知识必备09 圆（3大模块知识清单+4种方法清单+16个考试清单真题专练）-2024年中考数学考点必备

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方法1：圆中最值问题
一．选择题（共2小题）
1．（2023•江南区校级三模）如图，正方形的边长为5，以为圆心，2为半径作．点为上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接．在点运动的过程中，长度的最大值是
A．B．C．D．
2．（2023•明光市二模）如图，正方形的边长为2，点是射线上一个动点，点在上，且满足，则线段的最小值为
A．B．1C．D．
二．填空题（共6小题）
3．（2023•南海区校级模拟）如图，点的坐标为，点的坐标为，点、点关于原点对称，点是平面上一点，且满足，则线段的最小值为 ．
4．（2023•红旗区二模）如图，四边形中，，，，点是四边形内的一个动点，满足，连接、，则面积的最小值为 ．
5．（2023•浙江模拟）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？
（1）如图①，圆锥的母线长为，为母线的中点，点在底面圆周上，的长为，则蚂蚁从点爬行到点的最短路径长为 （结果保留根号）；
（2）如图②中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成，点在圆柱的底面圆周上，点在母线上，当蚂蚁从点以最短路径爬行到点时与圆锥底面交于点．若母线长为，圆柱的高为， 的长为，的长为 则蚂蚁从点爬行到点的最短路径长为 取．
6．（2023•西峡县一模）如图，点是正方形边上一动点（点不与点、重合），连接，过点作交于，垂足为，连接，已知正方形的边长为2，则的最小值为 ．
7．（2023•龙岗区校级模拟）如图，在矩形中，，，为边上一动点，为中点，为上一点，，则的最小值为 ．
8．（2023•雁塔区校级四模）如图，在矩形中，，，点在上，且，点为矩形内一动点，使得，连接，则线段的最小值为 ．
三．解答题（共4小题）
9．（2023•竞秀区二模）已知，在半圆中，直径，点，在半圆上运动，弦．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，若，求图中阴影部分（弦、直径、弧围成的图形）的面积；
（3）如图3，取的中点，点从点开始运动到点与点重合时结束，在整个运动过程中：点到的距离的最小值是 ．
10．（2023•大兴区二模）在平面直角坐标系中，已知点，．点为平面内一点（不与点，点重合），若是以线段为斜边的直角三角形，则称点为线段的直点．
（1）若，
①在点，，这三个点中，点 是线段的直点；
②点为线段的直点，点，求的取值范围；
（2）点在直线上，若点的横坐标 满足，点为线段的直点，且，直接写出的取值范围．
11．（2023•南海区一模）如图1，在矩形中，，，点在射线上运动，将沿翻折，使得点与点重合，连接交于点．
（1）【初步探究】当点落在边上时，求的长；
（2）【深入探究】在点的运动过程中，是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由；
（3）【拓展延伸】如图3，点为的中点，连接，点在射线上运动过程中，求长的最大值．
12．（2023•北京一模）在平面直角坐标系中，的半径为1，为上一点，点．
对于点给出如下定义：将点绕点顺时针旋转，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．
（1）如图，已知点，点，点为点的“对应点”．
①在图中画出点；
②求证：；
（2）点在轴正半轴上，且，点为点的“对应点”，连接，当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的积（用含的式子表示）．
方法2：定点定长构造辅助圆
一．选择题（共1小题）
1．（2023•张家口一模）在中，要判断和的大小关系和均为锐角），同学们提供了许多方案，老师选取其中两位同学的方案（如图1和图
对于方案Ⅰ、Ⅱ说法正确的是
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都可行D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
二．填空题（共1小题）
2．（2023•营口一模）如图，等边三角形和等边三角形，点，点分别为，的中点，，，绕点旋转过程中，的最大值为 ．
三．解答题（共1小题）
3．（2023•新城区校级三模）圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．
（1）已知：如图1，，请利用圆规画出过、．三点的圆．若，则 ．
如图，中，，，．
（2）已知，如图2．点为边的中点，将沿方向平移2个单位长度，点、、的对应点分别为点、、，求四边形的面积和的大小．
（3）如图3，将边沿方向平移个单位至，是否存在这样的，使得直线上有一点，满足且此时四边形的面积最大？若存在，求出四边形面积的最大值及平移距离，若不存在，说明理由．
方法3：定弦定角构造辅助圆
一．选择题（共1小题）
1．（2023•肇东市校级模拟）如图，是的直径，，为的三等分点（更靠近点），点是上个动点，取弦的中点，则线段的最大值为
A．2B．C．D．
二．填空题（共2小题）
2．（2023•利州区模拟）如图，正方形中，，动点从点出发向点运动，同时动点从点出发向点运动，点、运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段、相交于点，是线段上任意一点，则的最小值为 ．
3．（2023•定远县校级一模）如图，半径为4的中，为直径，弦且过半径的中点，点为上一动点，于点．当点从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径长为 ．
三．解答题（共2小题）
4．（2023•灞桥区校级模拟）问题提出：（1）如图①，为等腰三角形，，，是上一点，且平分的面积，则线段的长度为 ．
问题探究：（2）如图②，中，，，试分析和判断的面积是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
问题解决：（3）如图③，2023年第九届丝绸之路国际电影开幕式在西安曲江竞技中心举行，主办方要在会场旁规划一个四边形花圃，满足米，米，，，主办方打算过的中点点（入口）修建一条径直的通道（宽度忽略不计）其中点（出口）为四边形边上一点，通道把四边形分成面积相等并且尽可能大的两部分，分别规划成不同品种的花圃以供影迷休闲观赏．问是否存在满足上述条件的通道？若存在，请求出点距出口的距离的长；若不存在，请说明理由．
5．（2023•柯城区校级一模）如图，点与点的坐标分别是，，点是该直角坐标系内的一个动点．
（1）使的点有 个；
（2）若点在轴上，且，求满足条件的点的坐标；
（3）当点在轴上移动时，是否有最大值？若有，求点的坐标，并说明此时最大的理由；若没有，也请说明理由．
方法4：对角互补构造辅助圆
一．填空题（共1小题）
1．（2023•游仙区模拟）如图，在正方形中，，点是对角线上一点，连接，过点作，连接交于点，将沿翻折，得到．连接．交于点．若．则的面积是 ．
二．解答题（共1小题）
2．（2023•朔城区一模）阅读下列材料，并完成相应的任务．
任务：
（1）填空：
①依据1指的是中点的定义及 ；
②依据2指的是 ．
（2）请将证明过程补充完整．
（3）善于思考的小虎发现当点是的中点时，，请你利用图（2）证明该结论的正确性．
一．垂径定理（共1小题）
1．（2023•宜昌）如图，，，都是的半径，，交于点．若，，则的长为
A．5B．4C．3D．2
二．垂径定理的应用（共2小题）
2．（2023•永州）如图，是一个盛有水的容器的横截面，的半径为，水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度为 ．
3．（2023•广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径约为
A．B．C．D．
三．圆周角定理（共3小题）
4．（2023•广西）如图，点，，，在上，．则的度数是
A．B．C．D．
5．（2023•武汉）如图，，，都是的半径，．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
6．（2023•齐齐哈尔）综合与实践：
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
（1）发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系： ， ；
（2）类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系： ；
（4）实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足，，则 ．
四．圆内接四边形的性质（共3小题）
7．（2023•西藏）如图，四边形内接于，为延长线上一点．若，则的度数是
A．B．C．D．
8．（2023•淮安）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数是 ．
9．（2023•北京）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．
（1）求证平分，并求的大小；
（2）过点作交的延长线于点，若，，求此圆半径的长．
五．点与圆的位置关系（共1小题）
10．（2023•安徽）已知四边形内接于，对角线是的直径．
（1）如图1，连接，，若，求证：平分；
（2）如图2，为内一点，满足，．若，，求弦的长．
六．确定圆的条件（共1小题）
11．（2023•江西）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为
A．3个B．4个C．5个D．6个
七．三角形的外接圆与外心（共2小题）
12．（2023•台湾）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，、两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点、，使得的外心为，求的长度为何
A．4B．5C．D．
13．（2023•盘锦）如图，内接于，为的直径，延长到点，使得，连接．过点作，交于点，交于点，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：与相切．
（2）若，，求的长．
八．直线与圆的位置关系（共1小题）
14．（2023•盐城）如图，在中，是上（异于点，的一点，恰好经过点，，于点，且平分．
（1）判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若，，求的半径长．
九．切线的性质（共4小题）
15．（2023•青岛）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，过原点，且与轴交于另一点，为的切线，为切点，是的直径，则的度数为 ．
16．（2023•重庆）如图，是的切线，为切点，连接，．若，，，则的长度是
A．3B．C．D．6
17．（2023•金华）如图，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点，，连结，过点作于点．
（1）求证：四边形为矩形．
（2）已知的半径为4，，求弦的长．
18．（2023•南通）如图，等腰三角形的顶角，和底边相切于点，并与两腰，分别相交于，两点，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积．
一十．切线的判定（共2小题）
19．（2023•攀枝花）如图，为的直径，如果圆上的点恰使，求证：直线与相切．
20．（2023•江西）如图，在中，，，以为直径的与相交于点，为上一点，且．
（1）求的长；
（2）若，求证：为的切线．
一十一．切线的判定与性质（共3小题）
21．（2023•鄂州）如图，为的直径，为上一点，点为的中点，过点作，交的延长线于点，延长交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径长．
22．（2023•东营）如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
23．（2023•眉山）如图，中，以为直径的交于点，平分，过点作于点，延长交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
一十二．正多边形和圆（共3小题）
24．（2023•福建）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为
A．B．C．3D．
25．（2023•衡阳）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 ．
26．（2023•上海）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为 ．
一十三．弧长的计算（共3小题）
27．（2023•青岛）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为
A．B．C．D．
28．（2023•吉林）如图①，，表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点是圆心，半径为，点，是圆上的两点，圆心角，则的长为 ．（结果保留
29．（2023•镇江）如图，扇形的半径为1，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，则的长 （结果保留．
一十四．扇形面积的计算（共1小题）
30．（2023•滨州）如图，某玩具品牌的标志由半径为的三个等圆构成，且三个等圆，，相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为
A．B．C．D．
一十五．圆锥的计算（共3小题）
31．（2023•东营）如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是
A．3B．4C．5D．6
32．（2023•齐齐哈尔）若圆锥的底面半径长，母线长，则该圆锥的侧面积为 ．（结果保留
33．（2023•宿迁）若圆锥的底面半径为，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的母线长
是 ．
一十六．圆的综合题（共4小题）
34．（2023•枣庄）如图，为的直径，点是的中点，过点作射线的垂线，垂足为．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有的式子表示）．
35．（2023•兰州）如图，内接于，是的直径，，于点，交于点，交于点，，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）当时，求的长．
36．（2023•杭州）如图，在中，直径垂直弦于点，连接，，，作于点，交线段于点（不与点，重合），连接．
（1）若，求的长．
（2）求证：．
（3）若，猜想的度数，并证明你的结论．
37．（2023•泰州）已知：、为圆上两定点，点在该圆上，为所对的圆周角．
知识回顾
（1）如图①，中，、位于直线异侧，．
①求的度数；
②若的半径为5，，求的长；
逆向思考
（2）如图②，若为圆内一点，且，，．求证：为该圆的圆心；
拓展应用
（3）如图③，在（2）的条件下，若，点在位于直线上方部分的圆弧上运动．点在上，满足的所有点中，必有一个点的位置始终不变．请证明．西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．
某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．
如图（1），已知内接于，点在上（不与点，，重合），过点分别作，，的垂线，垂足分别为点，，．求证：点，，在同一条直线上．
如下是他们的证明过程（不完整）
如图（1），连接，，，，取的中点，连接．，
则，（依据
点，，，四点共圆，
．（依据
又，
．
同上可得点，，，四点共圆，