知识必备05 反比例函数（知识清单+5种方法清单+2种易错清单+9个考试清单真题专练）-2024年中考数学考点必备

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方法1：反比例函数的图象和性质
一．选择题（共3小题）
1．（2023•天津）若点，，，，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
【分析】分别将点，，的坐标代入反比例函数的解析式求出，，，然后再比较它们的大小即可得出答案．
【解答】解：将，代入，得：，即：，
将，代入，得：，即：，
将，代入，得：，即：，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，解答此题的关键是理解函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图象上．
2．（2023•德州）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点的坐标为，是的中点，，交于点，函数的图象过点．．且经过平移后可得到一个反比例函数的图象，则该反比例函数的解析式
A．B．C．D．
【分析】先根据函数图象经过点和点，求出和，再由所得函数解析式即可解决问题．
【解答】解：由题知，
，，，
令直线的函数表达式为，
则，
解得，
所以．
又因为点为的中点，
所以，
同理可得，直线的函数解析式为，
由得，
，
则，
所以点坐标为．
将，两点坐标代入函数解析式得，
，
解得．
所以，
则，
将此函数图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，
所得图象的函数解析式为：．
故选：．
【点评】本题考查反比例函数的图象和性质，熟知反比例函数的图象和性质是解题的关键．
3．（2023•株洲）下列哪个点在反比例函数的图象上？
A．B．C．D．
【分析】根据反比例函数的图象上的点的横纵坐标乘积为4进行判断即可．
【解答】解：．，不在反比例函数的图象上，故选项不符合题意；
．，不在反比例函数的图象上，故选项不符合题意；
．，不在反比例函数的图象上，故选项不符合题意；
．，在反比例函数的图象上，故选项符合题意．
故选：．
【点评】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
二．填空题（共3小题）
4．（2023•烟台）如图，在直角坐标系中，与轴相切于点，为的直径，点在函数的图象上，为轴上一点，的面积为6，则的值为 24 ．
【分析】过点作轴于点，设的半径为，则，，设，则点的坐标为，据此可得，然后再根据的面积为6可求出，据此可得此题的答案．
【解答】解：过点作轴于点，
设的半径为，
与轴相切于点，
，，
设，
则点的坐标为，
，
，
，
即：，
．
故答案为：24．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，三角形的面积，解答此题的关键是熟练掌握三角形的面积计算公式，理解函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图象上．
5．（2023•甘孜州）若反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是 ．
【分析】根据反比例函数的图形与比例系数的关系即可解决问题．
【解答】解：因为当时，反比例函数位于第一、三象限，
当时，反比例函数位于第二、四象限，
所以的取值范围是：．
故答案为：．
【点评】本题考查反比例函数的图象，熟知反比例函数图象所位于的象限与的关系是解题的关键．
6．（2023•安徽）如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，，反比例函数的图象经过斜边的中点．
（1） ；
（2）为该反比例函数图象上的一点，若，则的值为 ．
【分析】（1）根据直角三角形的性质，求出、两点坐标，作出辅助线，证得，利用勾股定理及待定系数法求函数解析式即可解答．
（2）求出、的解析式，再联立方程组，求得点的坐标，分两种情况讨论即可求解．
【解答】解：（1）在中，，，
，
，
是的中点，
，
如图，过点作于，
，
，
在中，，
，．
反比例函数的图象经过斜边的中点，
，
解得．
故答案为：．
（2）设直线的解析式为，
则，
解得，
的解析式为，
，
直线的解析式为，
点既在反比例函数图象上，又在直线上，
联立得，
解得，，
当的坐标为，时，
，
；
当的坐标为，时，
，
；
综上，．
故答案为：4．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形的性质及勾股定理的应用．
三．解答题（共1小题）
7．（2023•苏州）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点，为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接，的中点在反比例函数的图象上．
（1）求，的值；
（2）当为何值时，的值最大？最大值是多少？
【分析】（1）首先将点代入可求出，再将点的坐标代入即可求出；
（2）过点作直线轴于，交于，先证和全等，得，，进而可求出点，根据平移的性质得点，则，，据此可得出，最后求出这个二次函数的最大值即可．
【解答】解：（1）将点代入，得：，
点的坐标为，
将点代入，得：．
（2）点的横坐标大于点的横坐标，
点在点的右侧．
过点作直线轴于，交于，
由平移的性质得：轴，，
，
点为的中点，
，
在和中，
，
，
，．
轴，点的坐标为，
，
，
点的纵坐标为4，
由（1）知：反比例函数的解析式为：，
当时，，
点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
点，，轴，
点的坐标为，
，
，
当时，取得最大值，最大值为36．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象、二次函数的图象和性质，点的坐标平移等，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式，理解点的坐标的平移，难点是在解答（2）时，构造二次函数求最值．
方法2：反比例函数与一次函数的图象综合题
一．选择题（共1小题）
1．（2023•淮安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于、两点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点．若点坐标为，，则的值是
A．B．C．D．
【分析】代入点到一次函数中，得出一次函数解析式，再求出点坐标，连接，根据，以及和等高，所以，又因为两个三角形共用一条边，作，得到，求出长度，即点纵坐标，代入一次函数中求出点坐标，再求出值．
【解答】解：连接，作交坐标轴于点（如图）；
点在一次函数图象中，代入得到，
一次函数解析式：；
点横坐标为0，
代入得到纵坐标为，；
和等高，且，
；
又和共用一条边，
，
；
将的纵坐标代入一次函数中，得到横坐标为3；
点坐标，
；
故选：．
【点评】本题考查学生反比例函数一次函数的综合运用，属于重难点题型．
二．填空题（共1小题）
2．（2023•阜新）正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，过点作轴，垂足为点，连接，则的面积是 5 ．
【分析】先求出，两点的坐标，进而得出点的坐标，以为底，则高为，两点间的水平距离，可求得的面积．
【解答】解：由题知，
，解得或，
即，，，．
又轴，垂足为点，
所以，．
则，
故．
所以．
故答案为：5．
【点评】本题是一道一次函数和反比例函数的综合题，正确的表示出的面积是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
3．（2023•遂宁）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．，，为常数）
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式的解集；
（3）为轴上一点，若的面积为3，求点的坐标．
【分析】（1）将点代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式，再将点代入已求出的反比例函数解析式求出的值，进而得点的坐标，然后将点，的坐标代入一次函数的解析式即可求出一次函数的解析式；
（2）观察函数的图象，找出一次函数的图象在反比例函数的上方所对应的的取值范围即可；
（3）过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，根据点，的坐标可求出四边形，据此可判断点在线段上，然后根据即可求出点的坐标．
【解答】解：（1）将点代入之中，得：，
反比例函数的解析式为：，
将代入反比例函数之中，得：，
点的坐标为，
将点，代入之中，得：，
解得：，
一次函数的解析式为：．
（2）观察函数的图象可知：当或时，一次函数的图象均在反比例函数的上方，
的解集为：或．
（3）过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，
，，
，，，，
，
轴，轴，
四边形为直角梯形，
，
设点的坐标为，
的面积为3，
有以下两种情况：
①点在线段上，
，
，，
，，
，
解得：，
此时点的坐标为；
②当在延长线上时，记作
，，
，，
又，
，
解得：，
此时点的坐标为．
综上所述：点的坐标为或．
【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求函数的解析式等，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式的方法与技巧，难点是解答（3）时，根据相关点的坐标向坐标轴作垂线把不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差．
4．（2023•甘孜州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点为轴正半轴上一点，且满足，求点的坐标．
【分析】（1）先求出点坐标，再代入反比例函数解析式即可．
（2）根据反比例函数的对称性可求出的长，再由并利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求得的长，进而解决问题．
【解答】解：（1）点在一次函数 的图象上，
．
点的坐标为．
反比例函数 的图象经过点，
．
反比例函数的解析式为．
（2）过点作轴的垂线，垂足为点，
，
则，．
由勾股定理，得．
由图象的对称性，可知．
又，
．
点的坐标为．
【点评】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，熟知反比例函数和一次函数的对称性是解题的关键．
5．（2023•呼和浩特）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的对称中心在反比例函数的图象上，边在轴上，点在轴上，已知．
（1）判断点是否在该反比例函数的图象上，请说明理由；
（2）求出直线的解析式，并根据图象直接写出当时，不等式的解集．
【分析】（1）连接，，根据正六边形的性质可得出：，，，，利用待定系数法可得反比例函数的解析式为，再将点的坐标代入反比例函数解析式检验即可；
（2）观察图象，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集即可．
【解答】解：（1）点在该反比例函数的图象上．理由如下：
如图，连接，，
正六边形的边长，点是正六边形的对称中心，
，，
，，
，，均为等边三角形，
，，
，，，
，，
，，，，
点在反比例函数的图象上，
，
该反比例函数的解析式为，
当时，，
点在该反比例函数的图象上；
（2）将，，，分别代入，得，
解得：，
直线的解析式为，
观察图象可得：在第一象限内，当直线位于双曲线上方时，，
不等式的解集为．
【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，正六边形的性质，待定系数法等；根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
6．（2023•青海）在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象如图所示．
（1）求一次函数的解析式；
（2）当时，直接写出不等式的解集．
【分析】（1）由图象中给出交点的横坐标结合反比例函数表达式，可求得此点的坐标，进而求出一次函数的解析式．
（2）利用数形结合的思想，可求出不等式得解集．
【解答】解：（1）由图象知，
一次函数与反比例函数的一个交点的横坐标为1，且反比例函数表达式为，
则交点的纵坐标为2．
将代入得，．
所以一次函数的解析式为：．
（2）当，即图象在轴的右侧，
观察图象发现：当图象在直线的右侧时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
所以不等式的解集为：．
【点评】本题考查用待定系数法求一次函数的解析式，以及用数形结合的思想求不等式的解集，由图象给出的信息，求出交点的一个坐标是解题的关键．
7．（2023•泰州）在平面直角坐标系中，点、，的位置和函数、的图象如图所示．以为边在轴上方作正方形，边与函数的图象相交于点，边与函数、的图象分别相交于点、，一次函数的图象经过点、，与轴相交于点，连接．
（1）若，，求函数的表达式及的面积；
（2）当、在满足的条件下任意变化时，的面积是否变化？请说明理由；
（3）试判断直线与边的交点是否在函数的图象上？并说明理由．
【分析】（1）先确定、两个点的坐标，再利用待定系数法求出函数的表达式，进而求出点的坐标，结合点求的面积；
（2）按（1）的思路求解；
（3）用，表示直线与边的交点，验证是否在函数的图象上．
【解答】（1），，
点，，，，
点，，，，，
一次函数的图象经过点、，
设，则
，
，
函数的表达式为，
，
，
．
（2）点，，，，
点，，，，，
设，则
，
，
，
，
．
当、在满足的条件下任意变化时，的面积不变化．
（3）设直线与边的交点为，设直线为，代入，，得，
，
，
当时，，
，
点在的图象上．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，难在用字母表示，计算繁琐易出错．
8．（2023•菏泽）如图，已知坐标轴上两点，，连接，过点作，交反比例函数在第一象限的图象于点．
（1）求反比例函数和直线的表达式；
（2）将直线向上平移个单位，得到直线，求直线与反比例函数图象的交点坐标．
【分析】（1）过点作轴于点，先证，求出点的坐标，即可求出反比例函数的解析式和直线的解析式；
（2）先求出直线的解析式，然后与反比例函数的解析式组成方程组，求出方程组的解即得出直线与反比例函数图象的交点坐标．
【解答】解：（1）如图，过点作轴于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，，，
，
，
，
，
点的坐标是，
反比例函数过点，
，
反比例函数的解析式为；
设直线的解析式为，
其图象经过点，
，
解得，
直线的解析式为；
（2）将直线向上平移个单位，得到直线，
直线的解析式为，
由题意得，，
解得，，
直线与反比例函数图象的交点坐标为或．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求解析式，反比例函数与一次函数交点问题，熟知反比例函数与一次函数的交点坐标就是两个解析式组成的方程组的解．
9．（2023•眉山）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当时，直接写出的取值范围；
（3）在双曲线上是否存在点，使是以点为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将，代入，求得一次函数表达式，进而可得点的坐标，再将点的坐标代入反比例函数即可；
（2）将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果；
（3）过点作交轴于点，证明得出点的坐标，在求出直线的表达式，与反比例函数联立方程组即可．
【解答】（1）将，代入得：，
解得：，
一次函数表达式为：，
将代入得：，
，
将代入得：，
反比例函数的表达式为：；
（2）设一次函数与反比例函数在第二象限交于点，
联立，
解得：或，
，
由图象可知：当或时，，
（3）存在，理由：
过点作交轴于点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的表达式为：，
将，代入得：，
解得：，
直线的表达式为：，
联立：，
解得：或，
点的坐标为：或．
【点评】本题是一次函数与反比例函数的综合题，考查的有待定系数法求一次函数、反比例函数表达式，相似三角形的判定及性质．
方法3：用待定系数法求反比例函数解析式
一．填空题（共1小题）
1．（2023•深圳）如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点，则 ．
【分析】解含角的直角三角形，依次求出，的长，再求出的度数，求出点的坐标，即可求得的值．
【解答】解：过点作轴，垂足为，
，，，，
，，
在中，即，
，
在中，即，，
，即，
，
点，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标和解直角三角形，解题的关键是掌握解含有角的直角三角形，求函数图象上点的坐标．
二．解答题（共3小题）
2．（2022•湘西州）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象在第一象限交于点，过点作轴于点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）求的面积．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）利用直线的解析式求得点坐标，利用坐标表示出线段，的长度，利用三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：（1）一次函数的图象经过点，
，
．
一次函数的解析式为，
反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为．
（2）令，则，
．
，．
．
轴于点，，
，．
．
的面积．
【点评】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
3．（2023•绵阳）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象过点与反比例函数交于另一点．
（1）求反比例函数的解析式；当时，根据图象直接写出的取值范围；
（2）在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点坐标代入反比例函数解析式即可求出，利用数形结合的思想即可求出的取值范围．
（2）先求出点坐标，再根据分类讨论的数学思想即可解决问题．
【解答】解：（1）由题知，
将点坐标代入反比例函数解析式得，
，
所以反比例函数的解析式为．
由函数图象可知，
在直线和之间的部分及直线右侧的部分，
反比例函数的图象在一次函数的图象的上方，
即．
所以的取值范围是：或．
（2）将代入反比例函数解析式得，
，
所以点的坐标为．
则．
当时，
，
所以点坐标为或．
当时，
点在的垂直平分线上，
又因为点坐标为，
所以点坐标为．
当时，
点在的垂直平分线上，
过点作轴于点，
令，则，，
在中，
，
即，
解得．
所以点的坐标为．
综上所述：点的坐标为或或或．
【点评】本题考查待定系数法求反比例函数解析式及等腰三角形，熟知待定系数法及巧妙利用分类讨论的数学思想是解题的关键．
4．（2022•大庆）已知反比例函数和一次函数，其中一次函数图象过，两点．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）如图，函数，的图象分别与函数图象交于，两点，在轴上是否存在点，使得周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把，代入中，列出方程组进行计算即可解答；
（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时的最小，即周长最小，先求出，两点坐标，从而求出的长，
再根据点与点关于轴对称，求出的坐标，从而求出的长，进而求出周长的最小值．
【解答】解：（1）把，代入中可得：
，
解得：，
反比例函数的关系式为：；
（2）存在，
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时的最小，即周长最小，
由题意得：，
解得：或，
，
由题意得：，
解得：或，
，
，
点与点关于轴对称，
，，
，
，
的最小值为，
周长最小值，
周长的最小值为．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
方法4：反比例函数中k的几何意义
一．选择题（共1小题）
1．（2023•黑龙江）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点．若，则的值是
A．B．C．D．
【分析】设出的坐标，通过对称性求出点的坐标，进而求出的坐标，即可用表示出线段和的长度，结合已知面积即可列出方程求出．
【解答】解：设与轴的交点为，，则，，由题意知，
，即是线段的中点，过作于点，
，，
，轴，
，
，
，
，，
，
．
故选：．
【点评】对于反比例函数中图形的面积问题，常用一个未知数表示关键点的坐标，通过推导求其面积．
二．填空题（共6小题）
2．（2023•长沙）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数为常数，，的图象上，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则 ．
【分析】由的几何意义可得，从而可求出的值．
【解答】解：的面积为，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了的几何意义．用表示三角形的面积是本题的解题关键．
3．（2023•黄石）如图，点 和在反比例函数的图象上，其中．过点作轴于点，则的面积为 ；若的面积为，则 ．
【分析】由点的坐标可得出的值，再结合的几何意义即可求出的面积．过点作轴的垂线，将的面积转化为梯形的面积，即可求出的值．
【解答】解：因为点在反比例函数的图象上，
则，又，
解得．
根据的几何意义可知，
．
过点作轴的垂线，垂足为，
则，
又根据的几何意义可知，
，
则．
又的面积为，且，，
所以，
即．
解得．
又，
所以．
故答案为：，2．
【点评】本题考查反比例函数中系数的几何意义，熟知的几何意义及将的面积转化为梯形的面积是解题的关键．
4．（2023•辽宁）如图，矩形的边平行于轴，反比例函数的图象经过点，，对角线的延长线经过原点，且，若矩形的面积是8，则的值为 6 ．
【分析】根据矩形面积求出面积，再利用，求出面积，利用相似求出与的比，求出面积，即可利用几何意义求出．
【解答】解：如图，延长交轴于，连接，
矩形的面积是8，
，
，
，
，
，
，
，
由几何意义得，，
，
，
故答案为：6．
【点评】本题考查了反比例函数性质的应用，几何意义及三角形面积与底、高的关系的应用是解题关键．
5．（2023•齐齐哈尔）如图，点在反比例函数图象的一支上，点在反比例函数图象的一支上，点，在轴上，若四边形是面积为9的正方形，则实数的值为 ．
【分析】由正方形的面积可求，的长度，从而可求出，两点的横坐标，结合长度列出关于的方程，即可求解．
【解答】解：正方形的面积为9，
，
，，，，
，
解得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了反比例函数中的面积问题，最基本的思路是通过点的坐标去求解，对于某些问题可以通过的几何意义去求解．
6．（2023•绍兴）如图，在平面直角坐标系中，函数为大于0的常数，图象上的两点，，，，满足，的边轴，边轴，若的面积为6，则的面积是 2 ．
【分析】证明出点、为矩形边的中点，根据三角形的面积求出矩形面积，再求出三角形面积即可．
【解答】解：如图，延长交轴于，延长交轴于点，
轴，轴，
四边形为矩形，
，
点为的中点，
由几何意义得，，
点为的中点，
，
，
．
故答案为：2．
2
【点评】本题考查了反比例函数的性质的应用，几何意义的应用及矩形特性是解题关键．
7．（2023•枣庄）如图，在反比例函数的图象上有，，，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，，2024，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，，则 ．
【分析】将除第一个矩形外的所有矩形向左平移至轴，得出所求面积为矩形的面积，再分别求矩形和矩形的面积即可．
【解答】解：，，，的横坐标依次为1，2，3，，2024，
阴影矩形的一边长都为1，
将除第一个矩形外的所有矩形向左平移至轴，
，
把代入关系式得，，即，
，
由几何意义得，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数的性质的应用，几何意义的应用是解题关键．
方法5： 反比例函数与几何、代数的综合问题
一．填空题（共1小题）
1．（2023•新疆）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，，，．若反比例函数的图象经过的中点，交于点，则 ．
【分析】先根据直角三角形中的角所对的直角边是斜边的一半求出，再根据勾股定理求出，在中求出，，最后根据点是的中点求出点的坐标，利用待定系数法求出的值即可．
【解答】解：过点作于点，过点作于点，
，，，
，
由勾股定理得，
在中，，，
，
由勾股定理得，
点是的中点，
，，
点在第一象限，
点的坐标是，
反比例函数的图象经过的中点，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数与几何的综合题，熟知直角三角形中的角所对的直角边是斜边的一半，熟练掌握勾股定理，求出点的坐标是此题的关键．
二．解答题（共4小题）
2．（2023•济南）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和 ，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或 ， ．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空；
【类比探究】
（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由；
【问题延伸】
当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点．
（3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值；
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围．
【分析】（1）观察图象或联立解方程组得到另一个交点坐标为；
（2）观察图象得到 与函数 图象没有交点，所以不能围出；
（3）平移直线通过，将点代入，解得；
（4）和的长均不小于，所以，直线在、上面或之间移动，可得求的范围．
【解答】解：（1）将反比例函数与直线联立得
，
，
，
，，
另一个交点坐标为，
为，为，
，．
故答案为：；4；2；
（2）不能围出；
的图象，如答案图中所示：
与函数 图象没有交点，
不能围出面积为的矩形．
（3）如答案图中直线所示：
将点代入，解得．
（4）和的长均不小于，
，，
，
，
，
如图所示，直线在、上面或之间移动，
把代入得，
．
【点评】本题考查了实际应用题的函数直观解释，比较新颖，实质是一次函数和二次函数图象得交点问题．
3．（2023•盘锦）如图，在平面直角坐标系中，，，反比例函数在第一象限的图象经过点，，，过点作直线轴，交轴于点．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）若点是轴上一点（不与点重合），的平分线交直线于点，请直接写出点的坐标．
【分析】（1）设，然后过点作轴于点，过作于点，证明，得到，，建立方程即可解决；
（2）根据（1）中结论可得，由，利用两点距离公式求得，再由轴，，的平分线交直线于点，证明，即可分别求出的横纵坐标．
【解答】解：（1）过点作轴于点，过作于点，如图所示：
，
设，
，
则，，，
，，，
，
，
，
，
又，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
反比例函数的解析式：；
（2）由（1）可得，
，
，
分两种情况：
当在点右侧时：如（1）中图所示，
轴，的平分线交直线于点，
点纵坐标为2，，
，
点横坐标为，
，，
当在点左侧时，如图：
轴，的平分线交直线于点，
点纵坐标为2，，
，
，
点横坐标为，
，，
综上所述：，或，．
【点评】本题考查了反比例函数的综合运用，两点间的距离公式，平行线的性质，角平分线的定义，理解题意是解决问题的关键．
4．（2023•枣庄）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象；
（2）观察图象，直接写出不等式的解集；
（3）设直线与轴交于点，若为轴上的一动点，连接，，当的面积为时，求点的坐标．
【分析】（1）先根据反比例函数图象经过、，求出点、的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，在平面直角坐标系中画出直线即可；
（2）观察函数图象找出直线在双曲线的上方时所对应的自变量取值范围，即可写出不等式的解集；
（3）根据三角形面积公式列方程求解即可．
【解答】解：（1）反比例函数的图象经过，两点，
，，
解得：，
，，
将，代入，得，
解得：，
一次函数的表达式为，该函数的图象如图所示：
（2）由图可得，不等式的解集范围是或；
（3）设直线交轴于，交轴于，
在中，
当时，，
，
当时，得，
解得：，
，
，
，，
，
，
，
解得：或，
点的坐标为或．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式．
5．（2023•宿迁）规定：若函数的图象与函数的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．
（1）下列三个函数①；②；③，其中与二次函数互为“兄弟函数”的是 ② （填写序号）；
（2）若函数与互为“兄弟函数”， 是其中一个“兄弟点”的横坐标．
①求实数的值；
②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是 、 ；
（3）若函数为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为、、，且，求的取值范围．
【分析】（1）分别验证三个函数①；②；③与二次函数的交点个数；
（2）①把代入得，把，代入函数得，；
②由得，因式分解法解方程，左边一定有因式；
（3）数形结合，对函数进行分段．
【解答】解：（1）如图：由图可知，与二次函数有3个交点的是，
与二次函数互为“兄弟函数”的是②，
故答案为：②；
（2）①把代入得，把，代入函数得，；
②，
，
，
，
，
，
，
或．
故答案为：，．
（3）满足方程，即，
，满足方程，即，是方程的两个根，
△，即，，
．
【点评】本题在新定义下考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，图象交点与方程的关系．解三次方程时用因式分解法，关键是知道左边一定有因式．第（3）问利用数形结合，对函数进行分段．
易错点1：探究反比例函数的增减性时不分象限
反比例函数的增减性，是指在各自象限内，不是笼统的概括，错误的原因就是没有将两个象限内的点分别讨论，而是一概而论．
[典例]在函数（a为常数）的图象上有三点（-3，，），（-1，），（2，），则函数值、、．的大小关系是___________．
[错解]∵是反比例函数，
∴．
∴y随x的增大而增大．
∵，
∴．
故答案为：．
[错因分析]
没有考虑不同象限内点的特征．
[正解]
∵，
∴函数（a为常数）的图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵，
∴点（-1，），（，）在第二象限，
∴，
∵>0，
∴点（，）在第四象限，
∴＜0，
∴．
易错点2：忽略反比例函数中中的条件
根据反比例函数定义可知，反比例函数（或）中存在着隐含条件“”，
[典例]
若函数是反比例函数，则m的值为 ．
[错解]
∵是反比例函数，
∴，
解得．
[错因分析]
本题只考虑到反比例函数满足这一条件，而忽视了隐含条件“”．
[正解]
根据题意，得
，，
解得，
当时，
．
∴不合题意，舍去．
∴．
一．反比例函数的定义（共1小题）
1．（2023•青海）生物兴趣小组探究酒精对某种鱼类的心率是否有影响，实验得出心率与酒精浓度的关系如图所示，下列说法正确的是
A．酒精浓度越大，心率越高
B．酒精对这种鱼类的心率没有影响
C．当酒精浓度是时，心率是168次分
D．心率与酒精浓度是反比例函数关系
【分析】观察图象即可判断、、的正误，根据反比例函数的定义，即可判断的正误．
【解答】解：由图象可知，酒精浓度越大，心率越低，故错误；
酒精浓度越大，心率越低，酒精对这种鱼类的心率有影响，故错误；
由图象可知，当酒精浓度是时，心率是168次分，故正确；
任意取两个点坐标，，因为，所以心率与酒精浓度不是反比例函数关系，故错误．
故选：．
【点评】本题考查了观察图象，读取、分析、处理信息的能力，反比例函数定义，根据反比例函数定义判断是否为反比例函数是解题的关键．
二．反比例函数的图象（共2小题）
2．（2023•泰安）一次函数与反比例函数，为常数且均不等于在同一坐标系内的图象可能是
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数图象判定、的符号，根据的符号判定反比例函数图象所在的象限．
【解答】解：、一次函数的图象经过第一、二、三象限，则，，所以，则反比例应该位于第一、三象限，故本选项不可能；
、一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，，所以，则反比例应该位于第二、四象限，故本选项不可能；
、一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，，所以，则反比例应该位于第二、四象限，故本选项不可能；
、一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，，所以，则反比例应该位于第二、四象限，故本选项有可能；
故选：．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
3．（2023•扬州）函数的大致图象是
A．B．
C．D．
【分析】函数的图象是双曲线，它的两个分支分别位于第一、二象限．
【解答】解：由函数可知，函数是双曲线，它的两个分支分别位于第一、二象限，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．
故选：．
【点评】考查了函数的图象，函数的图象是双曲线，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．
三．反比例函数的性质（共4小题）
4．（2023•上海）下列函数中，函数值随的增大而减小的是
A．B．C．D．
【分析】根据反比例函数的性质和正比例函数的性质分别判断即可．
【解答】解：选项，的函数值随着增大而增大，
故不符合题意；
选项，的函数值随着增大而减小，
故符合题意；
选项，在每一个象限内，的函数值随着增大而减小，
故不符合题意；
选项，在每一个象限内，的函数值随着增大而增大，
故不符合题意，
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，正比例函数的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
5．（2023•广州）已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据正比例函数的性质可以判断的正负，根据反比例函数的性质可以判断的正负，然后即可得到一次函数的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限．
【解答】解：正比例函数的图象经过点，点位于第四象限，
正比例函数的图象经过第二、四象限，
；
反比例函数的图象位于第一、第三象限，
；
一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：．
【点评】本题考查反比例函数的性质、正比例函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，判断出、的正负情况．
6．（2023•广西）如图，过的图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为
A．4B．3C．2D．1
【分析】设，在中，令得，令得，可得，，，即得，，故，，根据，得，解方程并检验可得答案．
【解答】解：设，
在中，令得，令得，
，，，
，，
，，
，
，
解得，
经检验，是方程的解，符合题意，
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
7．（2023•无锡）已知曲线、 分别是函数，的图象，边长为6的正的顶点在轴正半轴上，顶点、在轴上在的左侧），现将绕原点顺时针旋转，当点在曲线上时，点恰好在曲线上，则的值为 6 ．
【分析】作轴于，轴于，根据反比例函数系数的几何意义求得，，根据等边三角形的性质得出，，易证得△△，从而得出，即，解得．
【解答】解：作轴于，轴于，
将绕原点顺时针旋转，点在曲线上时，点恰好在曲线上，
，，
边长为6的正的顶点在轴正半轴上，顶点、在轴上在的左侧），，
，，
由旋转的性质可知，，
，
，
，
，
，
，
△△，
，即，
．
故答案为：6．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，反比例函数系数的几何意义，作出辅助线构建相似三角形是解题的关键．
四．反比例函数系数k的几何意义（共8小题）
8．（2023•丹东）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为点，延长至点，使，点是轴上任意一点，连接，，若的面积是6，则 4 ．
【分析】过点作交的延长线于，设点的坐标为，则，，，，证四边形为矩形得，然后根据的面积是6可得，由此可得的值．
【解答】解：过点作交的延长线于，如图：
设点的坐标为，
，点在第一象限，
，，，
轴于点，
，，
，
，
轴，，，
四边形为矩形，
，
的面积是6，
，
即：，
，
．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标，三角形的面积，熟练掌握三角形的面积公式，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的解析式，满足反比例函数解析式的点都在函数的图象上是解答此题的关键．
9．（2023•张家界）如图，矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，点在上，且，反比例函数的图象经过点及矩形的对称中心，连接，，．若的面积为3，则的值为
A．2B．3C．4D．5
【分析】设点的坐标为，根据矩形对称中心的性质得出延长恰好经过点，，，确定，，然后结合图形及反比例函数的意义，得出，代入求解即可．
【解答】解：四边形是矩形，
，，设点的坐标为，
矩形的对称中心，
延长恰好经过点，，，
点在上，且，
，，
，
，
在反比例函数的图象上，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
10．（2023•淄博）如图，在直线上方的双曲线上有一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，连接，，则面积的最大值是 3 ．
【分析】设，则，将三角形面积用代数式形式表达出来，再根据二次函数最值解得出来即可．
【解答】解：设，则，
线段，
，
，二次函数开口向下，有最大值，
当时，有最大值，最大值是3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将三角形面积用代数式形式表达出来是解本题的关键．
11．（2023•锦州）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，点在第一象限内，点为的中点，反比例函数的图象经过，两点．若的面积是6，则的值为 4 ．
【分析】过点作轴于点，设点的坐标为，点的坐标为，则，，由的面积是6得，将点代入反比例函数的表达式得，然后根据点为的中点得点，将点代入反比例函数表达式得，据此即可取出的值．
【解答】解：过点作轴于点，如图：
设点的坐标为，点的坐标为，
，，
的面积是6，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
点为的中点，
点，
点在反比例函数的图象上，
，
即：，
，
将，代入上式得：．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，解答此题的关键是理解函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图象上．
12．（2023•朝阳）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，点是轴上任意一点，连接，．若的面积等于3，则的值为 6 ．
【分析】由于同底等高的两个三角形面积相等，所以的面积的面积，然后根据反比例函数中的几何意义，知的面积，从而确定的值，求出反比例函数的解析式．
【解答】解：设反比例函数的解析式为，
的面积的面积，的面积，
，
；
又反比例函数的图象的一支位于第一象限，
．
．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数中的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．
13．（2023•衢州）如图，点，在轴上，分别以，为边，在轴上方作正方形，，反比例函数的图象分别交边，于点，．作轴于点，轴于点．若，为的中点，且阴影部分面积等于6，则的值为 24 ．
【分析】设，因为，所以，则，，由于正方形，，则，因为轴，在上，所以点纵坐标为，则点横坐标为：，由于为中点，切轴，所以，则，由于在反比例函数上，所以，根据已知阴影为矩形，长为，宽为：，面积为6，所以可得，即可解决．
【解答】解：设，
，
，
，则，
由于在正方形中，，
为中点，
，
，
在反比例函数上，
，
四边形是正方形，
，
在上，
点纵坐标为，
在反比例函数上，
点横坐标为：，
，，
作轴于点，轴于点，
四边形是矩形，
，，
，
则，
故答案为：24．
【点评】本题考查反比例函数图象的性质以及正方形的性质和长方形的面积公式，读懂题意，灵活运用说学知识是解决问题的关键．
14．（2023•连云港）如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，顶点、在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则 ．
【分析】作轴于，由矩形的面积可以求得的面积是3，然后通过证得，求得，最后通过反比例函数系数的几何意义即可求得的值．
【解答】解：作轴于，
矩形的面积是6，
的面积是3，
，，
，
对角线轴，
，
，
，
，
，
，
，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定和性质，解直角三角形，反比例函数系数的几何意义，求得的面积是解题的关键．
15．（2023•宜宾）如图，在平面直角坐标系中，点、分别在、轴上，轴，点、分别在线段、上，，，反比例函数的图象经过、两点，为轴正半轴上一点，且，的面积为3，则的值为
A．B．C．D．
【分析】过点作轴于点，过作轴交轴于，交于，设，，，，由，，得，，，，又，，可得，，即，得，故，根据的面积为3，有，得，将点， 代入，整理得：，代入得，从而．
【解答】解：如图，过点作轴于点，过作轴交轴于，交于，
设，，，，
，，
，，，，
，，
，
，
，
，，
，
解得，
，
，，
，
的面积为3，
，
，
，
将点， 代入得：
，
整理得：，
将代入得：，
，
，
故选：．
【点评】本题考查反比例函数的图象上点坐标的特征，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
五．反比例函数图象上点的坐标特征（共13小题）
16．（2023•济南）已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【分析】首先根据得函数图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一个象限内随的增大而增大，然后根据点，，的横坐标得，点，在第二象限内，点在第四象限内，进而可判定，，，最后再根据得，据此即可得出答案．
【解答】解：，，
函数图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一个象限内随的增大而增大，
又点，，，
点，在第二象限内，点在第四象限内，
，，，
又，
，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，解答此题的关键是熟练掌握：对于反比例函数，当时，图象的两个分支在第一、三象限内变化，且在每一个象限内随的增大而减小；当时，图象的两个分支在第二、四象限内变化，且在每一个象限内随的增大而增大．
17．（2023•海南）若反比例函数的图象经过点，则的值是
A．2B．C．D．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入求解即可得出的值．
【解答】解：由题意，将点代入，
可得：，
解得：．
故选：．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，牢记“函数图象上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．
18．（2023•邵阳）如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图象上，点的坐标为，则点的坐标为
A．B．C．D．
【分析】由题意，首先根据的坐标求出，然后可设，再由正方形，建立关于的方程，进而得解．
【解答】解：点的坐标为在反比例函数上，
．
．
反比例函数的解析式为．
点在反比例函数图象上，
可设．
．
，．
，
．
．
故选：．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质的应用，解题时需要理解并能灵活运用．
19．（2023•云南）若点是反比例函数图象上一点，则常数的值为
A．3B．C．D．
【分析】将点的坐标代入反比例函数的关系式即可求出的值．
【解答】解：点在反比例函数图象上，
，
故选：．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入反比例函数的关系式是正确解答的关键．
20．（2023•牡丹江）如图，正方形的顶点，在轴上，反比例函数的图象经过点和的中点，若，则的值是
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据正方形的性质以及结合已知表示出，点坐标，进而利用反比例函数图象上点的坐标特征得出等式求出答案．
【解答】解：由题意可得：设，则，
可得：，
解得：，
故，
则．
故选：．
【点评】此题主要考查了正方形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，正确表示出点坐标是解题关键．
21．（2023•长春）如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，1为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连接，，则的值为
A．3B．C．4D．6
【分析】依据题意，可得，，再由，从而，进而得解．
【解答】解：由题意，得，．
，
由两点距离公式可得：．
．
或4．
又，
．
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用，解题时需要熟练掌握并理解．
22．（2023•辽宁）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，点恰好落在反比例函数的图象上，则的值是 ．
【分析】过点作轴于点，由旋转的性质得，，，在中求出、的长，即可得出点的坐标，代入反比例函数解析式即可求出的值．
【解答】解：过点作轴于点，
由旋转的性质得，，，
点的坐标为，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得，
，
点的坐标为，
点恰好落在反比例函数的图象上，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的变化旋转，解答本题的关键是求出点的坐标．
23．（2023•北京）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 3 ．
【分析】将点代入反比例函数可求出的值，进而确定反比例函数关系式，再把点代入计算即可．
【解答】解：函数的图象经过点，
，
反比例函数的关系式为，
又在反比例函数的关系式为的图象上，
，
故答案为：3．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法．
24．（2023•攀枝花）如图，在直角中，，，将绕点顺时针旋转至△的位置，点是的中点，且点在反比例函数的图象上，则的值为 ．
【分析】依据题意，在中，，，从而，可得，又结合题意，，进而，故可得点坐标，代入解析式可以得解．
【解答】解：如图，作轴，垂足为．
由题意，在中，，，
．
．
．
又绕点顺时针旋转至△的位置，
．
．
又点是的中点，
．
在中，
，
．
，．
又在上，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解题时需要熟练掌握并灵活运用是关键．
25．（2023•河北）如图，已知点，，反比例函数 图象的一支与线段有交点，写出一个符合条件的的整数值： （答案不唯一） ．
【分析】把点，代入即可得到的值，从而得结论．
【解答】解：由图可知：，
反比例函数的图象与线段有交点，且点，，
把代入得，，
把代入得，，
满足条件的值的范围是的整数，
故（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．
26．（2023•威海）如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上．点的坐标为．连接，，．若，，则的值为 ．
【分析】构造全等三角形推出点的含有的坐标，利用同一反比例函数上点的坐标之积相等列出关于的方程，解出即可求出的坐标，
【解答】解：过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线交的延长线于点．
，，
，
，．
，
，．
，，
点、都在反比例函数上，
，
解得：，（舍去），
点的坐标为，，
．
【点评】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，构造一线三垂直出现全等三角形是本题的突破口．
27．（2023•襄阳）点，都在反比例函数的图象上，则 ．（填“”或“”
【分析】根据反比例函数的第一象限图象上，随的增大而减小判断即可．
【解答】解：点，在反比例函数的第一象限图象上，随的增大而减小，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了反比例函数的第一象限图象上，随的增大而减小，准确判断是关键．
28．（2023•鞍山）如图，在中，，顶点，分别在轴的正、负半轴上，点在第一象限，经过点的反比例函数的图象交于点，过点作轴，垂足为点，若点为的中点，，，则的值为 4 ．
【分析】过点作轴于，先证为的中位线得，，再根据得出，然后根据轴，得，进而可求出，，，设，，则，，点，点，进而可得，由此可得，则，，最后在中由勾股定理得，由此得点，进而可求出的值．
【解答】解：过点作轴于，如图：
轴，
，
又点为的中点，
为的中位线，
，，
，
，即：，
轴，
，
，
，
，
，
，，，
设，，则，，
点的坐标为，点的坐标为，
点，在反比例函数的图象上，
，
解得：，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
点的坐标为，
．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的中位线定理，理解函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图象上．
六．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）
29．（2023•宜宾）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．
（1）分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式；
（2）在轴上是否存在一点，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）过作轴于，过作轴于，证明，由，，可得，即有，解得，，故反比例函数的表达式为，，，再用待定系数法可得直线所对应的一次函数的表达式为；（2）作关于轴的对称点，连接交轴于，由，，得，故当最小时，周长最小，由，，得，从而可知周长的最小值为．
【解答】解：（1）过作轴于，过作轴于，如图：
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
，恰好落在反比例函数第一象限的图象上，
，
，，
反比例函数的表达式为，，，
设直线所对应的一次函数的表达式为，把，代入得：
，
解得，
直线所对应的一次函数的表达式为；
（2）在轴上存在一点，使周长的值最小，理由如下：
作关于轴的对称点，连接交轴于，如图：
，，
，
当最小时，周长最小，
，关于轴对称，
，
当，，共线时，最小，周长也最小，
，，
，
，
周长的最小值为．
【点评】本题考查反比例函数，一次函数的交点问题，涉及等腰直角三角形性质及应用，解题的关键是证明，从而求出的值．
七．反比例函数与一次函数的交点问题（共13小题）
30．（2023•内蒙古）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是
A．B．C．或D．或
【分析】求出一次函数和反比例函数的解析式，根据图示直接得出不等式的解集．
【解答】解：在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为：，
又在图象上，
，
，
点、在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数解析式为：．
由图象可知，不等式的解集．
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与一次函数交点的坐标满足两个函数关系式．
31．（2023•宿迁）如图，直线、与双曲线分别相交于点、、、．若四边形的面积为4，则的值是
A．B．C．D．1
【分析】根据已知可得四边形为矩形，为中心，根据直线、与双曲线的性质得，再根据四边形的面积为4，可得，所以，设，则，所以．
【解答】解：如图，连接，设直线与轴和轴分别交于点，，作于点，
则，，
，
，
，，
，
同理直线也与轴正半轴的夹角为，
四边形为矩形，为中心，
，
四边形的面积为4，
，
，
，
设，
，
，
，
点在双曲线上，
．
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握矩形的性质以及一次函数和反比例函数的性质是关键．
32．（2023•宁波）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，当时，的取值范围是
A．或B．或
C．或D．或
【分析】根据图象即可．
【解答】解：由图象可知，当时，的取值范围是或，
故选：．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，不等式的解集就是其所对应的函数图象上满足条件的所有点的横坐标的集合．
33．（2023•徐州）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，．一次函数的图象与交于点，若为的中点，则的值为 4 ．
【分析】设一次函数图象与轴的交点为，与轴的交点为，则，，易证得四边形是正方形，则轴，，即可证得，求得，由为的中点，可知为的中点，得出，从而得出，利用待定系数法即可求得．
【解答】解：设一次函数图象与轴的交点为，与轴的交点为，则，，
，
轴于点，轴于点，，
四边形是正方形，
轴，，
，
，
，
为的中点，
为的中点，
，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
故答案为：4．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正方形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，求得点的坐标是解题的关键．
34．（2023•日照）已知反比例函数且的图象与一次函数的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积，请写出一个满足条件的值 1.5（答案不唯一） ．
【分析】令，根据函数与方程的关系、由根与系数的关系得到，由，得到，即可．
【解答】解：令，
整理得，
反比例函数且的图象与一次函数的图象两个交点横坐标为、，
，
，
，
，
满足条件的值为1.5（答案不唯一），
故答案为：1.5（答案不唯一）．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了函数与方程的关系，根与系数的关系，熟练掌握函数与方程的关系是解题的关键．
35．（2023•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（其中相交于，两点，过点作轴，交轴于点，则的面积是 ．
【分析】把，代入双曲线函数的表达式中，可求得的值，然后利用三角形的面积公式进行求解即可．
【解答】解：直线与双曲线（其中相交于，两点，
，
，
轴，
，
．
故答案为：．
【点评】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解答此题的关键．
36．（2023•江西）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点．
（1）求直线和反比例函数图象的表达式；
（2）求的面积．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）通过直线解析式求得点的坐标，由反比例函数的解析式求得点的坐标，然后利用三角形面积公式即可求得的面积．
【解答】解：（1）直线与反比例函数的图象交于点，
，，
，，
直线为，反比例函数为；
（2）令，则，
，
把代入，解得，
，
，
的面积．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
37．（2023•兰州）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点，分别交反比例函数与一次函数的图象于点，．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）当时，求线段的长．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）由题意可知、的纵坐标为1，即可求得，，，从而求得．
【解答】解：（1）反比例函数与一次函数的图象交于点，
，，
，，
反比例函数为，一次函数为；
（2）轴于点，
轴，
，
、的纵坐标为1，
，，，
．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
38．（2023•乐山）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求的值和一次函数的表达式；
（2）已知为反比例函数图象上的一点，，求点的坐标．
【分析】（1）把代入反比例函数解析式求得的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）过点作 轴于点，过点作 轴于点，由得到，即，解得，即可求得点的纵坐标为2或，进一步求得点的坐标．
【解答】解：（1）点在反比例函数 的图象上，
，
，
，
又点、都在一次函数的图象上，
，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）对于，当时，，
，
，
，
过点作 轴于点，过点作 轴于点，
，
，即，
解得，
点的纵坐标为2或，
将或代入 得或，
点或．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
39．（2023•金昌）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．
（1）求点的坐标；
（2）用含的代数式表示；
（3）当的面积为9时，求一次函数的表达式．
【分析】（1）由反比例函数的解析式即可求得的的坐标；
（2）把代入即可求得用的代数式表示的式子；
（3）利用三角形面积求得的值，进一步求得的值．
【解答】解：（1）反比例函数的图象过点，
，
点的坐标为；
（2）一次函数的图象过点，
，
；
（3）的面积为9，
，
，
，
，
，
一次函数的表达式是．
【点评】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟知函数图象上点的坐标特征满足解析式是解题的关键．
40．（2023•攀枝花）如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）当为何值时，？
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）根据函数图象进行观察，写出一次函数图象在反比例函数图象上方时所有点的横坐标的集合即可．
【解答】解：（1）将点代入，
，
，
将代入，
，
，
将和代入，
，解得：，
；
（2）根据图象可得，当时，的取值范围为：．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．求的取值范围，从函数图象的角度看，是确定直线在双曲线上方（或下方）部分所有的点的横坐标所构成的集合．
41．（2023•常州）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、．是轴上的一点，连接、．
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
（2）若的面积是6，求点的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求得即可；
（2）先求得，再根据得，进而得出，据此可得点的坐标．
【解答】解：（1）点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数解析式为；
又点在上，
，
点的坐标为，
把和两点的坐标代入一次函数得，
解得，
一次函数的解析为．
（2）对于一次函数，令，则，
即，
根据题意得：，
解得：，
或12，
或．
【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，解题时注意：一次函数与反比例函数交点坐标同时满足一次函数与反比例函数解析式．
42．（2023•德阳）如图，点在反比例函数的图象上，点是点关于轴的对称点，的面积是8．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当点的横坐标为2时，过点的直线与反比例函数的图象相交于点，求交点的坐标．
【分析】（1）根据点是点关于轴的对称点，的面积是8，得出，的面积是4，根据反比例函数的几何意义得出，即可得答案；
（2）由点的横坐标为2，得出坐标，继而得出的坐标，求出直线，联立两个函数解析式即可得答案．
【解答】解：（1）如图：与轴交于点，
是点关于轴的对称点，的面积是8，
，
，
，
，
反比例函数的解析式：；
（2）点的横坐标为2，
时，，
，
，
直线过点，
，
，
直线，
联立，
或，
，或，．
【点评】本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了反比例函数的几何意义，数形结合是解题的关键．
八．反比例函数的应用（共5小题）
43．（2023•德州）压力、压强、受力面积之间的关系为：，当压力一定时，另外两个变量的函数图象可能是
A．B．
C．D．
【分析】根据题意，可以得到与符合反比例函数关系，且第一象限内，随的增大而减小，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：，
当压力一定时，，此时与符合反比例函数关系，且第一象限内，随的增大而减小，
故选：．
【点评】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
44．（2023•大连）某种蓄电池的电压（单位：为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系．当时，，则当时，的值是
A．4B．5C．10D．0
【分析】设出反比例函数关系式，用待定系数法求出解析式，然后得出结论即可．
【解答】解：由题意知，，
，
当时，（A），
故选：．
【点评】本题主要考查反比例函数的知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
45．（2023•丽水）如果的压力作用于物体上，产生的压强要大于，则下列关于物体受力面积的说法正确的是
A．小于B．大于C．小于D．大于
【分析】根据已知条件利用压强公式推导即可得到答案．
【解答】解：，，
，
产生的压强要大于，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了反比例的应用等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
46．（2023•南充）小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为和，当动力臂由增加到时，撬动这块石头可以节省 100 的力．
（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂）
【分析】根据杠杆定律求得函数的解析式后代入和求得力的大小即可．
【解答】解：根据“杠杆定律”有，
函数的解析式为，
当时，，
当时，，
因此，撬动这块石头可以节省，
故答案为：100．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出反比例函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大．
47．（2023•常州）若矩形的面积是10，相邻两边的长分别为、，则与的函数表达式为 ．
【分析】根据长方形的面积公式：面积长宽，即可求解．
【解答】解：根据长方形的面积公式：面积长宽，可得，
即，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，利用长方形面积公式列出函数关系是解题的关键．
九．反比例函数综合题（共8小题）
48．（2023•泰安）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点，点，与轴，轴分别交于点，点，作轴，垂足为点，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在第二象限内，当时，直接写出的取值范围；
（3）点在轴负半轴上，连接，且，求点坐标．
【分析】（1）根据一次函数的关系式可求出与轴，轴的交点、点的坐标，再利用全等三角形的判断和性质得出，进而确定点的坐标，再由反比例函数图象上点的坐标特征确定的值即可；
（2）求出两个函数图象的交点坐标，再根据图象直观得出答案；
（3）求出直线的关系式，再根据关系式求出其与轴的交点坐标即可．
【解答】解：（1）一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点，
点，点，
，
，
，，
，
，
点，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的关系式为；
（2）方程组的解为，，
点，
点，
由于是在第二象限，当时，的取值范围为；
（3）由于直线，可设直线的关系式为，
把点代入得，，
解得，
直线的关系式为，
当时，，
点的坐标为．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点坐标，掌握反比例函数、一次函数的图象和性质是正确解答的前提，确定点的坐标是解决问题的关键．
49．（2023•镇江）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，点在轴负半轴上，．
（1） ， ，点的坐标为 ；
（2）点在轴上，若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，在中，，，，用解直角三角形的方法求出，即可求解；
（2）证明点在轴的正半轴时，存在和，即可求解．
【解答】解：（1）当时，，即点，
将点的坐标代入反比例函数的表达式得：，
即反比例函数的表达式为：，
根据正比例函数的对称性，点，
由点、的坐标得，，过点作轴于点，
由直线的表达式知，，
而，
设，则，则，则，
则，，
则，
则点的坐标为：，
故答案为：，，；
（2）当点在轴的负半轴时，
，
又，，
和不可能相似；
当点在轴的正半轴时，，
若，则，
则，
即点；
若，则，
即，
解得：，
即点，
综上，点的坐标为：或．
【点评】本题为反比例函数综合题，涉及到解直角三角形、三角形相似等知识点，其中（2），分类求解是本题解题的关键．
50．（2023•凉山州）阅读理解题：阅读材料：
如图1，四边形是矩形，是等腰直角三角形，记为、为，若，则．
证明：设，
，
，
易证．
，，
，，
，
若时，当，则．
同理：若时，当，则．
根据上述材料，完成下列问题：
如图2，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，已知．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出、的值；
（3）求直线的解析式．
【分析】（1）设，由，得，可解得，再用待定系数法得反比例函数的解析式为；
（2）求出，由，得，，即知，而，故，由阅读材料得；
（3）由，，得，从而，再用待定系数法得直线解析式为．
【解答】解：（1）设，
，，
，
，
解得或，
或（此时在第四象限，不符合题意，舍去），
把代入得：
，
解得，
反比例函数的解析式为；
（2）在中，令得，
解得，
，
，
由（1）知，
，，
，
，
，
，
，
，
由若时，当，则可得：
；
（3）由（2）知，
，
，
，，
，
，
，
，
设直线解析式为，
把，代入得：
，
解得，
直线解析式为．
【点评】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是读懂阅读材料，掌握待定系数法．
51．（2023•淄博）如图，直线与双曲线相交于点，．
（1）求双曲线及直线对应的函数表达式；
（2）将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积；
（3）请直接写出关于的不等式的解集．
【分析】（1）将代入双曲线，求出的值，从而确定双曲线的解析式，再将点代入，确定点坐标，最后用待定系数法求直线的解析式即可；
（2）由平行求出直线的解析式为，过点作交于，设直线与轴的交点为，与轴的交点为，可推导出，再由，求出，则的面积；
（3）数形结合求出的范围即可．
【解答】解：（1）将代入双曲线，
，
双曲线的解析式为，
将点代入，
，
，
将，代入，
，
解得，
直线解析式为；
（2）直线向下平移至，
，
设直线的解析式为，
将点代入，
，
解得，
直线的解析式为，
，
过点作交于，
设直线与轴的交点为，与轴的交点为，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
的面积；
方法
；
（3）由图可知或时，．
【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，直线平移是性质，数形结合是解题的关键．
52．（2023•广安）如图，一次函数为常数，的图象与反比例函数为常数，的图象在第一象限交于点，与轴交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）点在轴上，是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．
【分析】（1）把点、的坐标分别代入一次函数解析式，列出关于、的方程组，通过解方程组求得它们的值；然后将点的坐标代入反比例函数解析式，求得的值即可；
（2）设，利用两点间的距离公式和勾股定理以及列出方程，借助于方程求解即可．
【解答】解：（1）将、分别代入一次函数，得
．
解得．
故．
将其代入反比例函数，得
．
解得．
故一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）由（1）知，、，则．
设，
当时，．
解得或（舍去）．
故；
当时，．
解得或．
故或．
综上所述，符合条件的点的坐标为：或或．
【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求得一次函数和反比例函数解析式，勾股定理以及等腰三角形的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．
53．（2023•泸州）如图，在平面直角坐标系中，直线与，轴分别相交于点，，与反比例函数的图象相交于点，已知，点的横坐标为2．
（1）求，的值；
（2）平行于轴的动直线与和反比例函数的图象分别交于点，，若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．
【分析】（1）根据题意求出点的坐标，进而求出，再求出点的坐标，求出；
（2）分、两种情况，计算即可．
【解答】解：（1），
点的坐标为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
点在直线上，点的横坐标为2，
点的纵坐标为，
点的坐标为，
；
（2）设点的坐标为，则点的坐标为，
，
，
当时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，
直线与轴交于点，
，
，
当时，，（舍去），
此时，点的坐标为，，
当时，，（舍去），
此时，点的坐标为，，
综上所述：以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为，或，．
【点评】本题考查的是反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
54．（2023•营口）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点在这个反比例函数图象上，连接并延长交轴于点，且，求点的坐标．
【分析】（1）根据锐角三角函数求出，进而求出点坐标，最后用待定系数法即可求出；
（2）过作轴于，求出点坐标，进而求出直线的解析式，最后联立双曲线解析式求解，求出点的坐标，即可求出点的坐标．
【解答】解：（1）轴于点，
，
在中，，，
，
，
点在反比例函数的图象上，
；
反比例函数的解析式为；
（2）如图，过作轴于，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
点，在直线上，
，
，
直线的解析式为①，
由（1）知，反比例函数的解析式为②，
联立①②解得，或，
．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了锐角三角函数，待定系数法，等腰直角三角形的性质，解方程组，作出辅助线求出直线的解析式是解（2）的关键．
55．（2023•成都）如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与轴交于点，与反比例函数的图
象的一个交点为，过点作的垂线．
（1）求点的坐标及反比例函数的表达式；
（2）若点在直线上，且的面积为5，求点的坐标；
（3）是直线上一点，连接，以为位似中心画，使它与位似，相似比为．若点，恰好都落在反比例函数图象上，求点的坐标及的值．
【分析】（1）解方程得到点的坐标为，将代入得，，求得，将代入得，求得反比例函数的表达式为；
（2）设直线与轴交于，直线与轴交于，解方程得到，求得，根据两点间的距离的结论公式得到，求得，待定系数法求得直线的解析式为，设点的坐标为，根据三角形的面积公式列方程得到或，求得点的坐标为或；
（3）解方程组求得，根据相似三角形的性质得到，根据平行线的判定定理得到，求得直线的解析式为，解方程组得到，则直线的解析式为，于是得到，，根据两点间的距离距离公式即可得到结论．
【解答】解：（1）令，则，
点的坐标为，
将代入得，，
，
，
将代入得，，
解得，
反比例函数的表达式为；
（2）设直线与轴交于，直线与轴交于，
令得，，
，
，
，
，
，，
，
直线是的垂线，即，，
，
，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，
直线的解析式为，
设点的坐标为，
，
解得或，
当时，，
当时，，
点的坐标为或；
（3）位似图形的对应点与位似中心三点共线，点的对应点也在直线上，不妨设为点，则点的对应点为，
将直线与双曲线的解析式联立方程组，
解得，或，
，
画出图形如图所示，
，
，
，
直线与直线的一次项系数相等，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
点在直线与双曲线的另一个交点，
解方程组得，或，
，
则直线的解析式为，
解方程组得，，
，，
，
，
．
【点评】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
反比例函数的概念及其图象、性质
易错分析与举例
1.反比例函数的概念
（1）定义：形如y＝eq \f(k,x)(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．
（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：
①y＝eq \f(k,x)；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)
例：函数y=3xm+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．
2.反比例函数的图象和性质
k的符号
图象
经过象限
y随x变化的情况
（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.
易错分析
（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.
k>0
图象经过第一、三象限
（x、y同号）
每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.
k<0
图象经过第二、四象限
（x、y异号）
每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.
3.反比例函数的图象特征
（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；
（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；
（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．
例：若(a，b)在反比例函数的图象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填“在"、"不在")
4.待定系数法
只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.
例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x.
反比例系数的几何意义及与一次函数的综合
5.系数k的几何意义
（1）意义：从反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.
（2）常见的面积类型：
易错分析
已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.
例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：或.
6.与一次函数的综合
（1）确定交点坐标：
【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.
【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.
（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解
（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.
（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.
涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.
例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE＞S△BOD.
反比例函数的实际应用
7.一般步骤
（1）题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2）设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.