12.2HL判定三角形全等（讲+练）-【重要笔记】2022-2023学年八年级数学上册重要考点精讲精练(人教版)

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12.2 HL判定三角形全等 一、单选题 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，则下列结论，一定成立的是（　　） A．BD＝AD B．∠B＝∠C C．AD＝CD D．∠BAD＝∠ACD 2．如图，在△ABC和△ADC中，∠B=∠D=90°，CB=CD，∠1=30°，则∠2=（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 3．如图，在等腰RtΔABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥BC，若BC=10cm，则△DEC的周长为（　　） A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm 4．如图， △ABC 的外角 ∠ACD 的平分线CE与内角 ∠ABC 的平分线BE交于点E，若 ∠BEC=40° ，则 ∠CAE 的度数为（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 5．如图，E是正方形ABCD的边DC上一点，过点A作FA＝AE交CB的延长线于点F，若AB＝4，则四边形AFCE的面积是（　　） A．4 B．8 C．16 D．无法计算 6．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　） ①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图， PD⊥AB ， PE⊥AC ，垂足分别为D、E，且 PD=PE ，则直接判定 △APD 与 △APE 全等的理由是（　　） A．SAS B．AAS C．SSS D．HL 8．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90∘；②∠ADE=∠CDE；③DE=BE；④AD=AB+CD.其中正确的是（　　） A．①②④ B．①②③④ C．②③④ D．①③ 二、填空题 9．如图所示，△ABC中∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝13cm，则△DBE的周长为　 　. 10．如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，则∠EDF＝　 　． 11．如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，则∠EDF＝　 　． 三、解答题 12．如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点D，DB＝BC，求证：AC=AE+DE． 13．如图，在 Rt△ABC 和 Rt△CDE 中， ∠B=∠D=90° ， C 为 BD 上一点， AC=CE ， BC=DE ．求证： AC⊥CE ． 14．如图，在△ABC中，∠BAC＝34°，∠ABC＝110°，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝DF．求∠ADB的度数． 四、综合题 15．如图，在四边形ABCD中，∠DAB和∠DCB互补，CD＝CB，CE⊥AB于E． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）试猜想AB，AD，AE的数量关系并证明你的猜想． 判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理（HL） 在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.注意：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.题型1：用HL判定三角形全等 1.如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，求证：△ACB≌△BDA． 【变式1-1】已知：如图，∠A =∠D = 90° ， BE = EC . 求证： △ABC ≌ △DCB . 【变式1-2】已知：如图，点C、D，在线段AB上，且AC =BD，AE=BF，ED⊥AB，FC⊥AB．求证：AE∥BF． 题型2：全等的判定条件选择 2.如图，AC⊥BE于点C，DF⊥BE于点F，BC＝EF，如果添加一个条件后，可以直接利用“HL”来证明△ABC≌△DEF，则这个条件应该是（　　） A．AC=DE B．∠D=∠A C．AB=DE D．∠B=∠E 【变式2-1】如图所示，在下列条件中，不能判断 △ABD ≌ △BAC 的条件是（　　） A．∠D=∠C ， ∠BAD=∠ABC B．BD=AC ， ∠BAD=∠ABC C．∠BAD=∠ABC ， ∠ABD=∠BAC D．AD=BC ， BD=AC 【变式2-2】如图， 在△ABC和△DEC中， 已知CB=CE， 还需添加两个条件才能使△ABC≌△ DEC，不能添加的一组条件是（　　） A．AC=DC，AB=DE B．AC=DC， ∠A=∠D C．AB=DE，∠B=∠E D．∠ACD=∠BCE，∠B=∠E 题型3：直角三角形全等的判定与求度数 3.在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF． （1）求证：△ABE≌△CBF； （2）若∠CAE=25°，求∠BFC度数． 【变式3-1】如图，在△ABC中，AD⊥BC交BC于点D，点D到AB、AC的距离相等，且∠B=70∘，求∠CAD的度数. 【变式3-2】如图，点C在BE上，AB⊥BE，DE⊥BE，且AB=BE，BC=DE，AC交BD于F． （1）求证：△ABC≌△BED； （2）求∠BFC的度数． 题型4：直角三角形全等的判定与求长度 4.如图，△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，点P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D，E，已知DC=2，求BE的长． 【变式4-1】如图， ∠1=∠2 ， CE⊥AB 于E， CF⊥AD 交AD的延长线于F，且 BC=DC . （1）BE与DF是否相等？请说明理由； （2）若 DF=1cm ， AD=3cm ，则AB的长为　 　cm. 【变式4-2】如图， ∠ACB=90° ， AC=BC ， AD⊥CE ， BE⊥CE ，垂足分别为 D ， E ． （1）求证： △ACD≌△CBE ； （2）若 AD=12 ， DE=7 ，请直接写出 BE 的长． 题型5：直角三角形全等的判定与证明 5.如图，在△ABC中，AC=BC，直线l经过点C，过A、B两点分别作直线l的垂线AE、BF，垂足分别为E、F，AE=CF，求证：∠ACB=90° 【变式5-1】如图所示，在 △ABC 中， ∠C=90°，AC=BC ，AD平分 ∠BAC 交BC于D， DE⊥AB 于E，求证 △DEB 的周长等于AB的长 【变式5-2】如图，在四边形 ABCD 中， AB=AD,AE⊥BC 于点 E,AF⊥CD 交 CD 的延长线于点 F,BE=DF ． 求证：点A在 ∠BCD 的平分线上． 题型6：直角三角形全等的判定与求探究 6.（1）问题原型： 如图1，在锐角△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于点D，在AD上取点E，连接BE，使BE=AC．求证：DE=CD； （2）问题拓展： 如图2，在问题原型的条件下，F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使FM=EF，连接CM．判断线段AC与CM的大小关系，井说明理由； （3）问题延伸： 在上述问题原型和问题拓展条件及结论下，在图②中，若连接AM，则△ACM为　 　三角形． 【变式6-1】如图①，C、F分别为线段AD上的两个动点，BC⊥AD，垂足为C，EF⊥AD，垂足为F，且AB==DE，AF=CD，点G是AD与BE 的交点. （1）求证∶ BG=EG; （2）当C、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立?若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由. 【变式6-2】已知： AB⊥BD ， ED⊥BD ， AC=CE ， BC=DE ． （1）试猜想线段 AC 与 CE 的位置关系，并证明你的结论． （2）若将 CD 沿 CB 方向平移至图2情形，其余条件不变，结论 AC1⊥C2E 还成立吗？请说明理由． （3）若将 CD 沿 CB 方向平移至图3情形，其余条件不变，结论 AC1⊥C2E 还成立吗？请说明理由．