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专题18.1 平行四边形（教师版）-【同步精品】最新八年级数学下册同步精品讲义（人教版）
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新人教版初中数学学科教材分析 数学是一门研究数量关系和空间形式的科学，具有严密的符号体系，独特的公式结构，形象的图像语言。它有三个显著的特点：高度抽象，逻辑严密，广泛应用。 1．高度抽象性：数学的抽象，在对象上、程度上都不同于其它学科的抽象，数学是借助于抽象建立起来并借助于抽象发展的。 2．严密逻辑性： 数学具有严密的逻辑性，任何数学结论都必须经过逻辑推理的严格证明才能被承认。任何一门科学，都要应用逻辑工具，都有它严谨的一面。 3．广泛应用性：数学作为一种工具或手段，几乎在任何一门科学技术及一切社会领域中都被运用。各门科学的“数学化”，是现代科学发展的一大趋势。 新人教版初中数学学科教材分析 数学是一门研究数量关系和空间形式的科学，具有严密的符号体系，独特的公式结构，形象的图像语言。它有三个显著的特点：高度抽象，逻辑严密，广泛应用。 1．高度抽象性：数学的抽象，在对象上、程度上都不同于其它学科的抽象，数学是借助于抽象建立起来并借助于抽象发展的。 2．严密逻辑性： 数学具有严密的逻辑性，任何数学结论都必须经过逻辑推理的严格证明才能被承认。任何一门科学，都要应用逻辑工具，都有它严谨的一面。 3．广泛应用性：数学作为一种工具或手段，几乎在任何一门科学技术及一切社会领域中都被运用。各门科学的“数学化”，是现代科学发展的一大趋势。 专题18.1 平行四边形（教师版） 1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理； 2．掌握平行四边形的判定定理； 3．会应用平行四边形的性质与判定定理解决相关的几何证明和计算问题； 4. 掌握三角形中位线的概念与其性质定理，并能用其进行计算和证明。 知识点01 平行四边形的性质 【知识点】 1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形。平行四边形用“▱”表示，平行四边形ABCD表示为“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD” 注：只要满足对边平行的四边形都是平行四边形。矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形 2）平行四边形的高：一条边上任取一点作另一边的垂线，该垂线的长度称作平行四边形在该边上的高。 3）平行四边形的性质：考虑边、角、对角线，有时还会涉及对称性。如下图，四边形ABCD是平行四边形： （1）性质1（边）： = 1 \* GB3 ①对边相等； = 2 \* GB3 ②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC （2）性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC （3）性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD （4）性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形。 【知识拓展1】平行四边形的性质 例1．（2022·四川乐山·八年级期末）已知是平行四边形，以下说法不正确的是（ ） A．其对边相等 B．其对角线相互平分 C．其对角相等 D．其对角线互相垂直 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴其对角线相互平分，其对边相等，其对角相等，故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分，是解答的关键． 【即学即练】 1．（2021·四川宜宾·中考真题）下列说法正确的是（ ） A．平行四边形是轴对称图形 B．平行四边形的邻边相等 C．平行四边形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线互相平分 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质，逐一判断各个选项，即可得到答案． 【详解】解：A. 平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项错误， B. 平行四边形的邻边不一定相等，故该选项错误， C. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项错误， D. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项正确．故选D． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键． 【知识拓展2】利用平行四边形的性质求角度、长度、面积 例2． （2022·陕西碑林·九年级期中）如图，平行四边形ABCD的周长为16，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】先证明AE＝EC，再求解AD+DC＝8，再利用三角形的周长公式进行计算即可. 【详解】解：∵平行四边形ABCD，∴AD＝BC，AB＝CD，OA＝OC， ∵EO⊥AC，∴AE＝EC，∵AB+BC+CD+AD＝16，∴AD+DC＝8， ∴△DCE的周长是：CD+DE+CE＝AE+DE+CD＝AD+CD＝8，故选：C． 【点睛】本题考查的是平行四边形性质，线段垂直平分线的性质，证明AE＝EC是解本题关键. 【即学即练】 1．（2022·常熟市八年级月考）如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E，F是DB上两点且AE∥CF，若∠AEB＝115°，∠ADB＝35°，则∠BCF＝（ ） A．150° B．40° C．80° D．90° 【答案】C 【分析】可证明△BCF≌△DAE，则∠BCF＝∠DAE，根据三角形外角的性质可得出∠DAE的度数，从而得出∠BCF的度数． 【详解】解：∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠CBF＝∠ADE， ∵AE∥CF，∴∠CFB＝∠AED，∴△BCF≌△DAE，∴∠BCF＝∠DAE， ∵∠AEB＝115°，∠ADB＝35°，∴∠AEB＝∠DAE+∠ADB， ∴∠DAE＝∠AEB﹣∠ADB＝115°﹣35°＝80°，∴∠BCF＝80°故选：C． 【点睛】此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理． 2．（2022·浙江八年级期中）如图，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，ABCD的周长为40，则S为______． 【答案】48 【分析】首先根据平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，可得AB＋BC＝20，再利用其面积的求法S＝BC×AE＝CD×AF，可得4AE＝6CD，列出方程组，求出平行四边形的各边长，再求其面积． 【详解】解：设BC＝x，CD＝y， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC， ∵▱ABCD的周长为40，∴x＋y＝20， ∵AE＝4，AF＝6，S＝BC×AE＝CD×AF，∴4x＝6y， 得方程组：，解得：∴S平行四边形ABCD＝BC×AE＝12×4＝48．故答案为：48． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质与其面积公式，解题的关键是根据性质得到邻边的和，根据面积公式得到方程，再解方程组即可． 【知识拓展3】利用平行四边形的性质求坐标 例3．（2022·广东·深圳八年级期中）平行四边形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OA＝OC＝，则点B的坐标为（ ） A．(，1) B．(1，) C．(＋1，1) D．(1，＋1) 【答案】C 【分析】作，求得、的长度，即可求解． 【详解】解：作，如下图： 则 在平行四边形中，， ∴∴为等腰直角三角形 则，解得∴ 故选：C 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解． 【即学即练】 1．（2022·广西·八年级期中）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是（ ） A．（7，3） B．（8，2） C．（3，7） D．（5，3） 【答案】A 【分析】利用平行四边形的对边平行且相等的性质，先利用对边平行，得到D点和C点的纵坐标相等，再求出CD=AB=5，得到C点横坐标，最后得到C点的坐标． 【详解】 四边形ABCD为平行四边形。且。C点和D的纵坐标相等，都为3． A点坐标为（0，0），B点坐标为（5，0），． D点坐标为（2，3），C点横坐标为， 点坐标为（7，3）．故选：A． 【点睛】本题主要是考察了平行四边形的性质、利用线段长求点坐标，其中，熟练应用平行四边形对边平行且相等的性质，是解决与平行四边形有关的坐标题的关键． 【知识拓展4】平行四边形中的翻折问题 例4．（2022·绵阳市·八年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将沿AE折叠至处，与CE交于点F，若，，则的度数为（ ） A．40° B．36° C．50° D．45° 【答案】B 【分析】由平行四边形的性质得出，由折叠的性质得，，由三角形的外角性质求出，由三角形内角和定理求出，即可得出的大小． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， 由折叠的性质得：，， ， ， ．故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出和是解决问题的关键． 【即学即练4】 1．（2022·安徽阜阳市·九年级期末）如图，在▱ABCD 中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，点 E、F 分别是边 AB、CD 上的动点，将该四边形沿折痕 EF 翻折，使点 A 落在边 BC 的三等分点处，则 AE 的长为 ． 【答案】或 【分析】设点A落在BC边上的A′点，分两种情况：①当A′C=BC=2时；②如图2，当A′B=BC=2时，过A′点作AB延长线的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理即可． 【详解】设点A落在BC边上的A′点．①如图1，当A′C=BC=2时，A′B=4， 设AE=x，则A′E=x，BE=8-x．过A′点作A′M垂直于AB，交AB延长线于M点， 在Rt△A′BM中，∠A′BM=60°，∴BM=2，A′M=2． 在Rt△A′EM中，利用勾股定理可得：x2=（10-x）2+12，解得x=．即AE=； ②如图2，当A′B=BC=2时，设AE=x，则A′E=x，BE=8-x． 过A′点作A′N垂直于AB，交AB延长线于N点， 在Rt△A′BN中，∠A′BN=60°，∴BN=1，A′N=． 在Rt△A′EN中，利用勾股定理可得：x2=（9-x）2+3，解得x=． 即AE=；所以AE的长为5.6或．故答案为5.6或． 【点睛】本题主要考查翻折性质、平行四边形的性质、勾股定理，同时考查分类讨论的数学思想． 【知识拓展5】平行四边形性质的综合（多结论问题） 例5．（2022·山东济南市·八年级期末）如图，在ABCD中，AD=2AB，，垂足在线段上，、分别是、的中点，连接，、的延长线交于点，则下列结论：①；②：③；④.其中，正确结论的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由点F是AD的中点，结合ABCD的性质，得FD=CD，即可判断①；先证∆AEF≅∆DHF，再证∆ECH是直角三角形，即可判断②；由EF=HF，得，由，CE⊥CD，结合三角形的面积公式，即可判断③；设∠AEF=x，则∠H=x，根据直角三角形的性质，得∠FCH=∠H=x，由FD=CD，∠DFC=∠FCH=x，由FG∥CD∥AB，得∠AEF=∠EFG=x，由EF=CF，∠EFG=∠CFG=x，进而得到，即可判断④． 【详解】∵点F是AD的中点，∴2FD=AD， ∵在ABCD中，AD=2AB，∴FD=AB=CD，∴∠DFC=∠DCF， ∵AD∥BC，∴∠DFC=∠BCF，∴∠DCF=∠BCF，即：，∴①正确； ∵AB∥CD，∴∠A=∠FDH，∠AEF=∠H，又∵AF=DF，∴∆AEF≅∆DHF（AAS），∴EF=HF， ∵，∴CE⊥CD，即：∆ECH是直角三角形，∴=EH，∴②正确； ∵EF=HF，∴∵，CE⊥CD，垂足在线段上， ∴,∴,∴，∴③错误； 设∠AEF=x，则∠H=x，∵在Rt∆ECH中，CF=FH=EF，∴∠FCH=∠H=x， ∵FD=CD，∴∠DFC=∠FCH=x，∵点F，G分别是EH，EC的中点，∴FG∥CD∥AB，∴∠AEF=∠EFG=x， ∵EF=CF，∴∠EFG=∠CFG=x，∴∠DFE=∠DFC+∠EFG+∠CFG=3x，∴． ∴④正确．故选C． 【点睛】本题主要考查平行四边形和直角三角形的性质定理的综合，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 【即学即练】 1．（2022·山东泰安市·九年级期末）如图，的对角线交于点平分交于点，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的个数有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】求得∠ADB=90°，即AD⊥BD，即可得到S▱ABCD=AD•BD；依据∠CDE=60°，∠BDE=30°，可得∠CDB=∠BDE，进而得出DB平分∠CDE；依据Rt△AOD中，AO＞AD，即可得到AO＞DE；依据O是BD中点，E为AB中点，可得BE=DE，利用三角形全等即可得OE⊥BD且OB=OD． 【详解】解：在中，∵∠BAD=∠BCD=60°，∠ADC=120°，DE平分∠ADC， ∴∠ADE=∠DAE=60°=∠AED，∴△ADE是等边三角形，， ∴E是AB的中点，∴DE=BE，， ∴∠ADB=90°，即AD⊥BD，∴S▱ABCD=AD•BD，故①正确； ∵∠CDE=60°，∠BDE=30°，∴∠CDB=∠CDE-∠BDE=60°-30°=30°， ∴∠CDB=∠BDE，∴DB平分∠CDE，故②正确； ∵Rt△AOD中，AO＞AD，∵AD=DE，∴AO＞DE，故③错误； ∵O是BD的中点，∴DO=BO,∵E是AB的中点，∴BE=AE=DE ∵OE =OE ∴△DOE≌△BOE(SSS)∴∠EOD=∠EOB ∵∠EOD+∠EOB=180°∴∠BOE=90°∴OE垂直平分BD，故④正确；正确的有3个，故选择：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式的综合运用，三角形全等判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质定理和等边三角形判定定理，三角形全等判定方法和性质是解题的关键． 判定定理进行推理论证是解题的关键． 【知识拓展6】平行线间距离的应用 例6．（2022·广东广州市·九年级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC，AC＝24，BE＝5，AD＝8，则两平行线AD与BC间的距离是_____． 【答案】15 【分析】利用等面积法,得2S△ABC=S四边形ABCD,表示出面积即可. 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形, ∴2S△ABC=S四边形ABCD,设平行线AD与BC间的距离为h,即AC·BE=AD·h ∵AC＝24， BE＝5，AD＝8，∴h=15. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质,等面积法,中等难度,利用等面积法是解题关键. 【即学即练】 1．（2022·广西桂林市·七年级期末）如图，若表示三角形的面积，表示三角形的面积，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作AEBC，DFBC，根据平行线的性质，可得AE= DF，ABC与DBC分别以AE、DF为高，BC为底，同底同高的三角形面积相等，即可求出答案． 【详解】解：如图所示，作AEBC，DFBC， ∵ADBC，∴AE= DF，且，， ∴，即，故选：A． 【点睛】本题主要考察了平行线的性质，即可说明同底同高的三角形面积相等． 知识点02 平行四边形的判定 【知识点】 平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD： 1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC。 2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC。 3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC。 4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC。 5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO。 注： = 1 \* GB3 ①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）； = 2 \* GB3 ②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形。若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的。 【知识拓展1】平行四边形的判定 例1．（2022·山东·八年级期末）下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（ ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 C．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 D．有两组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴选项A不符合题意； B、∵有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，∴选项B不符合题意； C、∵有一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，∴选项C符合题意； D、∵有两组对角相等的四边形是平行四边形，∴选项D不符合题意；故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 【即学即练1】 1．（2022·广东·八年级课时练习）下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A．两组对边分别平行 B．一组对边平行，另一组对边相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行，一组对角相等 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故本选项符合题意；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；故选：B． 【点睛】本题考查了对平行四边形的判定定理的应用，能熟记平行四边形的判定定理是解此题的关键，注意：平行四边形的判定定理有：①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 2．（2022·湖北远安·八年级期末）如图四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A．AB∥CD，∠DAC=∠BCA B．AB=CD，∠ABO=∠CDO C．AC=2AO，BD=2BO D．AO=BO，CO=DO 【答案】D 【分析】A.证明，即可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判断； B.证明AB∥CD，即可根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断； C. 可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断；D. 条件不足无法判断； 【详解】∠DAC=∠BCA，四边形是平行四边形，故A选项正确，不符合题意； ∠ABO=∠CDO又 AB=CD，四边形是平行四边形，故B正确，不符合题意； AC=2AO，BD=2BO四边形是平行四边形，故C正确，不符合题意； D. 条件不足无法判断，符合题意；故选D 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 【知识拓展2】添加一个条件成为平行四边形 例2．（2022·绵阳市八年级专题练习）如图，在中，D，F分别是，上的点，且．点E是射线上一点，若再添加下列其中一个条件后，不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由结合已知条件可证明，从而可判断，由结合已知条件可证明，从而可判断，由结合已知条件可判断，由结合已知条件仍不能判定四边形为平行四边形，从而可得到答案． 【详解】解：A、∵∠ADE=∠E， ∴AB∥CE， 又∵DF∥BC， ∴四边形DBCE为平行四边形；故选项A不符合题意； B、∵DF∥BC， ∴∠ADE=∠B， ∵∠B=∠E， ∴∠ADE=∠E， ∴AB∥CE， ∴四边形DBCE为平行四边形；故选项B不符合题意； C、∵DF∥BC， ∴DE∥BC， 又∵DE=BC， ∴四边形DBCE为平行四边形；故选项C不符合题意； D、由DF∥BC，BD=CE，不能判定四边形DBCE为平行四边形；故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【即学即练2】 2．（2022·山东·宁津县八年级期末）如图，在中，点，分别在边，上．若从下列条件中只选择一个添加到图中的条件中．那么不能使四边形是平行四边形的条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定条件进行逐一判断即可得到答案. 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥EC，AD=BC，∠B=∠D，AB=CD ∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，故A不符合题意； ∵BE=DF∴AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形，故C不符合题意； ∵∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌CDF（SAS），∴AE=CF，BE=DF，∴AF=CE ∴四边形AECF是平行四边形，故D不符合题意； 由AE=CF，一组对边平行另一组对边相等，不能判断四边形AECF是平行四边形，故B符合题意，故选B. 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 【知识拓展3】证明四边形是平行四边形 例3．（2022·山西八年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．（1）求证：AEF≌DEC；（2）求证：四边形ACDF是平行四边形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB//CD，根据平行线的性质可得就爱∠FAE=∠CDE，利用ASA即可证明△AEF≌△DEC； （2）根据全等三角形的性质可得AF=DC，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得结论． 【详解】（1）∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE， ∵点E是边AD的中点，∴AE＝DE， 在△AEF和△DEC中，∴△AEF≌△DEC（ASA）． （2）∵△AEF≌△DEC，∴AF＝DC， ∵AF∥DC，∴四边形ACDF是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，平行四边形的对边互相平行；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；熟练掌握相关性质与判定定理是解题关键． 【即学即练3】 1．（2021·四川内江·中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，，． 求证：（1）；（2）四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）已知，可得到，由得到，可证明出； （2）由（1）得，得到，，，推出，即可证明． 【详解】证明：（1），，即，，， 在与中，，； （2）由（1）得：，，， ，，四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，属于基础题，熟练掌握全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定是解题关键． 【知识拓展4】利用平行四边形的性质与判定求解 例4．（2022·吉林长春市·八年级月考）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于点O．（1）求证：AD与BE互相平分；（2）若AB⊥AC，AC=BF，BE=8，FC=2，求AB的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）连接证明可得： 再证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可得答案；（2）由BE=8，FC=2，结合 AC=BF，求解 再利用AB⊥AC，由勾股定理可得答案． 【详解】证明：（1）连接 在与中， 四边形是平行四边形， AD与BE互相平分； （2） 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 【即学即练4】 1．（2022·广东·八年级期中）如图，已知四边形ABCD和四边形BCEF均为平行四边形，∠D＝60°，连接AF，并延长交BE于点P，若AP⊥BE，AB＝3，BC＝2，AF＝1，则BE的长为（ ） A．5 B．2 C．2 D．3 【答案】D 【分析】过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接BD，DE，先证∠DHC=90º，再证四边形ADEF是平行四边形，最后利用勾股定理得出结果． 【详解】过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接BD，DE， ∵四边形ABCD是平行四边形，AB=3，∠ADC=60º，∴CD=AB=3，∠DCH=∠ABC=∠ADC=60º， ∵DH⊥BC， ∴∠DHC=90º，∴∠ADC+∠CDH=90°，∴∠CDH=30°， 在Rt△DCH中，CH=CD=，DH=，∴， ∵四边形BCEF是平行四边形，∴AD=BC=EF，AD∥EF， ∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥DE，AF=DE=1， ∵AF⊥BE，∴DE⊥BE，∴， ∴，故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用这些性质解决问题． 【知识拓展5】利用平行四边形的性质与判定证明 例5．（2022·上海九年级专题练习）已知：平行四边形中，点为边的中点，点为边的中点，联结、．（1）求证：∥；（2）过点作，垂足为，联结．求证：△是等腰三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质，可得AB∥CD，AB=CD，又由点M为边CD的中点，点N为边AB的中点，即可得CM=AN，继而可判定四边形ANCM是平行四边形，则可证得AM∥CN．（2）由AM∥CN，BH⊥AM，点N为边AB的中点，可证得BH⊥CN，ME是△BAH的中位线，则可得CN是BH的垂直平分线，继而证得△BCH是等腰三角形． 【详解】解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴∥且． ∵点、分别是边、的中点，∴，． ∴． 又∵∥，∴四边形是平行四边形 ∴∥． （2）设BH与CN交于点E， ∵AM∥CN，BH⊥AM，∴BH⊥CN，∵N是AB的中点，∴EN是△BAH的中位线， ∴BE=EH，∴CN是BH的垂直平分线，∴CH=CB，∴△BCH是等腰三角形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 【即学即练】 1．（2022·辽宁旅顺口·八年级期中）如图，四边形中，，，过点作，垂足为，且．连接，交于点．（1）探究与的数量关系，并证明； （2）探究线段，，的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）∠DAE+∠CAE=90°，理由见解析；（2）AF=EF+CE，理由见解析． 【分析】（1）设∠CAE=，先证∠EAB=∠EBA=45°，再证∠DAC=180°-∠DCA-∠ADC=90°-2，最后由∠DAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE+∠CAE得出结论；（2）延长DC交AE延长线于G，连接BG，先证△CEA≌△GEB，再证四边形ABGD是平行四边形，最后根据平行四边形的性质解答即可． 【详解】解：（1）∠DAE+∠CAE=90°，理由：设∠CAE=， ∵AE⊥BE，∴∠AEB=90°，∵AE=BE，∴∠EAB=∠EBA=45°， ∵CD∥AB，∴∠DCA=∠CAB=45°+，∵AC=AD，∴∠DCA=∠ADC=45°+， ∴∠DAC=180°-∠DCA-∠ADC=90°-2，∴∠DAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE+∠CAE=90°-2++=90°； （2）AF=EF+CE，理由：延长DC交AE延长线于G，连接BG， ∵CD∥AB，∴∠ECG=∠EBA=∠EAB=∠CGE=45°，∴CE=EG，AE=BE， 又∵∠CEA=∠GEB=90°， ∴△CEA≌△GEB，∴AC=GB=AD，∠ACE=∠BGE，∴∠CAE=∠GBE， ∵∠GEB=90°，∴∠AGB+∠GBE=90°，∵由（1）知∠DAE+∠CAE=90°，∴∠DAE=∠AGB，∴AD∥BG， ∵DG∥AB，∴四边形ABGD是平行四边形，∴AF=GF，∵GF=EF+GE=EF+CE，∴AF=EF+CE． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【知识拓展6】平行四边形中的动态问题 例6．（2022·陕西榆林市·八年级期末）如图，的对角线相交于点，点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动，连接，并延长交于点．设点的运动时间为秒．（1）求的长（用含的代数式表示）；（2）当四边形是平行四边形时，求的值；（3）当时，点是否在线段的垂直平分线上？请说明理由． 【答案】（1）10-t；（2）5秒；（3）见解析 【分析】（1）先证明△APO≌△CQO，可得出AP=CQ=t，则BQ即可用t表示；（2）由题意知AP∥BQ，根据AP=BQ，列出方程即可得解；（3）过点O作直线EF⊥AP，垂足为E，与BC交于F，利用三角形面积公式求出EF，得到OE，利用勾股定理求出AE，再说明AP=2AE即可． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠PAO=∠QCO， ∵∠AOP=∠COQ，∴△APO≌△CQO（ASA），∴AP=CQ=t，∵BC=10，∴BQ=10-t； （2）∵AP∥BQ，当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，即t=10-t，解得：t=5， ∴当t为5秒时，四边形ABQP是平行四边形； （3）过点O作直线EF⊥AP，垂足为E，与BC交于F， 在Rt△ABC中，∵AB=6，BC=10，∴AC=，∴AO=CO=AC=4， ∵S△ABC＝=，∴AB•AC=BC•EF，∴6×8=10×EF， ∴EF＝，∴OE=，∴AE==， 当时，AP=，∴2AE=AP，即点E是AP中点，∴点O在线段AP的垂直平分线上． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，垂直平分线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题． 【即学即练】 1．（2022·湖南邵阳市·九年级期末）如图，在▱ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，∠A=60°，点P沿AB边从点A开始以2cm/秒的速度向点B移动，同时点Q沿DA边从点D开始以1cm/秒的速度向点A移动，用t表示移动的时间（0≤t≤6）．（1）当t为何值时，△PAQ是等边三角形？（2）当t为何值时，△PAQ为直角三角形？ 【答案】（1）t=2；（2）t=3或． 【分析】（1）根据等边三角形的性质，列出关于t的方程，进而即可求解． （2）根据△PAQ是直角三角形，分两类讨论，分别列出方程，进而即可求解． 【详解】解：（1）由题意得：AP=2t（米），AQ=6-t（米）． ∵∠A=60°，∴当△PAQ是等边三角形时，AQ=AP，即2t=6-t，解得：t=2， ∴当t=2时，△PAQ是等边三角形． （2）∵△PAQ是直角三角形， ∴当∠AQP=90°时，有∠APQ=30°，即AP=2AQ，∴2t=2（6-t），解得：t=3（秒）， 当∠APQ=90°时，有∠AQP=30°，即AQ=2AP，∴6-t=2·2t，解得（秒）， ∴当t=3或时，△PAQ是直角三角形． 【定睛】本题主要考查等边三角形的性质，直角三角形的定义以及平行四边形的定义，熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形的定义，列出方程，是解题的关键． 2．（2022·广东惠城·八年级期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，点D从点C出发沿CA方向以cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤60）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）当t＝30秒或40秒时，△DEF为直角三角形 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出DF，得到DF=AE，并由已知证得DF∥AE，则根据平行四边形的判定定理证明结论；（2）利用①当∠EDF=90°时；②当∠DEF=90°时；③当∠EFD=90°时，分别分析得出即可． 【详解】（1）证明：∵等腰Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm， ∴AB＝BC＝60cm，∠C＝45°，由题意得，CD＝t，AE＝t， ∵DF⊥BC， ∴DF＝CD＝t，∠CFD＝90°， ∴DF＝AE，DF∥AE，∴四边形AEFD是平行四边形； （2）解：①当∠EDF＝90°时，如图①， ∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C＝45°，∴AD＝AE， 即60﹣t＝t，解得，t＝30， ②当∠DEF＝90°时，如图②， ∵AD∥EF，∴DE⊥AC，∴AE＝AD，即t＝×（60﹣t），解得，t＝40， ③当∠EFD=90°时，此种情况不存在．综上所述，当t＝30秒或40秒时，△DEF为直角三角形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、等腰直角三角形的性质，掌握平行四边形的判定定理及等腰直角三角形的性质是解题的关键． 知识点03 三角形的中位线定理 【知识点】 三角形的中位线定理： 1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线） 2）三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点D、E分别为AB、AC的中点，则DE//BC且DE=BC。 【知识拓展1】与中位线相关的计算问题 例1．（2022·福建·九年级期中）如图，四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，若∠EPF＝130°，则∠PEF的度数为（ ） A．25° B．30° C．35° D．50° 【答案】A 【分析】根据三角形的中位线定理，可得 ，从而PE=PF，则有∠PEF=∠PFE，再根据三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，∴ ， ∵AD＝BC，∴PE=PF，∴∠PEF=∠PFE， ∵∠EPF＝130°，∴ ．故选：A 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 【即学即练】 1．（2022·山东潍坊市·八年级期末）如图，在中，是上一点，于点，点是的中点，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据可得△ACD为等腰三角形，再由结合“三线合一”性质可得E为CD的中点，从而得到EF为△CBD的中位线，最终根据中位线定理求解即可． 【详解】∵，∴△ACD为等腰三角形，∵，∴E为CD的中点，（三线合一） 又∵点是的中点，∴EF为△CBD的中位线，∴，故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形三线合一的性质以及中位线的性质，准确判断出中位线是解题关键． 【知识拓展2】三角形的中位线与面积 例2．（2022·长春市格致中学九年级期末）如图，有一块形状为△的斜板余料，∠＝90°，＝6，＝8，要把它加工成一个形状为□的工件，使在边BC上,、两点分别在边、上，若点是边的中点，则的面积为_________． 【答案】12 【分析】作交BC于H点，交DE于I点，根据可得，根据是边的中点可知是的中位线，得，利用三角形面积，可得，，则根据，计算可得结果． 【详解】如图示，作交BC于H点，交DE于I点， ∵∴ ∵是边的中点，，∴是的中位线，∴， 又∵，即有，∴， ∴，∴，故答案为：12． 【点睛】本题考查了三角形中位线的应用，勾股定理，三角形的面积和平行四边形的面积，熟悉相关性质定理是解题的关键．中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 【即学即练】 1．（2021·四川内江·中考真题）如图，在边长为的等边中，分别取三边的中点，，，得△；再分别取△三边的中点，，，得△；这样依次下去，经过第2021次操作后得△，则△的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据三角形中位线定理计算，再总结规律，根据规律解答即可得． 【详解】解：点，分别为，的中点，， 点，分别为，的中点，，，， △的面积，故选D． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，解题的关键是掌握三角形中位线定理． 【知识拓展3】与中位线相关的证明问题 例3．（2022·山东烟台市·八年级期末）如图，在中，是边的中线，是的中点，连接并延长交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】取的中点，连接，则DM是△ABF的中位线，利用中位线定理结合全等三角形的判定即可证得． 【详解】证明：取的中点，连接， ∵是边的中线，∴是边的中点，∴，． ∴，．∵是的中点，∴， 在△MDE和△FCE中，∴．∴，∴． 【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 【即学即练3】 1．（2022·山东东平八年级阶段练习）如图，在中，AE平分，于点E，点F是BC的中点（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：；（2）如图2，中，，求线段EF的长． 【答案】（1）见解析；（2）2 【分析】（1）利用ASA定理证明△AEB≌△AED，得到BE=ED，AD=AB，根据三角形中位线定理解答； （2）分别延长BE、AC交于点H，仿照（1）的过程解答． 【详解】解：（1）证明：∵AE平分，， ∴∠BAE=∠DAE，∠AEB=∠AED=90°， 在△AEB和△AED中，，∴△AEB≌△AED（ASA）∴BE=ED，AD=AB， ∵点F是BC的中点，∴BF=FC，∴EF是△BCD的中位线， ∴EF=CD=(AC-AD)=(AC-AB)； （2）解：分别延长BE、AC交于点H， ∵AE平分，，∴∠BAE=∠DAE，∠AEB=∠AED=90°， 在△AEB和△AEH中，，∴△AEB≌△AEH（ASA）∴BE=EH，AH=AB=9， ∵点F是BC的中点，∴BF=FC，∴EF是△BCD的中位线，∴EF=CH=(AH-AC)=2． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 题组A 基础过关练 1．（2022·贵州铜仁市·八年级期末）如图，点在直线上移动，是直线上的两个定点，且直线.对于下列各值：①点到直线的距离；②的周长；③的面积；④的大小．其中不会随点的移动而变化的是（ ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】根据平行线间的距离不变即可判断①；根据三角形的周长和点P的运动变化可判断②④；根据同底等高的三角形的面积相等可判断③；进而可得答案． 【详解】解：∵直线，∴①点到直线的距离不会随点的移动而变化； ∵PA、PB的长随点P的移动而变化， ∴②△PAB的周长会随点的移动而变化，④∠APB的大小会随点的移动而变化； ∵点到直线的距离不变，AB的长度不变，∴③△PAB的面积不会随点的移动而变化； 综上，不会随点的移动而变化的是①③．故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线间的距离和同底等高的三角形的面积相等等知识，属于基础题型，熟练掌握平行线间的距离的概念是关键． 2．（2022·黑龙江·大庆市北湖学校八年级期末）在□ABCD中，AC=24，BD=38，AB=m，则m的取值范围是（ ） A．24
新人教版初中数学学科教材分析 数学是一门研究数量关系和空间形式的科学，具有严密的符号体系，独特的公式结构，形象的图像语言。它有三个显著的特点：高度抽象，逻辑严密，广泛应用。 1．高度抽象性：数学的抽象，在对象上、程度上都不同于其它学科的抽象，数学是借助于抽象建立起来并借助于抽象发展的。 2．严密逻辑性： 数学具有严密的逻辑性，任何数学结论都必须经过逻辑推理的严格证明才能被承认。任何一门科学，都要应用逻辑工具，都有它严谨的一面。 3．广泛应用性：数学作为一种工具或手段，几乎在任何一门科学技术及一切社会领域中都被运用。各门科学的“数学化”，是现代科学发展的一大趋势。 新人教版初中数学学科教材分析 数学是一门研究数量关系和空间形式的科学，具有严密的符号体系，独特的公式结构，形象的图像语言。它有三个显著的特点：高度抽象，逻辑严密，广泛应用。 1．高度抽象性：数学的抽象，在对象上、程度上都不同于其它学科的抽象，数学是借助于抽象建立起来并借助于抽象发展的。 2．严密逻辑性： 数学具有严密的逻辑性，任何数学结论都必须经过逻辑推理的严格证明才能被承认。任何一门科学，都要应用逻辑工具，都有它严谨的一面。 3．广泛应用性：数学作为一种工具或手段，几乎在任何一门科学技术及一切社会领域中都被运用。各门科学的“数学化”，是现代科学发展的一大趋势。 专题18.1 平行四边形（教师版） 1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理； 2．掌握平行四边形的判定定理； 3．会应用平行四边形的性质与判定定理解决相关的几何证明和计算问题； 4. 掌握三角形中位线的概念与其性质定理，并能用其进行计算和证明。 知识点01 平行四边形的性质 【知识点】 1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形。平行四边形用“▱”表示，平行四边形ABCD表示为“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD” 注：只要满足对边平行的四边形都是平行四边形。矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形 2）平行四边形的高：一条边上任取一点作另一边的垂线，该垂线的长度称作平行四边形在该边上的高。 3）平行四边形的性质：考虑边、角、对角线，有时还会涉及对称性。如下图，四边形ABCD是平行四边形： （1）性质1（边）： = 1 \* GB3 ①对边相等； = 2 \* GB3 ②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC （2）性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC （3）性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD （4）性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形。 【知识拓展1】平行四边形的性质 例1．（2022·四川乐山·八年级期末）已知是平行四边形，以下说法不正确的是（ ） A．其对边相等 B．其对角线相互平分 C．其对角相等 D．其对角线互相垂直 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴其对角线相互平分，其对边相等，其对角相等，故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分，是解答的关键． 【即学即练】 1．（2021·四川宜宾·中考真题）下列说法正确的是（ ） A．平行四边形是轴对称图形 B．平行四边形的邻边相等 C．平行四边形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线互相平分 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质，逐一判断各个选项，即可得到答案． 【详解】解：A. 平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项错误， B. 平行四边形的邻边不一定相等，故该选项错误， C. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项错误， D. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项正确．故选D． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键． 【知识拓展2】利用平行四边形的性质求角度、长度、面积 例2． （2022·陕西碑林·九年级期中）如图，平行四边形ABCD的周长为16，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】先证明AE＝EC，再求解AD+DC＝8，再利用三角形的周长公式进行计算即可. 【详解】解：∵平行四边形ABCD，∴AD＝BC，AB＝CD，OA＝OC， ∵EO⊥AC，∴AE＝EC，∵AB+BC+CD+AD＝16，∴AD+DC＝8， ∴△DCE的周长是：CD+DE+CE＝AE+DE+CD＝AD+CD＝8，故选：C． 【点睛】本题考查的是平行四边形性质，线段垂直平分线的性质，证明AE＝EC是解本题关键. 【即学即练】 1．（2022·常熟市八年级月考）如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E，F是DB上两点且AE∥CF，若∠AEB＝115°，∠ADB＝35°，则∠BCF＝（ ） A．150° B．40° C．80° D．90° 【答案】C 【分析】可证明△BCF≌△DAE，则∠BCF＝∠DAE，根据三角形外角的性质可得出∠DAE的度数，从而得出∠BCF的度数． 【详解】解：∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠CBF＝∠ADE， ∵AE∥CF，∴∠CFB＝∠AED，∴△BCF≌△DAE，∴∠BCF＝∠DAE， ∵∠AEB＝115°，∠ADB＝35°，∴∠AEB＝∠DAE+∠ADB， ∴∠DAE＝∠AEB﹣∠ADB＝115°﹣35°＝80°，∴∠BCF＝80°故选：C． 【点睛】此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理． 2．（2022·浙江八年级期中）如图，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，ABCD的周长为40，则S为______． 【答案】48 【分析】首先根据平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，可得AB＋BC＝20，再利用其面积的求法S＝BC×AE＝CD×AF，可得4AE＝6CD，列出方程组，求出平行四边形的各边长，再求其面积． 【详解】解：设BC＝x，CD＝y， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC， ∵▱ABCD的周长为40，∴x＋y＝20， ∵AE＝4，AF＝6，S＝BC×AE＝CD×AF，∴4x＝6y， 得方程组：，解得：∴S平行四边形ABCD＝BC×AE＝12×4＝48．故答案为：48． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质与其面积公式，解题的关键是根据性质得到邻边的和，根据面积公式得到方程，再解方程组即可． 【知识拓展3】利用平行四边形的性质求坐标 例3．（2022·广东·深圳八年级期中）平行四边形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OA＝OC＝，则点B的坐标为（ ） A．(，1) B．(1，) C．(＋1，1) D．(1，＋1) 【答案】C 【分析】作，求得、的长度，即可求解． 【详解】解：作，如下图： 则 在平行四边形中，， ∴∴为等腰直角三角形 则，解得∴ 故选：C 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解． 【即学即练】 1．（2022·广西·八年级期中）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是（ ） A．（7，3） B．（8，2） C．（3，7） D．（5，3） 【答案】A 【分析】利用平行四边形的对边平行且相等的性质，先利用对边平行，得到D点和C点的纵坐标相等，再求出CD=AB=5，得到C点横坐标，最后得到C点的坐标． 【详解】 四边形ABCD为平行四边形。且。C点和D的纵坐标相等，都为3． A点坐标为（0，0），B点坐标为（5，0），． D点坐标为（2，3），C点横坐标为， 点坐标为（7，3）．故选：A． 【点睛】本题主要是考察了平行四边形的性质、利用线段长求点坐标，其中，熟练应用平行四边形对边平行且相等的性质，是解决与平行四边形有关的坐标题的关键． 【知识拓展4】平行四边形中的翻折问题 例4．（2022·绵阳市·八年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将沿AE折叠至处，与CE交于点F，若，，则的度数为（ ） A．40° B．36° C．50° D．45° 【答案】B 【分析】由平行四边形的性质得出，由折叠的性质得，，由三角形的外角性质求出，由三角形内角和定理求出，即可得出的大小． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， 由折叠的性质得：，， ， ， ．故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出和是解决问题的关键． 【即学即练4】 1．（2022·安徽阜阳市·九年级期末）如图，在▱ABCD 中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，点 E、F 分别是边 AB、CD 上的动点，将该四边形沿折痕 EF 翻折，使点 A 落在边 BC 的三等分点处，则 AE 的长为 ． 【答案】或 【分析】设点A落在BC边上的A′点，分两种情况：①当A′C=BC=2时；②如图2，当A′B=BC=2时，过A′点作AB延长线的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理即可． 【详解】设点A落在BC边上的A′点．①如图1，当A′C=BC=2时，A′B=4， 设AE=x，则A′E=x，BE=8-x．过A′点作A′M垂直于AB，交AB延长线于M点， 在Rt△A′BM中，∠A′BM=60°，∴BM=2，A′M=2． 在Rt△A′EM中，利用勾股定理可得：x2=（10-x）2+12，解得x=．即AE=； ②如图2，当A′B=BC=2时，设AE=x，则A′E=x，BE=8-x． 过A′点作A′N垂直于AB，交AB延长线于N点， 在Rt△A′BN中，∠A′BN=60°，∴BN=1，A′N=． 在Rt△A′EN中，利用勾股定理可得：x2=（9-x）2+3，解得x=． 即AE=；所以AE的长为5.6或．故答案为5.6或． 【点睛】本题主要考查翻折性质、平行四边形的性质、勾股定理，同时考查分类讨论的数学思想． 【知识拓展5】平行四边形性质的综合（多结论问题） 例5．（2022·山东济南市·八年级期末）如图，在ABCD中，AD=2AB，，垂足在线段上，、分别是、的中点，连接，、的延长线交于点，则下列结论：①；②：③；④.其中，正确结论的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由点F是AD的中点，结合ABCD的性质，得FD=CD，即可判断①；先证∆AEF≅∆DHF，再证∆ECH是直角三角形，即可判断②；由EF=HF，得，由，CE⊥CD，结合三角形的面积公式，即可判断③；设∠AEF=x，则∠H=x，根据直角三角形的性质，得∠FCH=∠H=x，由FD=CD，∠DFC=∠FCH=x，由FG∥CD∥AB，得∠AEF=∠EFG=x，由EF=CF，∠EFG=∠CFG=x，进而得到，即可判断④． 【详解】∵点F是AD的中点，∴2FD=AD， ∵在ABCD中，AD=2AB，∴FD=AB=CD，∴∠DFC=∠DCF， ∵AD∥BC，∴∠DFC=∠BCF，∴∠DCF=∠BCF，即：，∴①正确； ∵AB∥CD，∴∠A=∠FDH，∠AEF=∠H，又∵AF=DF，∴∆AEF≅∆DHF（AAS），∴EF=HF， ∵，∴CE⊥CD，即：∆ECH是直角三角形，∴=EH，∴②正确； ∵EF=HF，∴∵，CE⊥CD，垂足在线段上， ∴,∴,∴，∴③错误； 设∠AEF=x，则∠H=x，∵在Rt∆ECH中，CF=FH=EF，∴∠FCH=∠H=x， ∵FD=CD，∴∠DFC=∠FCH=x，∵点F，G分别是EH，EC的中点，∴FG∥CD∥AB，∴∠AEF=∠EFG=x， ∵EF=CF，∴∠EFG=∠CFG=x，∴∠DFE=∠DFC+∠EFG+∠CFG=3x，∴． ∴④正确．故选C． 【点睛】本题主要考查平行四边形和直角三角形的性质定理的综合，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 【即学即练】 1．（2022·山东泰安市·九年级期末）如图，的对角线交于点平分交于点，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的个数有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】求得∠ADB=90°，即AD⊥BD，即可得到S▱ABCD=AD•BD；依据∠CDE=60°，∠BDE=30°，可得∠CDB=∠BDE，进而得出DB平分∠CDE；依据Rt△AOD中，AO＞AD，即可得到AO＞DE；依据O是BD中点，E为AB中点，可得BE=DE，利用三角形全等即可得OE⊥BD且OB=OD． 【详解】解：在中，∵∠BAD=∠BCD=60°，∠ADC=120°，DE平分∠ADC， ∴∠ADE=∠DAE=60°=∠AED，∴△ADE是等边三角形，， ∴E是AB的中点，∴DE=BE，， ∴∠ADB=90°，即AD⊥BD，∴S▱ABCD=AD•BD，故①正确； ∵∠CDE=60°，∠BDE=30°，∴∠CDB=∠CDE-∠BDE=60°-30°=30°， ∴∠CDB=∠BDE，∴DB平分∠CDE，故②正确； ∵Rt△AOD中，AO＞AD，∵AD=DE，∴AO＞DE，故③错误； ∵O是BD的中点，∴DO=BO,∵E是AB的中点，∴BE=AE=DE ∵OE =OE ∴△DOE≌△BOE(SSS)∴∠EOD=∠EOB ∵∠EOD+∠EOB=180°∴∠BOE=90°∴OE垂直平分BD，故④正确；正确的有3个，故选择：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式的综合运用，三角形全等判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质定理和等边三角形判定定理，三角形全等判定方法和性质是解题的关键． 判定定理进行推理论证是解题的关键． 【知识拓展6】平行线间距离的应用 例6．（2022·广东广州市·九年级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC，AC＝24，BE＝5，AD＝8，则两平行线AD与BC间的距离是_____． 【答案】15 【分析】利用等面积法,得2S△ABC=S四边形ABCD,表示出面积即可. 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形, ∴2S△ABC=S四边形ABCD,设平行线AD与BC间的距离为h,即AC·BE=AD·h ∵AC＝24， BE＝5，AD＝8，∴h=15. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质,等面积法,中等难度,利用等面积法是解题关键. 【即学即练】 1．（2022·广西桂林市·七年级期末）如图，若表示三角形的面积，表示三角形的面积，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作AEBC，DFBC，根据平行线的性质，可得AE= DF，ABC与DBC分别以AE、DF为高，BC为底，同底同高的三角形面积相等，即可求出答案． 【详解】解：如图所示，作AEBC，DFBC， ∵ADBC，∴AE= DF，且，， ∴，即，故选：A． 【点睛】本题主要考察了平行线的性质，即可说明同底同高的三角形面积相等． 知识点02 平行四边形的判定 【知识点】 平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD： 1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC。 2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC。 3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC。 4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC。 5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO。 注： = 1 \* GB3 ①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）； = 2 \* GB3 ②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形。若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的。 【知识拓展1】平行四边形的判定 例1．（2022·山东·八年级期末）下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（ ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 C．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 D．有两组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴选项A不符合题意； B、∵有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，∴选项B不符合题意； C、∵有一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，∴选项C符合题意； D、∵有两组对角相等的四边形是平行四边形，∴选项D不符合题意；故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 【即学即练1】 1．（2022·广东·八年级课时练习）下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A．两组对边分别平行 B．一组对边平行，另一组对边相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行，一组对角相等 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故本选项符合题意；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；故选：B． 【点睛】本题考查了对平行四边形的判定定理的应用，能熟记平行四边形的判定定理是解此题的关键，注意：平行四边形的判定定理有：①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 2．（2022·湖北远安·八年级期末）如图四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A．AB∥CD，∠DAC=∠BCA B．AB=CD，∠ABO=∠CDO C．AC=2AO，BD=2BO D．AO=BO，CO=DO 【答案】D 【分析】A.证明，即可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判断； B.证明AB∥CD，即可根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断； C. 可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断；D. 条件不足无法判断； 【详解】∠DAC=∠BCA，四边形是平行四边形，故A选项正确，不符合题意； ∠ABO=∠CDO又 AB=CD，四边形是平行四边形，故B正确，不符合题意； AC=2AO，BD=2BO四边形是平行四边形，故C正确，不符合题意； D. 条件不足无法判断，符合题意；故选D 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 【知识拓展2】添加一个条件成为平行四边形 例2．（2022·绵阳市八年级专题练习）如图，在中，D，F分别是，上的点，且．点E是射线上一点，若再添加下列其中一个条件后，不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由结合已知条件可证明，从而可判断，由结合已知条件可证明，从而可判断，由结合已知条件可判断，由结合已知条件仍不能判定四边形为平行四边形，从而可得到答案． 【详解】解：A、∵∠ADE=∠E， ∴AB∥CE， 又∵DF∥BC， ∴四边形DBCE为平行四边形；故选项A不符合题意； B、∵DF∥BC， ∴∠ADE=∠B， ∵∠B=∠E， ∴∠ADE=∠E， ∴AB∥CE， ∴四边形DBCE为平行四边形；故选项B不符合题意； C、∵DF∥BC， ∴DE∥BC， 又∵DE=BC， ∴四边形DBCE为平行四边形；故选项C不符合题意； D、由DF∥BC，BD=CE，不能判定四边形DBCE为平行四边形；故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【即学即练2】 2．（2022·山东·宁津县八年级期末）如图，在中，点，分别在边，上．若从下列条件中只选择一个添加到图中的条件中．那么不能使四边形是平行四边形的条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定条件进行逐一判断即可得到答案. 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥EC，AD=BC，∠B=∠D，AB=CD ∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，故A不符合题意； ∵BE=DF∴AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形，故C不符合题意； ∵∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌CDF（SAS），∴AE=CF，BE=DF，∴AF=CE ∴四边形AECF是平行四边形，故D不符合题意； 由AE=CF，一组对边平行另一组对边相等，不能判断四边形AECF是平行四边形，故B符合题意，故选B. 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 【知识拓展3】证明四边形是平行四边形 例3．（2022·山西八年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．（1）求证：AEF≌DEC；（2）求证：四边形ACDF是平行四边形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB//CD，根据平行线的性质可得就爱∠FAE=∠CDE，利用ASA即可证明△AEF≌△DEC； （2）根据全等三角形的性质可得AF=DC，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得结论． 【详解】（1）∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE， ∵点E是边AD的中点，∴AE＝DE， 在△AEF和△DEC中，∴△AEF≌△DEC（ASA）． （2）∵△AEF≌△DEC，∴AF＝DC， ∵AF∥DC，∴四边形ACDF是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，平行四边形的对边互相平行；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；熟练掌握相关性质与判定定理是解题关键． 【即学即练3】 1．（2021·四川内江·中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，，． 求证：（1）；（2）四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）已知，可得到，由得到，可证明出； （2）由（1）得，得到，，，推出，即可证明． 【详解】证明：（1），，即，，， 在与中，，； （2）由（1）得：，，， ，，四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，属于基础题，熟练掌握全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定是解题关键． 【知识拓展4】利用平行四边形的性质与判定求解 例4．（2022·吉林长春市·八年级月考）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于点O．（1）求证：AD与BE互相平分；（2）若AB⊥AC，AC=BF，BE=8，FC=2，求AB的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）连接证明可得： 再证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可得答案；（2）由BE=8，FC=2，结合 AC=BF，求解 再利用AB⊥AC，由勾股定理可得答案． 【详解】证明：（1）连接 在与中， 四边形是平行四边形， AD与BE互相平分； （2） 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 【即学即练4】 1．（2022·广东·八年级期中）如图，已知四边形ABCD和四边形BCEF均为平行四边形，∠D＝60°，连接AF，并延长交BE于点P，若AP⊥BE，AB＝3，BC＝2，AF＝1，则BE的长为（ ） A．5 B．2 C．2 D．3 【答案】D 【分析】过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接BD，DE，先证∠DHC=90º，再证四边形ADEF是平行四边形，最后利用勾股定理得出结果． 【详解】过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接BD，DE， ∵四边形ABCD是平行四边形，AB=3，∠ADC=60º，∴CD=AB=3，∠DCH=∠ABC=∠ADC=60º， ∵DH⊥BC， ∴∠DHC=90º，∴∠ADC+∠CDH=90°，∴∠CDH=30°， 在Rt△DCH中，CH=CD=，DH=，∴， ∵四边形BCEF是平行四边形，∴AD=BC=EF，AD∥EF， ∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥DE，AF=DE=1， ∵AF⊥BE，∴DE⊥BE，∴， ∴，故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用这些性质解决问题． 【知识拓展5】利用平行四边形的性质与判定证明 例5．（2022·上海九年级专题练习）已知：平行四边形中，点为边的中点，点为边的中点，联结、．（1）求证：∥；（2）过点作，垂足为，联结．求证：△是等腰三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质，可得AB∥CD，AB=CD，又由点M为边CD的中点，点N为边AB的中点，即可得CM=AN，继而可判定四边形ANCM是平行四边形，则可证得AM∥CN．（2）由AM∥CN，BH⊥AM，点N为边AB的中点，可证得BH⊥CN，ME是△BAH的中位线，则可得CN是BH的垂直平分线，继而证得△BCH是等腰三角形． 【详解】解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴∥且． ∵点、分别是边、的中点，∴，． ∴． 又∵∥，∴四边形是平行四边形 ∴∥． （2）设BH与CN交于点E， ∵AM∥CN，BH⊥AM，∴BH⊥CN，∵N是AB的中点，∴EN是△BAH的中位线， ∴BE=EH，∴CN是BH的垂直平分线，∴CH=CB，∴△BCH是等腰三角形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 【即学即练】 1．（2022·辽宁旅顺口·八年级期中）如图，四边形中，，，过点作，垂足为，且．连接，交于点．（1）探究与的数量关系，并证明； （2）探究线段，，的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）∠DAE+∠CAE=90°，理由见解析；（2）AF=EF+CE，理由见解析． 【分析】（1）设∠CAE=，先证∠EAB=∠EBA=45°，再证∠DAC=180°-∠DCA-∠ADC=90°-2，最后由∠DAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE+∠CAE得出结论；（2）延长DC交AE延长线于G，连接BG，先证△CEA≌△GEB，再证四边形ABGD是平行四边形，最后根据平行四边形的性质解答即可． 【详解】解：（1）∠DAE+∠CAE=90°，理由：设∠CAE=， ∵AE⊥BE，∴∠AEB=90°，∵AE=BE，∴∠EAB=∠EBA=45°， ∵CD∥AB，∴∠DCA=∠CAB=45°+，∵AC=AD，∴∠DCA=∠ADC=45°+， ∴∠DAC=180°-∠DCA-∠ADC=90°-2，∴∠DAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE+∠CAE=90°-2++=90°； （2）AF=EF+CE，理由：延长DC交AE延长线于G，连接BG， ∵CD∥AB，∴∠ECG=∠EBA=∠EAB=∠CGE=45°，∴CE=EG，AE=BE， 又∵∠CEA=∠GEB=90°， ∴△CEA≌△GEB，∴AC=GB=AD，∠ACE=∠BGE，∴∠CAE=∠GBE， ∵∠GEB=90°，∴∠AGB+∠GBE=90°，∵由（1）知∠DAE+∠CAE=90°，∴∠DAE=∠AGB，∴AD∥BG， ∵DG∥AB，∴四边形ABGD是平行四边形，∴AF=GF，∵GF=EF+GE=EF+CE，∴AF=EF+CE． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【知识拓展6】平行四边形中的动态问题 例6．（2022·陕西榆林市·八年级期末）如图，的对角线相交于点，点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动，连接，并延长交于点．设点的运动时间为秒．（1）求的长（用含的代数式表示）；（2）当四边形是平行四边形时，求的值；（3）当时，点是否在线段的垂直平分线上？请说明理由． 【答案】（1）10-t；（2）5秒；（3）见解析 【分析】（1）先证明△APO≌△CQO，可得出AP=CQ=t，则BQ即可用t表示；（2）由题意知AP∥BQ，根据AP=BQ，列出方程即可得解；（3）过点O作直线EF⊥AP，垂足为E，与BC交于F，利用三角形面积公式求出EF，得到OE，利用勾股定理求出AE，再说明AP=2AE即可． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠PAO=∠QCO， ∵∠AOP=∠COQ，∴△APO≌△CQO（ASA），∴AP=CQ=t，∵BC=10，∴BQ=10-t； （2）∵AP∥BQ，当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，即t=10-t，解得：t=5， ∴当t为5秒时，四边形ABQP是平行四边形； （3）过点O作直线EF⊥AP，垂足为E，与BC交于F， 在Rt△ABC中，∵AB=6，BC=10，∴AC=，∴AO=CO=AC=4， ∵S△ABC＝=，∴AB•AC=BC•EF，∴6×8=10×EF， ∴EF＝，∴OE=，∴AE==， 当时，AP=，∴2AE=AP，即点E是AP中点，∴点O在线段AP的垂直平分线上． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，垂直平分线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题． 【即学即练】 1．（2022·湖南邵阳市·九年级期末）如图，在▱ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，∠A=60°，点P沿AB边从点A开始以2cm/秒的速度向点B移动，同时点Q沿DA边从点D开始以1cm/秒的速度向点A移动，用t表示移动的时间（0≤t≤6）．（1）当t为何值时，△PAQ是等边三角形？（2）当t为何值时，△PAQ为直角三角形？ 【答案】（1）t=2；（2）t=3或． 【分析】（1）根据等边三角形的性质，列出关于t的方程，进而即可求解． （2）根据△PAQ是直角三角形，分两类讨论，分别列出方程，进而即可求解． 【详解】解：（1）由题意得：AP=2t（米），AQ=6-t（米）． ∵∠A=60°，∴当△PAQ是等边三角形时，AQ=AP，即2t=6-t，解得：t=2， ∴当t=2时，△PAQ是等边三角形． （2）∵△PAQ是直角三角形， ∴当∠AQP=90°时，有∠APQ=30°，即AP=2AQ，∴2t=2（6-t），解得：t=3（秒）， 当∠APQ=90°时，有∠AQP=30°，即AQ=2AP，∴6-t=2·2t，解得（秒）， ∴当t=3或时，△PAQ是直角三角形． 【定睛】本题主要考查等边三角形的性质，直角三角形的定义以及平行四边形的定义，熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形的定义，列出方程，是解题的关键． 2．（2022·广东惠城·八年级期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，点D从点C出发沿CA方向以cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤60）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）当t＝30秒或40秒时，△DEF为直角三角形 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出DF，得到DF=AE，并由已知证得DF∥AE，则根据平行四边形的判定定理证明结论；（2）利用①当∠EDF=90°时；②当∠DEF=90°时；③当∠EFD=90°时，分别分析得出即可． 【详解】（1）证明：∵等腰Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm， ∴AB＝BC＝60cm，∠C＝45°，由题意得，CD＝t，AE＝t， ∵DF⊥BC， ∴DF＝CD＝t，∠CFD＝90°， ∴DF＝AE，DF∥AE，∴四边形AEFD是平行四边形； （2）解：①当∠EDF＝90°时，如图①， ∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C＝45°，∴AD＝AE， 即60﹣t＝t，解得，t＝30， ②当∠DEF＝90°时，如图②， ∵AD∥EF，∴DE⊥AC，∴AE＝AD，即t＝×（60﹣t），解得，t＝40， ③当∠EFD=90°时，此种情况不存在．综上所述，当t＝30秒或40秒时，△DEF为直角三角形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、等腰直角三角形的性质，掌握平行四边形的判定定理及等腰直角三角形的性质是解题的关键． 知识点03 三角形的中位线定理 【知识点】 三角形的中位线定理： 1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线） 2）三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点D、E分别为AB、AC的中点，则DE//BC且DE=BC。 【知识拓展1】与中位线相关的计算问题 例1．（2022·福建·九年级期中）如图，四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，若∠EPF＝130°，则∠PEF的度数为（ ） A．25° B．30° C．35° D．50° 【答案】A 【分析】根据三角形的中位线定理，可得 ，从而PE=PF，则有∠PEF=∠PFE，再根据三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，∴ ， ∵AD＝BC，∴PE=PF，∴∠PEF=∠PFE， ∵∠EPF＝130°，∴ ．故选：A 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 【即学即练】 1．（2022·山东潍坊市·八年级期末）如图，在中，是上一点，于点，点是的中点，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据可得△ACD为等腰三角形，再由结合“三线合一”性质可得E为CD的中点，从而得到EF为△CBD的中位线，最终根据中位线定理求解即可． 【详解】∵，∴△ACD为等腰三角形，∵，∴E为CD的中点，（三线合一） 又∵点是的中点，∴EF为△CBD的中位线，∴，故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形三线合一的性质以及中位线的性质，准确判断出中位线是解题关键． 【知识拓展2】三角形的中位线与面积 例2．（2022·长春市格致中学九年级期末）如图，有一块形状为△的斜板余料，∠＝90°，＝6，＝8，要把它加工成一个形状为□的工件，使在边BC上,、两点分别在边、上，若点是边的中点，则的面积为_________． 【答案】12 【分析】作交BC于H点，交DE于I点，根据可得，根据是边的中点可知是的中位线，得，利用三角形面积，可得，，则根据，计算可得结果． 【详解】如图示，作交BC于H点，交DE于I点， ∵∴ ∵是边的中点，，∴是的中位线，∴， 又∵，即有，∴， ∴，∴，故答案为：12． 【点睛】本题考查了三角形中位线的应用，勾股定理，三角形的面积和平行四边形的面积，熟悉相关性质定理是解题的关键．中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 【即学即练】 1．（2021·四川内江·中考真题）如图，在边长为的等边中，分别取三边的中点，，，得△；再分别取△三边的中点，，，得△；这样依次下去，经过第2021次操作后得△，则△的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据三角形中位线定理计算，再总结规律，根据规律解答即可得． 【详解】解：点，分别为，的中点，， 点，分别为，的中点，，，， △的面积，故选D． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，解题的关键是掌握三角形中位线定理． 【知识拓展3】与中位线相关的证明问题 例3．（2022·山东烟台市·八年级期末）如图，在中，是边的中线，是的中点，连接并延长交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】取的中点，连接，则DM是△ABF的中位线，利用中位线定理结合全等三角形的判定即可证得． 【详解】证明：取的中点，连接， ∵是边的中线，∴是边的中点，∴，． ∴，．∵是的中点，∴， 在△MDE和△FCE中，∴．∴，∴． 【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 【即学即练3】 1．（2022·山东东平八年级阶段练习）如图，在中，AE平分，于点E，点F是BC的中点（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：；（2）如图2，中，，求线段EF的长． 【答案】（1）见解析；（2）2 【分析】（1）利用ASA定理证明△AEB≌△AED，得到BE=ED，AD=AB，根据三角形中位线定理解答； （2）分别延长BE、AC交于点H，仿照（1）的过程解答． 【详解】解：（1）证明：∵AE平分，， ∴∠BAE=∠DAE，∠AEB=∠AED=90°， 在△AEB和△AED中，，∴△AEB≌△AED（ASA）∴BE=ED，AD=AB， ∵点F是BC的中点，∴BF=FC，∴EF是△BCD的中位线， ∴EF=CD=(AC-AD)=(AC-AB)； （2）解：分别延长BE、AC交于点H， ∵AE平分，，∴∠BAE=∠DAE，∠AEB=∠AED=90°， 在△AEB和△AEH中，，∴△AEB≌△AEH（ASA）∴BE=EH，AH=AB=9， ∵点F是BC的中点，∴BF=FC，∴EF是△BCD的中位线，∴EF=CH=(AH-AC)=2． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 题组A 基础过关练 1．（2022·贵州铜仁市·八年级期末）如图，点在直线上移动，是直线上的两个定点，且直线.对于下列各值：①点到直线的距离；②的周长；③的面积；④的大小．其中不会随点的移动而变化的是（ ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】根据平行线间的距离不变即可判断①；根据三角形的周长和点P的运动变化可判断②④；根据同底等高的三角形的面积相等可判断③；进而可得答案． 【详解】解：∵直线，∴①点到直线的距离不会随点的移动而变化； ∵PA、PB的长随点P的移动而变化， ∴②△PAB的周长会随点的移动而变化，④∠APB的大小会随点的移动而变化； ∵点到直线的距离不变，AB的长度不变，∴③△PAB的面积不会随点的移动而变化； 综上，不会随点的移动而变化的是①③．故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线间的距离和同底等高的三角形的面积相等等知识，属于基础题型，熟练掌握平行线间的距离的概念是关键． 2．（2022·黑龙江·大庆市北湖学校八年级期末）在□ABCD中，AC=24，BD=38，AB=m，则m的取值范围是（ ） A．24
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