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初中数学人教版七年级上册4.3.1 角精品学案
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这是一份初中数学人教版七年级上册4.3.1 角精品学案，文件包含第18讲角-教师版2024年七上数学同步精品讲义人教版docx、第18讲角-学生版2024年七上数学同步精品讲义人教版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共49页， 欢迎下载使用。
知识点01 角的认识与表示
角的定义：
静态定义：有 公共 端点的两条射线组成的图形叫做角。
动态定义：把一条射线绕着它的 端点 旋转而形成的图形。
角的图示与组成：
角的顶点：两条射线的 交点 叫做角的顶点。
角的边：组成角的 两条射线 是角的边。
角的表示方法：
图1 图2
角的符号：∠
表示方法1：如图1：用表示顶点的大写字母表示。即表示为 ∠O 。（此方法只能用于表示该顶点只有一个角的情况）
表示方法2：如图1,：用三个大写字母表示。即表示为 ∠BOC 。
表示方法3：如图2：用希腊字母或阿拉伯数字表示。即表示为 ∠1或∠β 。
（方法2与方法3适用于任意角）
题型考点：①角的表示。②确定角的数量。
【即学即练1】
1．下列图形中，能用∠O和∠1表示同一个角的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：要是能用∠1，∠O表示同一个角，必须共用角的顶点，且角的两边重合．
选项B、C，D中，∠O表示不明确，不符合题意；
选项A符合题意，
故选：A．
【即学即练2】
2．下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
B、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误；
C、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误；
D、图中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确；
故选：D．
【即学即练3】
3．如图，从点O出发的五条射线，可以组成的角有（ ）
A．4个B．6个C．8个D．10个
【解答】解：从点O出发的五条射线，可以组成的角有：∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE，∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠COD，∠COE，∠DOE，共10个，
故选：D．
【即学即练4】
4．在锐角∠AOB内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角．照此规律，画19条不同的射线，可以画出锐角的个数为（ ）
A．165B．186C．199D．210
【解答】解：∵在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得1+2＝3个锐角；
在锐角∠AOB内部，画2条射线，可得1+2+3＝6个锐角；
在锐角∠AOB内部，画3条射线，可得1+2+3+4＝10个锐角；
…
∴从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是
1+2+3+…+（n+1）＝×（n+1）×（n+2），
∴画19条不同射线，可得锐角×（19+1）×（19+2）＝210．
故选：D．
知识点02 角的单位与换算
角的单位：
角的单位有 度“°” ； 分“′” ； 秒“″” 。
把周角360份等分，平均一份就是 1 度，记作： 1° ，把1°的角进行60份等分，其中一份就是 1分 ，记作： 1′ ，把1′角按60份等分，其中一份就是 1秒 ，记作： 1″ 。
角的单位换算：
1周角＝ 360° ＝ 2 平角，1平角＝ 180° ＝ 2 直角，1直角＝ 90° 。1°＝ 60′ ，
1′＝ 60″ 。
若把以“度”为单位的角化成以“度分秒”来表示，先把不足 1° 的部分化成分，在把不足 1′ 的部分化成秒。
若把“度分秒”为单位的角化为以“度”为单位，先把秒为单位的部分化作分，加上以分为单位的部分，再把他们的和化成以度为单位，加上以度为单位的部分即可。
题型考点：①单位的换算。
【即学即练1】
5．把40°12′36″化为用度表示，下列正确的是（ ）
A．40.11°B．40.21°C．40.16°D．40.26°
【解答】解：∵1′＝60″，
∴36″＝0.6′，
∵1°＝60′，
∴12.6′＝0.21°，
∴40°12′36″＝40.21°，
故选：B．
【即学即练2】
6．把7.26°用度、分、秒表示正确的是（ ）
A．7°2′12″B．7°2′6″C．7°15′36″D．7°15′6″
【解答】解：∵1°＝60′，
∴0.26°＝15.6′，
∵1′＝60″，
∴0.6＝36″，
∴7.26°＝7°15′36″，
故选：C．
【即学即练3】
7．35.15°＝ 35 ° 9 ′ 0 ″；12°15′36″＝ 12.26 °．
【解答】解：∵0.15°＝9′，
∴35.15°＝35°9′；
∵36″＝0.6′，15.6′＝0.26°，
∴12°15′36″＝12.26°，
故答案为：35，9，0；12.26．
知识点03 角的度量与大小比较
量角器的认识：
如图：测量角度数的工具是 量角器 。它是由一个 中心 和两条 0刻度线 以及刻度组成。
角度量方法：
把量角器的中心与角的 顶点 重合，其中一条0刻度线与 角的其中一条边 重合，另一条边所在刻度即为角的度数。从重合的0刻度线读起。
题型考点：①有实际问题抽象出方程。②方程的实际应用。
【即学即练1】
8．用量角器度量∠MON，下列操作正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：量角器的圆心一定要与O重合，
故选：D．
【即学即练2】
9．数学课上，小明和小杰想用量角器测量∠AOB的度数，图①和图②分别是小明和小杰的测量方式，其中操作正确的是（ ）
A．小明B．小杰
C．小明和小杰D．都不正确
【解答】解：小明和小杰想用量角器测量∠AOB的度数，图①和图②分别是小明和小杰的测量方式，其中小明和小杰的测量方式都是正确的，
故选：C．
角的大小比较
方法1：叠合法：把角的 顶点 和 其中一边 重合，角的另一边放在重合边的同一侧，离重合边越远角度越大，反之越小。
方法2：度量法：直角用量角器度量比较。
注意：角的大小只与角两边的张开程度有关，与两边的长度无关。
题型考点：①角的大小比较。
【即学即练1】
10．用“叠合法”比较∠1与∠2的大小，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根据“叠合法”比较∠1与∠2的大小，可知：正确的是D．
故选：D．
【即学即练2】
11．如图，射线OC，OD分别在∠AOB的内部、外部，下列结论错误的是（ ）
A．∠AOB＜∠AODB．∠BOC＜∠AOBC．∠COD＞∠AODD．∠AOB＞∠AOC
【解答】解：A．由题可得，∠AOB＜∠AOD，故本选项正确；
B．由题可得，∠BOC＜∠AOB，故本选项正确；
C．由题可得，∠COD＜∠AOD，故本选项错误；
D．由题可得，∠AOB＞∠AOC，故本选项正确；
故选：C．
知识点04 角的计算
钟面角的计算：
钟面上一大格表示 30° ，一小格表示 12° 。
题型考点：①求钟面时针与分针夹角。
【即学即练1】
12．已知本学期某学校下午上课的时间为14时20分，则此时刻钟表上的时针与分针的夹角为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【解答】解：如图，由钟面角的定义可知，
∠AOC＝∠COD＝，∠AOB＝30°×＝10°，
∴∠BOD＝∠AOC+∠COD﹣∠AOB
＝30°+30°﹣10°
＝50°．
故选：B．
【即学即练2】
13．实验中学上午10：10时通常准时上第三节课，此时时针与分针所夹的角是（ ）
A．105°B．110°C．115°D．120°
【解答】解：由题意得：4×30°﹣10×0.5°
＝120°﹣5°
＝115°，
故选：C．
方向角：
方向角通常用 南偏东 多少度， 南偏西 多少度， 北偏西 多少度， 北偏东 多少度来表示。
题型考点：①方向角的表示
【即学即练1】
14．如图，下列说法中错误的是（ ）
A．OA方向是北偏东30°B．OB方向是北偏西15°
C．OC方向是南偏西25°D．OD方向是东南方向
【解答】解：A、OA方向是北偏东60°，此选项错误；
B、OB方向是北偏西15°，此选项正确；
C、OC方向是南偏西25°，此选项正确；
D、OD方向是东南方向，此选项正确．
错误的只有A．
故选：A．
【即学即练2】
15．如图，下面说法正确的是（ ）
①书店在商场的南偏西45°方向400米处；
②商场在小玲家西偏北30°方向1000米处；
③小玲家在商场东偏南30°方向1000米处；
④小玲家到商场的距离是书店到商场距离的．
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
【解答】解：①书店在商场的南偏西45°方向400米处，故①正确；
②商场在小玲家西偏北30°方向1000米处，故②正确；
③小玲家在商场东偏南30°方向1000米处，故③正确；
④小玲家到商场的距离是书店到商场距离的2.5倍，故④不正确；
所以，上面说法正确的是①②③，
故选：A．
角的等分线：
①角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成 相等 的两个角的射线叫做这个角的平分线。如图：若∠AOC＝∠BOC＝ ∠AOB，则OC是角∠AOB的平分线。反之，若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC＝∠BOC＝ ∠AOB。
②角的三等分线：把角平均分成相等的三份。
③角的四等分线：把角平均分成相等的四份。
以此类推。
角的和、差、倍、分计算：
角的和、差、倍、分与角的计算就是角度的和、差、倍、分与角度的计算。
题型考点：①角度的计算。
【即学即练1】
16．如图，直线AB、CD交于O，OE是∠BOC的平分线且∠BOE＝50°，那么∠AOC＝（ ）°
A．80B．100C．130D．150
【解答】解：∵OE是∠BOC的平分线，
∴∠BOC＝2∠BOE＝100°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝80°，
故选：A．
【即学即练2】
17．如图，两个直角∠AOB，∠COD有相同的顶点O，下列结论：①∠AOC＝∠BOD；②∠AOC+∠BOD＝90°；③若OC平分∠AOB，则OB平分∠COD；④∠AOD的平分线与∠COB的平分线是同一条射线．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝90°﹣∠BOC，∠BOD＝90°﹣∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD，∴①正确；
②∵只有当OC，OB分别为∠AOB和∠COD的平分线时，∠AOC+∠BOD＝90°，∴②错误；
③∵∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠COB＝45°，则∠BOD＝90°﹣45°＝45°
∴OB平分∠COD，∴③正确；
④∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOC＝∠BOD（已证）；
∴∠AOD的平分线与∠COB的平分线是同一条射线，∴④正确；
故选：C．
【即学即练3】
18．如图，已知∠AOB＝90°，OC是∠AOB内任意一条射线，OB，OD分别平分∠COD，∠BOE，下列结论：①∠COD＝∠BOE；②∠COE＝3∠BOD；③∠BOE＝∠AOC；④∠AOC+∠BOD＝90°，其中正确的有（ ）
A．①②④B．①③④C．①②③D．②③④
【解答】解：∵OB，OD分别平分∠COD，∠BOE，
∴∠COB＝∠BOD＝∠DOE，
∴∠COB+∠BOD＝∠BOD+∠DOE，
即：∠COD＝∠BOE，因此①正确；
∠COE＝∠COB+∠BOD+∠DOE＝3∠BOD，因此②正确；
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOC＝90°＝∠AOC+∠BOD，因此④正确；
∵∠AOC≠2∠BOC＝∠BOE，因此③不正确；
故选：A．
【即学即练4】
19．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．
（1）若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数；
（2）若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度数．
【解答】解：（1）∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC＝∠EOC＝×70°＝35°，
∴∠BOD＝∠AOC＝35°；
（2）设∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根据题意得2x+3x＝180°，解得x＝36°，
∴∠EOC＝2x＝72°，
∴∠AOC＝∠EOC＝×72°＝36°，
∴∠BOD＝∠AOC＝36°
【即学即练5】
20．如图，OC是∠AOB的平分线，∠COD＝20°．
（1）若∠AOD＝30°，求∠AOB的度数．
（2）若∠BOD＝2∠AOD，求∠AOB的度数．
【解答】解：（1）∵∠COD＝20°，∠AOD＝30°，
∴∠AOD＝∠COD+∠AOD＝20°+30°＝50°，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOB＝2∠AOD＝100°；
（2）设∠AOD＝x，则∠BOD＝2x，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝3x，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC＝AOB＝x，
∴x﹣x＝20°，
解得x＝40°，
∴∠AOB＝3x＝120°．
知识点05 余角和补角
余角与补角的定义：
如果两个角的和等于 90° ，则这两个角互余。
即若∠1＋∠2＝90°，则 ∠1与∠2互余 或 ∠1是∠2的余角 或 ∠2是∠1的余角 。
如果两个角的和等于 180° ，则这两个角互补。
即若∠1＋∠2＝180°，则 ∠1与∠2互补 或 ∠1是∠2的补角 或 ∠2是∠1的补角 。
余角和补角的性质：
同角的余角 相等 。即∠1的余角是∠2，∠2的余角是∠3，则 ∠1＝∠3 。
同角的补角 相等 。即∠1的补角是∠2，∠2的补角是∠3，则 ∠1＝∠3 。
等角的余角 相等 。即若∠1＝∠2，∠1的余角是∠3，∠2的余角是∠4，则 ∠3＝∠4 。
等角的补角 相等 。即若∠1＝∠2，∠1的补角是∠3，∠2的补角是∠4，则 ∠3＝∠4 。
一个角的补角比这个角的余角大 90° 。
题型考点：①余角与补角有关的计算。
【即学即练1】
21．若∠α＝54°32'，则∠α的余角的大小是（ ）
A．35°38'B．35°28'C．125°28'D．125°38'
【解答】解：∵∠α＝54°32'，
∴∠α的余角是90°﹣54°32'＝89°60'﹣54°32'＝35°28'，
故选：B．
【即学即练2】
22．若∠α与∠β互余，∠α＝72°30'，则∠β的大小是（ ）
A．17°30'B．18°30'C．107°30'D．108°30'
【解答】解：∵∠α与∠β互余，
∴∠α+∠β＝90°，
∵∠α＝72°30'，
∴∠β＝90°﹣∠α＝90°﹣72°30'＝17°30'．
故选：A．
【即学即练3】
23．一个角的余角和这个角的补角互补，则这个角是（ ）
A．锐角B．直角C．钝角D．不能确定
【解答】解：设这个角的度数为α，则余角为90°﹣α，补角为180°﹣α，
由题意得，90°﹣α+（180°﹣α）＝180°，
解得：α＝45°．
故这个角是锐角，
故选：A．
【即学即练4】
24．下列结论：①互补且相等的两个角都是45°；②同角的余角相等；③若∠1+∠2+∠3＝180°，则∠1，∠2，∠3互为补角；④锐角的补角是钝角；⑤锐角的补角比其余角大80°．其中正确的个数为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解答】解：①互补且相等的两个角都是90°，原说法错误，不符合题意；
②同角的余角相等，原说法正确，符合题意；
③根据余角的定义：如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角，得出互为补角是指两个角之间的关系，原说法错误，不符合题意；
④锐角的补角是钝角，原说法正确，符合题意；
⑤锐角的补角比其余角大90°，原说法错误，不符合题意；
综上分析可知，正确的有2个，故A正确．
故选：A．
题型01 角的数量规律
【典例1】
如图，从∠AOB的顶点引出两条射线OC，OD，图中的角共有（ ）
A．3个B．4个C．6个D．7个
【解答】解：先数出以OA为一边的角，再数出以OB、OC、OD为一边的角，把它们加起来．
也可根据公式：来计算，其中，n指从点O发出的射线的条数．
∵图中共有四条射线，
∴图中小于平角的角共有 ＝6个．
故选：C．
【典例2】
如图所示，∠AOB＝90°，则图中锐角有（ ）
A．12个B．14个C．15个D．16个
【解答】解：以OA为始边的锐角有4个，以OF为始边的锐角有4个，以OE为始边的锐角有3个，以OD为始边的锐角有2个，以OC为始边的锐角有1个，
则图中锐角有：4+4+3+2+1＝14（个），
故选：B．
【典例3】
如图①，若在∠AOB的内部以O为端点做一条射线OA1，得到3个角；如图②，若在∠AOB的内部以O为端点做两条射线OA1和OA2，得到6个角……，以此类推，如果在∠AOB的内部以O为端点做n条射线，则图③中角的个数为（ ）
A．n（n+1）B．
C．D．
【解答】解：图①：有3条射线，组成1+2个角；
图②：有4条射线，组成1+2+3个角；
∴当有a条射线，组成个角；
∵图③有n+2条射线，即a＝n+2，
∴组成个角．
故选：B．
【典例4】
如图，在∠AOB内，从图（1）的顶点O画1条射线，图中共有3个角；从图（2）顶点O画2条射线，图中共有6个角，按这样规律继续下去，若从顶点O画29条射线，则图中共有（ ）个角．
A．465B．450C．425D．300
【解答】解：在∠AOB内，从图（1）的顶点O画1条射线，图中共有1+2＝3个角；
从图（2）顶点O画2条射线，图中共有1+2+3＝6个角；
……
若从角的顶点画n条射线，图中共有1+2+3+……+（n+1）＝（n+2）（n+1）个角；
∴从角的顶点画29条射线，图中共有＝（29+2）（29+1）＝465个角；
故选：A．
题型02 角的换算
【典例1】
若∠α＝5.15°，则∠α用度、分、秒表示为（ ）
A．5°15'B．5°1′5″C．5°9′D．5°30′
【解答】解：∠α＝5.15°＝5°+0.15×60′＝5°+9′＝5°9′．
故选：C．
【典例2】
0.25°等于（ ）
A．90′B．60′C．15′D．360′
【解答】解：0.25°＝（0.25×60）′＝15′，
故选：C．
【典例3】
20°13' 12″化为用度表示是（ ）
A．20.12°B．20.2°C．20.20°D．20.22°
【解答】解：20°13'12″＝20.22°．
故选：D．
【典例4】
下列运算正确的是（ ）
A．34.5°＝34°5′B．90°﹣23°45′＝66°15′
C．12°34′×2＝25°18′D．24°24′＝24.04°
【解答】解：A、34.5°＝34°30′，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、90°﹣23°45′＝66°15′，原计算正确，故此选项符合题意；
C、12°34′×2＝24°68′＝25°8′，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、24°24′＝24.4°，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
题型03 角的大小比较
【典例1】
若∠A＝32°18′，∠B＝32°15′30″，∠C＝32.25°，则（ ）
A．∠A＞∠B＞∠CB．∠B＞∠A＞∠CC．∠A＞∠C＞∠BD．∠C＞∠A＞∠B
【解答】解：∵1°＝60′；
∴0.25°＝60′×0.25＝15′；
∴∠C＝32°15′；
∴32°18′＞32°15′30″＞32°15′；
∴∠A＞∠B＞∠C．
故选：A．
【典例2】
如图，若∠AOB＞∠COD，则∠AOD与∠BOC的大小关系是（ ）
A．∠AOD＝∠BOCB．∠AOD＜∠BOCC．∠AOD＞∠BOCD．不能确定
【解答】解：∵∠AOB＞∠COD，
∴∠AOB+∠BOD＞∠COD+∠BOD，
即∠AOD＞∠BOC，
故选：C．
【典例3】
若∠A＝30.25°，∠B＝30°28″，∠C＝30°18'，则有（ ）
A．∠C＞∠A＞∠BB．∠B＞∠A＞∠CC．∠A＞∠C＞∠BD．∠A＞∠B＞∠C
【解答】解：∵∠A＝30.25°＝30°15'，
∴∠C＞∠A＞∠B，
故选：A．
【典例4】
如图1，图2所示，把一副三角板先后放在∠AOB上，则∠AOB的度数可能（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
【解答】解：由图1可得∠AOB＜45°，由图2可得∠AOB＞30°，
∴30°＜∠AOB＜45°，
故选：C．
题型04 角的计算
【典例1】
如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，且∠COD＝25°，则∠AOB等于（ ）
A．50°B．75°C．100°D．120°
【解答】解：∵OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，∠COD＝25°，
∴∠AOD＝∠COD＝25°，∠AOB＝2∠AOC，
∴∠AOB＝2∠AOC＝2（∠AOD+∠COD）＝2×（25°+25°）＝100°，
故选：C．
【典例2】
如图，点O在直线AB上，∠COD＝90°，若∠BOD＝32°，OE平分∠AOC．则∠AOE＝（ ）
A．60°B．61°C．66°D．56°
【解答】解：∵∠COD＝90°，∠BOD＝32°，
∴∠BOC＝∠COD﹣∠BOD＝90°﹣32°＝58°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣58°＝122°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE＝∠AOC＝×122°＝61°．
故选：B．
【典例3】
如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．
（1）求∠AOC的度数；
（2）过点O作射线OD，若∠AOD＝∠AOB，求∠COD的度数．
【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠AOB＝×120°＝40°；
（2）∵∠AOD＝∠AOB，
∴∠AOD＝60°，
当OD在∠AOB内时，
∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°，
当OD在∠AOB外时，
∠COD＝∠AOC+∠AOD＝100°．
故∠COD的度数为20°或100°．
【典例4】
如图，OB是∠AOC内部的一条射线，OM是∠AOB内部的一条射线，ON是∠BOC内部的一条射线．
（1）如图1，若∠AOB＝36°，∠BOC＝110°，OM、ON分别是∠AOB、∠BOC的角平分线，求∠MON的度数；
（2）如图2，若OB平分∠AOC，且∠CON＝2∠AOM，∠BOM：∠AOC＝2：5，则∠BOM和∠BON之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝36°，∠BOC＝110°，OM、ON分别是∠AOB、∠BOC的角平分线，
∴，，
∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝18°+55°＝73°；
（2）∠BOM：∠BON＝4：3．理由如下，
∵∠CON＝2∠AOM，
∴设∠AOM＝α，则∠CON＝2α，
设∠BOM＝x，
∵OB平分∠AOC，
∴α+x＝∠BON+2α，
∴∠BON＝x﹣α，
∵∠BOM：∠AOC＝2：5，
∴x：（α+x+x﹣α+2α）＝2：5，
∴x＝4α，则∠BON＝3α，
∴∠BOM：∠BON＝4：3．
题型05 余角与补角
【典例1】
如果一个角的余角是55°，那么这个角的补角的度数是（ ）
A．145°B．125°C．90°D．35°
【解答】解：∵一个角的余角是55°，则这个角为35°，
∴这个角的补角的度数是180°﹣35°＝145°．
故选：A．
【典例2】
若∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，则∠1与∠3的关系满足（ ）
A．∠1﹣∠3＝90°B．∠1+∠3＝90°
C．∠1+∠3＝180°D．∠1＝∠3
【解答】解：∵∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，
∴∠1＝∠3．
故选：D．
【典例3】
已知∠1与∠2互余，若∠2＝29°20'，则∠1的度数等于（ ）
A．61°40'B．60°80'C．60°40'D．29°20'
【解答】解：∵∠1与∠2互余，∠2＝29°20'，
∴∠1＝90°﹣∠2＝60°40'，
故选：C．
【典例4】
若一个角的余角是它的补角的，则这个角的度数是（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【解答】解：设这个角为α，则它的余角为90°﹣α，它的补角为180°﹣α．
由题意得，90°﹣α＝（180°﹣α），
解得：α＝30°．
故这个角的度数为30°．
故选：A．
【典例5】
已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β﹣∠γ的度数为（ ）
A．180°B．90°C．45°D．无法确定
【解答】解：∵∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，
∴∠α+∠β＝180°，∠α+∠γ＝90°，
∴∠β＝180°﹣∠α，∠γ＝90°﹣∠α，
∴∠β﹣∠γ＝180°﹣∠α﹣（90°﹣∠α）＝90°，
故选：B．
1．若∠A＝50°，则∠A的补角为（ ）
A．40°B．140°C．130°D．50°
【解答】解：∵∠A＝50°，
∴∠A的补角＝180°﹣∠A
＝180°﹣50°
＝130°，
故选：C．
2．钟表上从早上6点30分到早上8点10分时针所走的度数为（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
【解答】解：由题意得：
1.5×30°+10×0.5°
＝45°+5°
＝50°，
故选：B．
3．下列说法中正确的有（ ）
①在时刻8：30时，时钟上的时针与分针的夹角是75°；②线段AB的长度就是A，B两点间的距离；③若点P使AP＝PB，则P是AB的中点；④1°＝3600′．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①在时刻8：30时，时钟上的时针与分针的夹角是75°，故①正确；
②线段AB的长度就是A，B两点间的距离，故②正确；
③若点P在AB上，且使AP＝PB，则P是AB的中点，故③不正确；
④1°＝60′，故④不正确；
所以，上列说法中正确的有2个，
故选：B．
4．如图，∠AOB＝15°，∠AOC＝90°，点B，O，D在同一直线上，则∠COD的度数为（ ）
A．75°B．15°C．105°D．165°
【解答】解：∵∠AOB＝15°，∠AOC＝90°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝75°，
∴∠COD＝180°﹣∠BOC＝105°，
故选：C．
5．如图，A处在B处的西北方向，A处在C处的南偏西80°方向，从A处观测B，C两处的视角∠BAC的大小是（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【解答】解：如图，
根据题意可知，∠ABD＝45°，∠ACE＝80°，
∵AD∥CE，
∴∠ADB＝∠ACE＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝180°﹣45°﹣80°＝55°．
故选：B．
6．如图，射线OC平分∠AOB，射线OD平分∠BOC，则下列等式中成立的有（ ）
①∠COD＝∠AOD﹣∠BOC；
②∠COD＝∠AOD﹣∠BOD；
③2∠COD＝2∠AOD﹣∠AOB；
④．
A．①②B．①③C．②③D．②④
【解答】解：∵OC平分∠AOB，OD平分∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOC，∠COD＝∠BOD，
∵∠COD＝∠AOD﹣∠AOC，∠AOC＝∠BOC，
∴∠COD＝∠AOD﹣∠BOC，
故①正确；
∵∠BOD≠∠BOC，
∴∠COD≠∠AOD﹣∠BOD，
故②错误；
∵∠AOD＝∠AOC+∠COD，
∴2∠AOD＝2（∠AOC+∠COD）＝∠AOB+2∠COD，
∴2∠AOD﹣∠AOB＝∠AOB+2∠COD﹣∠AOB＝2∠COD，
∴2∠COD＝2∠AOD﹣∠AOB，
故③正确；
∵，
∴，
故④错误；
故选：B．
7．如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则∠1、∠2、∠3三个角的数量关系为（ ）
A．∠1+∠2+∠3＝90°B．∠1+∠2﹣∠3＝90°
C．∠1﹣∠2+∠3＝90°D．∠1+2∠2﹣∠3＝90°
【解答】解：∵将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，
∴∠BOC+∠2＝90°，
∠BOC+∠4＝90°，
∴∠2＝∠4，
又∵∠1+∠4+∠3＝90°，∴∠1+∠2+∠3＝90°，
故选：A．
8．已知三条射线OA、OB、OC，若其中一条射线平分另两条射线所组成的角时，我们称OA、OB、OC组成的图形为“角分图形”，如图（1），当OB平分∠AOC时，图（1）为角分图形．如图（2），点O是直线MN上一点，∠DON＝70°，射线OM绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转至OM1，设时间为t（0≤t≤36），当t为何值时，图中存在角分图形．小明认为t＝29s，小亮认为t＝11s，你认为正确的答案为（ ）
A．小明
B．小亮
C．两人合在一起才正确
D．两人合在一起也不正确
【解答】解：∵∠DON＝70°，
∴∠MOD＝180°﹣∠DON＝180°﹣70°＝110°，
当OM1平分∠MOD时，则∠MOM1＝∠MOD＝×110°＝55°，
∵射线OM绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，
∴旋转所用的时间为：t＝55÷5＝11（s），
故小亮正确；
当OM1平分∠DON时，则∠DOM1＝∠DON＝×70°＝35°，
∴∠MOM1＝∠MOD+∠DOM1＝110°+35°＝145°．
∵射线OM绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，
∴旋转所用的时间为：t＝145÷5＝29（s），
故小明正确，
但是，小明和小亮均忽略了当OM1平分∠MON的情况，
∴当OM1平分∠MON时，则∠MOM1＝∠MON＝×180°＝90°，
∵射线OM绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，
∴旋转所用的时间为：t＝90÷5＝18（s），
综上所述：当t为11或18或29s时，图中存在角分图形．
故选：D．
9．如图，已知∠COD＝∠AOB＝75°，当∠COD绕着点O旋转且OC在∠AOB内部时，∠AOD+∠BOC＝ 150° ．
【解答】解：∵∠COD＝∠AOB＝75°，
当∠COD绕着点O旋转且OC在∠AOB内部时，
则有∠BOC＝∠COD﹣∠BOD，∠AOD＝∠AOB+∠BOD，
∴∠AOD+∠BOC
＝∠AOB+∠BOD+∠COD﹣∠BOD
＝∠AOB+∠COD＝150°．
10．102.43°＝ 102 度 25 分 48 秒．
【解答】解：102.43°＝102度25分48秒．
故答案为：102，25，48．
11．如图，O是直线AB上的点，OD是∠COB的平分线，若∠AOC＝40°，则∠BOD＝ 70 °．
【解答】解：∵∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°，
∵OD是∠COB的平分线，
∴，
故答案为：70．
12．一个角的余角比它的补角的多12°，则这个角为 27° ．
【解答】解：设这个角的度数为x．
由题意得，90°﹣x＝．
x＝27°．
∴这个角为27°．
故答案为：27°．
13．如图，O是直线CE上一点，以O为顶点作∠AOB＝90°，且OA，OB位于直线CE两侧，OB平分∠COD．
（1）当∠AOC＝50°时，求∠DOE的度数；
（2）请你猜想∠AOC和∠DOE的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝50°，
∴∠BOC＝90°﹣50°＝40°，
∵OB平分∠COD，
∴∠BOC＝∠BOD＝40°，
∴∠DOE＝180°﹣40°﹣40°＝100°；
（2）∠DOE＝2∠AOC，理由如下：
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC＝90°﹣∠AOC，
∵OB平分∠COD，
∴∠BOC＝∠BOD＝90°﹣∠AOC，
∴∠DOE＝180°﹣2∠BOC＝180°﹣2（90°﹣∠AOC），即∠DOE＝2∠AOC．
14．【问题情境】利用旋转开展数学活动，探究体会角在旋转过程中的变化．
【操作发现】如图①，∠AOB＝∠COD＝90°且两个角重合．
（1）将∠COD绕着顶点O顺时针旋转45°如图②，此时OB平分∠ COD ；∠BOC的余角有 2 个（本身除外），分别是 ∠AOC和∠BOD ．
【实践探究】
（2）将∠COD绕着顶点O顺时针继续旋转如图③位置，若∠BOC＝45°，射线OE在∠BOC内部，且∠BOC＝3∠BOE请探究：
①求∠DOE的度数．
②∠BOC的补角分别是： ∠AOC、∠BOD、∠AOD ．
【解答】解：（1）由旋转的性质得：∠AOC＝∠BOD＝45°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠COB＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣45°＝45°，
∴∠COB＝∠BOD＝45°，
∴OB平分∠COD；
∵∠BOC+∠AOC＝90°，∠BOC+∠BOD＝90°，
∴∠BOC的余角有2个，分别是：∠AOC和∠BOD；
故答案为：COD，2，∠AOC和∠BOD．
（2）①∵∠BOC＝45°，∠BOC＝3∠BOE，
∴∠BOE＝1/3∠BOC＝1/2×45°＝15°，
∴∠COE＝∠BOC﹣∠BOE＝45°﹣15°＝30°，
又∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝90°+30°＝120°，
②∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOC＝45°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+45°＝135°，
∴∠AOC+∠BOC＝135°+45°＝180°，
∴∠BOC的补角是∠AOC；
∵∠BOD＝∠BOC+∠COD＝45°+90°＝135°，
∴∠BOD+∠BOC＝135°+45°＝180°，
∴∠BOC的补角是∠BOD；
∵∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣90°﹣45°﹣90°＝135°，
∴∠AOD+∠BOC＝135°+45°＝180°，
∴∠BOC的补角是∠AOD；
综上所述：∠BOC的补角是∠AOC、∠BOD、∠AOD．
故答案为：∠AOC、∠BOD、∠AOD．
15．新定义：如果∠MON的内部有一条射线OP将∠MON分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线OP为∠MON的n倍分线，例如，如图1，∠MOP＝4∠NOP，则OP为∠MON的4倍分线．∠NOQ＝4∠MOQ，则OQ也是∠MON的4倍分线．
（1）应用：若∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA，则∠BOP＝ 40 °；
（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，OC为直线AB上方的一条射线．
①若OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB）已知，∠AOC＝120°，则∠POQ＝ 135 °；
②在①的条件下，若∠AOC＝α，∠POQ的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．
③如图3，已知∠MON＝90°，且OM，ON所在射线恰好是分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，请直接写出∠AOC的度数．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA，
∴∠BOP＝2∠AOP，∠BOP+∠AOP＝60°，
∴∠AOP＝20°，
∴∠BOP＝40°，
故答案为：40；
（2）①∵OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB），
∴∠COP＝3∠AOP，∠COQ＝3∠BOQ，
∵∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOP＝30°，∠BOQ＝15°，
∴∠COP＝90°，∠COQ＝45°，
∴∠POQ＝∠POC+∠COQ＝135°，
故答案为：135；
②不变，
∵OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB，
∴，，
∴∠POQ＝∠COP+∠COQ，＝，＝，＝，＝，＝135°；
③设∠MOC＝α，
∵∠MON＝90°，
∴∠NOC＝90°﹣α，
∵OM，ON所在射线恰好是分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，
∴∠COM＝3∠AOM，∠BON＝3∠CON，
∵∠AOM+∠COM+∠CON+∠BON＝180°，
∴，
∴α＝67.5°，
∴∠MOC＝67.5°，∠MOA＝22.5°，
∴∠AOC＝90°．
课程标准
学习目标
①角的认识
②角的单位与换算
③角的度量与大小比较
④角的计算
⑤余角和补角
掌握角的定义及其表示方法，能够熟练的表示角，判断角。
掌握角单位及其换算，能够熟练的进行换算。
掌握角的度量方法，并能够正确的进行大小比较。
掌握角的计算，并能够熟练的进行有关计算。
掌握余角与补角的概念及其性质，并能够熟练的对其应用。
知识点01 角的认识与表示
角的定义：
静态定义：有 公共 端点的两条射线组成的图形叫做角。
动态定义：把一条射线绕着它的 端点 旋转而形成的图形。
角的图示与组成：
角的顶点：两条射线的 交点 叫做角的顶点。
角的边：组成角的 两条射线 是角的边。
角的表示方法：
图1 图2
角的符号：∠
表示方法1：如图1：用表示顶点的大写字母表示。即表示为 ∠O 。（此方法只能用于表示该顶点只有一个角的情况）
表示方法2：如图1,：用三个大写字母表示。即表示为 ∠BOC 。
表示方法3：如图2：用希腊字母或阿拉伯数字表示。即表示为 ∠1或∠β 。
（方法2与方法3适用于任意角）
题型考点：①角的表示。②确定角的数量。
【即学即练1】
1．下列图形中，能用∠O和∠1表示同一个角的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：要是能用∠1，∠O表示同一个角，必须共用角的顶点，且角的两边重合．
选项B、C，D中，∠O表示不明确，不符合题意；
选项A符合题意，
故选：A．
【即学即练2】
2．下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
B、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误；
C、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误；
D、图中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确；
故选：D．
【即学即练3】
3．如图，从点O出发的五条射线，可以组成的角有（ ）
A．4个B．6个C．8个D．10个
【解答】解：从点O出发的五条射线，可以组成的角有：∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE，∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠COD，∠COE，∠DOE，共10个，
故选：D．
【即学即练4】
4．在锐角∠AOB内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角．照此规律，画19条不同的射线，可以画出锐角的个数为（ ）
A．165B．186C．199D．210
【解答】解：∵在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得1+2＝3个锐角；
在锐角∠AOB内部，画2条射线，可得1+2+3＝6个锐角；
在锐角∠AOB内部，画3条射线，可得1+2+3+4＝10个锐角；
…
∴从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是
1+2+3+…+（n+1）＝×（n+1）×（n+2），
∴画19条不同射线，可得锐角×（19+1）×（19+2）＝210．
故选：D．
知识点02 角的单位与换算
角的单位：
角的单位有 度“°” ； 分“′” ； 秒“″” 。
把周角360份等分，平均一份就是 1 度，记作： 1° ，把1°的角进行60份等分，其中一份就是 1分 ，记作： 1′ ，把1′角按60份等分，其中一份就是 1秒 ，记作： 1″ 。
角的单位换算：
1周角＝ 360° ＝ 2 平角，1平角＝ 180° ＝ 2 直角，1直角＝ 90° 。1°＝ 60′ ，
1′＝ 60″ 。
若把以“度”为单位的角化成以“度分秒”来表示，先把不足 1° 的部分化成分，在把不足 1′ 的部分化成秒。
若把“度分秒”为单位的角化为以“度”为单位，先把秒为单位的部分化作分，加上以分为单位的部分，再把他们的和化成以度为单位，加上以度为单位的部分即可。
题型考点：①单位的换算。
【即学即练1】
5．把40°12′36″化为用度表示，下列正确的是（ ）
A．40.11°B．40.21°C．40.16°D．40.26°
【解答】解：∵1′＝60″，
∴36″＝0.6′，
∵1°＝60′，
∴12.6′＝0.21°，
∴40°12′36″＝40.21°，
故选：B．
【即学即练2】
6．把7.26°用度、分、秒表示正确的是（ ）
A．7°2′12″B．7°2′6″C．7°15′36″D．7°15′6″
【解答】解：∵1°＝60′，
∴0.26°＝15.6′，
∵1′＝60″，
∴0.6＝36″，
∴7.26°＝7°15′36″，
故选：C．
【即学即练3】
7．35.15°＝ 35 ° 9 ′ 0 ″；12°15′36″＝ 12.26 °．
【解答】解：∵0.15°＝9′，
∴35.15°＝35°9′；
∵36″＝0.6′，15.6′＝0.26°，
∴12°15′36″＝12.26°，
故答案为：35，9，0；12.26．
知识点03 角的度量与大小比较
量角器的认识：
如图：测量角度数的工具是 量角器 。它是由一个 中心 和两条 0刻度线 以及刻度组成。
角度量方法：
把量角器的中心与角的 顶点 重合，其中一条0刻度线与 角的其中一条边 重合，另一条边所在刻度即为角的度数。从重合的0刻度线读起。
题型考点：①有实际问题抽象出方程。②方程的实际应用。
【即学即练1】
8．用量角器度量∠MON，下列操作正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：量角器的圆心一定要与O重合，
故选：D．
【即学即练2】
9．数学课上，小明和小杰想用量角器测量∠AOB的度数，图①和图②分别是小明和小杰的测量方式，其中操作正确的是（ ）
A．小明B．小杰
C．小明和小杰D．都不正确
【解答】解：小明和小杰想用量角器测量∠AOB的度数，图①和图②分别是小明和小杰的测量方式，其中小明和小杰的测量方式都是正确的，
故选：C．
角的大小比较
方法1：叠合法：把角的 顶点 和 其中一边 重合，角的另一边放在重合边的同一侧，离重合边越远角度越大，反之越小。
方法2：度量法：直角用量角器度量比较。
注意：角的大小只与角两边的张开程度有关，与两边的长度无关。
题型考点：①角的大小比较。
【即学即练1】
10．用“叠合法”比较∠1与∠2的大小，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根据“叠合法”比较∠1与∠2的大小，可知：正确的是D．
故选：D．
【即学即练2】
11．如图，射线OC，OD分别在∠AOB的内部、外部，下列结论错误的是（ ）
A．∠AOB＜∠AODB．∠BOC＜∠AOBC．∠COD＞∠AODD．∠AOB＞∠AOC
【解答】解：A．由题可得，∠AOB＜∠AOD，故本选项正确；
B．由题可得，∠BOC＜∠AOB，故本选项正确；
C．由题可得，∠COD＜∠AOD，故本选项错误；
D．由题可得，∠AOB＞∠AOC，故本选项正确；
故选：C．
知识点04 角的计算
钟面角的计算：
钟面上一大格表示 30° ，一小格表示 12° 。
题型考点：①求钟面时针与分针夹角。
【即学即练1】
12．已知本学期某学校下午上课的时间为14时20分，则此时刻钟表上的时针与分针的夹角为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【解答】解：如图，由钟面角的定义可知，
∠AOC＝∠COD＝，∠AOB＝30°×＝10°，
∴∠BOD＝∠AOC+∠COD﹣∠AOB
＝30°+30°﹣10°
＝50°．
故选：B．
【即学即练2】
13．实验中学上午10：10时通常准时上第三节课，此时时针与分针所夹的角是（ ）
A．105°B．110°C．115°D．120°
【解答】解：由题意得：4×30°﹣10×0.5°
＝120°﹣5°
＝115°，
故选：C．
方向角：
方向角通常用 南偏东 多少度， 南偏西 多少度， 北偏西 多少度， 北偏东 多少度来表示。
题型考点：①方向角的表示
【即学即练1】
14．如图，下列说法中错误的是（ ）
A．OA方向是北偏东30°B．OB方向是北偏西15°
C．OC方向是南偏西25°D．OD方向是东南方向
【解答】解：A、OA方向是北偏东60°，此选项错误；
B、OB方向是北偏西15°，此选项正确；
C、OC方向是南偏西25°，此选项正确；
D、OD方向是东南方向，此选项正确．
错误的只有A．
故选：A．
【即学即练2】
15．如图，下面说法正确的是（ ）
①书店在商场的南偏西45°方向400米处；
②商场在小玲家西偏北30°方向1000米处；
③小玲家在商场东偏南30°方向1000米处；
④小玲家到商场的距离是书店到商场距离的．
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
【解答】解：①书店在商场的南偏西45°方向400米处，故①正确；
②商场在小玲家西偏北30°方向1000米处，故②正确；
③小玲家在商场东偏南30°方向1000米处，故③正确；
④小玲家到商场的距离是书店到商场距离的2.5倍，故④不正确；
所以，上面说法正确的是①②③，
故选：A．
角的等分线：
①角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成 相等 的两个角的射线叫做这个角的平分线。如图：若∠AOC＝∠BOC＝ ∠AOB，则OC是角∠AOB的平分线。反之，若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC＝∠BOC＝ ∠AOB。
②角的三等分线：把角平均分成相等的三份。
③角的四等分线：把角平均分成相等的四份。
以此类推。
角的和、差、倍、分计算：
角的和、差、倍、分与角的计算就是角度的和、差、倍、分与角度的计算。
题型考点：①角度的计算。
【即学即练1】
16．如图，直线AB、CD交于O，OE是∠BOC的平分线且∠BOE＝50°，那么∠AOC＝（ ）°
A．80B．100C．130D．150
【解答】解：∵OE是∠BOC的平分线，
∴∠BOC＝2∠BOE＝100°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝80°，
故选：A．
【即学即练2】
17．如图，两个直角∠AOB，∠COD有相同的顶点O，下列结论：①∠AOC＝∠BOD；②∠AOC+∠BOD＝90°；③若OC平分∠AOB，则OB平分∠COD；④∠AOD的平分线与∠COB的平分线是同一条射线．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝90°﹣∠BOC，∠BOD＝90°﹣∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD，∴①正确；
②∵只有当OC，OB分别为∠AOB和∠COD的平分线时，∠AOC+∠BOD＝90°，∴②错误；
③∵∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠COB＝45°，则∠BOD＝90°﹣45°＝45°
∴OB平分∠COD，∴③正确；
④∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOC＝∠BOD（已证）；
∴∠AOD的平分线与∠COB的平分线是同一条射线，∴④正确；
故选：C．
【即学即练3】
18．如图，已知∠AOB＝90°，OC是∠AOB内任意一条射线，OB，OD分别平分∠COD，∠BOE，下列结论：①∠COD＝∠BOE；②∠COE＝3∠BOD；③∠BOE＝∠AOC；④∠AOC+∠BOD＝90°，其中正确的有（ ）
A．①②④B．①③④C．①②③D．②③④
【解答】解：∵OB，OD分别平分∠COD，∠BOE，
∴∠COB＝∠BOD＝∠DOE，
∴∠COB+∠BOD＝∠BOD+∠DOE，
即：∠COD＝∠BOE，因此①正确；
∠COE＝∠COB+∠BOD+∠DOE＝3∠BOD，因此②正确；
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOC＝90°＝∠AOC+∠BOD，因此④正确；
∵∠AOC≠2∠BOC＝∠BOE，因此③不正确；
故选：A．
【即学即练4】
19．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．
（1）若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数；
（2）若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度数．
【解答】解：（1）∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC＝∠EOC＝×70°＝35°，
∴∠BOD＝∠AOC＝35°；
（2）设∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根据题意得2x+3x＝180°，解得x＝36°，
∴∠EOC＝2x＝72°，
∴∠AOC＝∠EOC＝×72°＝36°，
∴∠BOD＝∠AOC＝36°
【即学即练5】
20．如图，OC是∠AOB的平分线，∠COD＝20°．
（1）若∠AOD＝30°，求∠AOB的度数．
（2）若∠BOD＝2∠AOD，求∠AOB的度数．
【解答】解：（1）∵∠COD＝20°，∠AOD＝30°，
∴∠AOD＝∠COD+∠AOD＝20°+30°＝50°，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOB＝2∠AOD＝100°；
（2）设∠AOD＝x，则∠BOD＝2x，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝3x，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC＝AOB＝x，
∴x﹣x＝20°，
解得x＝40°，
∴∠AOB＝3x＝120°．
知识点05 余角和补角
余角与补角的定义：
如果两个角的和等于 90° ，则这两个角互余。
即若∠1＋∠2＝90°，则 ∠1与∠2互余 或 ∠1是∠2的余角 或 ∠2是∠1的余角 。
如果两个角的和等于 180° ，则这两个角互补。
即若∠1＋∠2＝180°，则 ∠1与∠2互补 或 ∠1是∠2的补角 或 ∠2是∠1的补角 。
余角和补角的性质：
同角的余角 相等 。即∠1的余角是∠2，∠2的余角是∠3，则 ∠1＝∠3 。
同角的补角 相等 。即∠1的补角是∠2，∠2的补角是∠3，则 ∠1＝∠3 。
等角的余角 相等 。即若∠1＝∠2，∠1的余角是∠3，∠2的余角是∠4，则 ∠3＝∠4 。
等角的补角 相等 。即若∠1＝∠2，∠1的补角是∠3，∠2的补角是∠4，则 ∠3＝∠4 。
一个角的补角比这个角的余角大 90° 。
题型考点：①余角与补角有关的计算。
【即学即练1】
21．若∠α＝54°32'，则∠α的余角的大小是（ ）
A．35°38'B．35°28'C．125°28'D．125°38'
【解答】解：∵∠α＝54°32'，
∴∠α的余角是90°﹣54°32'＝89°60'﹣54°32'＝35°28'，
故选：B．
【即学即练2】
22．若∠α与∠β互余，∠α＝72°30'，则∠β的大小是（ ）
A．17°30'B．18°30'C．107°30'D．108°30'
【解答】解：∵∠α与∠β互余，
∴∠α+∠β＝90°，
∵∠α＝72°30'，
∴∠β＝90°﹣∠α＝90°﹣72°30'＝17°30'．
故选：A．
【即学即练3】
23．一个角的余角和这个角的补角互补，则这个角是（ ）
A．锐角B．直角C．钝角D．不能确定
【解答】解：设这个角的度数为α，则余角为90°﹣α，补角为180°﹣α，
由题意得，90°﹣α+（180°﹣α）＝180°，
解得：α＝45°．
故这个角是锐角，
故选：A．
【即学即练4】
24．下列结论：①互补且相等的两个角都是45°；②同角的余角相等；③若∠1+∠2+∠3＝180°，则∠1，∠2，∠3互为补角；④锐角的补角是钝角；⑤锐角的补角比其余角大80°．其中正确的个数为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解答】解：①互补且相等的两个角都是90°，原说法错误，不符合题意；
②同角的余角相等，原说法正确，符合题意；
③根据余角的定义：如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角，得出互为补角是指两个角之间的关系，原说法错误，不符合题意；
④锐角的补角是钝角，原说法正确，符合题意；
⑤锐角的补角比其余角大90°，原说法错误，不符合题意；
综上分析可知，正确的有2个，故A正确．
故选：A．
题型01 角的数量规律
【典例1】
如图，从∠AOB的顶点引出两条射线OC，OD，图中的角共有（ ）
A．3个B．4个C．6个D．7个
【解答】解：先数出以OA为一边的角，再数出以OB、OC、OD为一边的角，把它们加起来．
也可根据公式：来计算，其中，n指从点O发出的射线的条数．
∵图中共有四条射线，
∴图中小于平角的角共有 ＝6个．
故选：C．
【典例2】
如图所示，∠AOB＝90°，则图中锐角有（ ）
A．12个B．14个C．15个D．16个
【解答】解：以OA为始边的锐角有4个，以OF为始边的锐角有4个，以OE为始边的锐角有3个，以OD为始边的锐角有2个，以OC为始边的锐角有1个，
则图中锐角有：4+4+3+2+1＝14（个），
故选：B．
【典例3】
如图①，若在∠AOB的内部以O为端点做一条射线OA1，得到3个角；如图②，若在∠AOB的内部以O为端点做两条射线OA1和OA2，得到6个角……，以此类推，如果在∠AOB的内部以O为端点做n条射线，则图③中角的个数为（ ）
A．n（n+1）B．
C．D．
【解答】解：图①：有3条射线，组成1+2个角；
图②：有4条射线，组成1+2+3个角；
∴当有a条射线，组成个角；
∵图③有n+2条射线，即a＝n+2，
∴组成个角．
故选：B．
【典例4】
如图，在∠AOB内，从图（1）的顶点O画1条射线，图中共有3个角；从图（2）顶点O画2条射线，图中共有6个角，按这样规律继续下去，若从顶点O画29条射线，则图中共有（ ）个角．
A．465B．450C．425D．300
【解答】解：在∠AOB内，从图（1）的顶点O画1条射线，图中共有1+2＝3个角；
从图（2）顶点O画2条射线，图中共有1+2+3＝6个角；
……
若从角的顶点画n条射线，图中共有1+2+3+……+（n+1）＝（n+2）（n+1）个角；
∴从角的顶点画29条射线，图中共有＝（29+2）（29+1）＝465个角；
故选：A．
题型02 角的换算
【典例1】
若∠α＝5.15°，则∠α用度、分、秒表示为（ ）
A．5°15'B．5°1′5″C．5°9′D．5°30′
【解答】解：∠α＝5.15°＝5°+0.15×60′＝5°+9′＝5°9′．
故选：C．
【典例2】
0.25°等于（ ）
A．90′B．60′C．15′D．360′
【解答】解：0.25°＝（0.25×60）′＝15′，
故选：C．
【典例3】
20°13' 12″化为用度表示是（ ）
A．20.12°B．20.2°C．20.20°D．20.22°
【解答】解：20°13'12″＝20.22°．
故选：D．
【典例4】
下列运算正确的是（ ）
A．34.5°＝34°5′B．90°﹣23°45′＝66°15′
C．12°34′×2＝25°18′D．24°24′＝24.04°
【解答】解：A、34.5°＝34°30′，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、90°﹣23°45′＝66°15′，原计算正确，故此选项符合题意；
C、12°34′×2＝24°68′＝25°8′，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、24°24′＝24.4°，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
题型03 角的大小比较
【典例1】
若∠A＝32°18′，∠B＝32°15′30″，∠C＝32.25°，则（ ）
A．∠A＞∠B＞∠CB．∠B＞∠A＞∠CC．∠A＞∠C＞∠BD．∠C＞∠A＞∠B
【解答】解：∵1°＝60′；
∴0.25°＝60′×0.25＝15′；
∴∠C＝32°15′；
∴32°18′＞32°15′30″＞32°15′；
∴∠A＞∠B＞∠C．
故选：A．
【典例2】
如图，若∠AOB＞∠COD，则∠AOD与∠BOC的大小关系是（ ）
A．∠AOD＝∠BOCB．∠AOD＜∠BOCC．∠AOD＞∠BOCD．不能确定
【解答】解：∵∠AOB＞∠COD，
∴∠AOB+∠BOD＞∠COD+∠BOD，
即∠AOD＞∠BOC，
故选：C．
【典例3】
若∠A＝30.25°，∠B＝30°28″，∠C＝30°18'，则有（ ）
A．∠C＞∠A＞∠BB．∠B＞∠A＞∠CC．∠A＞∠C＞∠BD．∠A＞∠B＞∠C
【解答】解：∵∠A＝30.25°＝30°15'，
∴∠C＞∠A＞∠B，
故选：A．
【典例4】
如图1，图2所示，把一副三角板先后放在∠AOB上，则∠AOB的度数可能（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
【解答】解：由图1可得∠AOB＜45°，由图2可得∠AOB＞30°，
∴30°＜∠AOB＜45°，
故选：C．
题型04 角的计算
【典例1】
如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，且∠COD＝25°，则∠AOB等于（ ）
A．50°B．75°C．100°D．120°
【解答】解：∵OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，∠COD＝25°，
∴∠AOD＝∠COD＝25°，∠AOB＝2∠AOC，
∴∠AOB＝2∠AOC＝2（∠AOD+∠COD）＝2×（25°+25°）＝100°，
故选：C．
【典例2】
如图，点O在直线AB上，∠COD＝90°，若∠BOD＝32°，OE平分∠AOC．则∠AOE＝（ ）
A．60°B．61°C．66°D．56°
【解答】解：∵∠COD＝90°，∠BOD＝32°，
∴∠BOC＝∠COD﹣∠BOD＝90°﹣32°＝58°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣58°＝122°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE＝∠AOC＝×122°＝61°．
故选：B．
【典例3】
如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．
（1）求∠AOC的度数；
（2）过点O作射线OD，若∠AOD＝∠AOB，求∠COD的度数．
【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠AOB＝×120°＝40°；
（2）∵∠AOD＝∠AOB，
∴∠AOD＝60°，
当OD在∠AOB内时，
∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°，
当OD在∠AOB外时，
∠COD＝∠AOC+∠AOD＝100°．
故∠COD的度数为20°或100°．
【典例4】
如图，OB是∠AOC内部的一条射线，OM是∠AOB内部的一条射线，ON是∠BOC内部的一条射线．
（1）如图1，若∠AOB＝36°，∠BOC＝110°，OM、ON分别是∠AOB、∠BOC的角平分线，求∠MON的度数；
（2）如图2，若OB平分∠AOC，且∠CON＝2∠AOM，∠BOM：∠AOC＝2：5，则∠BOM和∠BON之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝36°，∠BOC＝110°，OM、ON分别是∠AOB、∠BOC的角平分线，
∴，，
∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝18°+55°＝73°；
（2）∠BOM：∠BON＝4：3．理由如下，
∵∠CON＝2∠AOM，
∴设∠AOM＝α，则∠CON＝2α，
设∠BOM＝x，
∵OB平分∠AOC，
∴α+x＝∠BON+2α，
∴∠BON＝x﹣α，
∵∠BOM：∠AOC＝2：5，
∴x：（α+x+x﹣α+2α）＝2：5，
∴x＝4α，则∠BON＝3α，
∴∠BOM：∠BON＝4：3．
题型05 余角与补角
【典例1】
如果一个角的余角是55°，那么这个角的补角的度数是（ ）
A．145°B．125°C．90°D．35°
【解答】解：∵一个角的余角是55°，则这个角为35°，
∴这个角的补角的度数是180°﹣35°＝145°．
故选：A．
【典例2】
若∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，则∠1与∠3的关系满足（ ）
A．∠1﹣∠3＝90°B．∠1+∠3＝90°
C．∠1+∠3＝180°D．∠1＝∠3
【解答】解：∵∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，
∴∠1＝∠3．
故选：D．
【典例3】
已知∠1与∠2互余，若∠2＝29°20'，则∠1的度数等于（ ）
A．61°40'B．60°80'C．60°40'D．29°20'
【解答】解：∵∠1与∠2互余，∠2＝29°20'，
∴∠1＝90°﹣∠2＝60°40'，
故选：C．
【典例4】
若一个角的余角是它的补角的，则这个角的度数是（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【解答】解：设这个角为α，则它的余角为90°﹣α，它的补角为180°﹣α．
由题意得，90°﹣α＝（180°﹣α），
解得：α＝30°．
故这个角的度数为30°．
故选：A．
【典例5】
已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β﹣∠γ的度数为（ ）
A．180°B．90°C．45°D．无法确定
【解答】解：∵∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，
∴∠α+∠β＝180°，∠α+∠γ＝90°，
∴∠β＝180°﹣∠α，∠γ＝90°﹣∠α，
∴∠β﹣∠γ＝180°﹣∠α﹣（90°﹣∠α）＝90°，
故选：B．
1．若∠A＝50°，则∠A的补角为（ ）
A．40°B．140°C．130°D．50°
【解答】解：∵∠A＝50°，
∴∠A的补角＝180°﹣∠A
＝180°﹣50°
＝130°，
故选：C．
2．钟表上从早上6点30分到早上8点10分时针所走的度数为（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
【解答】解：由题意得：
1.5×30°+10×0.5°
＝45°+5°
＝50°，
故选：B．
3．下列说法中正确的有（ ）
①在时刻8：30时，时钟上的时针与分针的夹角是75°；②线段AB的长度就是A，B两点间的距离；③若点P使AP＝PB，则P是AB的中点；④1°＝3600′．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①在时刻8：30时，时钟上的时针与分针的夹角是75°，故①正确；
②线段AB的长度就是A，B两点间的距离，故②正确；
③若点P在AB上，且使AP＝PB，则P是AB的中点，故③不正确；
④1°＝60′，故④不正确；
所以，上列说法中正确的有2个，
故选：B．
4．如图，∠AOB＝15°，∠AOC＝90°，点B，O，D在同一直线上，则∠COD的度数为（ ）
A．75°B．15°C．105°D．165°
【解答】解：∵∠AOB＝15°，∠AOC＝90°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝75°，
∴∠COD＝180°﹣∠BOC＝105°，
故选：C．
5．如图，A处在B处的西北方向，A处在C处的南偏西80°方向，从A处观测B，C两处的视角∠BAC的大小是（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【解答】解：如图，
根据题意可知，∠ABD＝45°，∠ACE＝80°，
∵AD∥CE，
∴∠ADB＝∠ACE＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝180°﹣45°﹣80°＝55°．
故选：B．
6．如图，射线OC平分∠AOB，射线OD平分∠BOC，则下列等式中成立的有（ ）
①∠COD＝∠AOD﹣∠BOC；
②∠COD＝∠AOD﹣∠BOD；
③2∠COD＝2∠AOD﹣∠AOB；
④．
A．①②B．①③C．②③D．②④
【解答】解：∵OC平分∠AOB，OD平分∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOC，∠COD＝∠BOD，
∵∠COD＝∠AOD﹣∠AOC，∠AOC＝∠BOC，
∴∠COD＝∠AOD﹣∠BOC，
故①正确；
∵∠BOD≠∠BOC，
∴∠COD≠∠AOD﹣∠BOD，
故②错误；
∵∠AOD＝∠AOC+∠COD，
∴2∠AOD＝2（∠AOC+∠COD）＝∠AOB+2∠COD，
∴2∠AOD﹣∠AOB＝∠AOB+2∠COD﹣∠AOB＝2∠COD，
∴2∠COD＝2∠AOD﹣∠AOB，
故③正确；
∵，
∴，
故④错误；
故选：B．
7．如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则∠1、∠2、∠3三个角的数量关系为（ ）
A．∠1+∠2+∠3＝90°B．∠1+∠2﹣∠3＝90°
C．∠1﹣∠2+∠3＝90°D．∠1+2∠2﹣∠3＝90°
【解答】解：∵将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，
∴∠BOC+∠2＝90°，
∠BOC+∠4＝90°，
∴∠2＝∠4，
又∵∠1+∠4+∠3＝90°，∴∠1+∠2+∠3＝90°，
故选：A．
8．已知三条射线OA、OB、OC，若其中一条射线平分另两条射线所组成的角时，我们称OA、OB、OC组成的图形为“角分图形”，如图（1），当OB平分∠AOC时，图（1）为角分图形．如图（2），点O是直线MN上一点，∠DON＝70°，射线OM绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转至OM1，设时间为t（0≤t≤36），当t为何值时，图中存在角分图形．小明认为t＝29s，小亮认为t＝11s，你认为正确的答案为（ ）
A．小明
B．小亮
C．两人合在一起才正确
D．两人合在一起也不正确
【解答】解：∵∠DON＝70°，
∴∠MOD＝180°﹣∠DON＝180°﹣70°＝110°，
当OM1平分∠MOD时，则∠MOM1＝∠MOD＝×110°＝55°，
∵射线OM绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，
∴旋转所用的时间为：t＝55÷5＝11（s），
故小亮正确；
当OM1平分∠DON时，则∠DOM1＝∠DON＝×70°＝35°，
∴∠MOM1＝∠MOD+∠DOM1＝110°+35°＝145°．
∵射线OM绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，
∴旋转所用的时间为：t＝145÷5＝29（s），
故小明正确，
但是，小明和小亮均忽略了当OM1平分∠MON的情况，
∴当OM1平分∠MON时，则∠MOM1＝∠MON＝×180°＝90°，
∵射线OM绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，
∴旋转所用的时间为：t＝90÷5＝18（s），
综上所述：当t为11或18或29s时，图中存在角分图形．
故选：D．
9．如图，已知∠COD＝∠AOB＝75°，当∠COD绕着点O旋转且OC在∠AOB内部时，∠AOD+∠BOC＝ 150° ．
【解答】解：∵∠COD＝∠AOB＝75°，
当∠COD绕着点O旋转且OC在∠AOB内部时，
则有∠BOC＝∠COD﹣∠BOD，∠AOD＝∠AOB+∠BOD，
∴∠AOD+∠BOC
＝∠AOB+∠BOD+∠COD﹣∠BOD
＝∠AOB+∠COD＝150°．
10．102.43°＝ 102 度 25 分 48 秒．
【解答】解：102.43°＝102度25分48秒．
故答案为：102，25，48．
11．如图，O是直线AB上的点，OD是∠COB的平分线，若∠AOC＝40°，则∠BOD＝ 70 °．
【解答】解：∵∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°，
∵OD是∠COB的平分线，
∴，
故答案为：70．
12．一个角的余角比它的补角的多12°，则这个角为 27° ．
【解答】解：设这个角的度数为x．
由题意得，90°﹣x＝．
x＝27°．
∴这个角为27°．
故答案为：27°．
13．如图，O是直线CE上一点，以O为顶点作∠AOB＝90°，且OA，OB位于直线CE两侧，OB平分∠COD．
（1）当∠AOC＝50°时，求∠DOE的度数；
（2）请你猜想∠AOC和∠DOE的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝50°，
∴∠BOC＝90°﹣50°＝40°，
∵OB平分∠COD，
∴∠BOC＝∠BOD＝40°，
∴∠DOE＝180°﹣40°﹣40°＝100°；
（2）∠DOE＝2∠AOC，理由如下：
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC＝90°﹣∠AOC，
∵OB平分∠COD，
∴∠BOC＝∠BOD＝90°﹣∠AOC，
∴∠DOE＝180°﹣2∠BOC＝180°﹣2（90°﹣∠AOC），即∠DOE＝2∠AOC．
14．【问题情境】利用旋转开展数学活动，探究体会角在旋转过程中的变化．
【操作发现】如图①，∠AOB＝∠COD＝90°且两个角重合．
（1）将∠COD绕着顶点O顺时针旋转45°如图②，此时OB平分∠ COD ；∠BOC的余角有 2 个（本身除外），分别是 ∠AOC和∠BOD ．
【实践探究】
（2）将∠COD绕着顶点O顺时针继续旋转如图③位置，若∠BOC＝45°，射线OE在∠BOC内部，且∠BOC＝3∠BOE请探究：
①求∠DOE的度数．
②∠BOC的补角分别是： ∠AOC、∠BOD、∠AOD ．
【解答】解：（1）由旋转的性质得：∠AOC＝∠BOD＝45°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠COB＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣45°＝45°，
∴∠COB＝∠BOD＝45°，
∴OB平分∠COD；
∵∠BOC+∠AOC＝90°，∠BOC+∠BOD＝90°，
∴∠BOC的余角有2个，分别是：∠AOC和∠BOD；
故答案为：COD，2，∠AOC和∠BOD．
（2）①∵∠BOC＝45°，∠BOC＝3∠BOE，
∴∠BOE＝1/3∠BOC＝1/2×45°＝15°，
∴∠COE＝∠BOC﹣∠BOE＝45°﹣15°＝30°，
又∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝90°+30°＝120°，
②∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOC＝45°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+45°＝135°，
∴∠AOC+∠BOC＝135°+45°＝180°，
∴∠BOC的补角是∠AOC；
∵∠BOD＝∠BOC+∠COD＝45°+90°＝135°，
∴∠BOD+∠BOC＝135°+45°＝180°，
∴∠BOC的补角是∠BOD；
∵∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣90°﹣45°﹣90°＝135°，
∴∠AOD+∠BOC＝135°+45°＝180°，
∴∠BOC的补角是∠AOD；
综上所述：∠BOC的补角是∠AOC、∠BOD、∠AOD．
故答案为：∠AOC、∠BOD、∠AOD．
15．新定义：如果∠MON的内部有一条射线OP将∠MON分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线OP为∠MON的n倍分线，例如，如图1，∠MOP＝4∠NOP，则OP为∠MON的4倍分线．∠NOQ＝4∠MOQ，则OQ也是∠MON的4倍分线．
（1）应用：若∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA，则∠BOP＝ 40 °；
（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，OC为直线AB上方的一条射线．
①若OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB）已知，∠AOC＝120°，则∠POQ＝ 135 °；
②在①的条件下，若∠AOC＝α，∠POQ的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．
③如图3，已知∠MON＝90°，且OM，ON所在射线恰好是分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，请直接写出∠AOC的度数．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA，
∴∠BOP＝2∠AOP，∠BOP+∠AOP＝60°，
∴∠AOP＝20°，
∴∠BOP＝40°，
故答案为：40；
（2）①∵OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB），
∴∠COP＝3∠AOP，∠COQ＝3∠BOQ，
∵∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOP＝30°，∠BOQ＝15°，
∴∠COP＝90°，∠COQ＝45°，
∴∠POQ＝∠POC+∠COQ＝135°，
故答案为：135；
②不变，
∵OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB，
∴，，
∴∠POQ＝∠COP+∠COQ，＝，＝，＝，＝，＝135°；
③设∠MOC＝α，
∵∠MON＝90°，
∴∠NOC＝90°﹣α，
∵OM，ON所在射线恰好是分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，
∴∠COM＝3∠AOM，∠BON＝3∠CON，
∵∠AOM+∠COM+∠CON+∠BON＝180°，
∴，
∴α＝67.5°，
∴∠MOC＝67.5°，∠MOA＝22.5°，
∴∠AOC＝90°．
课程标准
学习目标
①角的认识
②角的单位与换算
③角的度量与大小比较
④角的计算
⑤余角和补角
掌握角的定义及其表示方法，能够熟练的表示角，判断角。
掌握角单位及其换算，能够熟练的进行换算。
掌握角的度量方法，并能够正确的进行大小比较。
掌握角的计算，并能够熟练的进行有关计算。
掌握余角与补角的概念及其性质，并能够熟练的对其应用。
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