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人教版数学九年级上册22.1.4《二次函数y=ax%U00B2+bx+c的图象和性质》（第1课时 ）课件
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22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（第1课时 ）第22章二次函数人教版数学九年级上册目录情境引入1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x−h)2+k(a≠0).(难点）2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标、对称轴.（重点）复习引入向上向下(h ,k)(h ,k)x=hx=h当xh时，y随着x的增大而增大. 当xh时，y随着x的增大而减小. x=h时，y最小=kx=h时，y最大=k抛物线y=a(x−h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.(0，0)y轴0(0，−5)y轴−5(−2，0)直线x=−20(−2，−4)直线x=−2−4(4，3)直线x=43??????合作探究（1）x2-12x+36=_____________;填一填（2）x2-12x=_____________ .(x−6)2(x−6)2−36(1)“提”：提出二次项系数；(2)“配”：括号内配成完全平方；(3)“化”：化成顶点式.想一想：配方的方法及步骤是什么？提示：配方后的表达式通常称为配方式或顶点式. 我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c(a≠0)化成顶点式y=a(x−h)2+k？y=ax²+bx+c 将下列二次函数的一般式用配方法化成顶点式y=a(x-h)2+k的形式，并指出其顶点坐标．（1）y=x2-2x+1；（2）y=2x2-4x+6．练一练解：(1)y=x2−2x+1=(x−1)2，顶点坐标为(1，0)；(2)y=2x2−4x+6=2(x−1)2+4，顶点坐标为(1，4).探究归纳答：对称轴是直线x=6，顶点坐标是（6，3）.答：平移方法1： 先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的； 平移方法2： 先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.问题3 如何画二次函数 的图象？先利用图形的对称性列表7.553.533.557.5然后描点画图，得到图象如右图.O问题4 结合二次函数 的图象，说出其性质.x=6当x<6时，y随x的增大而减小；当x>6时，y随x的增大而增大.O归纳总结二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(1)(2)如果a>0，当x< 时，y随x的增大而减小；当x> 时，y随x的增大而增大.如果a<0，当x< 时，y随x的增大而增大；当x> 时，y随x的增大而减小. −15−513 典例精析1−5−15然后描点、连线，得到图象如下图.由图象可知，这个函数具有如下性质：当x＜-1时，函数值y随x的增大而增大；当x＞-1时，函数值y随x的增大而减小；当x=-1时，函数取得最大值，最大值y=3.练一练 已知二次函数y＝x2﹣6x+5．（1）将y＝x2﹣6x+5化成y＝a(x﹣h)2+k的形式；（2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；（3）当x取何值时，y随x的增大而减小．（3）∵抛物线的开口向上，对称轴是x＝3，∴当x≤3时，y随x的增大而减小．解：（1）y＝x2﹣6x+5＝(x﹣3)2﹣4.（2）二次函数的图象的对称轴是x＝3，顶点坐标是（3，﹣4）.合作探究问题1 一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空：＜＞＞＜＞＞问题2 二次函数 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：＞＞＞＞＜＝x=0时，y=c.＞0＜0＜＝＞＜＞＜x=0时，y=c.二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系向上向下y左右正负例2 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 ( )A．1 B．2 C．3 D．4D 由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确； 由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得 c＞0，则abc＞0，故①正确；由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；1．【中考·济宁】将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移两个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的表达式是( )A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－1)2－3C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－4)2－2D2．【2020·孝感】将抛物线C1：y＝x2－2x＋3向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的表达式为( )A．y＝－x2－2 B．y＝－x2＋2C．y＝x2－2 D．y＝x2＋2A3．【中考·重庆】抛物线y＝－3x2＋6x＋2的对称轴是( )A．直线x＝2 B．直线x＝－2C．直线x＝1 D．直线x＝－1C4．【2020·温州】已知(－3，y1)，(－2，y2)，(1，y3)是抛物线y＝－3x2－12x＋m上的点，则( )A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2B5．【2020·河北】如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点P(a，b)，针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b＝5，则点P的个数为0；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1.下列判断正确的是( )A．乙错，丙对 B．甲和乙都错C．乙对，丙错 D．甲错，丙对【点拨】y＝x(4－x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，∴抛物线的顶点坐标为(2，4)，∴在抛物线上的点P的纵坐标最大为4，∴甲、乙的说法正确；若b＝3，则抛物线上纵坐标为3的点有2个，∴丙的说法不正确；故选C.【答案】C6．【中考·温州】已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是( )A．有最大值－1，有最小值－2B．有最大值0，有最小值－1C．有最大值7，有最小值－1D．有最大值7，有最小值－2D7．【中考·成都】在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法正确的是( )A．abc＜0，b2－4ac＞0 B．abc＞0，b2－4ac＞0C．abc＜0，b2－4ac＜0 D．abc＞0，b2－4ac＜0B【点拨】由y＝ax2＋bx＋c的图象可知a＜0，b＞0，c＜0，所以C选项符合题意，故选C.【答案】C*9.【2020·泰安】在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2＋bx＋b(a≠0)与一次函数y＝ax＋b的图象可能是( )【点拨】根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的关系即可得出a，b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论，故选C.【答案】CA12．【2020·温州】已知抛物线y＝ax2＋bx＋1经过点(1，－2)，(－2，13)．(1)求a、b的值；(2)若(5，y1)，(m，y2)是抛物线上不同的两点，且y2＝12－y1，求m的值．解：由(1)得函数表达式为y＝x2－4x＋1，把点(5，y1)的坐标代入y＝x2－4x＋1中，得y1＝6，∴y2＝12－y1＝6.∴y1＝y2.又∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴m＝－1.13．【2020·河南】如图，抛物线y＝－x2＋2x＋c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A、B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式及点G的坐标；解：∵抛物线y＝－x2＋2x＋c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A、B，∴点B(0，c)，∵OA＝OB＝c，∴点A(c，0)，∴0＝－c2＋2c＋c，∴c＝3或c＝0(舍去)，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴点G的坐标为(1，4)．(2)点M、N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M、N之间(含点M、N)的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围．解：∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴对称轴为直线x＝1，∵点M、N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，∴点M的横坐标为－2或4，点N的横坐标为6，∴点M坐标为(－2，－5)或(4，－5)，点N坐标为(6，－21)，∵点Q为抛物线上点M、N之间(含点M、N)的一个动点，∴－21≤yQ≤4或－21≤yQ≤－5. 14．【中考·台州】已知函数y＝x2＋bx＋c(b、c为常数)的图象经过点(－2，4)．(1)求b、c满足的关系式；解：将点(－2，4)的坐标代入y＝x2＋bx＋c，得4－2b＋c＝4，∴c＝2b. (2)设该函数图象的顶点坐标是(m，n)，当b的值变化时，求n关于m的函数表达式； (3)若该函数的图象不经过第三象限，当－5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．【点拨】本题利用分段讨论法，将b的值分成几段进行讨论．顶点：对称轴：y=ax2+bx+c(a ≠0)(一般式)配方法公式法课堂小结THANKS“”
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