数学人教版第十九章 一次函数19.2 一次函数19.2.2 一次函数教案及反思

这是一份数学人教版第十九章 一次函数19.2 一次函数19.2.2 一次函数教案及反思，共5页。

(一)教学知识点
利用一次函数知识解决相关实际问题.
(二)能力训练目标
体会解决问题方法的多样性,发展创新实践能力,培养学生的数学核心素养.
学习重点
灵活运用知识解决相关问题.
学习难点
灵活运用知识解决相关问题.
课时活动设计
回顾复习
1.在一次函数y=kx+b中,b>0,且y随x的增大而减小,则它的图象大致为( D )
2.由一次函数图象可获得哪些信息?
解:(1)由一次函数的图象可确定k和b的符号;
(2)由一次函数的图象可估计函数的变化趋势;
(3)可直接观察出x与y的对应值;
(4)由一次函数的图象与y轴的交点的坐标可确定b值,再根据与x轴交点坐标可由待定系数法确定一次函数的解析式.
设计意图:复习旧知识,为新课学习奠定基础.
1.提出问题,创设情境
我们前面学习了有关一次函数的一些知识及如何确定函数解析式,那么如何利用一次函数知识解决相关实际问题呢?这将是我们这节课要解决的主要问题.
2.导入新课
下面我们来学习一次函数的应用.
例1 小芳以200米/分的速度起跑后,先匀加速跑5分钟,每分钟提高速度20米/分,再匀速跑10分钟.试写出这段时间里她跑步速度y(米/分)随跑步时间x(分)变化的函数关系式,并画出图象.
解:y=20x+200(0图象如图所示.
我们把这种函数叫做分段函数.在解决分析函数问题时,要特别注意自变量取值范围的划分,既要科学合理,又要符合实际.
设计意图:通过熟悉的生活情境体会一次函数中分段函数存在的客观性和学习分段函数的必要性,先从实际数量关系上列出解析式,再根据解析式画出其图象,加深学生对函数“数”和“形”的完善结合的理解,让学生真正感受到数学与生活的密切关系,从而尝试“用数学的眼光观察世界”,达到学数学用数学的境界.
例2 A城有肥料200 t,B城有肥料300 t.现要把这些肥料全部运往C,D两乡.从A城往C,D两乡运肥料的费用分别为20元/t和25元/t;从B城往C,D两乡运肥料的费用分别为15元/t和24元/t.现C乡需要肥料240 t,D乡需要肥料260 t,怎样调运可使总运费最少?
教师活动:引导学生进行讨论、分析和思考.从影响总运费的变量有哪些入手,进而寻找变量个数及变量间的关系,探究出总运费与变量间的函数关系,从而利用函数知识解决问题.
学生活动:在教师指导下,经历思考、讨论、分析,找出影响总运费的变量,并认清它们之间的关系,确定函数关系,最终解决实际问题.
活动过程及结论:通过分析思考,可以发现:A—C,A—D,B—C,B—D运肥料共涉及4个变量,它们都是影响总运费的变量,然而它们之间又有一定的必然联系,只要确定其中一个量,其余三个量也就随之确定.这样我们就可以设其中一个变量为x,把其他变量用含x的代数式表示出来:
设从A城运往C乡x t肥料,则所需运输费用为20x元.
因为A城有肥料200 t,所以从A城运往D乡(200-x)t肥料, 则所需运输费用为25(200-x)元.
因为C乡需要肥料240 t,所以从B城运往C乡(240-x)t肥料, 则所需运输费用为15(240-x)元.
因为D乡需要肥料260 t,所以从B城运往D乡(260-200+x)t肥料, 则所需运输费用为24(60+x)元.
设总运费为y元,则y=20x+25(200-x)+15(240-x)+24(60+x)=4x+10 040(0≤x≤200).
函数图象如图所示.
由解析式或图象都可看出,当x=0时,y值最小,为10 040.
因此,从A城运往C乡0 t肥料,运往D乡200 t肥料;从B城运往C乡240 t肥料,运往D乡60 t肥料,此时总运费最少,为10 040元.
设计意图:通过这一活动让学生逐步学会运用有关知识寻求出解决实际问题的方法,提高灵活运用能力.
变式题
若A城有肥料300 t,B城有肥料200 t,其他条件不变,又该怎样调运呢?
解题方法与思路不变,只是过程有所不同:
A→C:x t;
A→D:(300-x)t;
B→C:(240-x)t;
B→D:(x-40)t.
反映总运费y与x的函数关系式为
y=20x+25(300-x)+15(240-x)+24(x-40)=4x+10 140(40≤x≤240).
由解析式可知,当x=40时,y值最小,为4×40+10 140=10 300(元).
因此从A城运往C乡40 t肥料,运往D乡260 t肥料;从B城运往C乡200 t肥料,运往D乡0 t肥料,此时总运费最少,为10 300元.
如何确定自变量x的取值范围是40≤x≤240的呢?
因为A城中只有300 t肥料,且从B城运往C乡的肥料为(240-x)t,运往D乡的肥料为(x-40)t,而x-40≥0,所以40≤x≤240.
设计意图:对所学知识和题型进一步强化练习和巩固.
课堂小结
解决含有多个变量的问题时,可以分析这些变量间的关系,选取其中某个变量作为自变量,然后根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数.这样就可以利用函数知识来解决了.
在解决实际问题的过程中,要注意根据实际情况确定自变量的取值范围.就像教学活动4中的变式题一样,如果自变量的取值范围弄错了,很容易出现失误,得到错误的结论.
设计意图:课堂小结是课堂的精华,也是学生对本节知识的总结,更是提升.培养学生的总结能力,以便更好地指导知识应用的提升.
课堂8分钟.
1.教材第107页复习题19综合运用第7,8,9,10,11题.
2.七彩作业.
教学反思