知识必备06 几何图形初步、相交线与平行线（知识清单+4种方法清单+10个考试清单真题专练）-2024年中考数学考点必备

这是一份知识必备06 几何图形初步、相交线与平行线（知识清单+4种方法清单+10个考试清单真题专练）-2024年中考数学考点必备，文件包含知识必备06几何图形初步相交线与平行线知识清单+4种方法清单+10个考试清单真题专练原卷版docx、知识必备06几何图形初步相交线与平行线知识清单+4种方法清单+10个考试清单真题专练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共52页， 欢迎下载使用。


方法1：直线、线段、交点或角的数量问题
一．选择题（共5小题）
1．（2023•西湖区校级三模）如图，，，点是直线上动点，则线段长度不可能是
A．3B．4C．5D．6
【分析】由垂线段的性质：垂线段最短，即可得到答案．
【解答】解：，，点是直线上动点，则线段长度不可能是3．
故选：．
【点评】本题考查垂线段最短，关键是掌握垂线段的性质：垂线段最短．
2．（2023•安岳县二模）如图，直线，若，，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】由平行线的性质求出，由三角形外角的性质求出，由对顶角的性质得到．
【解答】解：，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质求出的度数，由三角形外角的性质得到的度数，即可由对顶角的性质得到答案．
3．（2023•历下区模拟）如图，在中，，过点作，若，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】由，得到，由直角三角形的性质得到．
【解答】解：，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查平行线的性质，直角三角形的性质，关键是掌握平行线的性质．
4．（2023•南皮县校级模拟）如图，四边形中，点，分别在，上，将沿翻折得，若，，则角度是
A．B．C．D．
【分析】先利用平行线的性质，再利用翻折变换的性质，进而求出的度数．
【解答】解：，，，，
，，
将沿翻折得，
，，
，
故选：．
【点评】本题主要考查平行线的性质，多边形内角和定理以及翻折变换的性质，找出其中隐含的角的等量关系是本题解题关键．
5．（2023•东明县一模）将一个长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，若，则等于
A．B．C．D．
【分析】利用折叠对称的关系，角的加减，求出的值．
【解答】解：由题意可知：，，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了角的计算，折叠对称，解题的关键是熟练掌握角的计算，图形的折叠对称的性质．
二．填空题（共1小题）
6．（2023•姜堰区一模）如图，、是平面内两条不相交的直线，，，则 55 ．
【分析】延长交直线于，由平行线的性质，得到，由三角形外角的性质求出的度数，由对顶角的性质即可求出的度数．
【解答】解：延长交直线于，
、是平面内两条不相交的直线，
，
，
，
，
．
故答案为：55．
【点评】本题考查平行线的性质，对顶角的性质，三角形外角的性质，关键是延长交直线于，求出的度数．
三．解答题（共2小题）
7．（2023•邯郸模拟）用直尺画数轴时，数轴上的点，，分别代表数字，，，已知，，如图所示．设点，该数轴的原点为．
（1）若点所表示的数是，则点所表示的数是 7 ；
（2）若点，所表示的数互为相反数，则点所表示的数是 ，此时的值为 ；
（3）若数轴上点表示的数为4，求的值．
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离与两点表示的实数间的关系计算即可；
（2）根据相反数和线段的中点的定义，运用有理数的加、减法则计算即可；
（3）根据数轴上两点间的距离与两点表示的实数间的关系，以及有理数的加、减法则计算即可．
【解答】解：（1），，
，
点所表示的数是，
点所表示的数是．
故答案为：7；
（2）点，所表示的数互为相反数，
原点是线段的中点，
，
，
，，
，
，
，
故答案为5，5；
（3）点表示的数为4，，，
，，，
．
【点评】本题考查数轴上两点距离、相反数的概念，涉及线段的中点，线段的和差计算，有理数的加减运算等知识．
8．（2023•江岸区模拟）如图，点、、分别是三角形的边、、上的点，，．
（1）求证：．
（2）若，直接写出的值．
【分析】（1）根据，得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得结论；
（2）根据平行线分线段成比例可得，连接，根据等高的三角形面积之比等于底之比即可解决，设三角形面积为，表示出其余三角形的面积，
【解答】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：连接，设，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，高相等的两个三角形面积之比等于底边长之比，平行四边形的判定与性质．
方法2：猪脚模型
一．选择题（共9小题）
1．（2023•五华区校级模拟）如图，点在的边的延长线上，，若，，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质即可得出答案．
【解答】解：，，
，
，，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
2．（2023•大石桥市校级三模）如图，直线，等边的顶点在直线上，，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】过点作，然后利用猪脚模型进行计算，即可解答．
【解答】解：过点作，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握猪脚模型是解题的关键．
3．（2023•合肥三模）如图，，矩形的顶点在直线上，若，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】过点作，利用矩形的性质和平行线的判定与性质解答即可．
【解答】解：过点作，如图，
．
，，
，
，
四边形为矩形，
，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，平行线的性质，本题是猪脚模型，过点作是解题的关键．
4．（2023•合肥二模）如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是
A．B．C．D．
【分析】利用角的和差关系先计算，再利用平行线的性质得结论．
【解答】解：由题意知：，
．
，
．
．
故选：．
【点评】本题主要考查了平行线，掌握平行线的性质是解决本题的关键．
5．（2023•临朐县一模）如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】本题从，可以得到同位角相等，，然后相减可得到的度数．
【解答】解：，
，
，
故选．
【点评】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等．
6．（2023•海南模拟）如图，已知，，，那么等于
A．B．C．D．
【分析】两直线平行，内错角相等、同旁内角互补，在本题中，根据这两条性质即可解答．
【解答】解：过点作，
，
；
，，
．
故选：．
【点评】结合题意和图形作出正确的辅助线是解决本题的关键．
7．（2023•祁阳县一模）如图，将直尺与30角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是
A．B．C．D．
【分析】根据平角的定义和平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：如图：
由题意得，，
，，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
8．（2023•夏邑县二模）如图，，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若，则的大小是
A．B．C．D．
【分析】过点作，利用平行线的性质可得，再利用等腰直角三角形的性质可得，从而可得，然后再利用平行线的性质即可解答．
【解答】解：如图：过点作，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握猪脚模型是解题的关键．
9．（2023•永州模拟）一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】过直角的顶点作，利用平行线的性质解答即可．
【解答】解：如图所示，
过直角的顶点作，交于点，交于点，
则．
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
．
．
故选：．
【点评】本题主要考查平行线的性质：两直线平行，内错角相等，过直角的顶点作是解题的关键．
二．填空题（共1小题）
10．（2023•宁江区一模）已知，一个含有角的三角尺按照如图所示的位置摆放，若，则 25 度．
【分析】先利用平行线的性质得出，，最后利用直角三角形的性质即可．
【解答】解：如图，
过直角顶点作，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：25．
【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟记性质并灵活运用，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
方法3：铅笔模型
一．选择题（共12小题）
1．（2023•渝中区校级模拟）如图，已知直线，，，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】根据平角的性质和平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：如图，
，，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和平角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
2．（2023•金安区一模）如图，已知，，，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】解法一：过点作，则，易得，进而得到，求得，于是，代入计算即可求解．
解法二：延长交于点，由平行线的性质得到，再利用三角形的外角性质可得，进而求得，最后根据平角的定义即可求解．
【解答】解：解法一：如图，过点作，
，
，，
，
，
，
．
解法二：如图，延长交于点，
，
，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查平行线的性质、三角形外角性质，熟练掌握平行线的性质和三角形外角性质是解题关键．
3．（2023•龙湖区校级三模）如图所示，直线，，，则
A．B．C．D．
【分析】根据三角形外角的性质，欲求，需求．根据平行线的性质，由，得，从而解决此题．
【解答】解：，
，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查平行线的性质、三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质、三角形外角的性质是解决本题的关键．
4．（2023•中原区校级一模）一把直尺和一个含角的直角三角板按如图所示方式放置．其中三角板的直角顶点落在直尺上，若，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】根据，得出，由于为直角三角形，由此得出答案．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查平行线的性质，求出的度数是解题的关键．
5．（2023•南昌二模）如图，把一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果，那么的度数是
A．B．C．D．
【分析】根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，进而可以得出答案．
【解答】解：如图，
直尺的两条边平行，，
，
直角三角板的一个角为，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，注意隐含条件，直尺的两条对边平行和直角三角板的一个锐角是是解题的关键．
6．（2023•城厢区校级模拟）如图，直线，被直线所截，若，，则的大小是
A．B．C．D．
【分析】根据邻补角得出的度数，再由平行线的性质即可得出答案．
【解答】解：如图，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是两直线平行，内错角相等．
7．（2023•郑州二模）如图，一副三角尺按如图所示的方式放置，若，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】根据三角尺得出，由于，由平行线的性质即可得出答案．
【解答】解：，，
，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查平行线的性质，已知三角尺的各个角的度数是解题的关键．
8．（2023•重庆模拟）如图，已知，将一块直角三角板按如图的位置放置，使直角顶点在直线上，若，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】根据平行线的性质和平角的定义即可得到结论．
【解答】解：如图，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
9．（2023•萧山区一模）如图，，，，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】根据，得出，再由，即可得出答案．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查平行线的性质，求出是解题的关键．
10．（2023•南宁一模）如图，将一块三角板的顶点放在对边平行的纸条一边上．若，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】根据图示，求出，再根据平行线的性质，即可求出的度数．
【解答】解：如图，
，
，
，
纸条的对边平行，
，
故选：．
【点评】本题主要考查平行线的性质，理解题意是解题的关键．
11．（2023•巨野县三模）已知直线，将含角的直角三角板按如图所示摆放．若，则
A．B．C．D．
【分析】过点作，交于点，利用三角形的外角的性质，平行线的性质定理和对顶角相等的性质解答即可．
【解答】解：过含角的直角三角板的直角顶点作，交于点，
，
．
，
．
，
，
．
，，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，平行线的性质定理，三角形的外角的性质，对顶角相等，过点作，交于点是解题的关键．
12．（2023•西城区二模）如图，直线，直线分别交，于点，，的平分线交点，若，则的大小是
A．B．C．D．
【分析】先利用角平分线的性质和平角的性质求出，再利用平行线的性质求出，最后根据三角形的内角和即可得出答案．
【解答】解：为的平分线，，
，
，
直线，
，
在中，，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质和平角的性质，熟练掌握性质的内容是解题的关键．
二．解答题（共1小题）
13．（2023•新洲区校级模拟）如图，点，，，在同一条直线上，，，与相交于点．
（1）求证：；
（2）若，且，直接写出的值为 15 ．
【分析】（1）由得，进而证明即可；
（2）先证明后即可证明四边形是平行四边形，则且，利用三角形面积的比等于相似比的平方即可得证．
【解答】证明：（1），
，
又，
，
；
解：（2）设，
，
，，
由（1）知，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线的判定和性质，熟悉已知条件，利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解决问题的关键．
方法4：锯齿模型
一．选择题（共9小题）
1．（2023•金寨县校级模拟）如图，，，，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】首先根据平行线的性质可得出，据此可得出的度数．
【解答】解：，
，
，，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．
2．（2023•西峡县三模）如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】首先根据平行线的性质得出，再根据平角的定义求出，最后再根据三角形的外角定理可求出的度数．
【解答】解：，，
，
，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，三角形的外角定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．
3．（2023•双峰县一模）如图，，平分，若，则
A．B．C．D．
【分析】首先根据平行线的性质得，进而可求出，然后根据对顶角相等得，最后根据角平分线的定义可求出的度数．
【解答】解：，
，
，
，
，
平分，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，对顶角的性质等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．
4．（2023•六安三模）如图，线段，为线段上一点，，交于点，连接．已知，，则
A．B．C．D．
【分析】先由平行线的性质得出，再由即可得出此题的答案．
【解答】解：，，
，
又，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，解答此题的关键是准确识图，理解两直线平行，内错角相等．
5．（2023•清苑区二模）如图，要判断一张纸带的两边，是否相互平行，提供了如下两种折叠与测量方案：
对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是
A．Ⅰ可行，Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行，Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都不可行D．Ⅰ，Ⅱ都可行
【分析】根据“内错角相等，两直线平行”可对方案Ⅰ进行判断；对于方案Ⅱ，先证和全等，从而得，进而根据平行线的判定可对方案Ⅱ进行判断．
【解答】解：对于方案Ⅰ，
，
，
方案Ⅰ可行；
对于方案Ⅱ，
在和中，
，
，
，
，
即：，
方案Ⅱ可行，
综上所述：方案Ⅰ，Ⅱ都可行．
故选：．
【点评】此题主要考查了图形的折叠变换，平行线的判定，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握平行线的判定，难点是正确理解图形的折叠变换．
6．（2023•西峡县一模）如图，直线，直线交于点，直线交于，，则的度数等于
A．B．C．D．
【分析】首先根据对顶角的性质得到，再根据可求出，最后再根据平行线的性质可求出的度数．
【解答】解：，
即：，
，
，
，
，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，对顶角的性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．
7．（2023•嵊州市一模）直角三角板与直角三角板如图摆放，其中，，，与相交于点．若，则的大小为
A．B．C．D．
【分析】首先根据平行线的性质得出，然后根据三角形的外角定理可求出的度数．
【解答】解：，
，
又，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，三角形外角定理，解答此题的是准确识图，熟练掌握平行线的性质及三角形的外角性质．
8．（2023•东昌府区二模）将含角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若，则等于
A．B．C．D．
【分析】首先根据直尺的对边平行得出，再根据三角板的形状特征得出，然后再根据三角形的外角定理即可求出的度数．
【解答】解：，
由平行线的性质得：，
依题意可知：，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，解答此题的关键是理解题意，读懂图形，熟练掌握两直线平行，内错角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
9．（2023•西藏）如图，已知，点在直线上，点，在直线上，，，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】根据平行线的性质与三角形的内角和为进行解题即可．
【解答】解：由题可知：，，
，
，
又知，
故．
故选：．
【点评】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
二．填空题（共3小题）
10．（2023•永州）如图，，，，则 100 度．
【分析】首先由得出，再由得出，据此可得出此题的答案．
【解答】解：，，
，
，
，
．
故答案为：100．
【点评】此题主要考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的判定及性质：两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补．
11．（2023•船营区一模）将一副三角板按如图所示的方式摆放，点在边上，，则的度数是 75 ．
【分析】设与交于点，根据平行线的性质得，再根据三角形的外角定理可求出，进而根据平角的定义可求出的度数．
【解答】解：依题意得：，，，
设与交于点，
，
，
又，
，
，
，
，
．
故答案为：75．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，三角形的外角定理，平角的定义等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质，理解三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
12．（2023•成武县校级三模）平面镜在光学仪器中有广泛的应用．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图①，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则．如图②，两平面镜，的夹角，若任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，使得，则 90 ．
【分析】首先根据题意可得出，，再根据平角的意义得，，即，然后根据得，进而可求出，据此可求出的度数．
【解答】解：依题意得：，，
，，
，，
，
即：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，平角的意义，三角形的内角和定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．
一．认识平面图形（共1小题）
1．（2023•连云港）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形；乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心的两条线段与一段圆弧所围成的图形．下列叙述正确的是
A．只有甲是扇形B．只有乙是扇形
C．只有丙是扇形D．只有乙、丙是扇形
【分析】根据扇形的定义进行判断．
【解答】解：由扇形的定义可知，只有乙是扇形，
故选：．
【点评】本题主要考查了认识平面图形—扇形，应熟知扇形的定义：由圆心角的两条半径和圆心角所对的圆弧围成的图形叫做扇形．
二．几何体的展开图（共1小题）
2．（2023•达州）下列图形中，是长方体表面展开图的是
A．B．
C．D．
【分析】根据长方体的展开图得出结论即可．
【解答】解：由题意知，图形可以折叠成长方体，
故选：．
【点评】本题主要考查长方体的展开图，熟练掌握长方体的展开图是解题的关键．
三．展开图折叠成几何体（共1小题）
3．（2023•威海）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点距离最远的顶点是
A．点B．点C．点D．点
【分析】把图形围成立体图形求解．
【解答】解：把图形围成立方体如图所示：
所以与顶点距离最远的顶点是，
故选：．
【点评】本题考查了平面图形和立体图形，掌握空间想象力是解题的关键．
四．专题：正方体相对两个面上的文字（共1小题）
4．（2023•宜昌）“争创全国文明典范城市，让文明成为宜昌人民的内在气质和城市的亮丽名片”．如图，是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“城”字对面的字是
A．文B．明C．典D．范
【分析】根据正方体的平面展开图的特点，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共边和公共顶点，即“对面无临点”，依此来找相对面．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定隔着一个小正方形，且没有公共边和公共顶点，
“城”字对面的字是“明”．
故选：．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握正方体的表面展开图的特点是解题的关键．
五．角的概念（共1小题）
5．（2023•临沂）如图中用量角器测得的度数是
A．B．C．D．
【分析】本题根据的位置和量角器的使用方法可得出答案．
【解答】解：根据起始位置，另一条边可得：．
故选：．
【点评】本题主要考查了学生量角器的使用方法，结合的位置进行思考是解题关键．
六．角平分线的定义（共1小题）
6．（2023•乐山）如图，点在直线上，是的平分线，若，则的度数为 ．
【分析】根据邻补角定义求得的度数，再根据角平分线定义即可求得答案．
【解答】解：，
，
是的平分线，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查角平分线的定义，此为几何中基础且重要知识点，必须熟练掌握．
七．余角和补角（共1小题）
7．（2023•北京）如图，，，则的大小为
A．B．C．D．
【分析】先求出的度数，然后根据，即可得出答案．
【解答】解：，，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是仔细观察图形，根据角的和差首先求出的度数．
八．对顶角、邻补角（共1小题）
8．（2023•河南）如图，直线，相交于点，若，，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】由对顶角的性质得到，即可求出的度数．
【解答】解：，
．
故选：．
【点评】本题考查对顶角，关键是掌握对顶角的性质：对顶角相等．
九．平行线的性质（共9小题）
9．（2023•济南）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是
A．B．C．D．
【分析】利用平行线的性质可得的度数，再利用平角定义可得的度数．
【解答】解：如图，
，
，
，
故选：．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
10．（2023•自贡）如图，某人沿路线行走，与方向相同，，则
A．B．C．D．
【分析】依据题意，与方向相同，可得，从而可得解．
【解答】解：由题意得，，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了平行线的“两直线平行，内错角相等”性质，解题时需要熟练掌握，本题属于简单题．
11．（2023•广西）如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，，那么的度数是
A．B．C．D．
【分析】由平行线的性质，即可得到．
【解答】解：公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，
，
．
故选：．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由题意得到．
12．（2023•达州）如图，，平分，，，则
A．B．C．D．
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义，可以求得的度数，再根据三角形内角和即可求得的度数．
【解答】解：，，
，
平分，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
13．（2023•日照）在数学活动课上，小明同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】利用平行线的性质即可求解．
【解答】解：如图，三角板与直尺分别交于点、．
，
．
又，
．
故选：．
【点评】本题考查平行线的性质，比较简单．
14．（2023•重庆）如图，，，若，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】根据平行线的性质，可以求得，然后根据的度数和，即可得到的度数．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查平行线的性质、垂线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．（2023•凉山州）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，，则
A．B．C．D．
【分析】由平行线的性质可得，，从而可求解．
【解答】解：在水中平行的光线，在空气中也是平行的，，，
，
水面与杯底面平行，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
16．（2023•杭州）如图，点，分别在的边，上，且，点在线段的延长线上．若，，则 ．
【分析】由平行线的性质得到，由三角形外角的性质得到．
【解答】解：，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是由平行线的性质求出的度数，由三角形外角的性质即可求出的度数．
17．（2023•山西）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】由平行线的性质求出，由对顶角的性质得到，由三角形外角的性质即可求出的度数．
【解答】解：，
，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质求出的度数，由对顶角的性质得到的度数，由三角形外角的性质即可解决问题．
一十．平行线的判定与性质（共1小题）
18．（2023•金华）如图，已知，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】由同位角相等两直线平行得到与平行，再由两直线平行同旁内角互补，求出的度数，根据对顶角相等即可求出的度数．
【解答】解：，
，
，
，
，
．
故选：．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
方案Ⅰ：
沿图中虚线折叠并展开，
测量发现．
方案Ⅱ：
先沿折叠，展开后再沿折叠，
测得，