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数学10.3 频率与概率学案
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这是一份数学10.3 频率与概率学案，文件包含第06讲频率的稳定性教师版-高一数学同步精品讲义人教A版必修第二册docx、第06讲频率的稳定性学生版-高一数学同步精品讲义人教A版必修第二册docx等2份学案配套教学资源，其中学案共74页， 欢迎下载使用。
知识精讲
知识点
1.频率的稳定性
在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).
2.频率与概率的区别与联系
【微点拨】(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率；
(2)频率本身是随机的，在试验前不能确定；
(3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关.
【即学即练1】下列说法正确的是
A．任何事件的概率总是在之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
【答案】C
【解析】解：由于必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故不正确．
频率的数值是通过实验完成的，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，故、不正确．
频率是不能脱离次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值，
随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故正确．
故选：．
【即学即练2】为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2000尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库，经过适当时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾，试上述数据，估计水库内鱼的尾数是
A．22000B．23000C．25000D．26000
【答案】C
【解析】由题意可得有记号的鱼所占的比例大约为，设水库内鱼的尾数是，
则有，解得，故选：．
【即学即练3】已知某运动员每次投篮命中的概率为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为
A．0.35B．0.25C．0.20D．0.15
【答案】B
【解析】解：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，
在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393．
共5组随机数，所以所求概率为．故选：．
【即学即练4】对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间，上为一等品，在区间，和，为二等品，在区间，和，为三等品．用频率估计概率，现从这批产品中随机抽取1件，则其为三等品的概率是
A．0.03B．0.05C．0.15D．0.25
【答案】D
【解析】解：在区间，和，为三等品，
由频率分布直方图得：在区间，和，的频率为，所以从这批产品中随机抽取1件，其为三等品的概率是0.25．故选：．
【即学即练5】张明与张华两人做游戏,下列游戏中不公平的是( )
①抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则张华获胜;
②同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则张华获胜;
③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则张华获胜;
④张明、张华两人各写一个数字6或8,如果两人写的数字相同张明获胜,否则张华获胜.
A．①②B．②C．②③④D．①②③④
【答案】B
【解析】
【详解】
①抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数和偶数是等可能的，均为，所以公平；
②中,恰有一枚正面向上包括(正,反),(反,正)两种情况,而两枚都正面向上仅为(正,正),因此②中游戏不公平.
③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色和黑色是等可能的，均为，所以公平；
④张明、张华两人各写一个数字6或8,一共四种情况(6,6),(6,8),(8,6),(8,8)，两人写的数字相同和不同是等可能的，均为，所以公平；.
故选B.
【即学即练6】（多选题）给出下列四个命题,其中正确的命题有( )
A．做100次抛硬币的试验,结果51次出现正面朝上,因此,出现正直朝上的概率是
B．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
C．抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是
D．随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率
【答案】CD
【解析】对于A,混淆了频率与概率的区别,故A错误;
对于B,混淆了频率与概率的区别,故B错误;
对于C,抛掷骰子次,得点数是的结果有次,则出现点的频率是,符合频率定义,故C正确;
对于D,频率是概率的估计值,故D正确. 故选:CD.
【即学即练7】一家保险公司为了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，收集了20000辆汽车的信息，时间是从某年的5月1日到下一年的4月30日，发现共有600辆汽车的挡风玻璃破碎，则一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似为 ．
【答案】0.03
【解析】因为实验次数较大，可用频率估计概率，所以概率，
故一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似为0.03．故答案为：0.03．
【即学即练8】某射击运动员平时100次训练成绩的统计结果如下：
如果这名运动员只射击一次，估计射击成绩是6环的概率为________；不少于9环的概率为________.
【答案】
【解析】
【分析】
由表中的数据，求对应的比值可得答案.
【详解】
由题意得：这名运动员只射击一次，估计射击成绩是6环的概率为，
不少于9环的概率为，
故答案为：；.
【点睛】
本题考查利用频率估计概率，属于基础题.
【即学即练9】某中学有教职工130人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调查，其结果如下：
从这130名教职工中随机地抽取一人，求下列事件的概率；
（1）具有本科学历；（2）35岁及以上；（3）35岁以下且具有研究生学历.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）先求出具有本科学历的人数，再由频率估计概率即可得解；
（2先求出35岁及以上的人数，再由频率估计概率即可得解；
（3）先求出35岁以下且具有研究生学历的人数，再由频率估计概率即可得解；
【详解】
解：（1）具有本科学历的共有（人），故所求概率为.
（2）35岁及以上的共有（人），故所求概率为.
（3）35岁以下且具有研究生学历的有35人，故所求概率为.
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率，重点考查了运算能力，属基础题.
能力拓展
考法01
计算频率：
【典例1】某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，3次中9环，4次中8环，1次未中靶，则此人中靶的频率是（ ）
A．0.2B．0.4C．0.5D．0.9
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用频率的公式求解.
【详解】
由题得这个人中靶的次数为2+3+4=9，
所以此人中靶的频率是.
故选：D
【典例2】10个小球分别编号为1，2，3，4，其中1号球4个，2号球2个，3号球3个，4号球1个，数字0.4是指1号球占总体的（ ）
A．频数B．频率C．频率/组距D．累积频率
【答案】B
【解析】
【分析】
根据频率的概念即可得出结果.
【详解】
解析：因为1号球的频数为4，
则1号球占总体的频率为.
故选：B
【典例3】某射击运动员为了检测自己近阶段的训练效果，做了一次射击测试.在这次测试中，他一共射击100枪，击中10环的有85枪，则这名射击运动员在这次测试中击中10环的频数是___________，频率是___________.
【答案】 85 0.85
【解析】
【分析】
根据运动员一共射击100枪，击中10环的有85枪求解.
【详解】
因为一共射击100枪，击中10环的有85枪，
所以这名射击运动员在这次测试中击中10环的频数是85，频率是，
故答案为：85；0.85
【典例4】一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表：
则样本数据落在[10，40)上的频率为________.
【答案】0.52
【解析】
【分析】
根据图表，样本数据落在[10，40)上的频数为13＋24＋15＝52，根据频率公式即可得解.
【详解】
样本数据落在[10，40)上的频数为13＋24＋15＝52.
则样本数据落在[10，40)上的频率为＝0.52.
故答案为：0.52
考法02
辨析频率与概率的关系问题：
【典例5】给出下列说法：
①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中的频繁程度；
②每个试验结果出现的频数之和等于试验的样本总数；
③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1；
④频率就是概率．
其中正确的是（ ）
A．①B．①②④C．①②D．③④
【答案】C
【解析】对于①，根据频数和频率的定义知，频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中的频繁程度，所以①正确；
对于②，每个试验结果出现的频数之和等于试验的样本总数，所以②正确；
对于③，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，所以③错误；
对于④，频率是一个实验值，是随实验结果变化的，概率是稳定值，是不随实验结果变化的，所以④错误．
综上知，正确的命题序号是①②．故选：C．
【典例6】下列说法正确的有（ ）
A.概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；
B.一次试验中不同的基本事件不可能同时发生；
C.任意事件A发生的概率P(A)总满足0D.若事件A的概率趋近于0，即P(A)→0，则事件A是不可能事件.
【答案】AB
【解析】频率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律．在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件的概率．
∴随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．∴A正确．
∵基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的，∴一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生．∴B正确．
∵必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率大于0，小于1，∴任意事件A发生的概率P（A）满足0≤P（A）≤1，∴C错误．
若事件A的概率趋近于0，则事件A是小概率事件，∴D错误
∴说法正确的有两个，故选:AB．
【典例7】以下是表述“频率”与“概率”的语句：
①在大量试验中，事件出现的频率与其概率很接近；
②概率可以作为当实验次数无限增大时频率的极限；
③计算频率通常是为了估计概率．
其中正确的语句为（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【解析】
【分析】由频率和概率的定义以及频率和概率的关系判断①②③，即可得正确答案.
【详解】
事件的频率是指事件发生的频数与次事件中事件出现的次数比，
随机事件在每次实验中是否会发生是不能预料的，但在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件发生的频率会逐渐稳定在区间中的某个常数上，这个常数就是事件的概率．所以随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率．计算频率通常是为了估计概率．
所以①②③都正确，
故选：D.
【典例8】对下面的描述：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A发生的概率；③频率是不能脱离具体的n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的说法有（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据频率和概率的关系可判断.
【详解】
由频率和概率的意义知，频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小，故①正确；
由频率和概率的关系知，频率是概率的近似值，是通过大量试验得到的，而概率是频率的稳定值，是确定的理论值，故②错误，③④正确.
故选：ACD.
考法03
用频率估计概率：
【典例9】某射击运动员在同一条件下射击的成绩记录如表所示：
根据表中的数据，估计该射击运动员射击一次射中8环以上的概率为（ ）
A．0.78B．0.79C．0.80D．0.82
【答案】C
【解析】
【分析】
利用频率估计概率即可求解.
【详解】
大量重复试验，由表格知射击运动员射中8环以上的频率稳定在，
所以这名运动员射击一次射中8环以上的概率为，
故选：C.
【典例10】手机支付已经成为人们常用的付费方式．某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下：
从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在且未使用手机支付的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
算出100名顾客中，顾客年龄在且未使用手机支付的的人数，进而可以得到未使用手机支付的概率.
【详解】
在随机抽取的100名顾客中，顾客年龄在且未使用手机支付的共有人，所以从该超市随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在且未使用手机支付的概率为．
故选：A.
【典例11】一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示：
则4年内男婴的出生频率为________（保留4位小数）；这一地区男婴出生的概率约是_______
【答案】 0.5173 0.5173
【解析】
【分析】
求出每年内男婴出生的频率，从而可估计4年内男婴的出生频率，用频率来衡量概率即可
【详解】
因为男婴出生的频率依次约为0.5200，0.5173，0.5173，0.5173.
这些频率非常接近0.5173，所以这一地区男婴出生的概率约为0.5173.
故答案为：0.5173，0.5173
【典例12】容量为200的样本的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在内的频数为______，数据落在内的概率约为______.
【答案】 64. 0.32.
【解析】
（1）根据矩形面积表示频率，再根据公式，计算频数；
（2）转化为求数据落在内的频率.
【详解】
由题图易知组距为4，故样本数据落在内的频率为，频数为，故数据落在内的概率约为0.32.
故答案为：64；0.32
【点睛】
本题考查频率分布直方图的简单应用，理解频率和概率，属于基础题型.
【典例13】某个制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有500名志愿者服用此药，结果如下：
如果另有一人服用此药，估计下列事件发生的概率：
（1）这个人的体重减轻了；（2）这个人的体重不变；（3）这个人的体重增加了.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）由频率估计概率运算即可得解；
（2）由频率估计概率运算即可得解；
（3）由频率估计概率运算即可得解.
【详解】
（1）由频率估计概率可得：体重减轻了的概率估计值为；
（2）由频率估计概率可得：体重不变的概率估计值为；
（3）由频率估计概率可得：体重增加了的概率估计值为.
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，重点考查了运算能力，属基础题.
【典例14】某文具厂打算生产一种中学生使用的笔袋，但无法确定各种颜色的产量，于是该文具厂就笔袋的颜色随机调查了5000名中学生，并在调查到1000名，2000名，3000名，4000名，5000名时分别计算了各种颜色的频率，绘制的折线图如下：
(1)随着调查次数的增加，红色的频率如何变化？
(2)你能估计中学生选取红色的概率是多少吗？
(3)若你是该厂的负责人，你将如何安排生产各种颜色笔袋的产量？
【答案】(1)红色的频率越来越稳定在
(2)
(3)可安排生产蓝色、红色、绿色、紫色、及其它颜色的笔袋产量的比例大约为（合理即可）
【分析】（1）根据折线图分析即可；
（2）根据频率和概率的关系判断即可；
（3）根据折线图可得中学生选取蓝色、红色、绿色、紫色、及其它颜色的概率，即可按比例安排生产；
【解析】(1)根据折线图可知随着调查次数的增加，红色的频率越来越稳定在；
(2)由图可知，红色的频率基本在附近浮动，所以中学生选取红色的概率是；
(3)由图可知，中学生选取蓝色、红色、绿色、紫色、及其它颜色的概率分别是、、、、，故可安排生产蓝色、红色、绿色、紫色、及其它颜色的笔袋产量的比例大约为（合理即可）；
考法04
游戏的公平性问题：
【典例15】甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是（ ）
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
【答案】B
【解析】
【分析】运用古典概型的概率计算公式，分别计算A，B，C，D中的概率，结合题意，即可得到所求结论．
【详解】A项，P（点数为奇数）＝P（点数为偶数）＝；
B项，P（点数之和大于7）＝，P（点数之和小于等于7）＝；
C项，P（牌色为红）＝P（牌色为黑）＝；
D项，P（同奇或同偶）＝P（奇偶不同）＝．故选：B.
【典例16】(多选)甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（ ）
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
【答案】ACD
【分析】求出每一个选项的情况下，甲胜和乙胜的概率即可判断得解.
【解析】对于选项A，甲胜和乙胜的概率都是，所以游戏是公平的；
对于选项B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，所以游戏不公平；
对于选项C，甲胜和乙胜的概率都是，所以游戏是公平的；
对于选项D，甲胜的概率是，乙胜的概率是，所以游戏是公平的.
故选：ACD
【典例17】一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜.判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等。
在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次.据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论？为什么？
【解析】当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5；当游戏玩了1000次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7.根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小.相对10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近.而游戏玩到1000次时，甲、乙获胜的频率分别是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的.因此，应该支持甲对游戏公平性的判断.
【典例18】．一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色），跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为，我赢的概率也是，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平.
【答案】见解析.
【解析】把卡片六个面的颜色记为，，，，，，其中，G表示绿色，B表示蓝色；和是两面颜色不一样的那张卡片的颜色，用树形图得到样本空间，计算出概率即可判断.
【详解】把卡片六个面的颜色记为，，，，，，
其中，G表示绿色，B表示蓝色；和是两面颜色不一样的那张卡片的颜色.
游戏所有的结果可以用如图表示.
不难看出，此时，样本空间中共有6个样本点，朝上的面与朝下的面颜色不一致的情况只有2种，因此乙赢的概率为.因此，这个游戏不公平.
【点睛】本题考查概率的应用，属于基础题.
考法05
频率稳定性问题的常见题型：
【典例19】将，两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下：
下面有三个推断：
①当投篮30次时，两位运动员都投中23次，所以他们投中的概率都是；
②随着投篮次数的增加，运动员投中频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计运动员投中的概率是；
③当投篮达到200次时，运动员投中次数一定为160次.
其中合理的是（ ）.A．①B．②C．①③ D．②③
【答案】B
【解析】事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此可得解答.
【详解】
解：①在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的频率估计它的概率，投篮30次，次数太少，不可用于估计概率，故①推断不合理；
②随着投篮次数增加，A运动员投中的频率显示出稳定性，因此可以用于估计概率，故②推断合理；
③频率用于估计概率，但并不是准确的概率，因此投篮200次时，只能估计投中160次，而不能确定一定是160次，故③不合理；故选：B.
【点睛】此题考查了利用频率估计概率的知识，属于容易题.
【典例20】．概率是对随机事件发生可能性大小的度量，通过实验和观察的方法可以得到实验中某事件发生的频率，进而用频率得到某事件的概率的估计．利用计算机模拟掷两枚硬币的实验，在重复实验次数为20，100，500时各做5组实验，得到事件“一个正面朝上，一个反面朝上”．发生的频数和频率表如下：
用折线图表示频率的波动情况如下图所示：
根据以上信息，下面说法正确的有（ ）A．实验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性；
B．实验次数较小时，频率波动较大；实验次数较大时，频率波动较小；所以实验时，实验次数越少越好；
C．随机事件发生的频率会随着实验次数增加而逐渐稳定在一个固定值（即随机事件发生的概率）附近；
D．我们要得到某事件发生的概率时，只需要做一次随机实验得到事件发生的频率即为概率．
【答案】AC
【解析】
【分析】根据频率、概率的知识确定正确选项.
【详解】“实验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性”，A正确；
“实验次数较小时，频率波动较大；实验次数较大时，频率波动较小；所以实验时，实验次数越多越好”，B错误；
“随机事件发生的频率会随着实验次数增加而逐渐稳定在一个固定值（即随机事件发生的概率）附近”，C正确、D错误.故选：AC
【典例21】在一个不透明的布袋中，红色，黑色，白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球，黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数可能是_________个.
【答案】16
【解析】
【分析】
根据红色球和黑色球的频率稳定值，计算红色球和黑色球的个数，从而得到白色球的个数.
【详解】
根据概率是频率的稳定值的意义，
红色球的个数为个；
黑色球的个数为个；
故白色球的个数为4个.
故答案为：16.
【点睛】本题考查概率和频率之间的关系：概率是频率的稳定值.
【典例22】在一次掷硬币试验中,掷30000次,其中有14984次正面朝上,则出现正面朝上的频率近似是_____,据此,掷一枚硬币,正面朝上的概率是_________.
【答案】
【解析】
设“出现正面朝上”为事件,则,,即可计算频率,进而求得答案.
【详解】
设“出现正面朝上”为事件,
则,,
,
当实验数据越多频率就越接近概率,
.
故答案为:,.
【点睛】本题考查了用频率估计概率,解题关键是频率和概率的定义,当实验数据越多频率就越接近概率,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
【典例23】2020年新型冠状病毒席卷全球，美国是疫情最严重的国家，截止2020年6月8日美国确诊病例约为200万人，经过随机抽样，从感染人群中抽取1000人进行调查，按照年龄得到如下频数分布表：
（Ⅰ）求a的值及这1000例感染人员的年龄的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（Ⅱ）用频率估计概率，求感染人群中年龄不小于60岁的概率.
【答案】（Ⅰ），平均数为52.2；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）由题意知，
∴，
年龄平均数.
（Ⅱ）1000人中年龄不小于60岁的人有380人，
所以年龄不小于60岁的频率为，
用频率估计概率，所以感染人群中年龄不小于60岁的概率为.
【典例24】新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数.通过抽样调查得知，我国2014年、2015年出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51.
（1）分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率（新生儿中男婴的比率，精确到0.001）
（2）根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？
【解析】（1）2014年男婴出生的频率为
2015年男婴出生的频率为
由此估计，我国2014年男婴出生率约为0.537，2015年男婴出生率约为0.532
（2）由于调查新生儿人数的样本非常大，根据频率的稳定性，上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度.因此，我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”的结论.
【典例24】某水产试验厂进行某种鱼卵的人工孵化，6个试验小组记录了不同的鱼卵数所孵化出的鱼苗数，如下表所示:
（1）表中①②对应的频率分别为多少（结果保留三位小数）?
（2）估计这种鱼卵孵化成功的概率.
（3）要孵化5000尾鱼苗，大概需要鱼卵多少个（精确到百位）?
【答案】（1）（2）0.9（3）
【解析】
（1）计算的值，即可得答案；
（2）从表中数据可看出，虽然频率都不一样，但随着试验的鱼卵数不断增多，孵化成功的频率稳定在0.9附近，即可得答案；
（3）利用频率等于频数除以总数计算，即可得答案.
【详解】
（1），所以①②对应的频率分别为.
（2）从表中数据可看出，虽然频率都不一样，但随着试验的鱼卵数不断增多，孵化成功的频率稳定在0.9附近，由此可估计该种鱼卵孵化成功的概率为0.9.
（3）大概需要鱼卵(个).
【点睛】
本题考查频率计算、频率估计概率的思想，属于基础题.
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列说法错误的是（ ）
A．随机事件的概率与频率是一样的
B．在试验中，某事件发生的频率的取值范围是
C．必然事件的概率是1
D．不可能事件的概率是0
【答案】A
【解析】
【分析】依据频率和概率，必然事件和不可能事件的定义，依次判断即可
【详解】对于选项A，概率是唯一的确定的值，而频率是统计出来的，通过一次次的试验得到，因此随机事件的概率与频率是两个不同的概念，故A错误；
对于选项B，频率是指是指每个对象出现的次数与总次数的比值，故取值范围是，故B正确；
对于选项C，D，由必然事件和不可能事件的定义可知，说法正确.
故选：A
2. 下列叙述随机事件的频率与概率的关系中哪个是正确的（ ）
A．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．概率是随机的，在试验前不能确定
D．频率就是概率
【答案】A
【解析】
【分析】因为概率是在大量重复试验后，事件发生的频率逐渐接近的值，所以就可得到正确答案．
【详解】事件的频率是指事件发生的频数与次事件中事件出现的次数比，
一般来说，随机事件在每次实验中是否会发生是不能预料的，但在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件发生的频率会逐渐稳定在区间，中的某个常数上，这个常数就是事件的概率．
随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率．
故选：A．
3.某位同学进行投球练习，连投了10次，恰好投进了8次．若用表示“投进球”这一事件，则事件发生的
A．概率为B．频率为C．频率为8D．概率接近0.8
【答案】B
【解析】投球1次即进行一次试验，连投球10次，即进行了10次试验，用表示“投进球”这一事件，恰好投进了8次．则事件发生的频数为8，所以事件发生的频率为：．所以CD都不对故选：．
4. 关于频率和概率，下列说法正确的是（ ）
①某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的命中率为；
②数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12000次硬币，得到正面向上的频率为0.5016；抛掷24000次硬币，得到正面向上的频率为0.5005.如果他抛掷36000次硬币，正面向上的频率可能大于0.5005；
③某类种子发芽的概率为0.903，当我们抽取2000粒种子试种，一定会有1806粒种子发芽；
④将一个均匀的骰子抛掷6000次，则出现点数大于2的次数大约为4000次.
A．②④B．①④C．①②D．②③
【答案】A
【解析】
【分析】根据频率和概率的定义对各个选项进行判断即可.
【详解】
①某同学投篮三次，命中两次，只能说明在这次投篮中命中的频率为，不能说概率，故错误；
②进行大量的实验，硬币正面向上的频率在0.5附近摆动，可能大于0.5，也可能小于0.5,故正确；
③只能说明可能有1806粒种子发芽，具有随机性，并不是一定有1806粒种子发芽，故错误；
④出现点数大于2的次数大约为4000次，正确.
故选：A
【点睛】本题考查频率与概率的区别，属于基础题.
5. 某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：
现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的是（ ）
A．该教职工具有本科学历的概率低于60％
B．该教职工具有研究生学历的概率超过50％
C．该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10％
D．该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10％
【答案】D
【解析】
【分析】根据表中数据，用频率代替概率求解.
【详解】
A.该教职工具有本科学历的概率 ，故错误；
B.该教职工具有研究生学历的概率，故错误；
C.该教职工的年龄在50岁以上的概率，故错误；
D.该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率，故正确.
【点睛】本题主要考查概率的求法，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.
6. 下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两人做游戏：甲、乙两人各写一个数字，若都是奇数或都是偶数则甲胜，否则乙胜，这个游戏公平
B．做次随机试验，事件发生的频率就是事件发生的概率
C．某地发行福利彩票，回报率为47%，某人花了100元买该福利彩票，一定会有47元的回报
D．有甲、乙两种报纸可供某人订阅，事件“某人订阅甲报纸”是必然事件
【答案】A
【解析】
对于A,利用列举法,写出所有可能,计算两个人胜的概率是否相等,即可判断游戏是否公平;利用频率与概率的定义可判断B;利用概率的意义可判断C;利用随机事件的定义,可判断D.
【详解】
对于A,甲、乙两人各写一个数字,所有可能的结果为（奇,偶）,（奇,奇）,（偶,奇）,（偶,偶）,则都是奇数或都是偶数的概率为,故游戏是公平的；
对于B,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率,故事件发生的频率就是事件发生的概率是不正确的；
对于C,某人花100元买福利彩票,中奖或者不中奖都有可能,但事先无法预料,故C不正确；
对于D,事件可能发生也可能不发生,故事件是随机事件,故D不正确
综上可知,正确的为A.
故选:A.
【点睛】本题考查了随机事件概率的概念和意义,频率与概率的关系,古典概型概率的求法,属于基础题.
7. 气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是（ ）
A．本市明天将有70%的地区降雨B．本市有天将有70%的时间降雨
C．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大D．明天出行不带雨具肯定要淋雨
【答案】C
【解析】
根据概率的意义,可判断各选项.
【详解】
气象台预报“本市明天降雨概率是70%”,则本市明天降雨的可能性比较大.与降水地区面积和降水时间无关,所以A,B错误.
降水概率是事件发生的可能,不是一定会发生的事情,所以D错误.
而由降水概率是70%,可知降水概率较大,所以明天出行不带雨具淋雨的可能性很大,所以C正确.
故选:C.
【点睛】本题考查了概率的概念和意义,属于基础题.
8. 在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A．0.45，0.45B．0.5，0.5C．0.5，0.45D．0.45，0.5
【答案】D
【解析】由频率和概率的概念,即可得解.
【详解】根据由频率和概率的概念,可知出现正面朝上的频率是,
出现正面朝上的概率是0.5.故选:D.
【点睛】本题考查了了频率和概率的概念,属于基础题.
9. 下面有三个游戏，其中不公平的游戏是（ ）
A．游戏1和游戏3B．游戏1C．游戏2D．游戏3
【答案】D
【解析】
分别计算出每个游戏中所给事件的概率，若两事件的概率大小相同则说明此游戏是公平的，否则说明不公平.
【详解】
对于游戏1，样本点共有12个，取出的2个球同色包含的样本点有6个，其概率是，取出的2个球不同色的概率也是，故游戏1公平；
对于游戏2，样本点共有2个，分析易知，取出的球是黑球和取出的球是白球的概率都是，故游戏2公平；
对于游戏3，样本点共有12个，取出的2个球同色的概率是，取出的2个球不同色的概率是，故此游戏不公平，乙胜的概率大.
故选D.
【点睛】本题考查概率的意义，游戏的公平性，属于基础题.
10. 随着互联网的普及,网上购物已逐渐成为消费时尚,为了解消费者对网上购物的满意情况,某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答),统计结果如下表:
根据表中数据,估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
由题意得,,随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为,所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为,即可求得答案.
【详解】由题意得,,
随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为,
随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为.
由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为.
故选:C
【点睛】
本题考查了用频率估计概率,解题关键是频率和概率的定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
11. 下列命题正确的是（ ）
A．用事件发生的频率估计概率，重复试验次数越大，估计的就越精确.
B．若事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立.
C．事件与事件同时发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率小.
D．抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性就比反面大.
【答案】B
【解析】
【分析】根据概率的定义，事件的独立性概念判断各选项．
【详解】
在相同的条件下做大量重复试验,一个事件A出现的次数和总的试验次数之比,称为事件在这次试验中出现的频率.当试验次数很大时,频率将稳定在一个常数附近. 越大,频率偏离这个常数较大的可能性越小.这个常数称为这个事件的概率，并不是说越大，估计的精度越精确，A错；
事件与事件相互独立，即是否发生与是否发生无关，∴事件是否发生与事件是否发生也无关，它们相互独立，B正确；
抛一枚骰子，出现的点数不大于5记为事件，出现的点为不小于2记为事件，则事件与事件同时发生是指点数为2，3，4，5，概率为，而事件与中恰有一个发生是指点为1或6，概率为．C错；
抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性与出现反面的可能性还是一样．D错．
故选：B．
【点睛】本题考查概率的定义，考查事件的独立性．掌握概念的定义是解题关键．
12. 近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾的分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计生活垃圾，经分拣以后统计数据如下表（单位：t）．根据样本估计本市生活垃圾的分类投放情况，则下列说法正确的是（ ）
A．厨余垃圾投放错误的概率为
B．居民生活垃圾投放正确的概率为
C．该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是其他垃圾
D．厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为20000
【答案】D
【解析】
【分析】
对于A，利用表中的数据可得厨余垃圾投放错误的概率为；对于B，利用表中的数据可得居民生活垃圾投放正确的概率为；对于C，依次求出三类垃圾中投放正确的概率，再比较即可；对于D，利用方差公式求解即可
【详解】对于A，厨余垃圾投放错误的概率为，所以A错误；
对于B，居民生活垃圾投放正确的概率为，所以B错误；
对于C，厨余垃圾投放正确的概率为，可回收垃圾投放正确的概率为，其他垃圾投放正确的概率为，所以该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是可回收垃圾，C错误；
对于D，计算平均数为，
方差为，
所以厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为20000，D正确．
故选：D．
13. “猜想”是指对于每一个正整数,若为偶数,则让它变成;若为奇数,则让它变成.如此循环,最终都会变成,若数字按照以上的规则进行变换,则变换次数为偶数的频率是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
分别对数字按照若为偶数,则让它变成;若为奇数,则让它变成.如此循环,最终都会变成,进行计算,即可求得变换次数为偶数的频率.
【详解】
①当,第次运算为:,第次运算为:,运算次数为;
②当,第次运算为:,第次运算为:,
第次运算为:,第次运算为:,
第次运算为:,运算次数为;
③当,第次运算为:,第次运算为:,
第次运算为:,第次运算为:,
第次运算为:,第次运算为:,
第次运算为:,第次运算为:,运算次数为;
④当,第次运算为:,第次运算为:,
第次运算为:,第次运算为:,
第次运算为:,第次运算为:,
第次运算为:,第次运算为:,
第次运算为:,第次运算为:,
根据③可知当,还需要次运算,运算次数为;
⑤当,根据②可知当,还需要次运算,运算次数为;
故数字按照以上的规则进行变换,变换次数为偶数的为次
变换次数为偶数的频率为:.
故选:B.
【点睛】
本题考查了根据运算规律求频率问题,解题关键是掌握在求解运算规律问题时,应在运算中寻找规律,减少运算步骤,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
题组B 能力提升练
1. （多选题）关于频率和概率，下列说法正确的是（ ）
A．某同学投篮3次，命中2次，则该同学每次投篮命中的概率为
B．费勒抛掷10000次硬币，得到硬币正面向上的频率为0.4979；皮尔逊抛掷24000次硬币，得到硬币正面向上的频率为0.5005．如果某同学抛掷36000次硬币那么得到硬币正面向上的频率可能大于0.5005
C．某类种子发芽的概率为0.903，若抽取2000粒种子试种，则一定会有1806粒种子发芽
D．将一颗质地均匀的骰子抛掷6000次，则掷出的点数大于2的次数大约为4000次
【答案】BD
【解析】
【分析】
通过对频率和概率的定义的理解，即可判断各选项，从而得出答案.
【详解】
解：A中，某同学投篮3次，命中2次，只能说明频率为，而不能说明概率为，故A选项错误；
B中，当试验次数很多时，硬币正面向上的频率在0.5附近摆动，可能大于0.5，也可能小于0.5，故B选项正确；
C中，只能说明大约有1806粒种子发芽，并不是定有1806粒种子发芽，故C选项错误；
D中，点数大于2的概率为，故抛掷6000次点数大于2的次数大约为4000次，故D选项正确．
故选：BD．
2. （多选题）下列说法错误的是（ ）
A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场
B．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈
C．随机试验的频率与概率相等
D．天气预报中，预报明天降水概率为，是指降水的可能性是
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据频率与概率的概念分析可得答案.
【详解】
对于A，甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，是指每场比赛，甲胜的可能性为，则比赛5场，甲可能胜3场、2场、1场、0场，故A错误；
对于B，治愈率为，是指每个人治愈的可能性是，不是说前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈，故B错误；
对于C，随机试验的频率是变化的，概率是频率的稳定值，是固定的，故C错误；
对于D，天气预报中，预报明天降水概率为，是指降水的可能性是，故D正确.
故选：ABC
3. （多选题）2021年5月7日，国药集团中国生物北京生物制品研究所研发生产的新型冠状病毒灭活疫苗（Ver细胞），获得世卫组织紧急使用授权，纳入全球“紧急使用清单”（EUL）.世卫组织审评认为该疫苗的效力78.1%，最高达90%，安全性良好，临床试验数据中没有发现安全问题.所谓疫苗的效力，是通过把人群分成两部分，一部分为对照组，注射安慰剂；另一部分为疫苗组，注射疫苗，当从对照组与疫苗组分别获得发病率后，就可以得到.关于注射疫苗，下列说法正确的是（ ）
A．只要注射该种新冠疫苗，就一定不会感染新冠肺炎
B．注射该种新冠疫苗，能使新冠肺炎感染的风险大大降低
C．若对照组10000人，发病100人；疫苗组20000人，发病40人.则效力为80%
D．若某疫苗组的效力为80%，对照组的发病率为50%.那么在10000个人注射该疫苗后，一定有1000个人发病
【答案】BC
【解析】
【分析】
由题中给出的信息，依次对四个选项进行分析判断即可．
【详解】
解：由题意，疫苗的效力，最高达，但不是注射该种新冠疫苗，就一定不会感染新冠肺炎，故选项A错误；
由题意，疫苗的效力，最高达，所以注射该种新冠疫苗，能使新冠肺炎感染的风险大大降低，故选项B正确；
若对照组10000人，发病100人；疫苗组20000人，发病40人，则注射疫苗的效力，故选项C正确；
若某疫苗组的效力为，对照组的发病率为，只是反应了一个概率问题，并不能说明在10000个人注射该疫苗后，一定有1000个人发病，故选项D错误．
故选：BC．
4. （多选题）某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲､乙､丙､丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.
根据表中数据,下列结论正确的是（ ）
A．顾客购买乙商品的概率最大
B．顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2
C．顾客在甲､乙､丙､丁中同时购买3种商品的概率约为0.3
D．顾客仅购买1种商品的概率不大于0.3
【答案】BCD
【解析】
根据概率的概念,结合所给数据,逐项判断,即可求得答案.
【详解】
对于A,由于购买甲商品的顾客有685位,购买乙商品的顾客有515位,故A错误;
对于B, 从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有200位顾客同时购买了乙和丙,
顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为,故B正确;
对于C, 从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有100位顾客同时的买了甲､丙､丁,另有200位顾客同时购买了甲､乙､丙,其他顾客最多购买了2种商品,
顾客在甲､乙､丙､丁中同时购买3种商品的概率可以估计为,故C正确;
对于D, 从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有183位顾客仅购买1种商品,
顾客仅购买1种商品的概率可以估计为,故D正确.
故选:BCD.
【点睛】
本题考查了概率在实际中的应用,解题关键是掌握概率的定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
5. 商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的双皮鞋的尺码为一个样本，分为组，已知第组的频率为，第，，组的频数分别为，，，若第组表示的是尺码为的皮鞋，则售出的这双皮鞋中尺码为的皮鞋约为______双．
【答案】
【解析】
【分析】
先计算这周内某天第，，组的频率，根据频率之和等于可得第组的频率，再由该频率乘以即可得解.
【详解】
因为第，，组的频数分别为，，，
所以第，，组的频率分别为，，，
又因为第组的频率为，
所以第组的频率为，
所以售出的这双皮鞋中尺码为的皮鞋约为双，
故答案为：.
6. 从某自动包装机包装的食品中，随机抽取20袋，测得各袋的质量（单位：g）分别为：492，496，494，495，498，497，503，506，508，507，497，501，502，504，496，492，496，500，501，499.根据抽测结果估计该自动包装机包装的袋装食品质量在497.5～501.5 g之间的概率为_______.
【答案】0.25
【解析】
【分析】
找到质量在497.5～501.5 g之间的袋数由频率可得答案.
【详解】
质量在497.5～501.5 g之间的有498， 501， 500，501，499共5袋，
所以其频率为＝0.25，由此我们可以估计质量在497.5～501.5 g之间的概率为0.25.
故答案为：0.25.
7. 给出下列4个说法：
①现有一批产品，次品率为0.05，则从中选取200件，必有10件是次品；
②做100次抛掷一枚硬币的试验，结果有51次出现正面向上，因此，出现正面向上的概率是；
③抛掷一枚骰子100次，有18次出现1点，则出现1点的频率是；
④随机事件的概率一定等于这个事件发生的频率．
其中正确的说法是________．(填序号)
【答案】③
【解析】
【分析】
对于①，由次品率为0.05，可知出现次品的概率是0.05，从而可对①进行判断；对于②，由题意可知出现正面向上的频率是；对于③，由频率的定义判断即可；对于④，由概率与频率的关系判断即可
【详解】
次品率为0.05，即出现次品的概率(可能性)是0.05，所以200件产品中可能有10件是次品，并非“必有”，故①错；
在100次具体的试验中，正面向上的次数与试验的总次数之比是频率，而不是概率，故②错；
③由频率的定义可知出现1点的频率是，所以③正确；
由概率的定义知，概率是频率的稳定值，频率在概率附近摆动，故随机事件的概率不一定等于该事件发生的频率，故④错．
故答案为：③
8. 下列说法：
①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性大小；
②百分率是频率，但不是概率；
③频率是不能脱离试验次数的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；
④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.
其中正确的是______________.
【答案】①③④
【解析】
根据频率与概率的概念与区别,依次判断各选项即可.
【详解】
对于①,由频率和概率概念: 频率是反映事件发生的频繁程度,概率是反映事件发生的可能性大小.可知①正确;
对于②,概率也可以用百分率表示,故②错误.
对于③,频率与试验次数相关,而概率与试验次数无关,所以③正确;
对于④,对于不同批次的试验,频率不一定相同,但概率相同,因而频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值,所以④正确.
由概率和频率的定义中可知①③④正确.
故答案为: ①③④
【点睛】
本题考查了频率与概率的概念与区别,对概念要理解准确.
9. 对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间内的为一等品，在区间或内的为二等品，在区间或内的为三等品.用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则该件产品为二等品的概率为____________.
【答案】
【解析】
由所有矩形面积之和为1求出区间对应矩形的高度，区间与的概率之和即为所求.
【详解】
设区间对应矩形的高度为，则由所有矩形面积之和为1，得，解得，所以该件产品为二等品的概率为.
故答案为：
【点睛】本题考查频率分布直方图，频率估计概率.
10. 在学校运动会开幕式上，100名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别（M（男）、F（女））及年级（（高一）、（高二）、（高三））分类统计的人数如下表：
若从这100名学生中随机选一名学生，求下列概率：
____________，____________，____________，____________，____________，____________，____________
【答案】 0
【解析】
根据频数依题意求得概率即可
【详解】
；
；
；
；
；
；
故答案为：（1）；（2）；（3）1；（4）0；（5）0.35；（6）0.76；（7）0.07
【点睛】
本题考查利用频数求概率,考查概率公式的应用
11. 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.则当天商店不进货的概率为__________.
【答案】
【解析】
商店不进货即日销售量少于2件,因为“日销售量为1件”与“日销售量为0件”不可能同时发生,彼此互斥,所以分别计算这两个事件发生的频率,将其视作概率,利用概率加法公式求解即可
【详解】
记“当天商品销售量为0件”为事件A,“当天商品销售量为1件”为事件B,“当天商店不进货”为事件C,
则,
故答案为：
【点睛】
本题考查频率与概率的关系,考查互斥事件的概率加法公式的应用.
12. 从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表如下，从该校随机选取一名学生，则估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率为__________.
【答案】
【解析】
根据频数分布表,100名学生中课外阅读时间少于12小时的学生共有(名),结合条件即可求得答案.
【详解】
根据频数分布表,100名学生中课外阅读时间少于12小时的学生共有(名)
样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是.
从该校随机选取一名学生,估计其课外阅读时间少于12小时的概率为.
故答案为：
【点睛】
本题考查了根据表格数据求事件概率,掌握概率的基础知识是解题关键,考查了分析能力和计算能力.
13. 今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类.某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为____.
【答案】0.4
【解析】
【分析】
将买猪肉的人组成的集合设为A，买其它肉的人组成的集合设为B，
由韦恩图易得只买猪肉的人数，与100作比，即得结果.
【详解】
由题意，将买猪肉的人组成的集合设为A，买其它肉的人组成的集合设为B，
则韦恩图如下：中有30人，中有10人，又不买猪肉的人有30位，
∴中有20人，∴只买猪肉的人数为：100，
∴这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为=0.4，
故答案为；0.4
【点睛】
本题考查了用样本估计总体，用频率估计概率的方法，考查了韦恩图的应用，属于中档题.
C 培优拔尖练
1. 某射击运动员脱靶的概率是0.01%，如果他独立重复射击下去，必有一次脱靶发生．（利用频率和概率的关系说明）
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
根据频率与概率的关系说明即可；
【详解】
解：频率一般是大概统计数据经验值，频率稳定于概率，概率为准确值，依题意，已知射击运动员脱靶的概率是，这是由多次实验得出的数据，如果设运动员射击次，至少脱靶一次的概率，从函数的角度分析可知当非常大时会趋近于1，也就是说由概率的意义可知，该射击运动员在10000次射击中，可能有1次脱靶，即他独立重复射击下去，必有一次脱靶发生．
2.超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100名顾客的相关数据，如下表所示：已知这100位顾客中一次性购物超过8件的顾客占55%.
（1）求x，y的值；
（2）求一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率.
【答案】（1）x＝15，y＝20；（2）0.3.
【解析】（1）由已知得所以x＝15，y＝20.
（2）设事件A为“一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟”，事件A1为“一位顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，事件A2为“一位顾客一次购物的结算时间为3分钟”，所以P（A）＝P（A1）+P（A2）＝+＝0.3.
3. 有三张除字母外完全相同的纸牌，字母分别是K，K，Q．进行有放回的抽样，每次试验抽出一张纸牌，经过多次试验后结果汇总如下表：
(1)将上述表格补充完整；
(2)观察表格，计算摸到K的频率为多少；
(3)估计摸到K的概率．
【答案】(1)见解析；(2)约为66%.；(3)摸到K的概率约为66%，事实上摸到K的概率为.
【解析】
(1)完善后表格如下表所示：
(2)由（1）可得计算摸到K的频率约为66%.
(3)由频率与概率的关系可得摸到K的概率约为66%，事实上摸到K的概率为.
4.有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种:
A．猜“是奇数”或“是偶数”
B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”
C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”
请回答下列问题:
(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜?为什么?
(2)为了保证游戏的公平性,你认为应制定哪种猜数方案?为什么?
(3)请你设计一种其他的猜数方案,并保证游戏的公平性.
【答案】(1) 应选方案B ,猜“不是4的整数倍数”;(2) 应当选择方案A;
(3) 可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”
【解析】 (1)如题图,方案A中“是奇数”或“是偶数”的概率均为=0.5;方案B中“不是4的整数倍数”的概率为=0.8,“是4的整数倍数”的概率为=0.2;方案C中“是大于4的数”的概率为=0.6,“不是大于4的数”的概率为=0.4.乙为了尽可能获胜,应选方案B,猜“不是4的整数倍数”.
(2)为了保证游戏的公平性,应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5,从而保证了该游戏是公平的.
(3)可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”,此方案也可以保证游戏的公平性.
5. 某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并做如下规定：顾客购物80元以上就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．
下表是活动进行中的一组统计数据：
(1)计算并完成表格．
(2)当n很大时，落在区域“1”的频率将会接近多少？
(3)你获得区域“1”相应奖品的概率大约为多少？
【答案】(1)答案见解析；(2)0.12；(3)0.12
【分析】
（1）根据表中的数据直接计算出频率；
（2）根据频率稳定值可得答案；
（3）根据频率与概率的有关系可得答案.
【解析】
(1)落在区域“1”的频率如下表：
(2)由（1）中计算的频率，可判断当n很大时，落在区域“1”的频率将会接近0.12.
(3)由（1），（2）及频率与概率的关系可知获得区域“1”相应奖品的概率大约为0.12.
6. 某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：
如果这名运动员只射击一次，以频率作为概率，求下列事件的概率；
（1）命中10环；
（2）命中的环数大于8环；
（3）命中的环数小于9环；
（4）命中的环数不超过5环.
【答案】（1）0.2 （2）0.5 （3）0.5 （4）0
【解析】
利用频率表以及互斥事件的概率公式得出（1），（2），（3）对应的概率，由对立事件的概率公式得出（4）的概率.
【详解】
解：用x表示命中的环数，由频率表可得.
（1）；
（2）（或）；
（3）；
（4）.
【点睛】
本题主要考查了利用互斥事件以及对立事件的概率公式求概率，属于中档题.
7.在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病：为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：
（1）求样本中患病者的人数和图中a，b的值；
（2）试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数；
（3）某研究机构提出，可以选取常数，若一名从业者该项身体指标检测值大于，则判定其患有这种职业病；若检测值小于，则判定其未患有这种职业病.从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患病，求判断错误的概率.
【答案】（1）患病者的人数为40，，；（2）31450；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为40人，由此能求出，．
（2）指标检测值不低于5的样本中，有患病者28人，未患病者9人，共37人，此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数．
（3）当时，在100个样本数据中，有12名患病者被误判为未患病，有9名未患病者被误判为患病者，由此能判断错误的概率．
【详解】
（1）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为.
，.
（2）由（1）可知，患病者的人数为，未患病的人数为，该项身体指标检测值不低于5的样本中，有患病者（人），未患病者（人），共37人.
故估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数为.
（3）当时，在100个样本数据中，有（名）患病者被误判为未患病，有（名）未患病者被误判为患病，
因此判断错误的概率为.
8. 某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：
（1）该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？
（2）假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？
（3）假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？
（4）假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？
【答案】（1）0.9；（2）270；（3）不一定击不中靶心；（4）不一定
【解析】
【分析】
（1）根据频率与概率的关系求解；
（2）利用频率与频数的关系求解；
（3）根据概率的意义求解；
（4）根据概率的意义求解.
【详解】
（1）由题意得，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.
（2）击中靶心的次数大约为.
（3）由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化.后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定击不中靶心.
（4）由概率的意义知，不一定.
9. 已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等）
现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.
（1）由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来.
（2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）不公平，理由见解析.
【解析】
（1）根据定义一一列举出即可；
（2）由（1）根据古典概型的概率计算公式分别计算概率即可判断.
【详解】
解：（1）由题意知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数共有20个.
分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456.
（2）不公平由（1）知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”有20个，记“甲参加数学竟赛”为事件A，记“乙参加数学竞赛”为事件B.则事件A含有基本事件有：124，134，234，126，136，146，156，236，246，256，346，356，456共13个.
由古典概型计算公式，得
，
又A与B对立，所以，
所以.故选取规则对甲、乙两名学生不公平.
【点睛】
本题考查概率的应用，古典概型的概率计算问题，属于基础题.
10. 为了研究某种油菜籽的发芽率，科研人员在相同条件下做了10批试验，油菜籽的发芽试验相关数据如下表：
问题
（1）如何计算每批试验中油菜籽发芽的频率？
（2）由各批油菜籽发芽的频率，可以得到频率具有怎样的特征？
（3）如何确定该油菜籽发芽的概率？
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】
（1）利用公式：，可求出各批油菜籽发芽的频率;
（2）频率具有随机性，每次试验所得的频率都是随机变化的，当试验次数越来越多时，频率越来越趋近于一个常数，并且在这个常数附近波动.
（3）由（2）可知频率趋于的常数就是发芽的概率.
【详解】
（1）利用公式：，可求出各批油菜籽发芽的频率.
（2）提示：批次1的频率，批次2的频率 ，批次3的频率，批次4的频率，批次5的频率，批次6的频率 ，批次7的频率，批次8的频率，批次9的频率，批次10的频率 ，当试验次数越来越多时，频率越来越趋近于一个常数.
（3） 由（2）可知，当试验次数越来越多时，频率在0.900附近波动，由此估计该油菜籽发芽的概率约为0.900.
【点睛】
本题考查频率和概率，意在考查基础概念的辨析，属于基础题型.
11.国家规定每年的月日以后的天为当年的暑假.某钢琴培训机构对位钢琴老师暑假一天的授课量进行了统计，如下表所示：
培训机构专业人员统计近年该校每年暑假天的课时量情况如下表：
（同组数据以这组数据的中间值作代表）
（1）估计位钢琴老师一日的授课量的平均数；
（2）若以（1）中确定的平均数作为上述一天的授课量.已知当地授课价为元/小时，每天的各类生活成本为元/天；若不授课，不计成本，请依据往年的统计数据，估计一位钢琴老师天暑假授课利润不少于万元的概率.
【答案】（1）小时；（2）.
【解析】
（1）将每组的中点值乘以频数，相加后除以可得出位老师暑假一日的授课量的平均数；
（2）设一位钢琴老师每年暑假天的授课天数为，计算出每位钢琴老师每日的利润，结合每位钢琴老师天暑假授课利润不少于万元求得的取值范围，再结合课时量频数表可得出所求事件的概率.
【详解】
（1）估计位老师暑假一日的授课量的平均数为小时；
（2）设每年暑假天的授课天数为，则利润为.
由，得.
一位老师暑假利润不少于万元，即授课天数不低于天，
又天暑假内授课天数不低于天的频率为.
预测一位老师天暑假授课利润不少于万元的概率为.
【点睛】
本题考查频数分布表的应用，考查平均数与概率的计算，考查数据处理能力，属于基础题.
12.小张大学毕业后决定选择自主创业，在进行充分的市场调研下得到如下的两张表格：
项目B的表格中的两个数据丢失，现用x，y代替但调研时发现：投资A，B这两个项目的平均利润率相同.以下用频率代替概率，A，B两个项目的利润情况互不影响.
（1）求x，y的值，并分别求投资A，B项目不亏损的概率；
（2）小张在进行市场调研的同时，拿到了100万人民币的风险投资现在小张与投资方决定选择投资其中的一个项目进行投资，请你从统计学的角度给出一个建议，并闸述你的理由.
【答案】（1），，90%，95%；（2）建议投资B项目，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）计算出投资项目A的平均利润率、投资项目B的平均利润率，根据投资A，B这两个项目的平均利润率相同，可得、，再计算投资A、B项目不亏损的概率；
（2）考察角度一：由（1）得，投资B项目不亏损的概率比较大，故建议投资B项目.
考察角度二：计算出投资A项目利润率的方差、投资B项目利润率的方差，比较大小可得答案.
【详解】
（1）投资项目A的平均利润率为，
投资项目B的平均利润率为
，
因为投资A，B这两个项目的平均利润率相同，
所以，
解得，，
所以投资A项目不亏损的概率为，
投资B项目不亏损的概率为；
（2）考察角度一：
由（1）得，投资B项目不亏损的概率比较大，故建议投资B项目.
考察角度二：
投资A项目利润率的方差为，，
投资B项目利润率的方差为，，
所以投资A项目利润率的方差大于投资B项目利润率的方差，
即投资B项目的利润比较稳定，为此建议投资B项目.
课程标准
课标解读
通过具体实例的剖析，了解随机事件发生的不确定性与频率的稳定性；
了解概率的意义以及频率与概率的区别与联系；
能通过具体的案例用频率估计概率，会解决简单的实际 题中的频率与概率问题.
通过本节课的学习，要求能在简单的随机实验中了解频率的稳定性，能用随机模拟的方法估计概率.
名称
区别
联系
频率
本身是随机的，在试验之前无法确定，大多会随着试验次数的改变而改变．做同样次数的重复试验，得到的频率值也可能会不同
(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率
(2)在实际问题中，事件的概率通常情况下是未知的，常用频率估计概率
概率
是一个[0，1]中的确定值，不随试验结果的改变而改变
命中环数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
频数
2
4
5
6
9
10
18
26
12
8
本科
研究生
合计
35岁以下
50
35
85
35-50岁
20
13
33
50岁以上
10
2
12
组别
[0，10)
[10，20)
[20，30)
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70]
频数
12
13
24
15
16
13
7
射击次数
50
100
200
400
1000
射中8环以上的次数
44
78
158
320
800
顾客年龄岁
20岁以下
70岁及以上
手机支付人数
3
12
14
9
13
2
0
其他支付方式人数
0
0
2
11
31
12
1
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数n
5544
9607
13520
17190
男婴数m
2883
4970
6994
8892
体重变化
体重减轻
体重不变
体重增加
人数
276
144
80
投篮次数
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
投中次数
7
15
23
30
38
45
53
60
68
75
投中频率
投中次数
8
14
23
32
35
43
52
61
70
80
投中频率
序号
频数
频率
频数
频率
频数
频率
1
12
0.6
56
0.56
261
0.522
2
9
0.45
50
0.55
241
0.482
3
13
0.65
48
0.48
250
0.5
4
7
0.35
55
0.55
258
0.516
5
12
0.6
52
0.52
253
0.506
年龄（岁）
频数
50
a
320
300
80
鱼卵数
200
600
900
1200
1800
2400
孵化出的鱼苗数
188
548
817
1067
1614
2163
孵化成功的频率
0.940
0.913
0.908
①
0.897
②
本科
研究生
合计
35岁以下
40
30
70
35-50岁
27
13
40
50岁以上
8
2
10
取球方式
结果
游戏1
有3个黑球和1个白球，游戏时，不放回地依次取2个球
取出的2个球同色→甲胜；取出的2个球不同色→乙胜
游戏2
有1个黑球和1个白球，游戏时，任取1个球.
取出的球是黑球→甲胜；取出的球是白球→乙胜.
游戏3
有2个黑球和2个白球，游戏时，不放回地依次取2个球.
取出的2个球同色→甲胜；取出的2个球不同色→乙胜.
满意情况
不满意
比较满意
满意
非常满意
人数
200
2100
1000
“厨余垃圾”箱
“可回收垃圾”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
100
可回收垃圾
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
顾客人数 商品
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
M
18
20
14
F
17
24
7
日销售量（件）
0
1
2
3
频数
1
5
9
5
组号
分组
频数
1
[0，2）
6
2
[2，4）
8
3
[4，6）
17
4
[6，8）
22
5
[8，10）
25
6
[10，12）
12
7
[12，14）
6
8
[14，16）
2
9
[16，18）
2
合计
100
一次性购物数量
1至
4件
5至
8件
9至
12件
13至16件
17件及以上
顾客数（人）
x
30
25
y
10
结算时间（分/人）
1
1.5
2
2.5
3
试验总次数
10
20
50
100
200
300
400
500
1000
…
抽出K的频数
7
13
32
136
198
270
660
…
抽出K的频率
65%
67%
…
试验总次数
10
20
50
100
200
300
400
500
1000
抽出K的频数
7
13
32
65
136
198
270
335
660
抽出K的频率
70%
65%
64%
65%
68%
66%
67.5%
67%
66%
转动转盘的次数m
100
150
200
500
800
1000
落在区域“1”的频数n
13
19
24
62
100
120
落在区域“1”的频率
转动转盘的次数m
100
150
200
500
800
1000
落在区域“1”的频数n
13
19
24
62
100
120
落在区域“1”的频率
0.13
0.13
0.12
0.12
0.13
0.12
命中环数
6
7
8
9
10
频率
0.1
0.15
0.25
0.3
0.2
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
0.8
0.95
0.88
0.92
0.89
0.91
批次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
每批粒数
2
5
10
70
130
700
1500
2000
3000
5000
发芽的粒数
2
4
9
60
116
637
1370
1786
2709
4490
授课量（单位：小时）
频数
课时量（单位：天）
频数
利润占投入的百分比
10%
5%
频率
50%
40%
10%
利润占投入的百分比
10%
5%
频率
40%
x
y
知识精讲
知识点
1.频率的稳定性
在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).
2.频率与概率的区别与联系
【微点拨】(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率；
(2)频率本身是随机的，在试验前不能确定；
(3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关.
【即学即练1】下列说法正确的是
A．任何事件的概率总是在之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
【答案】C
【解析】解：由于必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故不正确．
频率的数值是通过实验完成的，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，故、不正确．
频率是不能脱离次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值，
随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故正确．
故选：．
【即学即练2】为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2000尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库，经过适当时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾，试上述数据，估计水库内鱼的尾数是
A．22000B．23000C．25000D．26000
【答案】C
【解析】由题意可得有记号的鱼所占的比例大约为，设水库内鱼的尾数是，
则有，解得，故选：．
【即学即练3】已知某运动员每次投篮命中的概率为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为
A．0.35B．0.25C．0.20D．0.15
【答案】B
【解析】解：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，
在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393．
共5组随机数，所以所求概率为．故选：．
【即学即练4】对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间，上为一等品，在区间，和，为二等品，在区间，和，为三等品．用频率估计概率，现从这批产品中随机抽取1件，则其为三等品的概率是
A．0.03B．0.05C．0.15D．0.25
【答案】D
【解析】解：在区间，和，为三等品，
由频率分布直方图得：在区间，和，的频率为，所以从这批产品中随机抽取1件，其为三等品的概率是0.25．故选：．
【即学即练5】张明与张华两人做游戏,下列游戏中不公平的是( )
①抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则张华获胜;
②同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则张华获胜;
③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则张华获胜;
④张明、张华两人各写一个数字6或8,如果两人写的数字相同张明获胜,否则张华获胜.
A．①②B．②C．②③④D．①②③④
【答案】B
【解析】
【详解】
①抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数和偶数是等可能的，均为，所以公平；
②中,恰有一枚正面向上包括(正,反),(反,正)两种情况,而两枚都正面向上仅为(正,正),因此②中游戏不公平.
③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色和黑色是等可能的，均为，所以公平；
④张明、张华两人各写一个数字6或8,一共四种情况(6,6),(6,8),(8,6),(8,8)，两人写的数字相同和不同是等可能的，均为，所以公平；.
故选B.
【即学即练6】（多选题）给出下列四个命题,其中正确的命题有( )
A．做100次抛硬币的试验,结果51次出现正面朝上,因此,出现正直朝上的概率是
B．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
C．抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是
D．随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率
【答案】CD
【解析】对于A,混淆了频率与概率的区别,故A错误;
对于B,混淆了频率与概率的区别,故B错误;
对于C,抛掷骰子次,得点数是的结果有次,则出现点的频率是,符合频率定义,故C正确;
对于D,频率是概率的估计值,故D正确. 故选:CD.
【即学即练7】一家保险公司为了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，收集了20000辆汽车的信息，时间是从某年的5月1日到下一年的4月30日，发现共有600辆汽车的挡风玻璃破碎，则一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似为 ．
【答案】0.03
【解析】因为实验次数较大，可用频率估计概率，所以概率，
故一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似为0.03．故答案为：0.03．
【即学即练8】某射击运动员平时100次训练成绩的统计结果如下：
如果这名运动员只射击一次，估计射击成绩是6环的概率为________；不少于9环的概率为________.
【答案】
【解析】
【分析】
由表中的数据，求对应的比值可得答案.
【详解】
由题意得：这名运动员只射击一次，估计射击成绩是6环的概率为，
不少于9环的概率为，
故答案为：；.
【点睛】
本题考查利用频率估计概率，属于基础题.
【即学即练9】某中学有教职工130人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调查，其结果如下：
从这130名教职工中随机地抽取一人，求下列事件的概率；
（1）具有本科学历；（2）35岁及以上；（3）35岁以下且具有研究生学历.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）先求出具有本科学历的人数，再由频率估计概率即可得解；
（2先求出35岁及以上的人数，再由频率估计概率即可得解；
（3）先求出35岁以下且具有研究生学历的人数，再由频率估计概率即可得解；
【详解】
解：（1）具有本科学历的共有（人），故所求概率为.
（2）35岁及以上的共有（人），故所求概率为.
（3）35岁以下且具有研究生学历的有35人，故所求概率为.
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率，重点考查了运算能力，属基础题.
能力拓展
考法01
计算频率：
【典例1】某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，3次中9环，4次中8环，1次未中靶，则此人中靶的频率是（ ）
A．0.2B．0.4C．0.5D．0.9
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用频率的公式求解.
【详解】
由题得这个人中靶的次数为2+3+4=9，
所以此人中靶的频率是.
故选：D
【典例2】10个小球分别编号为1，2，3，4，其中1号球4个，2号球2个，3号球3个，4号球1个，数字0.4是指1号球占总体的（ ）
A．频数B．频率C．频率/组距D．累积频率
【答案】B
【解析】
【分析】
根据频率的概念即可得出结果.
【详解】
解析：因为1号球的频数为4，
则1号球占总体的频率为.
故选：B
【典例3】某射击运动员为了检测自己近阶段的训练效果，做了一次射击测试.在这次测试中，他一共射击100枪，击中10环的有85枪，则这名射击运动员在这次测试中击中10环的频数是___________，频率是___________.
【答案】 85 0.85
【解析】
【分析】
根据运动员一共射击100枪，击中10环的有85枪求解.
【详解】
因为一共射击100枪，击中10环的有85枪，
所以这名射击运动员在这次测试中击中10环的频数是85，频率是，
故答案为：85；0.85
【典例4】一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表：
则样本数据落在[10，40)上的频率为________.
【答案】0.52
【解析】
【分析】
根据图表，样本数据落在[10，40)上的频数为13＋24＋15＝52，根据频率公式即可得解.
【详解】
样本数据落在[10，40)上的频数为13＋24＋15＝52.
则样本数据落在[10，40)上的频率为＝0.52.
故答案为：0.52
考法02
辨析频率与概率的关系问题：
【典例5】给出下列说法：
①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中的频繁程度；
②每个试验结果出现的频数之和等于试验的样本总数；
③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1；
④频率就是概率．
其中正确的是（ ）
A．①B．①②④C．①②D．③④
【答案】C
【解析】对于①，根据频数和频率的定义知，频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中的频繁程度，所以①正确；
对于②，每个试验结果出现的频数之和等于试验的样本总数，所以②正确；
对于③，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，所以③错误；
对于④，频率是一个实验值，是随实验结果变化的，概率是稳定值，是不随实验结果变化的，所以④错误．
综上知，正确的命题序号是①②．故选：C．
【典例6】下列说法正确的有（ ）
A.概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；
B.一次试验中不同的基本事件不可能同时发生；
C.任意事件A发生的概率P(A)总满足0
【答案】AB
【解析】频率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律．在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件的概率．
∴随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．∴A正确．
∵基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的，∴一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生．∴B正确．
∵必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率大于0，小于1，∴任意事件A发生的概率P（A）满足0≤P（A）≤1，∴C错误．
若事件A的概率趋近于0，则事件A是小概率事件，∴D错误
∴说法正确的有两个，故选:AB．
【典例7】以下是表述“频率”与“概率”的语句：
①在大量试验中，事件出现的频率与其概率很接近；
②概率可以作为当实验次数无限增大时频率的极限；
③计算频率通常是为了估计概率．
其中正确的语句为（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【解析】
【分析】由频率和概率的定义以及频率和概率的关系判断①②③，即可得正确答案.
【详解】
事件的频率是指事件发生的频数与次事件中事件出现的次数比，
随机事件在每次实验中是否会发生是不能预料的，但在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件发生的频率会逐渐稳定在区间中的某个常数上，这个常数就是事件的概率．所以随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率．计算频率通常是为了估计概率．
所以①②③都正确，
故选：D.
【典例8】对下面的描述：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A发生的概率；③频率是不能脱离具体的n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的说法有（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据频率和概率的关系可判断.
【详解】
由频率和概率的意义知，频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小，故①正确；
由频率和概率的关系知，频率是概率的近似值，是通过大量试验得到的，而概率是频率的稳定值，是确定的理论值，故②错误，③④正确.
故选：ACD.
考法03
用频率估计概率：
【典例9】某射击运动员在同一条件下射击的成绩记录如表所示：
根据表中的数据，估计该射击运动员射击一次射中8环以上的概率为（ ）
A．0.78B．0.79C．0.80D．0.82
【答案】C
【解析】
【分析】
利用频率估计概率即可求解.
【详解】
大量重复试验，由表格知射击运动员射中8环以上的频率稳定在，
所以这名运动员射击一次射中8环以上的概率为，
故选：C.
【典例10】手机支付已经成为人们常用的付费方式．某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下：
从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在且未使用手机支付的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
算出100名顾客中，顾客年龄在且未使用手机支付的的人数，进而可以得到未使用手机支付的概率.
【详解】
在随机抽取的100名顾客中，顾客年龄在且未使用手机支付的共有人，所以从该超市随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在且未使用手机支付的概率为．
故选：A.
【典例11】一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示：
则4年内男婴的出生频率为________（保留4位小数）；这一地区男婴出生的概率约是_______
【答案】 0.5173 0.5173
【解析】
【分析】
求出每年内男婴出生的频率，从而可估计4年内男婴的出生频率，用频率来衡量概率即可
【详解】
因为男婴出生的频率依次约为0.5200，0.5173，0.5173，0.5173.
这些频率非常接近0.5173，所以这一地区男婴出生的概率约为0.5173.
故答案为：0.5173，0.5173
【典例12】容量为200的样本的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在内的频数为______，数据落在内的概率约为______.
【答案】 64. 0.32.
【解析】
（1）根据矩形面积表示频率，再根据公式，计算频数；
（2）转化为求数据落在内的频率.
【详解】
由题图易知组距为4，故样本数据落在内的频率为，频数为，故数据落在内的概率约为0.32.
故答案为：64；0.32
【点睛】
本题考查频率分布直方图的简单应用，理解频率和概率，属于基础题型.
【典例13】某个制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有500名志愿者服用此药，结果如下：
如果另有一人服用此药，估计下列事件发生的概率：
（1）这个人的体重减轻了；（2）这个人的体重不变；（3）这个人的体重增加了.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）由频率估计概率运算即可得解；
（2）由频率估计概率运算即可得解；
（3）由频率估计概率运算即可得解.
【详解】
（1）由频率估计概率可得：体重减轻了的概率估计值为；
（2）由频率估计概率可得：体重不变的概率估计值为；
（3）由频率估计概率可得：体重增加了的概率估计值为.
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，重点考查了运算能力，属基础题.
【典例14】某文具厂打算生产一种中学生使用的笔袋，但无法确定各种颜色的产量，于是该文具厂就笔袋的颜色随机调查了5000名中学生，并在调查到1000名，2000名，3000名，4000名，5000名时分别计算了各种颜色的频率，绘制的折线图如下：
(1)随着调查次数的增加，红色的频率如何变化？
(2)你能估计中学生选取红色的概率是多少吗？
(3)若你是该厂的负责人，你将如何安排生产各种颜色笔袋的产量？
【答案】(1)红色的频率越来越稳定在
(2)
(3)可安排生产蓝色、红色、绿色、紫色、及其它颜色的笔袋产量的比例大约为（合理即可）
【分析】（1）根据折线图分析即可；
（2）根据频率和概率的关系判断即可；
（3）根据折线图可得中学生选取蓝色、红色、绿色、紫色、及其它颜色的概率，即可按比例安排生产；
【解析】(1)根据折线图可知随着调查次数的增加，红色的频率越来越稳定在；
(2)由图可知，红色的频率基本在附近浮动，所以中学生选取红色的概率是；
(3)由图可知，中学生选取蓝色、红色、绿色、紫色、及其它颜色的概率分别是、、、、，故可安排生产蓝色、红色、绿色、紫色、及其它颜色的笔袋产量的比例大约为（合理即可）；
考法04
游戏的公平性问题：
【典例15】甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是（ ）
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
【答案】B
【解析】
【分析】运用古典概型的概率计算公式，分别计算A，B，C，D中的概率，结合题意，即可得到所求结论．
【详解】A项，P（点数为奇数）＝P（点数为偶数）＝；
B项，P（点数之和大于7）＝，P（点数之和小于等于7）＝；
C项，P（牌色为红）＝P（牌色为黑）＝；
D项，P（同奇或同偶）＝P（奇偶不同）＝．故选：B.
【典例16】(多选)甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（ ）
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
【答案】ACD
【分析】求出每一个选项的情况下，甲胜和乙胜的概率即可判断得解.
【解析】对于选项A，甲胜和乙胜的概率都是，所以游戏是公平的；
对于选项B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，所以游戏不公平；
对于选项C，甲胜和乙胜的概率都是，所以游戏是公平的；
对于选项D，甲胜的概率是，乙胜的概率是，所以游戏是公平的.
故选：ACD
【典例17】一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜.判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等。
在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次.据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论？为什么？
【解析】当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5；当游戏玩了1000次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7.根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小.相对10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近.而游戏玩到1000次时，甲、乙获胜的频率分别是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的.因此，应该支持甲对游戏公平性的判断.
【典例18】．一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色），跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为，我赢的概率也是，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平.
【答案】见解析.
【解析】把卡片六个面的颜色记为，，，，，，其中，G表示绿色，B表示蓝色；和是两面颜色不一样的那张卡片的颜色，用树形图得到样本空间，计算出概率即可判断.
【详解】把卡片六个面的颜色记为，，，，，，
其中，G表示绿色，B表示蓝色；和是两面颜色不一样的那张卡片的颜色.
游戏所有的结果可以用如图表示.
不难看出，此时，样本空间中共有6个样本点，朝上的面与朝下的面颜色不一致的情况只有2种，因此乙赢的概率为.因此，这个游戏不公平.
【点睛】本题考查概率的应用，属于基础题.
考法05
频率稳定性问题的常见题型：
【典例19】将，两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下：
下面有三个推断：
①当投篮30次时，两位运动员都投中23次，所以他们投中的概率都是；
②随着投篮次数的增加，运动员投中频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计运动员投中的概率是；
③当投篮达到200次时，运动员投中次数一定为160次.
其中合理的是（ ）.A．①B．②C．①③ D．②③
【答案】B
【解析】事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此可得解答.
【详解】
解：①在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的频率估计它的概率，投篮30次，次数太少，不可用于估计概率，故①推断不合理；
②随着投篮次数增加，A运动员投中的频率显示出稳定性，因此可以用于估计概率，故②推断合理；
③频率用于估计概率，但并不是准确的概率，因此投篮200次时，只能估计投中160次，而不能确定一定是160次，故③不合理；故选：B.
【点睛】此题考查了利用频率估计概率的知识，属于容易题.
【典例20】．概率是对随机事件发生可能性大小的度量，通过实验和观察的方法可以得到实验中某事件发生的频率，进而用频率得到某事件的概率的估计．利用计算机模拟掷两枚硬币的实验，在重复实验次数为20，100，500时各做5组实验，得到事件“一个正面朝上，一个反面朝上”．发生的频数和频率表如下：
用折线图表示频率的波动情况如下图所示：
根据以上信息，下面说法正确的有（ ）A．实验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性；
B．实验次数较小时，频率波动较大；实验次数较大时，频率波动较小；所以实验时，实验次数越少越好；
C．随机事件发生的频率会随着实验次数增加而逐渐稳定在一个固定值（即随机事件发生的概率）附近；
D．我们要得到某事件发生的概率时，只需要做一次随机实验得到事件发生的频率即为概率．
【答案】AC
【解析】
【分析】根据频率、概率的知识确定正确选项.
【详解】“实验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性”，A正确；
“实验次数较小时，频率波动较大；实验次数较大时，频率波动较小；所以实验时，实验次数越多越好”，B错误；
“随机事件发生的频率会随着实验次数增加而逐渐稳定在一个固定值（即随机事件发生的概率）附近”，C正确、D错误.故选：AC
【典例21】在一个不透明的布袋中，红色，黑色，白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球，黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数可能是_________个.
【答案】16
【解析】
【分析】
根据红色球和黑色球的频率稳定值，计算红色球和黑色球的个数，从而得到白色球的个数.
【详解】
根据概率是频率的稳定值的意义，
红色球的个数为个；
黑色球的个数为个；
故白色球的个数为4个.
故答案为：16.
【点睛】本题考查概率和频率之间的关系：概率是频率的稳定值.
【典例22】在一次掷硬币试验中,掷30000次,其中有14984次正面朝上,则出现正面朝上的频率近似是_____,据此,掷一枚硬币,正面朝上的概率是_________.
【答案】
【解析】
设“出现正面朝上”为事件,则,,即可计算频率,进而求得答案.
【详解】
设“出现正面朝上”为事件,
则,,
,
当实验数据越多频率就越接近概率,
.
故答案为:,.
【点睛】本题考查了用频率估计概率,解题关键是频率和概率的定义,当实验数据越多频率就越接近概率,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
【典例23】2020年新型冠状病毒席卷全球，美国是疫情最严重的国家，截止2020年6月8日美国确诊病例约为200万人，经过随机抽样，从感染人群中抽取1000人进行调查，按照年龄得到如下频数分布表：
（Ⅰ）求a的值及这1000例感染人员的年龄的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（Ⅱ）用频率估计概率，求感染人群中年龄不小于60岁的概率.
【答案】（Ⅰ），平均数为52.2；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）由题意知，
∴，
年龄平均数.
（Ⅱ）1000人中年龄不小于60岁的人有380人，
所以年龄不小于60岁的频率为，
用频率估计概率，所以感染人群中年龄不小于60岁的概率为.
【典例24】新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数.通过抽样调查得知，我国2014年、2015年出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51.
（1）分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率（新生儿中男婴的比率，精确到0.001）
（2）根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？
【解析】（1）2014年男婴出生的频率为
2015年男婴出生的频率为
由此估计，我国2014年男婴出生率约为0.537，2015年男婴出生率约为0.532
（2）由于调查新生儿人数的样本非常大，根据频率的稳定性，上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度.因此，我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”的结论.
【典例24】某水产试验厂进行某种鱼卵的人工孵化，6个试验小组记录了不同的鱼卵数所孵化出的鱼苗数，如下表所示:
（1）表中①②对应的频率分别为多少（结果保留三位小数）?
（2）估计这种鱼卵孵化成功的概率.
（3）要孵化5000尾鱼苗，大概需要鱼卵多少个（精确到百位）?
【答案】（1）（2）0.9（3）
【解析】
（1）计算的值，即可得答案；
（2）从表中数据可看出，虽然频率都不一样，但随着试验的鱼卵数不断增多，孵化成功的频率稳定在0.9附近，即可得答案；
（3）利用频率等于频数除以总数计算，即可得答案.
【详解】
（1），所以①②对应的频率分别为.
（2）从表中数据可看出，虽然频率都不一样，但随着试验的鱼卵数不断增多，孵化成功的频率稳定在0.9附近，由此可估计该种鱼卵孵化成功的概率为0.9.
（3）大概需要鱼卵(个).
【点睛】
本题考查频率计算、频率估计概率的思想，属于基础题.
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列说法错误的是（ ）
A．随机事件的概率与频率是一样的
B．在试验中，某事件发生的频率的取值范围是
C．必然事件的概率是1
D．不可能事件的概率是0
【答案】A
【解析】
【分析】依据频率和概率，必然事件和不可能事件的定义，依次判断即可
【详解】对于选项A，概率是唯一的确定的值，而频率是统计出来的，通过一次次的试验得到，因此随机事件的概率与频率是两个不同的概念，故A错误；
对于选项B，频率是指是指每个对象出现的次数与总次数的比值，故取值范围是，故B正确；
对于选项C，D，由必然事件和不可能事件的定义可知，说法正确.
故选：A
2. 下列叙述随机事件的频率与概率的关系中哪个是正确的（ ）
A．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．概率是随机的，在试验前不能确定
D．频率就是概率
【答案】A
【解析】
【分析】因为概率是在大量重复试验后，事件发生的频率逐渐接近的值，所以就可得到正确答案．
【详解】事件的频率是指事件发生的频数与次事件中事件出现的次数比，
一般来说，随机事件在每次实验中是否会发生是不能预料的，但在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件发生的频率会逐渐稳定在区间，中的某个常数上，这个常数就是事件的概率．
随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率．
故选：A．
3.某位同学进行投球练习，连投了10次，恰好投进了8次．若用表示“投进球”这一事件，则事件发生的
A．概率为B．频率为C．频率为8D．概率接近0.8
【答案】B
【解析】投球1次即进行一次试验，连投球10次，即进行了10次试验，用表示“投进球”这一事件，恰好投进了8次．则事件发生的频数为8，所以事件发生的频率为：．所以CD都不对故选：．
4. 关于频率和概率，下列说法正确的是（ ）
①某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的命中率为；
②数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12000次硬币，得到正面向上的频率为0.5016；抛掷24000次硬币，得到正面向上的频率为0.5005.如果他抛掷36000次硬币，正面向上的频率可能大于0.5005；
③某类种子发芽的概率为0.903，当我们抽取2000粒种子试种，一定会有1806粒种子发芽；
④将一个均匀的骰子抛掷6000次，则出现点数大于2的次数大约为4000次.
A．②④B．①④C．①②D．②③
【答案】A
【解析】
【分析】根据频率和概率的定义对各个选项进行判断即可.
【详解】
①某同学投篮三次，命中两次，只能说明在这次投篮中命中的频率为，不能说概率，故错误；
②进行大量的实验，硬币正面向上的频率在0.5附近摆动，可能大于0.5，也可能小于0.5,故正确；
③只能说明可能有1806粒种子发芽，具有随机性，并不是一定有1806粒种子发芽，故错误；
④出现点数大于2的次数大约为4000次，正确.
故选：A
【点睛】本题考查频率与概率的区别，属于基础题.
5. 某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：
现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的是（ ）
A．该教职工具有本科学历的概率低于60％
B．该教职工具有研究生学历的概率超过50％
C．该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10％
D．该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10％
【答案】D
【解析】
【分析】根据表中数据，用频率代替概率求解.
【详解】
A.该教职工具有本科学历的概率 ，故错误；
B.该教职工具有研究生学历的概率，故错误；
C.该教职工的年龄在50岁以上的概率，故错误；
D.该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率，故正确.
【点睛】本题主要考查概率的求法，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.
6. 下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两人做游戏：甲、乙两人各写一个数字，若都是奇数或都是偶数则甲胜，否则乙胜，这个游戏公平
B．做次随机试验，事件发生的频率就是事件发生的概率
C．某地发行福利彩票，回报率为47%，某人花了100元买该福利彩票，一定会有47元的回报
D．有甲、乙两种报纸可供某人订阅，事件“某人订阅甲报纸”是必然事件
【答案】A
【解析】
对于A,利用列举法,写出所有可能,计算两个人胜的概率是否相等,即可判断游戏是否公平;利用频率与概率的定义可判断B;利用概率的意义可判断C;利用随机事件的定义,可判断D.
【详解】
对于A,甲、乙两人各写一个数字,所有可能的结果为（奇,偶）,（奇,奇）,（偶,奇）,（偶,偶）,则都是奇数或都是偶数的概率为,故游戏是公平的；
对于B,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率,故事件发生的频率就是事件发生的概率是不正确的；
对于C,某人花100元买福利彩票,中奖或者不中奖都有可能,但事先无法预料,故C不正确；
对于D,事件可能发生也可能不发生,故事件是随机事件,故D不正确
综上可知,正确的为A.
故选:A.
【点睛】本题考查了随机事件概率的概念和意义,频率与概率的关系,古典概型概率的求法,属于基础题.
7. 气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是（ ）
A．本市明天将有70%的地区降雨B．本市有天将有70%的时间降雨
C．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大D．明天出行不带雨具肯定要淋雨
【答案】C
【解析】
根据概率的意义,可判断各选项.
【详解】
气象台预报“本市明天降雨概率是70%”,则本市明天降雨的可能性比较大.与降水地区面积和降水时间无关,所以A,B错误.
降水概率是事件发生的可能,不是一定会发生的事情,所以D错误.
而由降水概率是70%,可知降水概率较大,所以明天出行不带雨具淋雨的可能性很大,所以C正确.
故选:C.
【点睛】本题考查了概率的概念和意义,属于基础题.
8. 在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A．0.45，0.45B．0.5，0.5C．0.5，0.45D．0.45，0.5
【答案】D
【解析】由频率和概率的概念,即可得解.
【详解】根据由频率和概率的概念,可知出现正面朝上的频率是,
出现正面朝上的概率是0.5.故选:D.
【点睛】本题考查了了频率和概率的概念,属于基础题.
9. 下面有三个游戏，其中不公平的游戏是（ ）
A．游戏1和游戏3B．游戏1C．游戏2D．游戏3
【答案】D
【解析】
分别计算出每个游戏中所给事件的概率，若两事件的概率大小相同则说明此游戏是公平的，否则说明不公平.
【详解】
对于游戏1，样本点共有12个，取出的2个球同色包含的样本点有6个，其概率是，取出的2个球不同色的概率也是，故游戏1公平；
对于游戏2，样本点共有2个，分析易知，取出的球是黑球和取出的球是白球的概率都是，故游戏2公平；
对于游戏3，样本点共有12个，取出的2个球同色的概率是，取出的2个球不同色的概率是，故此游戏不公平，乙胜的概率大.
故选D.
【点睛】本题考查概率的意义，游戏的公平性，属于基础题.
10. 随着互联网的普及,网上购物已逐渐成为消费时尚,为了解消费者对网上购物的满意情况,某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答),统计结果如下表:
根据表中数据,估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
由题意得,,随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为,所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为,即可求得答案.
【详解】由题意得,,
随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为,
随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为.
由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为.
故选:C
【点睛】
本题考查了用频率估计概率,解题关键是频率和概率的定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
11. 下列命题正确的是（ ）
A．用事件发生的频率估计概率，重复试验次数越大，估计的就越精确.
B．若事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立.
C．事件与事件同时发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率小.
D．抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性就比反面大.
【答案】B
【解析】
【分析】根据概率的定义，事件的独立性概念判断各选项．
【详解】
在相同的条件下做大量重复试验,一个事件A出现的次数和总的试验次数之比,称为事件在这次试验中出现的频率.当试验次数很大时,频率将稳定在一个常数附近. 越大,频率偏离这个常数较大的可能性越小.这个常数称为这个事件的概率，并不是说越大，估计的精度越精确，A错；
事件与事件相互独立，即是否发生与是否发生无关，∴事件是否发生与事件是否发生也无关，它们相互独立，B正确；
抛一枚骰子，出现的点数不大于5记为事件，出现的点为不小于2记为事件，则事件与事件同时发生是指点数为2，3，4，5，概率为，而事件与中恰有一个发生是指点为1或6，概率为．C错；
抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性与出现反面的可能性还是一样．D错．
故选：B．
【点睛】本题考查概率的定义，考查事件的独立性．掌握概念的定义是解题关键．
12. 近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾的分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计生活垃圾，经分拣以后统计数据如下表（单位：t）．根据样本估计本市生活垃圾的分类投放情况，则下列说法正确的是（ ）
A．厨余垃圾投放错误的概率为
B．居民生活垃圾投放正确的概率为
C．该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是其他垃圾
D．厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为20000
【答案】D
【解析】
【分析】
对于A，利用表中的数据可得厨余垃圾投放错误的概率为；对于B，利用表中的数据可得居民生活垃圾投放正确的概率为；对于C，依次求出三类垃圾中投放正确的概率，再比较即可；对于D，利用方差公式求解即可
【详解】对于A，厨余垃圾投放错误的概率为，所以A错误；
对于B，居民生活垃圾投放正确的概率为，所以B错误；
对于C，厨余垃圾投放正确的概率为，可回收垃圾投放正确的概率为，其他垃圾投放正确的概率为，所以该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是可回收垃圾，C错误；
对于D，计算平均数为，
方差为，
所以厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为20000，D正确．
故选：D．
13. “猜想”是指对于每一个正整数,若为偶数,则让它变成;若为奇数,则让它变成.如此循环,最终都会变成,若数字按照以上的规则进行变换,则变换次数为偶数的频率是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
分别对数字按照若为偶数,则让它变成;若为奇数,则让它变成.如此循环,最终都会变成,进行计算,即可求得变换次数为偶数的频率.
【详解】
①当,第次运算为:,第次运算为:,运算次数为;
②当,第次运算为:,第次运算为:,
第次运算为:,第次运算为:,
第次运算为:,运算次数为;
③当,第次运算为:,第次运算为:,
第次运算为:,第次运算为:,
第次运算为:,第次运算为:,
第次运算为:,第次运算为:,运算次数为;
④当,第次运算为:,第次运算为:,
第次运算为:,第次运算为:,
第次运算为:,第次运算为:,
第次运算为:,第次运算为:,
第次运算为:,第次运算为:,
根据③可知当,还需要次运算,运算次数为;
⑤当,根据②可知当,还需要次运算,运算次数为;
故数字按照以上的规则进行变换,变换次数为偶数的为次
变换次数为偶数的频率为:.
故选:B.
【点睛】
本题考查了根据运算规律求频率问题,解题关键是掌握在求解运算规律问题时,应在运算中寻找规律,减少运算步骤,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
题组B 能力提升练
1. （多选题）关于频率和概率，下列说法正确的是（ ）
A．某同学投篮3次，命中2次，则该同学每次投篮命中的概率为
B．费勒抛掷10000次硬币，得到硬币正面向上的频率为0.4979；皮尔逊抛掷24000次硬币，得到硬币正面向上的频率为0.5005．如果某同学抛掷36000次硬币那么得到硬币正面向上的频率可能大于0.5005
C．某类种子发芽的概率为0.903，若抽取2000粒种子试种，则一定会有1806粒种子发芽
D．将一颗质地均匀的骰子抛掷6000次，则掷出的点数大于2的次数大约为4000次
【答案】BD
【解析】
【分析】
通过对频率和概率的定义的理解，即可判断各选项，从而得出答案.
【详解】
解：A中，某同学投篮3次，命中2次，只能说明频率为，而不能说明概率为，故A选项错误；
B中，当试验次数很多时，硬币正面向上的频率在0.5附近摆动，可能大于0.5，也可能小于0.5，故B选项正确；
C中，只能说明大约有1806粒种子发芽，并不是定有1806粒种子发芽，故C选项错误；
D中，点数大于2的概率为，故抛掷6000次点数大于2的次数大约为4000次，故D选项正确．
故选：BD．
2. （多选题）下列说法错误的是（ ）
A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场
B．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈
C．随机试验的频率与概率相等
D．天气预报中，预报明天降水概率为，是指降水的可能性是
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据频率与概率的概念分析可得答案.
【详解】
对于A，甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，是指每场比赛，甲胜的可能性为，则比赛5场，甲可能胜3场、2场、1场、0场，故A错误；
对于B，治愈率为，是指每个人治愈的可能性是，不是说前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈，故B错误；
对于C，随机试验的频率是变化的，概率是频率的稳定值，是固定的，故C错误；
对于D，天气预报中，预报明天降水概率为，是指降水的可能性是，故D正确.
故选：ABC
3. （多选题）2021年5月7日，国药集团中国生物北京生物制品研究所研发生产的新型冠状病毒灭活疫苗（Ver细胞），获得世卫组织紧急使用授权，纳入全球“紧急使用清单”（EUL）.世卫组织审评认为该疫苗的效力78.1%，最高达90%，安全性良好，临床试验数据中没有发现安全问题.所谓疫苗的效力，是通过把人群分成两部分，一部分为对照组，注射安慰剂；另一部分为疫苗组，注射疫苗，当从对照组与疫苗组分别获得发病率后，就可以得到.关于注射疫苗，下列说法正确的是（ ）
A．只要注射该种新冠疫苗，就一定不会感染新冠肺炎
B．注射该种新冠疫苗，能使新冠肺炎感染的风险大大降低
C．若对照组10000人，发病100人；疫苗组20000人，发病40人.则效力为80%
D．若某疫苗组的效力为80%，对照组的发病率为50%.那么在10000个人注射该疫苗后，一定有1000个人发病
【答案】BC
【解析】
【分析】
由题中给出的信息，依次对四个选项进行分析判断即可．
【详解】
解：由题意，疫苗的效力，最高达，但不是注射该种新冠疫苗，就一定不会感染新冠肺炎，故选项A错误；
由题意，疫苗的效力，最高达，所以注射该种新冠疫苗，能使新冠肺炎感染的风险大大降低，故选项B正确；
若对照组10000人，发病100人；疫苗组20000人，发病40人，则注射疫苗的效力，故选项C正确；
若某疫苗组的效力为，对照组的发病率为，只是反应了一个概率问题，并不能说明在10000个人注射该疫苗后，一定有1000个人发病，故选项D错误．
故选：BC．
4. （多选题）某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲､乙､丙､丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.
根据表中数据,下列结论正确的是（ ）
A．顾客购买乙商品的概率最大
B．顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2
C．顾客在甲､乙､丙､丁中同时购买3种商品的概率约为0.3
D．顾客仅购买1种商品的概率不大于0.3
【答案】BCD
【解析】
根据概率的概念,结合所给数据,逐项判断,即可求得答案.
【详解】
对于A,由于购买甲商品的顾客有685位,购买乙商品的顾客有515位,故A错误;
对于B, 从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有200位顾客同时购买了乙和丙,
顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为,故B正确;
对于C, 从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有100位顾客同时的买了甲､丙､丁,另有200位顾客同时购买了甲､乙､丙,其他顾客最多购买了2种商品,
顾客在甲､乙､丙､丁中同时购买3种商品的概率可以估计为,故C正确;
对于D, 从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有183位顾客仅购买1种商品,
顾客仅购买1种商品的概率可以估计为,故D正确.
故选:BCD.
【点睛】
本题考查了概率在实际中的应用,解题关键是掌握概率的定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
5. 商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的双皮鞋的尺码为一个样本，分为组，已知第组的频率为，第，，组的频数分别为，，，若第组表示的是尺码为的皮鞋，则售出的这双皮鞋中尺码为的皮鞋约为______双．
【答案】
【解析】
【分析】
先计算这周内某天第，，组的频率，根据频率之和等于可得第组的频率，再由该频率乘以即可得解.
【详解】
因为第，，组的频数分别为，，，
所以第，，组的频率分别为，，，
又因为第组的频率为，
所以第组的频率为，
所以售出的这双皮鞋中尺码为的皮鞋约为双，
故答案为：.
6. 从某自动包装机包装的食品中，随机抽取20袋，测得各袋的质量（单位：g）分别为：492，496，494，495，498，497，503，506，508，507，497，501，502，504，496，492，496，500，501，499.根据抽测结果估计该自动包装机包装的袋装食品质量在497.5～501.5 g之间的概率为_______.
【答案】0.25
【解析】
【分析】
找到质量在497.5～501.5 g之间的袋数由频率可得答案.
【详解】
质量在497.5～501.5 g之间的有498， 501， 500，501，499共5袋，
所以其频率为＝0.25，由此我们可以估计质量在497.5～501.5 g之间的概率为0.25.
故答案为：0.25.
7. 给出下列4个说法：
①现有一批产品，次品率为0.05，则从中选取200件，必有10件是次品；
②做100次抛掷一枚硬币的试验，结果有51次出现正面向上，因此，出现正面向上的概率是；
③抛掷一枚骰子100次，有18次出现1点，则出现1点的频率是；
④随机事件的概率一定等于这个事件发生的频率．
其中正确的说法是________．(填序号)
【答案】③
【解析】
【分析】
对于①，由次品率为0.05，可知出现次品的概率是0.05，从而可对①进行判断；对于②，由题意可知出现正面向上的频率是；对于③，由频率的定义判断即可；对于④，由概率与频率的关系判断即可
【详解】
次品率为0.05，即出现次品的概率(可能性)是0.05，所以200件产品中可能有10件是次品，并非“必有”，故①错；
在100次具体的试验中，正面向上的次数与试验的总次数之比是频率，而不是概率，故②错；
③由频率的定义可知出现1点的频率是，所以③正确；
由概率的定义知，概率是频率的稳定值，频率在概率附近摆动，故随机事件的概率不一定等于该事件发生的频率，故④错．
故答案为：③
8. 下列说法：
①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性大小；
②百分率是频率，但不是概率；
③频率是不能脱离试验次数的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；
④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.
其中正确的是______________.
【答案】①③④
【解析】
根据频率与概率的概念与区别,依次判断各选项即可.
【详解】
对于①,由频率和概率概念: 频率是反映事件发生的频繁程度,概率是反映事件发生的可能性大小.可知①正确;
对于②,概率也可以用百分率表示,故②错误.
对于③,频率与试验次数相关,而概率与试验次数无关,所以③正确;
对于④,对于不同批次的试验,频率不一定相同,但概率相同,因而频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值,所以④正确.
由概率和频率的定义中可知①③④正确.
故答案为: ①③④
【点睛】
本题考查了频率与概率的概念与区别,对概念要理解准确.
9. 对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间内的为一等品，在区间或内的为二等品，在区间或内的为三等品.用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则该件产品为二等品的概率为____________.
【答案】
【解析】
由所有矩形面积之和为1求出区间对应矩形的高度，区间与的概率之和即为所求.
【详解】
设区间对应矩形的高度为，则由所有矩形面积之和为1，得，解得，所以该件产品为二等品的概率为.
故答案为：
【点睛】本题考查频率分布直方图，频率估计概率.
10. 在学校运动会开幕式上，100名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别（M（男）、F（女））及年级（（高一）、（高二）、（高三））分类统计的人数如下表：
若从这100名学生中随机选一名学生，求下列概率：
____________，____________，____________，____________，____________，____________，____________
【答案】 0
【解析】
根据频数依题意求得概率即可
【详解】
；
；
；
；
；
；
故答案为：（1）；（2）；（3）1；（4）0；（5）0.35；（6）0.76；（7）0.07
【点睛】
本题考查利用频数求概率,考查概率公式的应用
11. 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.则当天商店不进货的概率为__________.
【答案】
【解析】
商店不进货即日销售量少于2件,因为“日销售量为1件”与“日销售量为0件”不可能同时发生,彼此互斥,所以分别计算这两个事件发生的频率,将其视作概率,利用概率加法公式求解即可
【详解】
记“当天商品销售量为0件”为事件A,“当天商品销售量为1件”为事件B,“当天商店不进货”为事件C,
则,
故答案为：
【点睛】
本题考查频率与概率的关系,考查互斥事件的概率加法公式的应用.
12. 从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表如下，从该校随机选取一名学生，则估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率为__________.
【答案】
【解析】
根据频数分布表,100名学生中课外阅读时间少于12小时的学生共有(名),结合条件即可求得答案.
【详解】
根据频数分布表,100名学生中课外阅读时间少于12小时的学生共有(名)
样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是.
从该校随机选取一名学生,估计其课外阅读时间少于12小时的概率为.
故答案为：
【点睛】
本题考查了根据表格数据求事件概率,掌握概率的基础知识是解题关键,考查了分析能力和计算能力.
13. 今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类.某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为____.
【答案】0.4
【解析】
【分析】
将买猪肉的人组成的集合设为A，买其它肉的人组成的集合设为B，
由韦恩图易得只买猪肉的人数，与100作比，即得结果.
【详解】
由题意，将买猪肉的人组成的集合设为A，买其它肉的人组成的集合设为B，
则韦恩图如下：中有30人，中有10人，又不买猪肉的人有30位，
∴中有20人，∴只买猪肉的人数为：100，
∴这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为=0.4，
故答案为；0.4
【点睛】
本题考查了用样本估计总体，用频率估计概率的方法，考查了韦恩图的应用，属于中档题.
C 培优拔尖练
1. 某射击运动员脱靶的概率是0.01%，如果他独立重复射击下去，必有一次脱靶发生．（利用频率和概率的关系说明）
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
根据频率与概率的关系说明即可；
【详解】
解：频率一般是大概统计数据经验值，频率稳定于概率，概率为准确值，依题意，已知射击运动员脱靶的概率是，这是由多次实验得出的数据，如果设运动员射击次，至少脱靶一次的概率，从函数的角度分析可知当非常大时会趋近于1，也就是说由概率的意义可知，该射击运动员在10000次射击中，可能有1次脱靶，即他独立重复射击下去，必有一次脱靶发生．
2.超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100名顾客的相关数据，如下表所示：已知这100位顾客中一次性购物超过8件的顾客占55%.
（1）求x，y的值；
（2）求一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率.
【答案】（1）x＝15，y＝20；（2）0.3.
【解析】（1）由已知得所以x＝15，y＝20.
（2）设事件A为“一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟”，事件A1为“一位顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，事件A2为“一位顾客一次购物的结算时间为3分钟”，所以P（A）＝P（A1）+P（A2）＝+＝0.3.
3. 有三张除字母外完全相同的纸牌，字母分别是K，K，Q．进行有放回的抽样，每次试验抽出一张纸牌，经过多次试验后结果汇总如下表：
(1)将上述表格补充完整；
(2)观察表格，计算摸到K的频率为多少；
(3)估计摸到K的概率．
【答案】(1)见解析；(2)约为66%.；(3)摸到K的概率约为66%，事实上摸到K的概率为.
【解析】
(1)完善后表格如下表所示：
(2)由（1）可得计算摸到K的频率约为66%.
(3)由频率与概率的关系可得摸到K的概率约为66%，事实上摸到K的概率为.
4.有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种:
A．猜“是奇数”或“是偶数”
B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”
C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”
请回答下列问题:
(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜?为什么?
(2)为了保证游戏的公平性,你认为应制定哪种猜数方案?为什么?
(3)请你设计一种其他的猜数方案,并保证游戏的公平性.
【答案】(1) 应选方案B ,猜“不是4的整数倍数”;(2) 应当选择方案A;
(3) 可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”
【解析】 (1)如题图,方案A中“是奇数”或“是偶数”的概率均为=0.5;方案B中“不是4的整数倍数”的概率为=0.8,“是4的整数倍数”的概率为=0.2;方案C中“是大于4的数”的概率为=0.6,“不是大于4的数”的概率为=0.4.乙为了尽可能获胜,应选方案B,猜“不是4的整数倍数”.
(2)为了保证游戏的公平性,应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5,从而保证了该游戏是公平的.
(3)可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”,此方案也可以保证游戏的公平性.
5. 某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并做如下规定：顾客购物80元以上就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．
下表是活动进行中的一组统计数据：
(1)计算并完成表格．
(2)当n很大时，落在区域“1”的频率将会接近多少？
(3)你获得区域“1”相应奖品的概率大约为多少？
【答案】(1)答案见解析；(2)0.12；(3)0.12
【分析】
（1）根据表中的数据直接计算出频率；
（2）根据频率稳定值可得答案；
（3）根据频率与概率的有关系可得答案.
【解析】
(1)落在区域“1”的频率如下表：
(2)由（1）中计算的频率，可判断当n很大时，落在区域“1”的频率将会接近0.12.
(3)由（1），（2）及频率与概率的关系可知获得区域“1”相应奖品的概率大约为0.12.
6. 某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：
如果这名运动员只射击一次，以频率作为概率，求下列事件的概率；
（1）命中10环；
（2）命中的环数大于8环；
（3）命中的环数小于9环；
（4）命中的环数不超过5环.
【答案】（1）0.2 （2）0.5 （3）0.5 （4）0
【解析】
利用频率表以及互斥事件的概率公式得出（1），（2），（3）对应的概率，由对立事件的概率公式得出（4）的概率.
【详解】
解：用x表示命中的环数，由频率表可得.
（1）；
（2）（或）；
（3）；
（4）.
【点睛】
本题主要考查了利用互斥事件以及对立事件的概率公式求概率，属于中档题.
7.在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病：为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：
（1）求样本中患病者的人数和图中a，b的值；
（2）试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数；
（3）某研究机构提出，可以选取常数，若一名从业者该项身体指标检测值大于，则判定其患有这种职业病；若检测值小于，则判定其未患有这种职业病.从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患病，求判断错误的概率.
【答案】（1）患病者的人数为40，，；（2）31450；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为40人，由此能求出，．
（2）指标检测值不低于5的样本中，有患病者28人，未患病者9人，共37人，此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数．
（3）当时，在100个样本数据中，有12名患病者被误判为未患病，有9名未患病者被误判为患病者，由此能判断错误的概率．
【详解】
（1）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为.
，.
（2）由（1）可知，患病者的人数为，未患病的人数为，该项身体指标检测值不低于5的样本中，有患病者（人），未患病者（人），共37人.
故估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数为.
（3）当时，在100个样本数据中，有（名）患病者被误判为未患病，有（名）未患病者被误判为患病，
因此判断错误的概率为.
8. 某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：
（1）该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？
（2）假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？
（3）假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？
（4）假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？
【答案】（1）0.9；（2）270；（3）不一定击不中靶心；（4）不一定
【解析】
【分析】
（1）根据频率与概率的关系求解；
（2）利用频率与频数的关系求解；
（3）根据概率的意义求解；
（4）根据概率的意义求解.
【详解】
（1）由题意得，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.
（2）击中靶心的次数大约为.
（3）由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化.后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定击不中靶心.
（4）由概率的意义知，不一定.
9. 已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等）
现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.
（1）由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来.
（2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）不公平，理由见解析.
【解析】
（1）根据定义一一列举出即可；
（2）由（1）根据古典概型的概率计算公式分别计算概率即可判断.
【详解】
解：（1）由题意知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数共有20个.
分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456.
（2）不公平由（1）知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”有20个，记“甲参加数学竟赛”为事件A，记“乙参加数学竞赛”为事件B.则事件A含有基本事件有：124，134，234，126，136，146，156，236，246，256，346，356，456共13个.
由古典概型计算公式，得
，
又A与B对立，所以，
所以.故选取规则对甲、乙两名学生不公平.
【点睛】
本题考查概率的应用，古典概型的概率计算问题，属于基础题.
10. 为了研究某种油菜籽的发芽率，科研人员在相同条件下做了10批试验，油菜籽的发芽试验相关数据如下表：
问题
（1）如何计算每批试验中油菜籽发芽的频率？
（2）由各批油菜籽发芽的频率，可以得到频率具有怎样的特征？
（3）如何确定该油菜籽发芽的概率？
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】
（1）利用公式：，可求出各批油菜籽发芽的频率;
（2）频率具有随机性，每次试验所得的频率都是随机变化的，当试验次数越来越多时，频率越来越趋近于一个常数，并且在这个常数附近波动.
（3）由（2）可知频率趋于的常数就是发芽的概率.
【详解】
（1）利用公式：，可求出各批油菜籽发芽的频率.
（2）提示：批次1的频率，批次2的频率 ，批次3的频率，批次4的频率，批次5的频率，批次6的频率 ，批次7的频率，批次8的频率，批次9的频率，批次10的频率 ，当试验次数越来越多时，频率越来越趋近于一个常数.
（3） 由（2）可知，当试验次数越来越多时，频率在0.900附近波动，由此估计该油菜籽发芽的概率约为0.900.
【点睛】
本题考查频率和概率，意在考查基础概念的辨析，属于基础题型.
11.国家规定每年的月日以后的天为当年的暑假.某钢琴培训机构对位钢琴老师暑假一天的授课量进行了统计，如下表所示：
培训机构专业人员统计近年该校每年暑假天的课时量情况如下表：
（同组数据以这组数据的中间值作代表）
（1）估计位钢琴老师一日的授课量的平均数；
（2）若以（1）中确定的平均数作为上述一天的授课量.已知当地授课价为元/小时，每天的各类生活成本为元/天；若不授课，不计成本，请依据往年的统计数据，估计一位钢琴老师天暑假授课利润不少于万元的概率.
【答案】（1）小时；（2）.
【解析】
（1）将每组的中点值乘以频数，相加后除以可得出位老师暑假一日的授课量的平均数；
（2）设一位钢琴老师每年暑假天的授课天数为，计算出每位钢琴老师每日的利润，结合每位钢琴老师天暑假授课利润不少于万元求得的取值范围，再结合课时量频数表可得出所求事件的概率.
【详解】
（1）估计位老师暑假一日的授课量的平均数为小时；
（2）设每年暑假天的授课天数为，则利润为.
由，得.
一位老师暑假利润不少于万元，即授课天数不低于天，
又天暑假内授课天数不低于天的频率为.
预测一位老师天暑假授课利润不少于万元的概率为.
【点睛】
本题考查频数分布表的应用，考查平均数与概率的计算，考查数据处理能力，属于基础题.
12.小张大学毕业后决定选择自主创业，在进行充分的市场调研下得到如下的两张表格：
项目B的表格中的两个数据丢失，现用x，y代替但调研时发现：投资A，B这两个项目的平均利润率相同.以下用频率代替概率，A，B两个项目的利润情况互不影响.
（1）求x，y的值，并分别求投资A，B项目不亏损的概率；
（2）小张在进行市场调研的同时，拿到了100万人民币的风险投资现在小张与投资方决定选择投资其中的一个项目进行投资，请你从统计学的角度给出一个建议，并闸述你的理由.
【答案】（1），，90%，95%；（2）建议投资B项目，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）计算出投资项目A的平均利润率、投资项目B的平均利润率，根据投资A，B这两个项目的平均利润率相同，可得、，再计算投资A、B项目不亏损的概率；
（2）考察角度一：由（1）得，投资B项目不亏损的概率比较大，故建议投资B项目.
考察角度二：计算出投资A项目利润率的方差、投资B项目利润率的方差，比较大小可得答案.
【详解】
（1）投资项目A的平均利润率为，
投资项目B的平均利润率为
，
因为投资A，B这两个项目的平均利润率相同，
所以，
解得，，
所以投资A项目不亏损的概率为，
投资B项目不亏损的概率为；
（2）考察角度一：
由（1）得，投资B项目不亏损的概率比较大，故建议投资B项目.
考察角度二：
投资A项目利润率的方差为，，
投资B项目利润率的方差为，，
所以投资A项目利润率的方差大于投资B项目利润率的方差，
即投资B项目的利润比较稳定，为此建议投资B项目.
课程标准
课标解读
通过具体实例的剖析，了解随机事件发生的不确定性与频率的稳定性；
了解概率的意义以及频率与概率的区别与联系；
能通过具体的案例用频率估计概率，会解决简单的实际 题中的频率与概率问题.
通过本节课的学习，要求能在简单的随机实验中了解频率的稳定性，能用随机模拟的方法估计概率.
名称
区别
联系
频率
本身是随机的，在试验之前无法确定，大多会随着试验次数的改变而改变．做同样次数的重复试验，得到的频率值也可能会不同
(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率
(2)在实际问题中，事件的概率通常情况下是未知的，常用频率估计概率
概率
是一个[0，1]中的确定值，不随试验结果的改变而改变
命中环数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
频数
2
4
5
6
9
10
18
26
12
8
本科
研究生
合计
35岁以下
50
35
85
35-50岁
20
13
33
50岁以上
10
2
12
组别
[0，10)
[10，20)
[20，30)
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70]
频数
12
13
24
15
16
13
7
射击次数
50
100
200
400
1000
射中8环以上的次数
44
78
158
320
800
顾客年龄岁
20岁以下
70岁及以上
手机支付人数
3
12
14
9
13
2
0
其他支付方式人数
0
0
2
11
31
12
1
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数n
5544
9607
13520
17190
男婴数m
2883
4970
6994
8892
体重变化
体重减轻
体重不变
体重增加
人数
276
144
80
投篮次数
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
投中次数
7
15
23
30
38
45
53
60
68
75
投中频率
投中次数
8
14
23
32
35
43
52
61
70
80
投中频率
序号
频数
频率
频数
频率
频数
频率
1
12
0.6
56
0.56
261
0.522
2
9
0.45
50
0.55
241
0.482
3
13
0.65
48
0.48
250
0.5
4
7
0.35
55
0.55
258
0.516
5
12
0.6
52
0.52
253
0.506
年龄（岁）
频数
50
a
320
300
80
鱼卵数
200
600
900
1200
1800
2400
孵化出的鱼苗数
188
548
817
1067
1614
2163
孵化成功的频率
0.940
0.913
0.908
①
0.897
②
本科
研究生
合计
35岁以下
40
30
70
35-50岁
27
13
40
50岁以上
8
2
10
取球方式
结果
游戏1
有3个黑球和1个白球，游戏时，不放回地依次取2个球
取出的2个球同色→甲胜；取出的2个球不同色→乙胜
游戏2
有1个黑球和1个白球，游戏时，任取1个球.
取出的球是黑球→甲胜；取出的球是白球→乙胜.
游戏3
有2个黑球和2个白球，游戏时，不放回地依次取2个球.
取出的2个球同色→甲胜；取出的2个球不同色→乙胜.
满意情况
不满意
比较满意
满意
非常满意
人数
200
2100
1000
“厨余垃圾”箱
“可回收垃圾”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
100
可回收垃圾
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
顾客人数 商品
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
M
18
20
14
F
17
24
7
日销售量（件）
0
1
2
3
频数
1
5
9
5
组号
分组
频数
1
[0，2）
6
2
[2，4）
8
3
[4，6）
17
4
[6，8）
22
5
[8，10）
25
6
[10，12）
12
7
[12，14）
6
8
[14，16）
2
9
[16，18）
2
合计
100
一次性购物数量
1至
4件
5至
8件
9至
12件
13至16件
17件及以上
顾客数（人）
x
30
25
y
10
结算时间（分/人）
1
1.5
2
2.5
3
试验总次数
10
20
50
100
200
300
400
500
1000
…
抽出K的频数
7
13
32
136
198
270
660
…
抽出K的频率
65%
67%
…
试验总次数
10
20
50
100
200
300
400
500
1000
抽出K的频数
7
13
32
65
136
198
270
335
660
抽出K的频率
70%
65%
64%
65%
68%
66%
67.5%
67%
66%
转动转盘的次数m
100
150
200
500
800
1000
落在区域“1”的频数n
13
19
24
62
100
120
落在区域“1”的频率
转动转盘的次数m
100
150
200
500
800
1000
落在区域“1”的频数n
13
19
24
62
100
120
落在区域“1”的频率
0.13
0.13
0.12
0.12
0.13
0.12
命中环数
6
7
8
9
10
频率
0.1
0.15
0.25
0.3
0.2
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
0.8
0.95
0.88
0.92
0.89
0.91
批次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
每批粒数
2
5
10
70
130
700
1500
2000
3000
5000
发芽的粒数
2
4
9
60
116
637
1370
1786
2709
4490
授课量（单位：小时）
频数
课时量（单位：天）
频数
利润占投入的百分比
10%
5%
频率
50%
40%
10%
利润占投入的百分比
10%
5%
频率
40%
x
y
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