【中考二轮】2024年中考数学【热点·重点·难点】（江苏专用）热点02 整式与因式分解（13大题型+满分技巧+限时分层检测）-专题训练.zip

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中考数学中，整式这个考点一般会考学生对整式化简计算的应用，偶尔考察整式的基本概念，对整式的复习，重点是要理解并掌握整式的加减法则、乘除法则及幂的运算，难度一般不大。因式分解作为整式乘法的逆运算，在数学中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以简单选择、填空题的形式出现，而且一般只考察因式分解的前两步，拓展延伸部分基本不考，所以学生在复习这部分内容时，除了要扎实掌握好基础，更需要甄别好主次，合理安排复习方向。
考向一：整式的加减
【题型1 同类项的概念】
1．（2023•靖江市一模）若单项式2xmy2与﹣3x3yn是同类项，则mn的值为（ ）
A．9B．8C．6D．5
2．（2023•宝应县模拟）若-12xm+3y与2x4yn+3是同类项，则（m+n）2023＝ ．
【题型2 合并同类项】
1．（2023•沭阳县模拟）下列计算正确的是（ ）
A．2x+3y＝5xyB．5x2﹣3x2＝2
C．x2+x＝x3D．﹣8y+3y＝﹣5y
2．（2023•苏州模拟）计算：a2+2a2＝ ．
【题型3 去（添）括号】
1．（2023秋•费县）下列去括号正确的是（ ）
A．a+（﹣3b+2c﹣d）＝a﹣3b+2c﹣d
B．﹣（﹣x2+y2）＝﹣x2﹣y2
C．a2﹣（2a﹣b+c）＝a2﹣2a﹣b+c
D．a﹣2（b﹣c）＝a+2b﹣c
2．（2023•张家港市）把多项式﹣3x2﹣2x+y﹣xy+y2一次项结合起来，放在前面带有“+”号的括号里，二次项结合起来，放在前面带有“﹣”号的括号里，等于（ ）
A．（﹣2x+y﹣xy）﹣（3x2﹣y2）
B．（2x+y）﹣（3x2﹣xy+y2）
C．（﹣2x+y）﹣（﹣3x2﹣xy+y2）
D．（﹣2x+y）﹣（3x2+xy﹣y2）
3．（2023•靖江市二模）当3（x+m）﹣2n＝6，2（x﹣n）+m＝3时，代数式3x﹣4n的值为 ．
考向二：整式的乘除
【题型4 同底数幂的乘法和除法】
1．（2023•镇江）下列运算中，结果正确的是（ ）
A．2m2+m2＝3m4B．m2•m4＝m8
C．m4÷m2＝m2D．（m2）4＝m6
2．（2023•常州）计算a8÷a2的结果是（ ）
A．a4B．a6C．a10D．a16
3．（2023•徐州）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．a4÷a2＝a2
C．（a3）2＝a5D．2a2+3a2＝5a4
4．（2023•宿迁模拟）下列运算正确的（ ）
A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a5C．a6+a2＝a4D．3a3﹣a2＝2ª
【题型5 幂的乘方与积的乘方】
1．（2023•南京一模）（﹣2a2）3的计算结果是（ ）
A．8a6B．﹣8a6C．6a6D．﹣6a6
2．（2023•宿迁）下列运算正确的是（ ）
A．2a﹣a＝1B．a3•a2＝a5C．（ab）2＝ab2D．（a2）4＝a6
3．（2024•泗洪县一模）下列运算正确的是（ ）
A．m2+m3＝m5B．（m2）3＝m5C．m5﹣m3＝m2D．m2•m3＝m5
4．（2023•鼓楼区校级三模）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）4＝a6B．a2•a4＝a6C．a2+a4＝a6D．a2+a2＝2a4
【题型6 整式的乘除法】
1．（2023•扬州）若（ ）•2a2b＝2a3b，则括号内应填的单项式是（ ）
A．aB．2aC．abD．2ab
2．（2023•崇川区校级三模）下列运算正确的是（ ）
A．2a+3a＝5a2B．a•a•a＝3a
C．（a3）2＝a5D．a（m+n）＝am+an
3．（2023•无锡）现有一长方形地块，长比宽多20米．若将长增加10米，宽缩短5米，则所得长方形地块与原长方形地块的面积相等，则原长方形地块的长为 米．
4．（2023•邗江区二模）若代数式（x﹣2）（x﹣k）（x﹣4）化简运算的结果为x3+ax2+bx+8，则a+b＝ ．
【题型7 整式的化简求值】
1．（2023•宿迁）若实数m满足（m﹣2023）2+（2024﹣m）2＝2025，则（m﹣2023）（2024﹣m）＝ ．
2．（2023•苏州模拟）已知x=5-32，则代数式x（x+1）（x+2）（x+3）的值为 ．
3．（2023•靖江市校级三模）已知a是方程x2+2x﹣1＝0的一个根，则代数式（a+1）2+a（a+2）的值＝ ．
4．（2023•常州）先化简，再求值：（x+1）2﹣2（x+1），其中x=2．
考向三：乘法公式
【题型8 完全平方公式】
1．（2023•邗江区二模）下列运算正确的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2B．2a+3b＝5ab
C．a6÷a3＝a2D．a3•a2＝a5
2．（2023•海陵区校级模拟）下列等式成立的是（ ）
A．m2﹣2m+4＝（m﹣1）2B．﹣3xy2﹣2y2x＝﹣5xy2
C．a2+b2a+b=a+bD．2x﹣（x﹣1）＝x﹣1
3．（2023•高新区二模）已知m+n＝1，m﹣n＝3，则m2+n2＝ ．
4．（2023•盐都区三模）已知2x2+x﹣1＝0，求代数式（2x+1）2﹣2（x﹣3）的值．
【题型9 平方差公式】
1．（2023•天宁区校级模拟）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．（ab）2＝ab2
C．（a+b）2＝a2+b2D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
2．（2023•海州区校级二模）化简（1+a）（1﹣a）+a（a﹣2）．
考向四：因式分解
【题型10 提公因式法分解因式】
1．（2023•镇江）分解因式：x2+2x＝ ．
2．（2023•清江浦区模拟）因式分解：2mn﹣6m＝ ．
3．（2023•栖霞区校级三模）分解因式：（a+1）2﹣2a﹣2＝ ．
【题型11 公式法分解因式】
1．（2023•盐城一模）分解因式：x2﹣9＝ ．
2．（2023•无锡）分解因式：4﹣4x+x2＝ ．
3．（2023•玄武区三模）分解因式（a2+a）2﹣（a+1）2的结果是 ．
4．（2023•建邺区校级二模）分解因式（a﹣b）（a﹣4b）+ab的结果是 ．
【题型12 十字相乘法分解因式】
1．（2023•梁溪区模拟）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1
B．x2﹣3xy+2y2＝（x﹣2y）（x﹣y）
C．x4﹣4x2＝（x2+2x）（x2﹣2x）
D．x3+4x+4＝x（x+2）2
2．（2023•苏州模拟）因式分解：2x2﹣6x﹣8＝ ．
【题型13 因式分解的综合应用】
1．（2023•邳州市一模）已知xy＝2，x+y＝3，则x2﹣y2＝ ．
2．（2023•姑苏区校级二模）若a﹣2b＝3，则代数式a2﹣2ab﹣6b的值是 ．
3．（2023•滨海县模拟）已知x+y＝2，x+3y＝4，则代数式x2+4xy+4y2的值为 ．
（建议用时：15分钟）
1．（2023•苏州）下列运算正确的是（ ）
A．a3﹣a2＝aB．a3•a2＝a5C．a3÷a2＝1D．（a3）2＝a5
2．（2023•惠山区校级模拟）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．x（2x+1）＝2x2+xB．1﹣a2＝（1+a）（1﹣a）
C．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1D．a2﹣2a+3＝（a﹣1）2+2
3．（2023•高邮市模拟）代数式2x﹣3y与2x+y的大小关系（ ）
A．只与x有关B．只与y有关C．与x、y有关D．与x、y无关
4．（2023•盐城）因式分解：x2﹣xy＝ ．
5．（2023•南京）分解因式3a2﹣6a+3的结果是 ．
6．（2023•泰州）若2a﹣b+3＝0，则2（2a+b）﹣4b的值为 ．
7．（2023•武进区校级模拟）计算：
（1）|-1|-38+(-2023)0；
（2）（a+2）（a﹣2）+a（4﹣a）．
8．（2023•盐城）先化简，再求值：（a+3b）2+（a+3b）（a﹣3b），其中a＝2，b＝﹣1．
9．（2023•亭湖区校级三模）三角形的一边长为2a+b，第二边比第一边长a+2b，第三边长为3a+3b．
（1）用代数式表示三角形的周长；
（2）当a＝3，b＝2时，求三角形的周长．
（建议用时：20分钟）
1．（2023•海陵区校级二模）下列各式运算结果与a2b4相同的是（ ）
A．a2b•a2b2B．a•（ab）2C．（ab2）2D．ab•a2b2
2．（2023•清江浦区二模）已知m、n是两个连续自然数（m＜n），且q＝mn，设p=q+n+q-m，则下列对p的表述中正确的是（ ）
A．总是偶数
B．总是奇数
C．总是无理数
D．有时是有理数，有时是无理数
3．（2023•镇江）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出2x个球放入乙袋，再从乙袋中取出（2x+2y）个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2y个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则2x+y的值等于（ ）
A．128B．64C．32D．16
4．（2023•郓城县一模）分解因式：a3﹣6a2+9a＝ ．
5．（2023•宿豫区三模）已知x=3+1，则代数式（x+1）2﹣4（x+1）+4的值是 ．
6．（2023•姑苏区校级二模）若x满足（100﹣x）（x﹣95）＝5，则（100﹣x）2+（x﹣95）2＝ ．
7．（2023•梁溪区一模）计算：（1）(-2)-2+38-(-3)0；
（2）（2x﹣1）（2x+1）﹣4（x+1）2．
8．（2023•盐都区三模）小明提出这样一个猜想：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积q（q＝mn）与较大数的和一定为某个正数的平方．
举例验证：（1）当m＝3，n＝4，则q+n＝（ ）2；
推理证明：小刚同学做了如下的证明：
设m＜n，
∵m，n是连续的正整数，
∴n＝m+1．
∵q＝mn，
∴q+n＝mn+n＝（ ）2．
∴q+n一定是正数的平方数．
（2）请你补上小刚同学的证明过程的空格所缺内容；
（注：推理论证中的两个是同一个代数式，答题卡上只需填写一个即可）
类比探究：
（3）小红同学类比小刚同学的证明方法，提出“任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正数的平方”，请证明该结论；
深入思考：
（4）老师在三位同学的基础上，鼓励同学们继续探究：若p=(q+n)+(q-m)（m，n为两个连续正整数，m＜n，q＝mn），则p一定是 ．（填：奇数、偶数）满分技巧
同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项.
1.判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可；
2.同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关；
3.一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项；
满分技巧
（1）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄；
（2）所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并；
（3）系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)；
（4）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0.
满分技巧
1.去括号法则：
括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里各项符号都不改变，如；
括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项符号都要改变，如.
2.添括号法则：
添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，如；
添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号，如．
满分技巧
1.同底数幂：底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式；
2.同底数幂的乘法性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
对于任意的底数a，有(其中m、n都是正整数)；
3.同底数幂的乘法性质的逆用：；
4.三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，如；
拓展：幂的运算常见的变形：
（1）；
（2）.
5.同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（，m、n都是正整数，且m＞n）；
6.底数a可以是一个数，也可以是单项式或多项式，但不能是0；
7.当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，如（，m、n、p都是正整数，且m＞n＋p）.
满分技巧
1.幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如是5个相乘，读作的2次幂的5次方；
2.幂的乘方的运算性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘，
（m、n是正整数）；
3.幂的乘方运算性质的逆用：（m、n是正整数）；
4.幂的乘方运算性质的推广：（m、n、p是正整数）.
5.积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方；
6.积的乘方的运算性质：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
（n是正整数）；
7.积的乘方的运算性质的逆用：（n是正整数）；
8.在积的乘方中，底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式；
9.积的乘方运算性质的推广：（n是正整数）.
满分技巧
1.单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.用式子表示为：.
2.单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.用式子表示为：.
3.多项式与多项式相乘的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
满分技巧
整式的化简求值
一般这类题会利用整体代入法求值，从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算.
满分技巧
1.完全平方公式：，，即两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
2.完全平方公式的推导：
（1）用多项式乘法法则进行推导，过程如下：
①；
②.
（2）通过面积法推导完全平方公式：
①如图所示是一个边长为的正方形，面积为，
它的面积还可以看成是由两个小正方形与两个长方形的和，即，
所以可以得到；
②如图所示，边长为的小正方形的面积是，
它的面积还可以看成是由大的正方形面积减去两个小的长方形面积，即，
所以可以得到.
3.完全平方公式的结构特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.
4.完全平方公式的常见变形：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
5.三项或三项以上的和（差）的平方可以转化为两项的和（差）的平方，如：
（1）；
（2）.
满分技巧
1.平方差公式：，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
2.平方差公式的推导：
（1）用多项式乘法法则进行推导：；
（2）通过面积法推导平方差公式：
如图1所示，涂色部分的面积为，如图2所示，涂色部分的面积为，
所以可以得到.
3.平方差公式结构特点：等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；等号右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反项的平方差.
4.平方差公式的变化：
（1）位置变化：；
（2）符号变化：；
（3）指数变化：；
（4）系数变化：；
（5）增项变化：；
（3）连用公式：.
满分技巧
1.如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，将多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式，这种因式分解的方法叫提公因式法，如多项式就可以写成是与的积，即.
2.提公因式法的实质就是乘法分配律的逆用，；
3.用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式；
4.当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号；
5.用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.
满分技巧
1.运用平方差公式、完全平方公式将一个多项式分解因式的方法叫作公式法；
2.逆用平方差公式：，即两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积.
3.逆用完全平方公式：，，即两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．
满分技巧
1.二次项系数是1的二次三项式的十字相乘法
对首项是1的二次三项式的十字相乘法主要就是要能够运用公式进行因式分解.
对于二次三项式，若存在则，即把常数项分解成两个数的积，且其和刚好等于一次项系数.
技巧1：在对分解因式时，先从常数项c的正负入手：若，则、同号，若，则、异号，然后根据一次项系数的正负进一步确定、的符号；
技巧2：若中的b、c为整数时，要先将c分解成两个整数的积，然后再考虑这两个整数和能否等于一次项系数（再分解时，要考虑分解的多种可能，直至凑对为止）.
2.二次项系数不为1的十字相乘
在二次三项式中，如果二次项系数a可以分解成两个因数的积，常数项c也可以分解成两个因数的积，即，将、、、按照以下进行排列：
按照斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式一次项系数b，即，那么二次三项式就可以分解成两个因式与之积，即.
PS：若二次项系数是负数，可以先提个负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记添上负号