初中数学19.3 课题学习 选择方案教学设计

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(一)教学知识点
巩固一次函数的知识,灵活运用变量关系解决相关实际问题.
(二)能力训练要求
1.有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用,提高解决实际问题的能力.
2.让学生认识到数学在现实生活中的意义,发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.
学习重点
建立函数模型.
学习难点
灵活运用数学模型解决实际问题.
课时活动设计
回顾复习
如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y(元)与销售量x(件)之间的函数图象.判断下列说法的正误:
①售2件时,甲、乙两家的售价一样;(对)
②买1件时,买甲家的合算;(错)
③买3件时,买乙家的合算.(错)
设计意图:温故知新,为抓住本节重点、突破难点做知识储备.为本节课的学习提供迁移或类比的办法.
建立模型
情境导入:嘉嘉的爸爸和妈妈想为家里办一张网卡,去通信公司办公大厅咨询,工作人员给了他们三种收费方式,他们一看不知道哪个收费方式合算,你能帮他们解决吗?
问题1:怎样选取上网收费方式?
下表中给出A,B,C三种收费方式.
选取哪种方式能节省上网费?
分析:在方式A,B中,上网时间是影响上网费的变量;在方式C中,上网费是常量.
设月上网时间为x h,则方案A,B的收费金额y1,y2都是x的函数.要比较它们,需在x>0的条件下,考虑何时(1)y1=y2,(2)y1y2.利用函数解析式,通过方程、不等式或函数图象能够解答上述问题.在此基础上,再用其中省钱的方式与方式C进行比较,则容易对收费方式作出选择
在方式A中,月使用费30元与包时上网时间25 h是常量.考虑收费金额时,要把上网时间分为25 h以内和超过25 h两种情况,得到的是如下的函数
y1=30,0≤x≤25,30+0.05×60(x-25),x>25,
化简,得y1=30,0≤x≤25,3x-45,x>25.
这个函数的图象如图1所示.
类似地,可以得出方式B,C的收费金额y2,y3关于上网时间x的函数解析式.
画出y2,y3的图象如图2所示,结合函数图象与解析式,填空:
当上网时间 不超过3123 h 时,选择方式A最省钱;
当上网时间 超过3123 h但不超过7313 h 时,选择方式B最省钱;
当上网时间 超过7313 h 时,选择方式C最省钱.
设计意图:上网收费是生活中常见的问题.问题中所列三种不同的收费方式,它们都与当月的上网时间有关,即上网费是上网时间的函数(方案A,B是包括一次函数的分段函数,方案C是常值函数).比较这三个函数,又可以发现对于上网时间有不同需求的人可以从中选择不同的收费方式,以达到省钱的目的.通过分析变量间的关系,列出函数解析式,然后比较三个函数解析式或相应的图象,找出不同的上网时间范围内上网费最低的方案.这是利用一次函数模型分析和解决实际问题的过程.对方案A作了较细致的讨论,而把其他方案的讨论及比较这些方案留给学生自行探究.这样处理既有引导,又留有自主发挥的余地.
学生练习
东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元,书法练习本每本售价5元.该商场为了促销制定了两种优惠方案供顾客选择.
甲:买一支毛笔赠送一本书法练习本.
乙:按购买金额打九折付款.
某校欲为校书法兴趣组购买这种毛笔10支,书法练习本x(x≥10)本.如何选择方案购买呢?
解:设甲方案花费y甲元,乙方案花费y乙元.
根据题意,得y甲=25×10+5×(x-10)=5x+200,
y乙=(25×10+5x)×90%=225+4.5x.
当y甲=y乙时,5x+200=4.5x+225,解得x=50;
当y甲>y乙时,5x+200>4.5x+225,解得x>50;
当y甲故当x=50时,选甲、乙两个方案一样;
当x>50时,应选择乙方案;
当10≤x<50时,应选择甲方案.
设计意图:让学生熟练掌握在解决实际问题中的决策性问题的方法.根据实际情况选择方案,进而理解函数与方程及不等式的联系,强化学生数学建模的意识和解题能力.
问题2:怎样租车?
某学校计划在总费用2 300元的限额内,租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动,每辆汽车上至少要有1名教师.现有甲、乙两种大客车,它们的载客量和租金如下表所示.
(1)共需租多少辆汽车?
(2)给出最节省费用的租车方案.
分析:(1)可以从乘车人数的角度考虑租多少辆汽车,要注意到以下要求:
①要保证240名师生都有车坐;
②要使每辆汽车上至少有1名教师.
根据①可知,汽车总数不能小于 6 ;
根据②可知,汽车总数不能大于 6 ;
综合起来可知汽车总数为 6 .
(2)租车费用与所租车的种类有关.可以看出,当汽车总数a确定后,在满足各项要求的前提下,尽可能少地租用甲种客车可以节省费用.
设租用x辆甲种客车,则租车费用y(单位:元)是x的函数,即y=400x+280(a-x).
将(1)中确定的a的值代入上式,化简这个函数,得y= 120x+1 680 .
为使240名师生有车坐,x不能小于 4 ;为使租车费用不超过2 300元,x不能超过 5 .综合起来可知x的取值为 4或5 .
在考虑上述问题的基础上,你能得出几种不同的租车方案?为节省费用应选择其中哪个方案?试说明理由.
解:两种方案.① 4辆甲种客车,2辆乙种客车;②5辆甲种客车,1辆乙种客车.
因为4×400+2×280=2 160(元),
5×400+1×280=2 280(元),
2 160<2 280,所以为节省费用,应选择方案①.
设计意图:“怎样租车”选取了与学校生活有较密切联系的问题情境.问题中没有直接给出不同的方案让学生选择,而只给出了乘车人数及要求与车辆类型及费用,这样陈述问题更接近于实际生活.分析问题时要由题中的多项已知条件综合考虑,从而产生最佳乘车方案.这就比问题1又提高了要求,它更能培养运用数学分析和解决问题的能力.为降低难度,问题设了两问,回答第(1)问时要确定租车的总数,这就为回答第(2)问时把租车费用表示为一个可求值的函数作了准备.回答第(2)问时不仅要构造函数,还要确定自变量的取值范围,这需要综合运用各项已知条件,对学生来说具有一定的挑战性.把实际问题中的数量关系用一次函数来表示,是解决问题的关键,一次函数作为数学模型发挥了重要作用.通过对这些问题的探究,必然使学生对数学建模的作用产生新的认识.
课堂小结
解决含有多个变量的问题时,可以分析这些变量之间的关系,从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量.然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数,以此作为解决问题的数学模型.
设计意图:引导学生进行解题方法的总结和提升,培养学生善于总结和分析问题的能力,培养学生数学建模的意识,提升学生的数学学科素养.
课堂8分钟.
1.教材第100页习题19.2拓广探索第15题,第108页复习题19综合运用第11题.
2.七彩作业.
教学反思




收费方式
月使用费/元
包时上网时间/h
超时费/(元/min)
A
30
25
0.05
B
50
50
0.05
C
120
不限时
甲种客车
乙种客车
载客量/(人/辆)
45
30
租金/(元/辆)
400
280