初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数优秀导学案及答案

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知识点01 二次函数的三种形式
二次函数的三种形式：
一般式：
有定义可知，二次函数的一般式为 。
顶点式：
能直接看出二次函数的顶点的函数解析式叫二次函数的顶点式。即 。由顶点式可知二次函数的顶点坐标为 。
两点式（交点式）：
能直接得到二次函数与轴的交点坐标的二次函数解析式是二次函数的两点式，又叫做二次函数的交点式。即 。此时二次函数与轴的两个交点坐标分别为 与 。二次函数的对称轴为 。
二次函数的一般式转化为顶点式：
利用配方法将一般形式转化为顶点式：过程如下：


题型考点：①二次函数的形式转换。
【即学即练1】
1．将二次函数y＝x2﹣2x﹣1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，正确的是（ ）
A．y＝（x﹣2）2+2B．y＝（x﹣1）2﹣2C．y＝（x+1）2+2D．y＝（x﹣1）2+4
【解答】解：y＝x2﹣2x﹣1
＝x2﹣2x+1﹣2
＝（x﹣1）2﹣2，
故选：B．
【即学即练2】
2．将二次函数y＝x2﹣4x+7化为y＝（x﹣a）2+b的形式，那么a+b的值为 ．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3＝（x﹣a）2+b，
∴a＝2，b＝3，
∴a+b＝2+3＝5，
故答案为：5．
【即学即练3】
3. 把抛物线y＝（x﹣1）2+1化成一般式是 ．
【解答】解：y＝（x﹣1）2+1＝x2﹣2x+1+1＝x2﹣2x+2．
故答案为：y＝x2﹣2x+2．
【即学即练4】
4．把y＝（2﹣3x）（6+x）变成y＝ax2+bx+c的形式，二次项 ，一次项系数为 ，常数项为 ．
【解答】解：∵方程y＝（2﹣3x）（6+x）化为一般形式是y＝﹣3x2﹣16x+12，
∴二次项﹣3x2，一次项系数为﹣16，常数项为12．
故答案为：﹣3x2，﹣16，12．
【即学即练5】
5．对于二次函数y＝4（x+1）（x﹣3）下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向下
B．与x轴交点坐标是（1，0）和（﹣3，0）
C．x＜1时，y随x的增大而减小
D．图象的对称轴是直线x＝﹣1
【解答】解：∵y＝4（x+1）（x﹣3）＝4（x﹣1）2﹣16，
∴a＝4＞0，该抛物线的开口向上，故选项A错误，
与x轴的交点坐标是（﹣1，0）、（3，0），故选项B错误，
当x＜1时，y随x的增大而减小，故选项C正确，
图象的对称轴是直线x＝1，故选项D错误，
故选：C．
知识点02 二次函数的图像与性质（一般式）
二次函数的一般式的图像与性质：
把二次函数的一般式化成顶点式可知一般式的性质如下：
题型考点：①二次函数的性质。
【即学即练1】
6．二次函数y＝x2﹣2x+5图象的顶点坐标为 ．
【解答】解：
∵y＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2+4，
∴二次函数图象的顶点坐标为（1，4），
故答案为：（1，4）．
【即学即练2】
7．关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上
B．与x轴有两个重合的交点
C．对称轴是直线x＝1
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴顶点坐标（1，0），对称轴x＝1，
∵a＝1＞0，
∴开口向上，抛物线的顶点在x轴上，
∴A、B、C正确，
故选：D．
【即学即练3】
8．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表，从下表可知：
下列说法：①抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），②函数的最大值为6，③抛物线的对称轴是直线x＝，④在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：根据图表，当x＝﹣2，y＝0，根据抛物线的对称性，当x＝3时，y＝0，即抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）和（3，0）；
∴抛物线的对称轴是直线x＝＝，
根据表中数据得到抛物线的开口向下，
∴当x＝时，函数有最大值，而不是x＝0，或1对应的函数值6，
并且在直线x＝的左侧，y随x增大而增大．
所以①③④正确，②错．
故选：C．
【即学即练4】
9．二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如下表：
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是﹣2
D．抛物线的对称轴是直线x＝﹣
【解答】解：（方法一）将点（﹣4，0）、（﹣1，0）、（0，4）代入到二次函数y＝ax2+bx+c中，
得：，解得：，
∴二次函数的解析式为y＝x2+5x+4．
A、a＝1＞0，抛物线开口向上，A不正确；
B、﹣＝﹣，当x≥﹣时，y随x的增大而增大，B不正确；
C、y＝x2+5x+4＝﹣，二次函数的最小值是﹣，C不正确；
D、﹣＝﹣，抛物线的对称轴是直线x＝﹣，D正确．
故选：D．
（方法二）∵当y＝﹣2时，x1＝﹣3，x2＝﹣2，
∴抛物线的对称轴是直线x＝＝﹣．
故选：D．
知识点03 二次函数的图像与系数的关系
二次函数的开口方向：
二次函数的开口方向由 决定，，开口向 上 ，，开口向 下 。
二次函数的对称轴：
由二次函数的性质可知，二次函数的对称轴为 。若同号，则小于0，二次函数的对称轴在轴的 左边 ；若异号，则大于0，二次函数的对称轴在轴的 右边 。简称左同右异。
①若二次函数的对称轴=1，则 0 。
②若二次函数的对称轴=﹣1，则 0 。
二次函数与轴的交点：
二次函数与轴的交点坐标为 。
二次函数与轴的交点（二次函数与一元二次方程）：
与轴有两个交点有2个 不相等 的实数根根的判别式 ＞ 0。
与轴有 1 个交点有2个相等的实数根根的判别式 = 0。
与轴没有交点 没有 实数根根的判别式 ＜ 0。
题型考点：①二次函数的图像。②二次函数与一元二次方程。
【即学即练1】
10．已知一次函数y＝x+c的图象如图，则二次函数y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：观察函数图象可知：＜0、c＞0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象对称轴x＝﹣＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴．
故选：A．
【即学即练2】
11．已知二次函数y＝ax2+bx+c，如果a＞b＞c，且a+b+c＝0，则它的图象可能是图所示的（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵a+b+c＝0，
即当x＝1时a+b+c＝0，
∵a＞b＞c，
∴定a＞0，c＜0，
故D选项正确．
故选：D．
【即学即练3】
12．若方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣3和1，那么二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（ ）
A．x＝﹣3B．x＝﹣2C．x＝﹣1D．x＝1
【解答】解：∵方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣3和1，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点分别为（﹣3，0），（1，0）．
∵此两点关于对称轴对称，
∴对称轴是直线x＝＝﹣1．
故选：C．
【即学即练4】
33．若y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的另一个解为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【解答】解：∵根据图示知，抛物线与x轴的一个交点是（3，0）对称轴为直线x＝1，
∴根据对称性，抛物线与x轴的另一交点为（﹣1，0），
∴令y＝0，即ax2+bx+c＝0，
∴方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3．
即方程的另一解为﹣1．
故选：B．
题型01 二次函数的一般式化为顶点式
【典例1】
将二次函数y＝x2﹣4x﹣4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，正确的是（ ）
A．y＝（x﹣2）2B．y＝（x+2）2﹣8C．y＝（x+2）2D．y＝（x﹣2）2﹣8
【解答】解：y＝x2﹣4x﹣4，
＝x2﹣4x+4﹣8，
＝（x﹣2）2﹣8
故选：D．
变式1：
用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣4）2+7B．y＝（x+4）2+7
C．y＝（x﹣4）2﹣25D．y＝（x+4）2﹣25
【解答】解：y＝x2﹣8x﹣9
＝x2﹣8x+16﹣25
＝（x﹣4）2﹣25．
故选：C．
变式2：
把函数y＝2x2﹣4x﹣1写成y＝a（x﹣h）2+k的形式，则h+k＝ ．
【解答】解：y＝2x2﹣4x﹣1
＝2（x2﹣2x）﹣1
＝2（x﹣1）2﹣3
∴h+k＝1﹣3＝﹣2，
故答案为：﹣2．
题型02 函数的图像
【典例1】
如图是一次函数y＝kx+b的图象，则二次函数y＝kx2+bx+2的图象可能为（ ）
​
A．B．
C．D．
【解答】解：由一次函数y＝kx+b的图象可得，
k＞0，b＞0，
∴二次函数y＝kx2+bx+2的图象开口向上，对称轴为x＝﹣＜0，
故选：C．
【典例2】
函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x﹣1的图象应该开口向上，对称轴x＝＝＞0，和x轴的正半轴相交，故选项正确；
B、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x﹣1的图象应该开口向上，对称轴x＝＝＞0，和x轴的正半轴相交，故选项错误；
C、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣2x﹣1的图象应该开口向下，故选项错误；
D、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x﹣1的图象应该开口向上，故选项错误．
故选：A．
【典例3】
函数y＝ax2+bx+c和y＝ax+b在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：B、C中，两函数图象反映的a的符号不相符，错误；
当a＞0，b＞0时，直线过一、二、三象限，抛物线开口向上且对称轴在y轴左侧，A正确；
当a＜0，b＜0时，直线过二、三、四象限，抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，D错误．
故选：A．
【典例4】
如图所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y＝ax2+（a+c）x+c与一次函数y＝ax+c的大致图象．正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：令ax2+（a+c）x+c＝ax+c，
解得，x1＝0，x2＝﹣，
∴二次函数y＝ax2+（a+c）x+c与一次函数y＝ax+c的交点为（0，c），（﹣，0），故选项A、B、C不合题意；
选项D中二次函数y＝ax2+（a+c）x+c中a＜0，c＞0，一次函数y＝ax+c中a＜0，c＞0，交点符合求得的交点的情况，故选项D符合题意．
故选：D．
题型03 二次函数的对称轴
【典例1】
抛物线y＝x2+4x+4的对称轴是（ ）
A．直线x＝4B．直线x＝﹣4C．直线x＝2D．直线x＝﹣2
【解答】解：x＝﹣＝﹣＝﹣2．
故选：D．
【典例2】
下列抛物线中，与抛物线y＝x2﹣2x+4具有相同对称轴的是（ ）
A．y＝4x2+2x+1B．y＝x2﹣4xC．y＝2x2﹣x+4D．y＝﹣2x2+4x
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，
A、y＝4x2+2x+1的对称轴是直线x＝﹣＝﹣，故该选项不符合题意；
B、y＝x2﹣4x的对称轴是直线x＝﹣＝2，故该选项不符合题意；
C、y＝2x2﹣x+4的对称轴是直线x＝﹣＝，故该选项不符合题意；
D、y＝﹣2x2+4x的对称轴是直线x＝﹣＝1，故该选项符合题意．
故选：D．
题型04 二次函数的最值
【典例1】
二次函数y＝2x2﹣8x﹣2的最小值是（ ）
A．﹣2B．﹣10C．﹣6D．6
【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣8x﹣2可化为y＝2（x﹣2）2﹣10，
∴二次函数y＝2x2﹣8x﹣2的最小值是﹣10；
故选：B．
【典例2】
二次函数y＝﹣x2﹣3x+4的最大值是 ．
【解答】解：y＝﹣x2﹣3x+4＝﹣（x+）2+．
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＝﹣时，y取得最大值，最大值＝．
故答案为：．
【典例3】
当y＝x2﹣6x﹣3的值最小时，x的取值是（ ）
A．0B．﹣3C．3D．﹣9
【解答】解：∵y＝x2﹣6x﹣3＝（x﹣3）2﹣12，
∴该抛物线的顶点坐标是（3，﹣12）且抛物线开口向上，
∴当x＝3时，该函数取最小值．
故选：C．
【典例4】
已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4），其中y2＜y3＝y4，则y1，y2，y3中最值情况是（ ）
A．y1最小，y3最大B．y2最小，y1最大
C．y2最小，y3最大D．无法判断
【解答】解：∵P3（1，y3），P4（3，y4），且y3＝y4，
∴该二次函数的对称轴为：x＝2．
∵P2（﹣1，y2），P3（1，y3），且y2＜y3，
∴在对称轴左侧，即x＜2时，y随x的增大而增大．
∵P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3）中，﹣3＜﹣1＜1，
∴y1＜y2＜y3．
故选：A．
【典例5】
已知函数y＝ax2+2ax+1在﹣3≤x≤2上有最大值9，则常数a的值是（ ）
A．1B．C．或﹣8D．1或﹣8
【解答】解：∵二次函数解析式y＝ax2+2ax+1，
∴二次函数对称轴为x＝﹣1．
①当a＜0时，二次函数开口向下，x＝﹣1时，函数有最大值9．
∴a﹣2a+1＝9，解得a＝﹣8．
②当a＞0时，二次函数开口向上，在﹣3≤x≤2上有最大值9，
∴当x＝2时，函数最大值为9，即4a+4a+1＝9，解得a＝1．
综上分析，a的值为﹣8或1．
故选：D．
【典例6】
二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（1，0），（2，3），在a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为﹣5，则a的取值范围是（ ）
A．a≥6B．3≤a≤6C．0≤a≤3D．a≤0
【解答】解：将点（1，0）代入y＝﹣x2+bx+5，
得：0＝﹣1+b+5，
解得：b＝﹣4，
∴二次函数为y＝﹣x2+6x﹣5，
∵y＝﹣x2+6x+5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝3，函数有最大值4，
把y＝﹣5代入y＝﹣x2+6x﹣5得，﹣5＝﹣x2+6x﹣5，即﹣x2+6x＝0，
解得x1＝0，x2＝6，
在a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为﹣5，
∴0≤a≤3．
故选：C．
【典例7】
若a≥0，b≥0，且2a+b＝2，2a2﹣4b的最小值为m，最大值为n，则m+n＝（ ）
A．﹣14B．﹣6C．﹣8D．2
【解答】解：∵2a+b＝2，
∴b＝2﹣2a，
设y＝2a2﹣4b
＝2a2﹣4（2﹣2a）
＝2a2+8a﹣8
＝2（a2+4a﹣4）
＝2（a2+4a+4﹣8）
＝2[（a+2）2﹣8]
＝2（a+2）2﹣16，
∵a≥0，b≥0，
∴，
解得：0≤a≤1，
∵2＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为a＝﹣2，
当a＞﹣2时，y随a的增大而增大，
当a＝0时，y最小，即m＝2×22﹣16＝﹣8，
当a＝1时，y最大，即n＝2×32﹣16＝2，
∴m+n＝﹣8+2＝﹣6．
故选：B．
题型05 二次函数的函数值比较
【典例1】
若点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），P（5，y3）在抛物线y＝x2﹣2x上，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
【解答】解：将M（﹣2，y1）代入y＝x2﹣2x得，，
将N（﹣1，y2）代入y＝x2﹣2x得，，
将P（5，y3）代入y＝x2﹣2x得，，
∵3＜8＜15，
∴y2＜y1＜y3．
故选：B．
【典例2】
设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝3（x+1）2+4m（m为常数）上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1
【解答】解：∵抛物线y＝3（x+1）2+4m（m为常数）的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
而C（2，y3）离直线x＝﹣1的距离最远，A（﹣2，y1）点离直线x＝﹣1最近，
∴y1＜y2＜y3．
故选：A．
【典例3】
已知抛物线y＝mx2﹣4mx过点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，y3），其中y2＝﹣4m，以下结论正确的是（ ）
A．若|x1﹣x2|≤|x3﹣x2|，则y2≥y3≥y1
B．若|x1﹣x2|≥|x3﹣x2|，则y2≥y3≥y1
C．若y1＜y3≤y2，则|x1﹣x2|＜|x2﹣x3|
D．若y1＜y3≤y2，则|x1﹣x2|＞|x2﹣x3|
【解答】解：∵y＝mx2﹣4mx＝m（x﹣2）2﹣4m，
∴抛物线对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣4m），
∵y2＝﹣4m，
∴B（x2，y2）为抛物线顶点，x2＝2，
当m＞0时，抛物线开口向上，y2为函数最小值，
∴选项A，B错误．
若y1＜y3≤y2，则抛物线开口向下，距离对称轴越近的点的纵坐标越大，
∴|x1﹣x2|＞|x2﹣x3|
∴选项C错误，选项D正确．
故选：D．
【典例4】
已知关于x的二次函数y＝（x+3）2﹣4的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜x2，且x1+8＝﹣x2，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．y1+8＝﹣y2
【解答】解：∵y＝（x+3）2﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣3，
∵x1＜x2，且x1+8＝﹣x2，
∴x1+x2＝﹣8，
∴＝﹣4，
∵﹣4＜﹣3，
∴点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，
∴y1＞y2．
故选：B．
【典例5】
已知抛物线y＝x2+4x+3上两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x2﹣x1＝2，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若x1＜﹣1时，则y1＞0＞y2
B．若x1＜﹣1时，则0＞y1＞y2
C．若﹣1＜x1＜1时，则y1＞0＞y2
D．若﹣1＜x1＜1时，则y2＞y1＞0
【解答】解：∵抛物线y＝x2+4x+3＝（x+3）（x+1）＝（x+2）2﹣1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，抛物线与x轴的交点为（﹣3，0），（﹣1，0），
若x1＜﹣1时，
∵x2﹣x1＝2，
∴x2＜1，
∴无法确定y1、y2的大小，故A、B不正确，不合题意；
若﹣1＜x1＜1时，
∵抛物线y＝x²+4x+3上两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x2﹣x1＝2，
∴1＜x2＜3，
∴y2＞y1＞0，
故C不正确，D正确．
故选：D．
题型06 二次函数的综合
【典例1】
已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，有下列结论：①4a+2b+c＜0；②a+c＞0；③2a+b+c＞0；④当﹣1＜x＜3时，y随x的增大而增大．其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解答】解：①由x＝2时，y＝4a+2b+c，由图象知：y＝4a+2b+c＞0，故错误；
②抛物线过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∵﹣＝1，a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，
∴a+c＝b＞0，故正确；
③∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∵b＝﹣2a，
∴2a+b+c＝c＞0，故正确；
④抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大，故错误；
故正确的共有2个，
故选：C．
【典例2】
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④3a+c＜0；⑤若且x1≠x2，则x1+x2＝4，其中正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，c＞0，，
∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；
②∵对称轴是直线x＝1，与x轴交点在（3，0）左边，∴二次函数与x轴的另一个交点在（﹣1，0）与（0，0）之间，∴a﹣b+c＜0，故②正确；
③∵对称轴是直线x＝1，图象开口向下，∴x＝1时，函数最大值是a+b+c；∴m为任意实数，则a+b+c≥am2+bm+c，∴a+b≥am2+bm，故③错误；
④∵，∴b＝﹣2a
由②得a﹣b+c＜0，∴3a+c＜0，故④正确；
⑤∵，∴，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，∵x1≠x2，∴a（x1+x2）+b＝0，∵，b＝﹣2a，∴x1+x2＝2，故⑤错误；
故正确的有3个，
故选：C．
【典例3】
二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：①abc＜0；②2a﹣b+c≤0；③3b﹣2c＜0；④对任意实数m，都有2am2+2bm﹣b≥0．其中正确的有（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①错误；
∵x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∵a＞0，
∴2a﹣b+c＞0，故②错误；
∵b＝﹣2a，
∴a＝﹣，
由图象可得x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝﹣b+c＞0，
∴3b﹣2c＜0，故③正确；
由x＝1时函数取最小值可得am2+bm+c≥a+b+c，
∴am2+bm≥a+b，
∵a＝﹣，
∴am2+bm≥，
∴2am2+2bm﹣b≥0，故④正确．
故选：D．
【典例4】
在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给出以下结论①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b＞m（am+b）（m为实数）；⑤4ac﹣b2＜0．其中错误结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①由抛物线可知：a＞0，c＜0，
对称轴x＝﹣＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②由对称轴可知：﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵x＝1时，y＝a+b+c＝0，
∴c+3a＝0，
∴c+2a＝﹣3a+2a＝﹣a＜0，故②正确；
③（1，0）关于x＝﹣1的对称点为（﹣3，0），
∴x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＝0，故③正确；
④当x＝﹣1时，y的最小值为a﹣b+c，
∴x＝m时，y＝am2+bm+c，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，
即a﹣b≤m（am+b），故④错误；
⑤抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，
即b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，故⑤正确；
故选：A．
【典例5】
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对于下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③9a+3b+c＜0；④对于任意的实数m，总有a+b≥am2+bm；其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：∵抛物线开口向下、对称轴在y轴右侧、抛物线与y轴交于正半轴，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，即2a+b＝0，故②正确；
∵对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的交点在点（﹣1，0）右侧，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（3，0）左侧，
∴当x＝3时，y＜0，
∴9a+3b+c＜0，故③正确；
∵当x＝m时，y＝am2+bm+c，当x＝1时，y＝a+b+c，
∵当x＝1时，函数值最大，
∴am2+bm+c≤a+b+c，
∴a+b≥am2+bm，故④正确；
故选：C．

1．将抛物线y＝3x2先向右平移2个单位，再向上平移6个单位，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝3（x﹣2）2+6B．y＝3（x﹣2）2﹣6
C．y＝3（x+2）2+6D．y＝3（x+2）2﹣6
【解答】解：将抛物线y＝3x2先向右平移2个单位，再向上平移6个单位，所得抛物线对应的函数表达式为：y＝3（x﹣2）2+6．
故选：A．
2．已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列说法正确的是（ ）
A．该函数的图象开口向上
B．该函数图象与y轴的交点坐标为（0，5）
C．当x＝1时，y有最大值为5
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
【解答】解：由题意可知，a＝﹣1＜0，
函数图象开口向下，
故A错误，不符合题意；
当x＝0时y＝4，
函数图象与y轴的交点坐标为（0，4），
故B错误，不符合题意；
函数对称轴为x＝1，开口向下，
当x＝1时y＝5，
即当x＝1时，y有最大值为5，
故C正确，符合题意；
函数对称轴为x＝1，开口向下，
当x＞1时，y随x的增大而减小，
故D错误，不符合题意；
故选：C．
3．若抛物线y＝ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于直线x＝1对称，则Q点的坐标为（ ）
A．（﹣1，0）B．（﹣2，0）C．（﹣3，0）D．（﹣4，0）
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于x＝1对称，
∴P，Q两点到直线x＝1的距离相等，
∴Q点的坐标为：（﹣2，0）．
故选：B．
4．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝3（x+1）2+4m（m为常数）上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1
【解答】解：∵抛物线y＝3（x+1）2+4m（m为常数）的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
而C（2，y3）离直线x＝﹣1的距离最远，A（﹣2，y1）点离直线x＝﹣1最近，
∴y1＜y2＜y3．
故选：A．
5．已知抛物线y＝x2﹣4mx+m，当﹣2＜x＜1 时，y的值随x值的增大而增大，则此抛物线的顶点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：由题意知a＞0，
∴开口向上，
∵当﹣2＜x＜1 时，y的值随x值的增大而增大，
∴对称轴x＝﹣2或x＜﹣2，如图：
∴顶点在第三象限．
故选C．
6．已知点A（a，b）在二次函数y＝﹣x2+8的图象上，则2a﹣b的最小值为（ ）
A．﹣8B．8C．﹣9D．9
【解答】解：把A（a，b）代入二次函数y＝﹣x2+8中得，
b＝﹣a2+8，
∴2a﹣b
＝2a﹣（﹣a2+8）
＝2a+a2﹣8
＝（a+1）2﹣9，
∴当a＝﹣1时，最小值为﹣9．
故选：C．
7．二次函数y＝ax2﹣4ax+c（a＞0）的图象过A（﹣2，y1），B（0，y2），C（3，y3），D（5，y4）四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若y1y2＞0，则y3y4＞0B．若y1y4＞0，则y2y3＞0
C．若y2y4＜0，则y1y3＜0D．若y3y4＜0，则y1y2＜0
【解答】解：∵y＝ax2﹣4ax+c，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，
∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵2﹣（﹣2）＞5﹣2＞2﹣0＞3﹣2，
∴y1＞y4＞y2＞y3，
若y1＞y4＞y2＞0＞y3，则y1y2＞0，y3y4＜0，选项A错误．
若y1＞y4＞y2＞0＞y3，则y1y4＞0，y2y3＜0，选项B错误．
若y2y4＜0，则y1＞y4＞0＞y2＞y3，
∴y1y3＜0，选项C正确．
若y1＞y4＞y2＞0＞y3，则y3y4＜0，y1y2＞0，选项D错误．
故选：C．
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，有下列结论：①4a+2b+c＜0；②a+c＞0；③2a+b+c＞0；④当﹣1＜x＜3时，y随x的增大而增大．其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解答】解：①由x＝2时，y＝4a+2b+c，由图象知：y＝4a+2b+c＞0，故错误；
②抛物线过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∵﹣＝1，a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，
∴a+c＝b＞0，故正确；
③∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∵b＝﹣2a，
∴2a+b+c＝c＞0，故正确；
④抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大，故错误；
故正确的共有2个，
故选：C．
9．已知抛物线y＝x2﹣a（a+2）x+9的顶点在坐标轴上，则a＝ ．
【解答】解：当抛物线y＝x2﹣a（a+2）x+9的顶点在x轴上时，Δ＝0，
即Δ＝[a（a+2）]2﹣4×9＝0，
解得a＝﹣1+或a＝﹣1﹣；
当抛物线y＝x2﹣a（a+2）x+9的顶点在y轴上时，x＝﹣＝＝0，
解得a＝0或a＝﹣2．
故答案为：﹣1+或﹣1﹣或0或﹣2．
10．已知点A（2，5），B（4，5）是抛物线y＝4x2+bx+c上的两点，则这条抛物线的对称轴为直线 ．
【解答】解：∵A（2，5），B（4，5）横坐标不同，纵坐标相同，
∴点A、B关于对称轴对称，
∴对称轴为直线x＝×（2+4）＝3．
11．函数y＝x2﹣2ax﹣2在﹣1≤x≤2有最大值6，则实数a的值是 ．
【解答】解：二次函数y＝x2﹣2ax﹣2的对称轴为x＝﹣＝a，
由题意，分以下三种情况：
（1）当a≤﹣1时，
在﹣1≤x≤2内，y随x的增大而增大，
则当x＝2时，y取得最大值，最大值为22﹣4a﹣2＝2﹣4a，
∴2﹣4a＝6，
解得：a＝﹣1，符合题设；
（2）当﹣1＜a＜2时，
在﹣1≤x≤2内，当﹣1≤x≤a时，y随x的增大而减小，
当a＜x≤2时，y随x的增大而增大，
则当x＝﹣1或x＝2时，y取得最大值，
因此有1+2a﹣2＝6或22﹣4a﹣2＝6，
解得：a＝或a＝﹣1 （均不符题设，舍去）；
（3）当a≥2时，
在﹣1≤x≤2内，y随x的增大而减小，
则当x＝﹣1时，y取得最大值，最大值为1+2a﹣2＝2a﹣1，
因此有2a﹣1＝6，解得a＝，符合题设；
综上，a＝﹣1或a＝．
故答案为：﹣1或．
12．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4…，依次进行下去，则点A2023的坐标为 ．
【解答】解：∵A点坐标为（1，1），
∴直线OA为y＝x，A1（﹣1，1），
∵A1A2∥OA，
∴直线A1A2为y＝x+2，
解得或，
∴A2（2，4），
∴A3（﹣2，4），
∵A3A4∥OA，
∴直线A3A4为y＝x+6，
解得或，
∴A4（3，9），
∴A5（﹣3，9）
…，
∴A2023（﹣1012，10122），
故答案为：（﹣1012，10122）．
13．二次函数y＝x2﹣bx+c的图象经过（﹣2，y1），（1，y2）两点．
（1）当b＝1时，判断y1与y2的大小．
（2）当y1＜y2时，求b的取值范围．
（3）若此函数图象还经过点（m，y1），且1＜b＜2，求证：3＜m＜4．
【解答】解：（1）当b＝1时，
∴，
∵6+c＞c，
∴y1＞y2；
（2）∵y1＝4+2b+c，y2＝1﹣b+c，
又∵y1＜y2，
∴4+2b+c＜1﹣b+c，
∴b＜﹣1；
（3）二次函数y＝x2﹣bx+c的对称轴为直线，
∵二次函数经过（﹣2，y1），（m，y1）两点，
∴＝m﹣得，即m＝2+b，
∵1＜b＜2，
∴3＜m＜4．
14．已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣3，n），B（2，n）两点．
（1）求b的值；
（2）当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；
（3）若方程x2+bx+c＝0的两实根x1，x2满足3≤x2﹣x1＜9，且p＝x12﹣3x22，求p的最大值．
【解答】解：（1）∵抛物线经过A（﹣3，n），B（2，n）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
即，
∴b＝1；
（2）由（1）得，抛物线的解析式为y＝x2+x+c，
∵对称轴为直线x＝，且当﹣1＜x＜1时，
抛物线与x轴有且只有一个公共点，
①当公共点是顶点时，
∴△＝1﹣4c＝0，解得c＝，
②当公共点不是顶点时，
∴当x＝﹣1时，1﹣1+c≤0；当x＝1时，1+1+c＞0，
解得：﹣2＜c≤0，
综上所述，c的取值范围是c＝或﹣2＜c≤0；
（3）由（1）知b＝1，
∵x2+x+c＝0的两实根为x1，x2，
∴抛物线y＝x2+x+c与x轴交点的横坐标为x1，x2，
∴＝﹣，
∴x1+x2＝﹣1．即x2＝﹣1﹣x1，
∵3≤x2﹣x1＜9，
∴3≤（﹣1﹣x1）﹣x1＜9，
∴﹣5＜x1≤﹣2，
∴p＝x12﹣3 x22
＝x12﹣3（﹣1﹣x1）2
＝﹣2（x1+）2+，
∵当﹣5＜x1≤﹣2时，p随x1的增大而增大，
∴当x1＝﹣2时，p最大值为1．
15．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点（6，7），其对称轴为直线x＝2．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．
（2）当时，求函数值y的取值范围．
（3）当﹣2≤x≤k时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，则k的取值范围是 ．
（4）已知A、B两点均在抛物线y＝x2+bx+c上，点A的横坐标为m，点B的横坐标为m+2．将抛物线上A、B两点之间（含A、B两点）的图象记为M，当图象M的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值．
【解答】解：（1）由题意，得，解得，
∴抛物线所对应的函数表达式为y＝x2﹣4x﹣5；
（2）∵，对称轴为直线x＝2，
∴当x＝2时，，
当时，，
当时，，
∴当时，y的取值范围是﹣9≤y≤﹣；
（3）把y＝7代入y＝x2﹣4x﹣5得，7＝x2﹣4x﹣5，
解得x1＝6，x2＝﹣2，
∴当﹣2≤x≤k时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，则k的取值范围是2＜k≤6，
故答案为2＜k≤6；
（4）点A、B的坐标分别为（m，m2﹣4m﹣5）、（m+2，m2﹣9），
当m≤0时，m2﹣4m﹣5﹣（m2﹣9）＝2，
解得（不合题意，舍去）．
当0＜m≤1时，m2﹣4m﹣5﹣（﹣9）＝2，
解得，（不合题意，舍去）．
当1＜m≤2时，m2﹣9﹣（﹣9）＝2，
解得，（不合题意，舍去）．
当m＞2时，m2﹣9﹣（m2﹣4m﹣5）＝2，
解得（不合题意，舍去）．
综上，m的值为或．
课程标准
学习目标
①二次函数的三种形式
②二次函数的一般式的图像与性质
掌握二次函数的三种形式并能够熟练的进行三种形式之间的转化。
根据顶点式从而掌握二次函数一般式的形式与图像。
解决相关的题型题目。
开口方向
开口向上
开口向下
顶点坐标
（）
（）
对称轴


增减性
对称轴右边y随x的增大而 增大 。
对称轴左边y随x的增大而 减小 。
对称轴右边y随x的增大而 减小 。
对称轴左边y随x的增大而 增大 。
最值
函数轴最 小 值
这个值是 。
函数轴最 大 值
这个值是 。
与y轴交点坐标
（0，c）
（0，c）
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
4
0
﹣2
﹣2
0
4
…