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2023-2024学年八年级数学下册 第18章平行四边形 单元测试题
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2023-2024学年八年级数学下册 第18章平行四边形单元测试题一．选择题（共8小题）1．如图所示，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E为AD的中点．若AB＝6，BC＝8，则△BOE的周长为（ ）A．10 B．8+2 C．8+2 D．142．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，AE是∠BAC的角平分线，AE⊥CE于点E，连接DE．若AB＝7，DE＝1，则AC的长度是（ ）A．4 B．4.5 C．5 D．5.53．如图，点E、F分别是▱ABCD边AD、BC的中点，G、H是对角线BD上的两点，且BG＝DH．则下列结论中不正确的是（ ）A．GF＝EH B．四边形EGFH是平行四边形 C．EG＝FH D．EH⊥BD4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（ ）A．2 B． C．3 D．5．如图，正方形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、AB、CD上的点，连接DF、DG、E，若HE＝DF，BE＞CH，∠ADG＝∠FDG．当∠BEH＝α时，则∠AGD的度数为（ ）A．α B．90°﹣α C． D．135°﹣α6．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（ ）A．25° B．30° C．35° D．40°7．如图，在△ABC中，BC＝26，且BD，CE分别是AC，AB上的高，F，G分别是BC，DE的中点，若ED＝10，则FG的长为（ ）A．10 B．12 C．13 D．148．如图，▱ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（ ）A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s二．填空题（共8小题）9．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA、PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 ．10．在平面直角坐标系中，长方形ABCD按如图所示放置，O是AD的中点，且A、B、C的坐标分别为（5，0），（5，4），（﹣5，4），点P是BC上的动点，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则点P的坐标为 ．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE＝CF，连接CE，DF，则CE+DF的最小值为 ．12．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 ．13．如图：正方形ABCD中，BC＝5，AC为对角线，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，若PB⊥PA，∠1＝∠2，则PC的长度为 ．14．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为 ．15．如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝5，AB＝CF＝3，则CG的长为 ．16．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、BC的中点，连接EC、FD，G、H分别是EC、FD的中点，连接GH，若AB＝6，，∠BAD＝150°，则GH＝ ．三．解答题（共7小题）17．如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）连接BD交AC于点O，若BD＝14，AE+CF＝EF，求EG的长．18．如图①▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E和点F．（1）求证：OE＝OF（2）如图②，已知AD＝1，BD＝2，AC＝2，∠DOF＝∠α，①当∠α为多少度时，EF⊥AC？②在①的条件下，连接AF，求△ADF的周长．19．如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．（1）求证：DF∥AC；（2）若BF垂直平分CD，BF＝AE＝2，求BC的长．20．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当线段AB与线段AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．21．已知：BD是△ABC的角平分线，点E在AB边上，BE＝BC，过点E作EF∥AC，交BD于点F，连接CF，DE．（1）如图1，求证：四边形CDEF是菱形；（2）如图2，当AC＝BC时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为∠ABD的度数2倍的角．22．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，求∠FPE的度数．23．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形． 参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．如图所示，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E为AD的中点．若AB＝6，BC＝8，则△BOE的周长为（ ）A．10 B．8+2 C．8+2 D．14【分析】易知OE是中位线，则OE＝CD＝3，在Rt△ABE中，利用勾股定理求得BE的长，在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据矩形性质可求BO，从而求出△BOE周长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∵点O是AC的中点，E为AD的中点，∴OE＝CD＝3，AE＝AD＝4，在Rt△ABE中，AE＝4，AB＝6，根据勾股定理得，BE＝，在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AC＝＝＝10．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵点O是AC的中点，∴BO＝5．∴△BOE周长为5+3+2＝8+2．故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质以及中位线定理，熟记矩形的性质定理并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．2．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，AE是∠BAC的角平分线，AE⊥CE于点E，连接DE．若AB＝7，DE＝1，则AC的长度是（ ）A．4 B．4.5 C．5 D．5.5【分析】延长CE，交AB于点F，通过ASA证明△EAF≌△EAC，根据全等三角形的性质得到AF＝AC，EF＝EC，根据三角形中位线定理得出BF＝2，即可得出结果．【解答】解：延长CE，交AB于点F．∵AE平分∠BAC，AE⊥CE，∴∠EAF＝∠EAC，∠AEF＝∠AEC，在△EAF与△EAC中，，∴△EAF≌△EAC（ASA），∴AF＝AC，EF＝EC，又∵D是BC中点，∴BD＝CD，∴DE是△BCF的中位线，∴BF＝2DE＝2．∴AC＝AF＝AB﹣BF＝7﹣2＝5；故选：C．【点评】此题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形全等是解题的关键．3．如图，点E、F分别是▱ABCD边AD、BC的中点，G、H是对角线BD上的两点，且BG＝DH．则下列结论中不正确的是（ ）A．GF＝EH B．四边形EGFH是平行四边形 C．EG＝FH D．EH⊥BD【分析】证△GBF≌△HDE（SAS），得GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，则∠FGH＝∠EHG，得GF∥EH，再证出四边形EGFH是平行四边形，得EG＝FH，故ABC正确，∠EHG不一定等于90°，故D不正确，即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠GBF＝∠HDE，在△GBF和△HDE中，，∴△GBF≌△HDE（SAS），∴GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，∴∠FGH＝∠EHG，∴GF∥EH，∴四边形EGFH是平行四边形，∴EG＝FH，故ABC正确，∵∠EHG不一定等于90°，∴EH⊥BD不正确，故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△GBF≌△HDE是解题的关键．4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（ ）A．2 B． C．3 D．【分析】连接CM，当CM⊥AB时，DM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小值，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CM，根据三角形的中位线得出DE＝CM即可．【解答】解：连接CM，当CM⊥AB时，CM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小值，理由是：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∴AC•BC＝，∴＝，∴CM＝，∵点D、E分别为CN，MN的中点，∴DE＝CM＝＝，即DE的最小值是，故选：B．【点评】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，三角形的中位线和勾股定理等知识点，熟练垂线段最短和三角形的中位线性质是解此题的关键．5．如图，正方形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、AB、CD上的点，连接DF、DG、E，若HE＝DF，BE＞CH，∠ADG＝∠FDG．当∠BEH＝α时，则∠AGD的度数为（ ）A．α B．90°﹣α C． D．135°﹣α【分析】如图，设EH与DF交于点K，过点A作AM∥EH交CD于点M，交DF于点N，根据正方形性质可得：AB∥CD，AD＝CD，∠ADC＝∠C＝90°，先证明四边形AEHM是平行四边形，再证明Rt△ADM≌Rt△DCF（HL），利用直角三角形两锐角互余和角平分线定义即可求得答案．【解答】解：如图，设EH与DF交于点K，过点A作AM∥EH交CD于点M，交DF于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD＝CD，∠ADC＝∠C＝90°，∴四边形AEHM是平行四边形，∴AM＝HE，∵HE＝DF，∴AM＝DF，在Rt△ADM和Rt△DCF中，，∴Rt△ADM≌Rt△DCF（HL），∴∠AMD＝∠DFC，∵∠CDF+∠DFC＝90°，∴∠CDF+∠AMD＝90°，在△DNM中，∠MND＝180°﹣（∠CDF+∠AMD）＝180°﹣90°＝90°，∵AM∥EH，∴∠DKH＝∠MND＝90°，∵AB∥CD，∠BEH＝α，∴∠DHE＝∠BEH＝α，∴∠CDF＝90°﹣α，∴∠ADF＝∠ADC﹣∠CDF＝α，∵∠ADG＝∠FDG，∴∠ADG＝∠ADF＝α，在Rt△ADG中，∠AGD＝90°﹣∠ADG＝90°﹣．故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义、直角三角形的两个锐角互余等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．6．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（ ）A．25° B．30° C．35° D．40°【分析】由菱形的性质可得BO＝OD，∠DAO＝∠BAO＝25°，AC⊥BD，再由直角三角形的性质得∠ABD＝65°，则∠BDH＝25°，然后由直角三角形斜边上的中线性质可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴BO＝OD，∠DAO＝∠BAO＝25°，AC⊥BD，∴∠ABD＝90°﹣∠BAO＝65°，∵DH⊥AB，BO＝DO，∴∠BDH＝90°﹣∠ABD＝25°，HO＝BD＝DO，∴∠DHO＝∠BDH＝25°，故选：A．【点评】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．如图，在△ABC中，BC＝26，且BD，CE分别是AC，AB上的高，F，G分别是BC，DE的中点，若ED＝10，则FG的长为（ ）A．10 B．12 C．13 D．14【分析】连接EF、DF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得FG⊥ED，，然后利用勾股定理列式计算即可求解．【解答】解：如图：连接EF、DF，，∵F是BC的中点，BD⊥AC，CE⊥AB，∴，∵G是DE的中点，∴FG⊥ED，，在Rt△DGF中，，故选：B．【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，以及勾股定理，作辅助线利用性质是解题的关键．8．如图，▱ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（ ）A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s【分析】过点D作DG⊥AB于点G，由∠A＝45°，可得△ADG是等腰直角三角形，过点F作FH⊥AB于点H，得矩形DGHF，利用勾股定理得EH＝6cm，由题意可得AE＝2t cm，CF＝t cm，然后分两种情况列方程求出t的值即可．【解答】解：在▱ABCD中，CD＝AB＝22cm，AD＝BC＝8cm，如图，过点D作DG⊥AB于点G，∵∠A＝45°，∴△ADG是等腰直角三角形，∴AG＝DG＝AD＝8，过点F作FH⊥AB于点H，得矩形DGHF，∴DG＝FH＝8cm，DF＝GH，∵EF＝10cm，∴EH＝＝6cm，由题意可知：AE＝2t cm，CF＝t cm，∴GE＝AE＝AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE+EH＝（2t﹣8）+6＝（2t﹣2）cm，∴2t﹣2＝22﹣t，解得t＝8，当F点在E点左侧时，由题意可知：AE＝2t cm，CF＝t cm，∴GE＝AE﹣AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE﹣EH＝（2t﹣8）﹣6＝（2t﹣14）cm，∴2t﹣14＝22﹣t，解得t＝12，∵点E到达点B时，两点同时停止运动，∴2t≤22，解得t≤11．∴t＝12不符合题意，舍去，∴EF的长为10cm时点E的运动时间是8s，故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是利用勾股定理得到EH的值．二．填空题（共8小题）9．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA、PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 ．【分析】设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．首先求出OP′，当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值＝2OP′．【解答】解：设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．在Rt△ABC中，BC＝＝＝10，∵∠OCP′＝∠ACB，∠OP′C＝∠CAB，∴△COP′∽△CBA，∴＝，∴＝，∴OP′＝，当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值＝2OP′＝．故答案为．【点评】本题考查平行四边形的性质．直角三角形的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．10．在平面直角坐标系中，长方形ABCD按如图所示放置，O是AD的中点，且A、B、C的坐标分别为（5，0），（5，4），（﹣5，4），点P是BC上的动点，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则点P的坐标为 （﹣2，4）或（﹣3，4）或（3，4） ．【分析】根据矩形的性质和勾股定理即可得到结论．【解答】解：如图，∵A、B、C的坐标分别为（5，0），（5，4），（﹣5，4），∴OD＝OA＝5，AB＝CD＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠CDO＝90°，设BC与y轴交于E，当DP＝DO＝5，∴CP＝＝3，∴PE＝2，∴P（﹣2，4），当OD＝OP＝5时，PE＝＝3，∴P（﹣3.4）或（3，4），综上所述，点P的坐标为（﹣2，4）或（﹣3，4）或（3，4），故答案为：（﹣2，4）或（﹣3，4）或（3，4）．【点评】本题考查了坐标与图形性质，矩形性质，等腰三角形的判定的应用，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意：一定要进行分类讨论．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE＝CF，连接CE，DF，则CE+DF的最小值为 2 ．【分析】先连接BE，将CE+DF转化为CE+BE，再利用将军饮马解决问题即可．【解答】解：如图，连接BE，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠BAE＝∠DCF＝90°，∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE＝DF，∴CE+DF＝CE+BE，如图，作点B关于A点的对称点B'，连接CB'，CB'即为CE+BE的最小值，∵AB＝1，AD＝2，∴BB'＝2，BC＝2，∴B′C＝＝＝2，故答案为：2．【点评】本题考查矩形的性质、勾股定理、将军饮马问题、全等三角形的判定与性质等内容，综合性较强，将CE+DF转化为CE+BE是解题的关键．12．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 ．【分析】连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，根据全等三角形的性质得到PD＝CF＝1，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．【解答】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴AE＝CF＝×2＝1，∵AD∥BC，∴∠DPH＝∠FCH，∵∠DHP＝∠FHC，∵DH＝FH，∴△PDH≌△CFH（AAS），∴PD＝CF＝1，∴AP＝AD﹣PD＝1，∴PE＝＝，∵点G，H分别是EC，FD的中点，∴GH＝EP＝．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质．13．如图：正方形ABCD中，BC＝5，AC为对角线，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，若PB⊥PA，∠1＝∠2，则PC的长度为 ．【分析】设PC＝x（x＞0），先证出△PCB∽△PAC，根据相似三角形的性质可得，，再在Rt△ABP中，利用勾股定理求解即可得．【解答】解：设PC＝x（x＞0），∵正方形ABCD中，BC＝5，AC为对角线，∴，∠ABC＝90°，∠BAC＝∠ACB＝45°，∴∠PCB+∠1＝45°＝∠PAC+∠BAP，∠ABP+∠2＝90°，∵PB⊥PA，∴∠ABP+∠BAP＝90°，∴∠2＝∠BAP，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BAP，∴∠PCB＝∠PAC，在△PCB和△PAC中，，∴△PCB∽△PAC，∴，∴，，在Rt△ABP中，PA2+PB2＝AB2，即，解得或（不符合题意，舍去），即PC的长度为，故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．14．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为 8 ．【分析】由平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，再由DF平分∠ADC，得∠ADF＝∠CDF，则∠DFC＝∠FDC，然后由等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，则四边形ABCD是平行四边形，最后由平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，即可得到结论．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF＝∠CDF，∴∠DFC＝∠CDF，∴CF＝CD，同理BE＝AB，∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∴AB＝BE＝CF＝CD＝5，∴BC＝BE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8，∴AD＝BC＝8，故答案为：8．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的性质、平行四边形的性质等知识，解答本题的关键是判断出BA＝BE＝CF＝CD．15．如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝5，AB＝CF＝3，则CG的长为 ．【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质，可以得到BF和BE的长，然后可以证明△DCG和△EHG全等，然后即可得到CG的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，CD＝AB，DC∥AB，∵AD＝5，AB＝CF＝3，∴CD＝3，BC＝5，∴BF＝BC+CF＝8，∵△BEF是等边三角形，G为DE的中点，∴BF＝BE＝8，DG＝EG，延长CG交BE于点H，∵DC∥AB，∴∠CDG＝∠HEG，在△DCG和△EHG中，，∴△DCG≌△EHG（ASA），∴DC＝EH，CG＝HG，∵CD＝3，BE＝8，∴HE＝3，BH＝5，∵∠CBH＝60°，BC＝BH＝5，∴△CBH是等边三角形，∴CH＝BC＝5，∴CG＝CH＝，故答案为：．【点评】本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．16．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、BC的中点，连接EC、FD，G、H分别是EC、FD的中点，连接GH，若AB＝6，，∠BAD＝150°，则GH＝ ．【分析】连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据平行四边形的性质得AD∥BC，证明△PDH≌△CFH，根据全等三角形的性质得到PD＝CF，CH＝PH，根据勾股定理，含30度角的直角三角形的性质和三角形的中位线定理即可得到结论．【解答】解：如图，连接CH并延长交AD于P，连接PE，过点E作EK⊥DA交DA的延长线于点K，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵点E、F分别是边AB、BC的中点，AB＝6，，∴，，∵AD∥BC，∴∠DPH＝∠FCH，在△PDH与△CFH中，，∴△PDH≌△CFH（AAS），∴，CH＝PH，∴，∵∠BAD＝150°，∴∠EAK＝30°，∴，∴，∴，∴，∵点G是EC的中点，CH＝PH，∴，故答案为：．【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．三．解答题（共7小题）17．如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）连接BD交AC于点O，若BD＝14，AE+CF＝EF，求EG的长．【分析】（1）证△AGE≌△CHF（SAS），得GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，则∠GEF＝∠HFE，得GE∥HF，即可得出结论；（2）先由平行四边形的性质得出OB＝OD＝7，再证出AE＝OE，可得EG是△ABO的中位线，然后利用中位线定理可得EG的长度．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠GAE＝∠HCF，∵点G，H分别是AB，CD的中点，∴AG＝CH，在△AGE和△CHF中，，∴△AGE≌△CHF（SAS），∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，∴∠GEF＝∠HFE，∴GE∥HF，又∵GE＝HF，∴四边形EGFH是平行四边形；（2）解：连接BD交AC于点O，如图：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BD＝14，∴OB＝OD＝7，∵AE＝CF，OA＝OC，∴OE＝OF，∵AE+CF＝EF，AE＝CF，∴2AE＝EF＝2OE，∴AE＝OE，又∵点G是AB的中点，∴EG是△ABO的中位线，∴EG＝OB＝．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握平行四边形判定与的性质及三角形中位线定理是解题的关键．18．如图①▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E和点F．（1）求证：OE＝OF（2）如图②，已知AD＝1，BD＝2，AC＝2，∠DOF＝∠α，①当∠α为多少度时，EF⊥AC？②在①的条件下，连接AF，求△ADF的周长．【分析】（1）证明△DOF≌△BOE即可说明OE＝OF；（2）①利用勾股定理的逆定理证明△ADO是等腰直角三角形，则∠DOA＝45°，若EF⊥AC，则∠α＝45°；②证明AF＝CF，则△ADF周长转化为AD+DC．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB＝OD，AB∥CD．∴∠EBO＝∠FDO．又∵∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF（ASA）．∴OE＝OF；（2）①∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OD＝BD＝1，OA＝AC＝，又AD＝1，∴AD2+OD2＝OA2．∴∠ADO＝90°，∠AOD＝45°．∴∠α＝90°﹣45°＝45．②由（1）可得：EF垂直平分AC，∴AF＝FC，又AB＝＝＝CD，∴△ADF的周长＝AD+DF+FA＝AD+CD＝1+．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理、线段垂直平分线的性质，解题的关键是利用平行四边形中平行线求得角相等或对角线中线段的长度．19．如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．（1）求证：DF∥AC；（2）若BF垂直平分CD，BF＝AE＝2，求BC的长．【分析】（1）连接BD，交AC于点O，证出OE是△BDF的中位线，得OE∥DF，即DF∥AC；（2）求出AB＝3，BE＝AE，则CD＝3，∠BAE＝30°，得CG＝CD＝，∠DCE＝30°，再求出BG的长，然后由勾股定理求解即可．【解答】（1）证明：连接BD，交AC于点O，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，∵BE＝EF，∴OE是△BDF的中位线，∴OE∥DF，即DF∥AC；（2）解：∵EF＝BE，BF＝2，∴BE＝，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠DCE＝∠BAE，∵BF垂直平分CD，∴∠CGE＝90°，CG＝DG，BF⊥AB，∴∠ABE＝90°，∴AB＝＝＝3，BE＝AE，∴CD＝3，∠BAE＝30°，∴CG＝CD＝，∠DCE＝30°，∴EG＝CG＝，∴BG＝BE+EG＝+＝，∴BC＝＝＝3．【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、含30°角的直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理是解题的关键．20．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当线段AB与线段AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，由平行线的性质得出∠ABE＝∠CDF，证出BE＝DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；（2）证出AB＝OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，由三角形中位线定理得出OE∥CG，EF∥CG，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，∵EG＝AE，OA＝OC，∴OE是△ACG的中位线，∴OE∥CG，∴EF∥CG，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21．已知：BD是△ABC的角平分线，点E在AB边上，BE＝BC，过点E作EF∥AC，交BD于点F，连接CF，DE．（1）如图1，求证：四边形CDEF是菱形；（2）如图2，当AC＝BC时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为∠ABD的度数2倍的角．【分析】（1）直接由SAS得出△BDE≌△BDC，得出DE＝DC，∠BDE＝∠BDC．再由SAS证明△BFE≌△BFC，得出EF＝CF．由EF∥AC得出∠EFD＝∠BDC，从而∠EFD＝∠BDE，根据等角对等边得出DE＝EF，从而DE＝EF＝CF＝DC，由菱形的判定可知四边形CDEF是菱形；（2）如图2，利用正方形的性质可得∠DFE＝45°，然后证明∠FEB＝∠CBE＝2∠FBE即可．【解答】（1）证明：在△BDE和△BDC中，，∴△BDE≌△BDC（SAS）；∴DE＝DC，∠BDE＝∠BDC同理△BFE≌△BFC，∴EF＝CF∵EF∥AC∴∠EFD＝∠BDC，∴∠EFD＝∠BDE，∴DE＝EF，∴DE＝EF＝CF＝DC，∴四边形CDEF是菱形；（2）∵四边形CDEF是正方形，∴∠CDE＝∠DEF＝2∠EFD＝90°，∵AC＝BC，∴∠A＝∠CBE，∵∠A+∠AED＝180°﹣90°＝90°，∠AED+∠FEB＝90°，∴∠A＝∠FEB＝∠CBE＝2∠EBF，∵∠ABD+∠FEB＝∠DFE＝45°，∴∠ABD＝15°，∴∠FEB＝30°，∴∠A＝∠ABC＝∠FEB＝30°，∵△BFE≌△BFC，∴∠FEB＝∠FCB＝30°，综上所述，度数为∠ABD的度数2倍的角是∠A，∠ABC，∠FEB，∠FCB．【点评】本题主要考查了全等三角形、菱形的判定，正方形的性质等知识．关键是由SAS得出△BDE≌△BDC．22．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，求∠FPE的度数．【分析】根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形，进而可得出结论．【解答】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PF＝BC，PE＝AD，∵AD＝BC，∴PF＝PE，∴△EPF是等腰三角形．∵∠PEF＝30°，∴∠PEF＝∠PFE＝30°，∴∠FPE＝180°﹣∠PEF﹣∠PFE＝180°﹣30°﹣30°＝120°．【点评】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的知识．23．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形．【分析】（1）根据AAS证△AFE≌△DBE；（2）利用（1）中全等三角形的对应边相等得到AF＝BD．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到AD＝DC，从而得出结论．【解答】证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；（2）由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD．∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．
2023-2024学年八年级数学下册 第18章平行四边形单元测试题一．选择题（共8小题）1．如图所示，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E为AD的中点．若AB＝6，BC＝8，则△BOE的周长为（ ）A．10 B．8+2 C．8+2 D．142．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，AE是∠BAC的角平分线，AE⊥CE于点E，连接DE．若AB＝7，DE＝1，则AC的长度是（ ）A．4 B．4.5 C．5 D．5.53．如图，点E、F分别是▱ABCD边AD、BC的中点，G、H是对角线BD上的两点，且BG＝DH．则下列结论中不正确的是（ ）A．GF＝EH B．四边形EGFH是平行四边形 C．EG＝FH D．EH⊥BD4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（ ）A．2 B． C．3 D．5．如图，正方形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、AB、CD上的点，连接DF、DG、E，若HE＝DF，BE＞CH，∠ADG＝∠FDG．当∠BEH＝α时，则∠AGD的度数为（ ）A．α B．90°﹣α C． D．135°﹣α6．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（ ）A．25° B．30° C．35° D．40°7．如图，在△ABC中，BC＝26，且BD，CE分别是AC，AB上的高，F，G分别是BC，DE的中点，若ED＝10，则FG的长为（ ）A．10 B．12 C．13 D．148．如图，▱ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（ ）A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s二．填空题（共8小题）9．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA、PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 ．10．在平面直角坐标系中，长方形ABCD按如图所示放置，O是AD的中点，且A、B、C的坐标分别为（5，0），（5，4），（﹣5，4），点P是BC上的动点，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则点P的坐标为 ．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE＝CF，连接CE，DF，则CE+DF的最小值为 ．12．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 ．13．如图：正方形ABCD中，BC＝5，AC为对角线，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，若PB⊥PA，∠1＝∠2，则PC的长度为 ．14．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为 ．15．如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝5，AB＝CF＝3，则CG的长为 ．16．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、BC的中点，连接EC、FD，G、H分别是EC、FD的中点，连接GH，若AB＝6，，∠BAD＝150°，则GH＝ ．三．解答题（共7小题）17．如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）连接BD交AC于点O，若BD＝14，AE+CF＝EF，求EG的长．18．如图①▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E和点F．（1）求证：OE＝OF（2）如图②，已知AD＝1，BD＝2，AC＝2，∠DOF＝∠α，①当∠α为多少度时，EF⊥AC？②在①的条件下，连接AF，求△ADF的周长．19．如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．（1）求证：DF∥AC；（2）若BF垂直平分CD，BF＝AE＝2，求BC的长．20．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当线段AB与线段AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．21．已知：BD是△ABC的角平分线，点E在AB边上，BE＝BC，过点E作EF∥AC，交BD于点F，连接CF，DE．（1）如图1，求证：四边形CDEF是菱形；（2）如图2，当AC＝BC时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为∠ABD的度数2倍的角．22．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，求∠FPE的度数．23．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形． 参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．如图所示，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E为AD的中点．若AB＝6，BC＝8，则△BOE的周长为（ ）A．10 B．8+2 C．8+2 D．14【分析】易知OE是中位线，则OE＝CD＝3，在Rt△ABE中，利用勾股定理求得BE的长，在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据矩形性质可求BO，从而求出△BOE周长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∵点O是AC的中点，E为AD的中点，∴OE＝CD＝3，AE＝AD＝4，在Rt△ABE中，AE＝4，AB＝6，根据勾股定理得，BE＝，在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AC＝＝＝10．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵点O是AC的中点，∴BO＝5．∴△BOE周长为5+3+2＝8+2．故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质以及中位线定理，熟记矩形的性质定理并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．2．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，AE是∠BAC的角平分线，AE⊥CE于点E，连接DE．若AB＝7，DE＝1，则AC的长度是（ ）A．4 B．4.5 C．5 D．5.5【分析】延长CE，交AB于点F，通过ASA证明△EAF≌△EAC，根据全等三角形的性质得到AF＝AC，EF＝EC，根据三角形中位线定理得出BF＝2，即可得出结果．【解答】解：延长CE，交AB于点F．∵AE平分∠BAC，AE⊥CE，∴∠EAF＝∠EAC，∠AEF＝∠AEC，在△EAF与△EAC中，，∴△EAF≌△EAC（ASA），∴AF＝AC，EF＝EC，又∵D是BC中点，∴BD＝CD，∴DE是△BCF的中位线，∴BF＝2DE＝2．∴AC＝AF＝AB﹣BF＝7﹣2＝5；故选：C．【点评】此题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形全等是解题的关键．3．如图，点E、F分别是▱ABCD边AD、BC的中点，G、H是对角线BD上的两点，且BG＝DH．则下列结论中不正确的是（ ）A．GF＝EH B．四边形EGFH是平行四边形 C．EG＝FH D．EH⊥BD【分析】证△GBF≌△HDE（SAS），得GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，则∠FGH＝∠EHG，得GF∥EH，再证出四边形EGFH是平行四边形，得EG＝FH，故ABC正确，∠EHG不一定等于90°，故D不正确，即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠GBF＝∠HDE，在△GBF和△HDE中，，∴△GBF≌△HDE（SAS），∴GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，∴∠FGH＝∠EHG，∴GF∥EH，∴四边形EGFH是平行四边形，∴EG＝FH，故ABC正确，∵∠EHG不一定等于90°，∴EH⊥BD不正确，故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△GBF≌△HDE是解题的关键．4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（ ）A．2 B． C．3 D．【分析】连接CM，当CM⊥AB时，DM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小值，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CM，根据三角形的中位线得出DE＝CM即可．【解答】解：连接CM，当CM⊥AB时，CM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小值，理由是：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∴AC•BC＝，∴＝，∴CM＝，∵点D、E分别为CN，MN的中点，∴DE＝CM＝＝，即DE的最小值是，故选：B．【点评】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，三角形的中位线和勾股定理等知识点，熟练垂线段最短和三角形的中位线性质是解此题的关键．5．如图，正方形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、AB、CD上的点，连接DF、DG、E，若HE＝DF，BE＞CH，∠ADG＝∠FDG．当∠BEH＝α时，则∠AGD的度数为（ ）A．α B．90°﹣α C． D．135°﹣α【分析】如图，设EH与DF交于点K，过点A作AM∥EH交CD于点M，交DF于点N，根据正方形性质可得：AB∥CD，AD＝CD，∠ADC＝∠C＝90°，先证明四边形AEHM是平行四边形，再证明Rt△ADM≌Rt△DCF（HL），利用直角三角形两锐角互余和角平分线定义即可求得答案．【解答】解：如图，设EH与DF交于点K，过点A作AM∥EH交CD于点M，交DF于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD＝CD，∠ADC＝∠C＝90°，∴四边形AEHM是平行四边形，∴AM＝HE，∵HE＝DF，∴AM＝DF，在Rt△ADM和Rt△DCF中，，∴Rt△ADM≌Rt△DCF（HL），∴∠AMD＝∠DFC，∵∠CDF+∠DFC＝90°，∴∠CDF+∠AMD＝90°，在△DNM中，∠MND＝180°﹣（∠CDF+∠AMD）＝180°﹣90°＝90°，∵AM∥EH，∴∠DKH＝∠MND＝90°，∵AB∥CD，∠BEH＝α，∴∠DHE＝∠BEH＝α，∴∠CDF＝90°﹣α，∴∠ADF＝∠ADC﹣∠CDF＝α，∵∠ADG＝∠FDG，∴∠ADG＝∠ADF＝α，在Rt△ADG中，∠AGD＝90°﹣∠ADG＝90°﹣．故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义、直角三角形的两个锐角互余等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．6．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（ ）A．25° B．30° C．35° D．40°【分析】由菱形的性质可得BO＝OD，∠DAO＝∠BAO＝25°，AC⊥BD，再由直角三角形的性质得∠ABD＝65°，则∠BDH＝25°，然后由直角三角形斜边上的中线性质可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴BO＝OD，∠DAO＝∠BAO＝25°，AC⊥BD，∴∠ABD＝90°﹣∠BAO＝65°，∵DH⊥AB，BO＝DO，∴∠BDH＝90°﹣∠ABD＝25°，HO＝BD＝DO，∴∠DHO＝∠BDH＝25°，故选：A．【点评】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．如图，在△ABC中，BC＝26，且BD，CE分别是AC，AB上的高，F，G分别是BC，DE的中点，若ED＝10，则FG的长为（ ）A．10 B．12 C．13 D．14【分析】连接EF、DF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得FG⊥ED，，然后利用勾股定理列式计算即可求解．【解答】解：如图：连接EF、DF，，∵F是BC的中点，BD⊥AC，CE⊥AB，∴，∵G是DE的中点，∴FG⊥ED，，在Rt△DGF中，，故选：B．【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，以及勾股定理，作辅助线利用性质是解题的关键．8．如图，▱ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（ ）A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s【分析】过点D作DG⊥AB于点G，由∠A＝45°，可得△ADG是等腰直角三角形，过点F作FH⊥AB于点H，得矩形DGHF，利用勾股定理得EH＝6cm，由题意可得AE＝2t cm，CF＝t cm，然后分两种情况列方程求出t的值即可．【解答】解：在▱ABCD中，CD＝AB＝22cm，AD＝BC＝8cm，如图，过点D作DG⊥AB于点G，∵∠A＝45°，∴△ADG是等腰直角三角形，∴AG＝DG＝AD＝8，过点F作FH⊥AB于点H，得矩形DGHF，∴DG＝FH＝8cm，DF＝GH，∵EF＝10cm，∴EH＝＝6cm，由题意可知：AE＝2t cm，CF＝t cm，∴GE＝AE＝AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE+EH＝（2t﹣8）+6＝（2t﹣2）cm，∴2t﹣2＝22﹣t，解得t＝8，当F点在E点左侧时，由题意可知：AE＝2t cm，CF＝t cm，∴GE＝AE﹣AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE﹣EH＝（2t﹣8）﹣6＝（2t﹣14）cm，∴2t﹣14＝22﹣t，解得t＝12，∵点E到达点B时，两点同时停止运动，∴2t≤22，解得t≤11．∴t＝12不符合题意，舍去，∴EF的长为10cm时点E的运动时间是8s，故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是利用勾股定理得到EH的值．二．填空题（共8小题）9．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA、PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 ．【分析】设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．首先求出OP′，当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值＝2OP′．【解答】解：设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．在Rt△ABC中，BC＝＝＝10，∵∠OCP′＝∠ACB，∠OP′C＝∠CAB，∴△COP′∽△CBA，∴＝，∴＝，∴OP′＝，当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值＝2OP′＝．故答案为．【点评】本题考查平行四边形的性质．直角三角形的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．10．在平面直角坐标系中，长方形ABCD按如图所示放置，O是AD的中点，且A、B、C的坐标分别为（5，0），（5，4），（﹣5，4），点P是BC上的动点，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则点P的坐标为 （﹣2，4）或（﹣3，4）或（3，4） ．【分析】根据矩形的性质和勾股定理即可得到结论．【解答】解：如图，∵A、B、C的坐标分别为（5，0），（5，4），（﹣5，4），∴OD＝OA＝5，AB＝CD＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠CDO＝90°，设BC与y轴交于E，当DP＝DO＝5，∴CP＝＝3，∴PE＝2，∴P（﹣2，4），当OD＝OP＝5时，PE＝＝3，∴P（﹣3.4）或（3，4），综上所述，点P的坐标为（﹣2，4）或（﹣3，4）或（3，4），故答案为：（﹣2，4）或（﹣3，4）或（3，4）．【点评】本题考查了坐标与图形性质，矩形性质，等腰三角形的判定的应用，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意：一定要进行分类讨论．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE＝CF，连接CE，DF，则CE+DF的最小值为 2 ．【分析】先连接BE，将CE+DF转化为CE+BE，再利用将军饮马解决问题即可．【解答】解：如图，连接BE，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠BAE＝∠DCF＝90°，∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE＝DF，∴CE+DF＝CE+BE，如图，作点B关于A点的对称点B'，连接CB'，CB'即为CE+BE的最小值，∵AB＝1，AD＝2，∴BB'＝2，BC＝2，∴B′C＝＝＝2，故答案为：2．【点评】本题考查矩形的性质、勾股定理、将军饮马问题、全等三角形的判定与性质等内容，综合性较强，将CE+DF转化为CE+BE是解题的关键．12．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 ．【分析】连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，根据全等三角形的性质得到PD＝CF＝1，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．【解答】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴AE＝CF＝×2＝1，∵AD∥BC，∴∠DPH＝∠FCH，∵∠DHP＝∠FHC，∵DH＝FH，∴△PDH≌△CFH（AAS），∴PD＝CF＝1，∴AP＝AD﹣PD＝1，∴PE＝＝，∵点G，H分别是EC，FD的中点，∴GH＝EP＝．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质．13．如图：正方形ABCD中，BC＝5，AC为对角线，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，若PB⊥PA，∠1＝∠2，则PC的长度为 ．【分析】设PC＝x（x＞0），先证出△PCB∽△PAC，根据相似三角形的性质可得，，再在Rt△ABP中，利用勾股定理求解即可得．【解答】解：设PC＝x（x＞0），∵正方形ABCD中，BC＝5，AC为对角线，∴，∠ABC＝90°，∠BAC＝∠ACB＝45°，∴∠PCB+∠1＝45°＝∠PAC+∠BAP，∠ABP+∠2＝90°，∵PB⊥PA，∴∠ABP+∠BAP＝90°，∴∠2＝∠BAP，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BAP，∴∠PCB＝∠PAC，在△PCB和△PAC中，，∴△PCB∽△PAC，∴，∴，，在Rt△ABP中，PA2+PB2＝AB2，即，解得或（不符合题意，舍去），即PC的长度为，故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．14．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为 8 ．【分析】由平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，再由DF平分∠ADC，得∠ADF＝∠CDF，则∠DFC＝∠FDC，然后由等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，则四边形ABCD是平行四边形，最后由平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，即可得到结论．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF＝∠CDF，∴∠DFC＝∠CDF，∴CF＝CD，同理BE＝AB，∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∴AB＝BE＝CF＝CD＝5，∴BC＝BE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8，∴AD＝BC＝8，故答案为：8．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的性质、平行四边形的性质等知识，解答本题的关键是判断出BA＝BE＝CF＝CD．15．如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝5，AB＝CF＝3，则CG的长为 ．【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质，可以得到BF和BE的长，然后可以证明△DCG和△EHG全等，然后即可得到CG的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，CD＝AB，DC∥AB，∵AD＝5，AB＝CF＝3，∴CD＝3，BC＝5，∴BF＝BC+CF＝8，∵△BEF是等边三角形，G为DE的中点，∴BF＝BE＝8，DG＝EG，延长CG交BE于点H，∵DC∥AB，∴∠CDG＝∠HEG，在△DCG和△EHG中，，∴△DCG≌△EHG（ASA），∴DC＝EH，CG＝HG，∵CD＝3，BE＝8，∴HE＝3，BH＝5，∵∠CBH＝60°，BC＝BH＝5，∴△CBH是等边三角形，∴CH＝BC＝5，∴CG＝CH＝，故答案为：．【点评】本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．16．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、BC的中点，连接EC、FD，G、H分别是EC、FD的中点，连接GH，若AB＝6，，∠BAD＝150°，则GH＝ ．【分析】连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据平行四边形的性质得AD∥BC，证明△PDH≌△CFH，根据全等三角形的性质得到PD＝CF，CH＝PH，根据勾股定理，含30度角的直角三角形的性质和三角形的中位线定理即可得到结论．【解答】解：如图，连接CH并延长交AD于P，连接PE，过点E作EK⊥DA交DA的延长线于点K，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵点E、F分别是边AB、BC的中点，AB＝6，，∴，，∵AD∥BC，∴∠DPH＝∠FCH，在△PDH与△CFH中，，∴△PDH≌△CFH（AAS），∴，CH＝PH，∴，∵∠BAD＝150°，∴∠EAK＝30°，∴，∴，∴，∴，∵点G是EC的中点，CH＝PH，∴，故答案为：．【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．三．解答题（共7小题）17．如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）连接BD交AC于点O，若BD＝14，AE+CF＝EF，求EG的长．【分析】（1）证△AGE≌△CHF（SAS），得GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，则∠GEF＝∠HFE，得GE∥HF，即可得出结论；（2）先由平行四边形的性质得出OB＝OD＝7，再证出AE＝OE，可得EG是△ABO的中位线，然后利用中位线定理可得EG的长度．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠GAE＝∠HCF，∵点G，H分别是AB，CD的中点，∴AG＝CH，在△AGE和△CHF中，，∴△AGE≌△CHF（SAS），∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，∴∠GEF＝∠HFE，∴GE∥HF，又∵GE＝HF，∴四边形EGFH是平行四边形；（2）解：连接BD交AC于点O，如图：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BD＝14，∴OB＝OD＝7，∵AE＝CF，OA＝OC，∴OE＝OF，∵AE+CF＝EF，AE＝CF，∴2AE＝EF＝2OE，∴AE＝OE，又∵点G是AB的中点，∴EG是△ABO的中位线，∴EG＝OB＝．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握平行四边形判定与的性质及三角形中位线定理是解题的关键．18．如图①▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E和点F．（1）求证：OE＝OF（2）如图②，已知AD＝1，BD＝2，AC＝2，∠DOF＝∠α，①当∠α为多少度时，EF⊥AC？②在①的条件下，连接AF，求△ADF的周长．【分析】（1）证明△DOF≌△BOE即可说明OE＝OF；（2）①利用勾股定理的逆定理证明△ADO是等腰直角三角形，则∠DOA＝45°，若EF⊥AC，则∠α＝45°；②证明AF＝CF，则△ADF周长转化为AD+DC．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB＝OD，AB∥CD．∴∠EBO＝∠FDO．又∵∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF（ASA）．∴OE＝OF；（2）①∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OD＝BD＝1，OA＝AC＝，又AD＝1，∴AD2+OD2＝OA2．∴∠ADO＝90°，∠AOD＝45°．∴∠α＝90°﹣45°＝45．②由（1）可得：EF垂直平分AC，∴AF＝FC，又AB＝＝＝CD，∴△ADF的周长＝AD+DF+FA＝AD+CD＝1+．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理、线段垂直平分线的性质，解题的关键是利用平行四边形中平行线求得角相等或对角线中线段的长度．19．如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．（1）求证：DF∥AC；（2）若BF垂直平分CD，BF＝AE＝2，求BC的长．【分析】（1）连接BD，交AC于点O，证出OE是△BDF的中位线，得OE∥DF，即DF∥AC；（2）求出AB＝3，BE＝AE，则CD＝3，∠BAE＝30°，得CG＝CD＝，∠DCE＝30°，再求出BG的长，然后由勾股定理求解即可．【解答】（1）证明：连接BD，交AC于点O，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，∵BE＝EF，∴OE是△BDF的中位线，∴OE∥DF，即DF∥AC；（2）解：∵EF＝BE，BF＝2，∴BE＝，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠DCE＝∠BAE，∵BF垂直平分CD，∴∠CGE＝90°，CG＝DG，BF⊥AB，∴∠ABE＝90°，∴AB＝＝＝3，BE＝AE，∴CD＝3，∠BAE＝30°，∴CG＝CD＝，∠DCE＝30°，∴EG＝CG＝，∴BG＝BE+EG＝+＝，∴BC＝＝＝3．【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、含30°角的直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理是解题的关键．20．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当线段AB与线段AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，由平行线的性质得出∠ABE＝∠CDF，证出BE＝DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；（2）证出AB＝OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，由三角形中位线定理得出OE∥CG，EF∥CG，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，∵EG＝AE，OA＝OC，∴OE是△ACG的中位线，∴OE∥CG，∴EF∥CG，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21．已知：BD是△ABC的角平分线，点E在AB边上，BE＝BC，过点E作EF∥AC，交BD于点F，连接CF，DE．（1）如图1，求证：四边形CDEF是菱形；（2）如图2，当AC＝BC时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为∠ABD的度数2倍的角．【分析】（1）直接由SAS得出△BDE≌△BDC，得出DE＝DC，∠BDE＝∠BDC．再由SAS证明△BFE≌△BFC，得出EF＝CF．由EF∥AC得出∠EFD＝∠BDC，从而∠EFD＝∠BDE，根据等角对等边得出DE＝EF，从而DE＝EF＝CF＝DC，由菱形的判定可知四边形CDEF是菱形；（2）如图2，利用正方形的性质可得∠DFE＝45°，然后证明∠FEB＝∠CBE＝2∠FBE即可．【解答】（1）证明：在△BDE和△BDC中，，∴△BDE≌△BDC（SAS）；∴DE＝DC，∠BDE＝∠BDC同理△BFE≌△BFC，∴EF＝CF∵EF∥AC∴∠EFD＝∠BDC，∴∠EFD＝∠BDE，∴DE＝EF，∴DE＝EF＝CF＝DC，∴四边形CDEF是菱形；（2）∵四边形CDEF是正方形，∴∠CDE＝∠DEF＝2∠EFD＝90°，∵AC＝BC，∴∠A＝∠CBE，∵∠A+∠AED＝180°﹣90°＝90°，∠AED+∠FEB＝90°，∴∠A＝∠FEB＝∠CBE＝2∠EBF，∵∠ABD+∠FEB＝∠DFE＝45°，∴∠ABD＝15°，∴∠FEB＝30°，∴∠A＝∠ABC＝∠FEB＝30°，∵△BFE≌△BFC，∴∠FEB＝∠FCB＝30°，综上所述，度数为∠ABD的度数2倍的角是∠A，∠ABC，∠FEB，∠FCB．【点评】本题主要考查了全等三角形、菱形的判定，正方形的性质等知识．关键是由SAS得出△BDE≌△BDC．22．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，求∠FPE的度数．【分析】根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形，进而可得出结论．【解答】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PF＝BC，PE＝AD，∵AD＝BC，∴PF＝PE，∴△EPF是等腰三角形．∵∠PEF＝30°，∴∠PEF＝∠PFE＝30°，∴∠FPE＝180°﹣∠PEF﹣∠PFE＝180°﹣30°﹣30°＝120°．【点评】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的知识．23．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形．【分析】（1）根据AAS证△AFE≌△DBE；（2）利用（1）中全等三角形的对应边相等得到AF＝BD．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到AD＝DC，从而得出结论．【解答】证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；（2）由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD．∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．
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