 【考点】垂线；对顶角、邻补角． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】C 【分析】根据条件可求出∠END和∠DNB，再根据角平分线的意义求出∠BMC的度数． 【解答】解：∵EM⊥AB， ∴∠EMB＝90°， ∵∠EMD：∠DMB＝1：5，∠EMD+∠DMB＝90°， ∴∠BMD＝90°×56=75°， ∴∠BMC＝180°﹣∠BMD＝180°﹣75°＝105°， 故选：C． 【点评】考查邻补角的性质，正确的识图和推理是解决问题的前提． 6．如图，△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B＝90°，AB＝6，DH＝4，平移距离为7，则阴影部分的面积为（ ） A．12 B．16 C．28 D．24 【考点】平移的性质． 【专题】平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】C 【分析】由S△ABC＝S△DEF，推出S四边形ABEH＝S阴即可解决问题． 【解答】解：∵平移距离为7， ∴BE＝7， ∵AB＝6，DH＝4， ∴EH＝6﹣4＝2， ∵S△ABC＝S△DEF， ∴S四边形ABEH＝S阴， ∴阴影部分的面积为=12×（6+2）×7＝28． 故选：C． 【点评】此题主要考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，要熟练掌握． 7．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4； ③∠2+∠4＝90°；④∠4+∠5＝180°，其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质，直角三角板的性质对各小题进行验证即可得解． 【解答】解：∵纸条的两边互相平行， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠4+∠5＝180°，故①，②，④正确； ∵三角板是直角三角板， ∴∠2+∠4＝180°﹣90°＝90°，故③正确． 综上所述，正确的个数是4． 故选：D． 【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角板的性质，熟记性质与概念并准确识图是解题的关键． 8．如图，一条街道有两个拐角∠ABC和∠BCD，已知AB∥CD，若∠ABC＝150°，则∠BCD的度数是（ ） A．30° B．120° C．130° D．150° 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】D 【分析】直接根据平行线的性质解答即可． 【解答】解：∵AB∥CD，∠ABC＝150°， ∴∠BCD＝∠ABC＝150°． 故选：D． 【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键． 9．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，下列不能判定DE∥AC的条件是（ ） A．∠3＝∠C B．∠1+∠4＝180° C．∠1＝∠AFE D．∠1+∠2＝180° 【考点】平行线的判定． 【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识． 【答案】D 【分析】利用平行线的判定方法分别分析得出答案． 【解答】解：A、当∠C＝∠3时，DE∥AC，故不符合题意； B、当∠1+∠4＝180°时，DE∥AC，故不符合题意； C、当∠1＝∠AFE时，DE∥AC，故不符合题意； D、当∠1+∠2＝180°时，EF∥BC，不能判定DE∥AC，故符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键． 10．如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AFE，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB＝55°，则∠DAF＝（ ） A．40° B．35° C．20° D．15° 【考点】平行线的性质． 【答案】C 【分析】由△ABE沿AE折叠到△AEF，得出∠BAE＝∠FAE，由∠AEB＝55°，∠ABE＝90°求出∠BAE，利用∠DAF＝∠BAD﹣∠BAE﹣∠FAE求解． 【解答】解：∵△ABE沿AE折叠到△AEF， ∴∠BAE＝∠FAE， ∵∠AEB＝55°，∠ABE＝90°， ∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°， ∴∠DAF＝∠BAD﹣∠BAE﹣∠FAE＝90°﹣35°﹣35°＝20°． 故选：C． 【点评】本题主要考查了折叠问题以及矩形的性质的运用，解题的关键是利用折叠图形中的对应角相等进行求解． 二．填空题（共5小题） 11．如图，直线AB∥EF，直线AG，BD分别交直线EF于点C，D．若∠A＝2∠B，∠ECG＝108°，则∠BDF的度数为 36 °． 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】36． 【分析】由∠ECG＝108°，AB∥EF，可得∠A＝72°，而∠A＝2∠B，知∠B=12∠A＝36°；故∠BDF＝∠B＝36°． 【解答】解：∵∠ECG＝108°， ∴∠ACD＝108°， ∵AB∥EF， ∴∠A＝180°﹣∠ACD＝72°， ∵∠A＝2∠B， ∴∠B=12∠A＝36°； ∵AB∥EF， ∴∠BDF＝∠B＝36°； 故答案为：36． 【点评】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补是解题的关键． 12．“内错角相等，两直线平行”的逆命题是 两直线平行，内错角相等 ． 【考点】命题与定理． 【专题】常规题型． 【答案】见试题解答内容 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题． 【解答】解：“内错角相等，两直线平行”的条件是：内错角相等，结论是：两直线平行． 将条件和结论互换得逆命题为：两条直线平行，内错角相等． 故答案为：两直线平行，内错角相等． 【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 13．如图，直线m∥n，以直线m上的点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线m、n于点B，C，连接AB，BC．若∠1＝40°，则∠ABC＝ 70 °． 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力；应用意识． 【答案】70． 【分析】根据等腰三角形的性质、平行线的性质，可以求得∠ABC的度数，本题得以解决． 【解答】解：∵m∥n， ∴（∠1+∠2）+∠3＝180°， ∵AB＝AC， ∴∠2＝∠3， ∵∠1＝40°， ∴40°+2∠2＝180°， 解得∠2＝70°， 即∠ABC＝70°， 故答案为：70． 【点评】本题考查平行线的性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 14．如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位摆放，点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADE＝131°，则∠DBC的度数为 49° ． 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】49°． 【分析】由平行线是的性质推出∠GED＝∠ADE＝131°，∠DBC+∠GED＝180°，即可求出∠DBC的度数． 【解答】解：∵AD∥EG， ∴∠GED＝∠ADE＝131°， ∵EG∥BC， ∴∠DBC+∠GED＝180°， ∴∠DBC＝49°． 故答案为：49°． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质得到∠GED＝∠ADE，∠DBC+∠GED＝180°． 15．如图，是一副三角板的摆放图，已知OA⊥OB，OC⊥OD，若∠AOC＝35°，则∠BOD的度数是 35 °． 【考点】垂线；余角和补角． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】35． 【分析】根据题意可得：∠AOB＝∠COD＝90°，然后利用等式的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOB﹣∠AOD＝∠COD﹣∠AOD， ∴∠DOB＝∠AOC＝35°， 故答案为：35． 【点评】本题考查了垂线，余角和补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 16．如图，在△ABC中，D、E、F三点分别在AB、AC、BC上，过点D的直线与线段EF相交于点M，已知∠1+∠2＝180°． （1）说明：AC∥DM； （2）若DE∥BC，∠1＝115°，∠C＝50°，求∠3的度数． 【考点】平行线的判定与性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）证明见解析； （2）50°． 【分析】（1）根据邻补角及题意得出∠DME＝∠2，再由平行线的判定证明即可； （2）根据平行线的判定和性质得出∠DEM＝65°，再由三角形内角和定理求解即可． 【解答】（1）证明：∵∠1+∠DME＝180°，∠1+∠2＝180° ∴∠DME＝∠2 ∴AC∥DM； （2）解：∵DE∥BC， ∴∠DEC+∠C＝180°， ∵∠C＝50°， ∴∠DEC＝130°， 又∵∠1＝115°， ∴∠DME＝65°． ∵∠DME＝∠2， ∴∠2＝65°， ∴∠DEM＝∠DEC﹣∠2＝130°﹣65°＝65°． ∴∠3＝180°﹣∠DME﹣∠DEM＝180°﹣65°﹣65°＝50°． 【点评】本题主要考查平行线的判定和性质及三角形内角和定理，根据题意找出各角之间的关系是解题关键． 17．将一副直角三角尺如图摆放，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，∠F＝45°，求∠CED的度数． 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】15°． 【分析】由∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，∠F＝45°，利用三角形内角和定理可得出∠ACB＝60°，∠DEF＝45°，由EF∥BC，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠CEF的度数，结合∠CED＝∠CEF﹣∠DEF，即可求出∠CED的度数，此题得解． 【解答】解：∵∠B＝90°，∠A＝30°， ∴∠ACB＝60°． ∵∠EDF＝90°，∠F＝45°， ∴∠DEF＝45°． ∵EF∥BC， ∴∠CEF＝∠ACB＝60°， ∴∠CED＝∠CEF﹣∠DEF＝60°﹣45°＝15°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 18．如图，点O在直线AB上，∠BOC＝40°，射线OD在∠BOC内部． （1）如图1，当∠BOD＝∠COD时，用量角器画出射线OD，则∠AOD度数为 160 °； （2）如图2，当∠BOD＝α时，OE⊥OD，垂足为点O，求∠AOE度数（用含α的式子表示）． 【考点】垂线；角的计算． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】（1）160； （2）90°﹣α． 【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠BOD＝20°，用量角器画出射线OD即可，再计算∠AOD度数即可； （2）根据垂直的定义得∠DOE＝90°，再利用角的和与差即可得∠AOE度数． 【解答】解：（1）∵∠BOC＝40°，∠BOD＝∠COD， ∴∠BOD=12∠BOC＝20°， ∴∠AOD＝180°﹣20°＝160°； 如图1： 故答案为：160； （2）如图2， ∵OE⊥OD， ∴∠DOE＝90°， ∵∠BOD＝α时， ∴∠AOE＝180°﹣90°﹣α＝90°﹣α． 【点评】本题主要考查垂线、角平分线的定义和角的计算，熟练掌握垂直的定义和角平分线的定义是解题的关键． 19．如图，已知AB∥CD，一条直线分别交AB、CD于点E、F，∠EFB＝∠B，FH⊥FB，点Q在BF上，连接QH． （1）已知∠EFD＝70°，直接写出∠HFG的度数； （2）求证：FH平分∠GFD． 【考点】平行线的性质；角平分线的定义；垂线． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）55°； （2）证明见解析． 【分析】（1）由平行线的性质得到∠B＝∠BFD，而∠EFB＝∠B，得到∠BFD＝∠EFB，求出∠EFB=12∠EFD＝35°，由垂直的 定义得到∠HFQ＝90°，即可求出∠HFG＝180°﹣∠EFB﹣∠HFQ＝55°； （2）由（1）知∠BFD＝∠EFB，∠HFQ＝90°，由余角的性质推出∠HFG＝∠DFH，即可证明FH平分∠GFD． 【解答】（1）解：AB∥CD， ∴∠B＝∠BFD， ∵∠EFB＝∠B， ∴∠BFD＝∠EFB， ∵∠EFD＝70°， ∴∠EFB=12∠EFD＝35°， ∵FH⊥FB， ∴∠HFQ＝90°， ∴∠HFG＝180°﹣∠EFB﹣∠HFQ＝55°； （2）证明：由（1）知∠BFD＝∠EFB，∠HFQ＝90°， ∴∠HFG+∠EFB＝180°﹣∠HFQ＝90°，∠DFH+∠BFD＝90°， ∴∠HFG＝∠DFH， ∴FH平分∠GFD． 【点评】本题考查角平分线定义，垂线，平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠BFD＝∠EFB． 20．【问题提出】 如图，已知GE∥AP∥BD，点C、F分别在BD、GE上，连接AC、AF、DE，点Q在BD的延长线上，∠1＝∠PAF． （1）判断AF与DE的位置关系，并说明理由； 【问题探究】 （2）若AQ平分∠FAC，且∠1＝50°，∠ACB＝80°，求∠Q的度数． 【考点】平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）AF∥DE，理由见解答过程； （2）15°． 【分析】（1）根据平行线的性质及等量代换推出∠E＝∠AFG，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解； （2）根据平行线的性质及角平分线定义求出∠PAF＝50°，∠FAQ＝65°，根据角的和差及平行线的性质求解即可． 【解答】解：（1）AF∥DE， 理由：因为GE∥AP∥BD， 所以∠1＝∠E，∠AFG＝∠PAF， 因为∠1＝∠PAF， 所以∠E＝∠AFG， 所以AF∥DE； （2）因为∠1＝50°，∠1＝∠PAF， 所以∠PAF＝50°， 因为AP∥BD，∠ACB＝80°， 所以∠PAC＝∠ACB＝80°， 所以∠FAC＝∠PAF+∠PAC＝50°+80°＝130°， 因为AQ平分∠FAC， 所以∠FAQ=12∠FAC=12×130°=65°， 所以∠PAQ＝∠FAQ﹣∠PAF＝65°﹣50°＝15°， 因为AP∥BD， 所以∠Q＝∠PAQ＝15°． 【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． 21．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF＝90°， （1）若∠BOD：∠BOE＝1：2，求∠BOD的度数； （2）若∠BOE＝70°，求∠AOF的度数． 【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】（1）∠BOD＝36°； （2）∠AOF＝50°． 【分析】（1）根据OE平分∠BOC，可得∠COE＝∠BOE，再结合∠BOD：∠BOE＝1：2可得∠BOD：∠BOE：∠EOC＝1：2：2，最后利用平角的定义即可求解； （2）由∠BOE＝70°可求得∠BOD＝40°，根据对顶角的定义可得∠AOC＝40°，然后根据∠COF＝90°，即可求得结果． 【解答】解：（1）∵OE平分∠BOC， ∴∠COE＝∠BOE， ∵∠BOD：∠BOE＝1：2， ∴∠BOD：∠BOE：∠EOC＝1：2：2， ∵∠BOD+∠BOE+∠EOC＝180°， ∴∠BOD=180°×11+2+2=36°． （2）∵OE平分∠BOC，∠BOE＝70°， ∴∠BOC＝2∠BOE＝140°， ∴∠BOD＝180°﹣140°＝40°， ∴∠AOC＝∠BOD＝40°， ∵∠COF＝90°， ∴∠AOF＝∠COF﹣∠AOC＝90°﹣40°＝50°． 【点评】本题考查了角平分线的性质、平角的定义、对顶角的定义及角的和差计算，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 22．补全下列题目的解题过程． 如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证DF∥AC． 证明：∵∠1＝∠2（已知）， 且∠2＝∠3，∠1＝∠4（ 对顶角相等 ）， ∴∠3＝∠4（等量代换）， ∴DB∥ CE （ 内错角相等，两直线平行 ）， ∴∠C＝∠ABD （ 两直线平行，同位角相等 ）， ∵∠C＝∠D（已知）， ∴∠D＝∠ABD（ 等量代换 ）， ∴DF∥AC（ 内错角相等，两直线平行 ）． 【考点】平行线的判定与性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】对顶角相等；CE；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行． 【分析】根据已知条件∠1＝∠2及对顶角相等求得∠3＝∠4，从而推知两直线DB∥EC，所以同位角∠C＝∠ABD；然后由已知条件∠C＝∠D推知内错角∠D＝∠ABD，所以两直线AC∥DF． 【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知）， 且∠2＝∠3，∠1＝∠4（对顶角相等）， ∴∠3＝∠4（等量代换）， ∴DB∥CE（内错角相等，两直线平行）， ∴∠C＝∠ABD （两直线平行，同位角相等）， ∵∠C＝∠D（已知）， ∴∠D＝∠ABD （等量代换）， ∴DF∥A C （内错角相等，两直线平行）， 故答案为：对顶角相等；CE；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行． 【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能正确运用性质进行推理和计算是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 23．（1）阅读并回答： 科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1＝∠2，∠3＝∠4． ①由条件可知：∠1＝∠3，依据是 两直线平行，同位角相等 ；∠2＝∠4，依据是 等量代换 ； ②反射光线BC与EF平行，依据是 同位角相等，两直线平行 ． （2）解决问题： 如图2．一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b反射出的光线n平行于m，且∠1＝40°，则∠2＝ 80° ；∠3＝ 90° ． 【考点】平行线的判定与性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）①两直线平行，同位角相等；等量代换．②同位角相等，两直线平行．（2）80°，90°． 【分析】（1）根据平行线的判定与性质逐一求解可得； （2）根据入射角等于反射角得出∠1＝∠4，∠5＝∠7，求出∠6，根据平行线性质即可求出∠2，求出∠5，根据三角形内角和求出∠3即可． 【解答】解：（1）①由条件可知：∠1＝∠3，依据是：两直线平行，同位角相等；∠2＝∠4，依据是：等量代换； ②反射光线BC与EF平行，依据是：同位角相等，两直线平行； 故答案为：①两直线平行，同位角相等；等量代换．②同位角相等，两直线平行． （2）如图， ∵∠1＝40°， ∴∠4＝∠1＝40°， ∴∠6＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∵m∥n， ∴∠2+∠6＝180°， ∴∠2＝80°， ∴∠5＝∠7=180°−∠22=50°， ∴∠3＝180°﹣50°﹣40°＝90°． 故答案为：80°，90°． 【点评】本题考查了平行线的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键
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