高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第十章 概率10.3 频率与概率学案

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在求解频率与概率的关系时需要做大量的重复试验去验证，既费时又费力，有没有更好的其他办法可以替代试验呢？
问题：如何产生随机数？
知识点 随机模拟
1．产生随机数的方法
(1)利用计算器或计算机软件产生随机数．
(2)构建模拟试验产生随机数．
2．蒙特卡洛方法
利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛方法．
用频率估计概率时，用计算机模拟试验产生随机数有什么优点？
[提示] 用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法真正进行．因此利用计算机进行随机模拟试验就成为一种很重要的替代方法，它可以在短时间内多次重复地来做试验，不需要对试验进行具体操作，可以广泛应用到各个领域．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在用计算器模拟抛硬币试验时，假设计算器只能产生0～9之间的随机数，则可以用4,5,6,7,8,9来代表正面．( )
(2)用随机模拟试验估计事件的概率时，试验次数越多，所得的估计值越接近实际值．( )
[答案] (1)× (2)√
2．掷两枚骰子，用随机模拟方法估计出现点数之和为9的概率时，产生的整数值随机数中，每几个数字为一组( )
A．1 B．2 C．9 D．12
B [由于掷两枚骰子，所以产生的整数值随机数中，每2个数字为一组．]
3．下列不能产生随机数的是( )
A．抛掷骰子试验
B．抛硬币
C．计算器
D．正方体的六个面上分别写有1,2,2,3,4,5，抛掷该正方体
D [D项中，出现2的概率为eq \f(2,6)，出现1,3,4,5的概率均是eq \f(1,6)，则D项不能产生随机数．]
类型1 随机数的产生方法
【例1】 要产生1～25之间的随机整数，你有哪些方法？
[解] 法一：可以把25个大小形状相同的小球分别标上1,2,3，…，24,25，放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数，放回后重复以上过程，就得到一系列的1～25之间的随机整数．
法二：可以利用计算机产生随机数，以Excel为例：
(1)选定A1格，输入“＝RANDBETWEEN(1,25)”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的；
(2)选定A1格，点击复制，然后选定要产生随机数的格，比如A2至A100，点击粘贴，则在A2至A100的格中均为随机产生的1～25之间的数，这样我们就很快得到了100个1～25之间的随机数，相当于做了100次随机试验．
随机数产生的方法比较
eq \([跟进训练])
1．某校高一年级共20个班，1 200名学生，期中考试时如何把学生分配到40个考场中去？
[解] 要把1 200人分到40个考场，每个考场30人，可用计算机完成．
(1)按班级、学号顺序把学生档案输入计算机．
(2)用随机函数按顺序给每个学生一个随机数(每人都不相同)．
(3)使用计算机的排序功能按随机数从小到大排列，可得到1 200名学生的考试号0 001,0 002，…，1 200，然后0 001～0 030为第一考场，0 031～0 060为第二考场，依次类推．
类型2 简单的随机模拟试验的应用
【例2】 一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，现任取1个，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率．
[解] 用1,2,3,4,5,6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数．因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组．如下，产生20组随机数：
666 743 671 464 571 561 156 567 732 375
716 116 614 445 117 573 552 274 114 662
就相当于做了20次试验，在这些数组中，前两个数字不是7，第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球，第三次摸到的是红球，它们分别是567和117，共两组，因此恰好第三次摸到红球的概率约为eq \f(2,20)＝0.1．
在设计随机模拟试验时，注意以下两点
(1)要根据具体的事件设计恰当的试验，使试验能够真正地模拟随机事件．
(2)注意用不同的随机数来表示不同的随机事件的发生．
eq \([跟进训练])
2．在一个盒中装有10支圆珠笔，其中7支一级品，3支二级品，任取一支，用模拟方法求取到一级品的概率．
[解] 设事件A：“取到一级品”．
(1)用计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,10)或计算器产生1到10之间的整数随机数，分别用1,2,3,4,5,6,7表示取到一级品，用8,9,10表示取到二级品．
(2)统计试验总次数N及其中出现1至7之间数的次数N1．
(3)计算频率fn(A)＝eq \f(N1,N)，即为事件A的概率的近似值．
类型3 较复杂的随机模拟试验的应用
【例3】 种植某种树苗，成活率为0.9，请采用随机模拟的方法估计该树苗种植5棵恰好4棵成活的概率．写出模拟试验的过程，并求出所求概率．
1．若事件A发生的概率为0.6，如何设计模拟试验的随机数？
[提示] 产生10个随机数0到9，可以用数字0,1,2,3,4,5表示事件A发生，用数字6,7,8,9表示事件不发生．
2．若某随机试验连续进行4次，如何设计随机数？
[提示] 产生4组随机数，代表4次随机试验．
[解] 先由计算机随机函数RANDBETWEEN(0,9)，或计算器的随机函数RANDI(0,9)产生0到9之间取整数值的随机数，指定1至9的数字代表成活，0代表不成活，再以每5个随机数为一组代表5次种植的结果，经随机模拟产生随机数，例如，如下30组随机数：
69801 66097 77124 22961 74235 31516
29747 24945 57558 65258 74130 23224
37445 44344 33315 27120 21782 58555
61017 45241 44134 92201 70362 83005
94976 56173 34783 16624 30344 01117
这就相当于做了30次试验，在这些数组中，如果恰有一个0，则表示恰有4棵成活，共有9组这样的数，于是我们得到种植5棵这样的树苗恰有4棵成活的概率近似为eq \f(9,30)＝0.3．
利用随机模拟估计概率应关注三点
用整数随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果．我们可以从以下三方面考虑：
(1)当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件．
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数．
(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复．
eq \([跟进训练])
3．一份测试题包括6道选择题，每题只有一个选项是正确的，如果一个学生对每一道题都随机猜一个答案，用随机模拟方法估计该学生至少答对3道题的概率．(已知计算机或计算器做模拟试验可以模拟每次猜对的概率是25%)
[解] 利用计算机或计算器可以产生0到3之间取整数值的随机数，我们用0表示猜的选项正确，1,2,3表示猜的选项错误，这样可以体现猜对的概率是25%，因为共猜6道题，所以每6个随机数作为一组，例如，产生25组随机数：
330130 302220 133020 022011 313121 222330
231022 001003 213322 030032 100211 022210
231330 321202 031210 232111 210010 212020
230331 112000 102330 200313 303321 012033
321230
就相当于做了25次试验，在每组数中，如果恰有3个或3个以上的数是0，则表示至少答对3道题，它们分别是001003,030032,210010,112000，即共有4组数，我们得到该同学6道选择题至少答对3道题的概率近似为eq \f(4,25)＝0.16．
1．利用抛硬币产生随机数1和2，出现正面表示产生的随机数为1，出现反面表示产生的随机数为2．小王抛两次，则出现的随机数之和为3的概率为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,3) C．eq \f(1,4) D．eq \f(1,5)
A [抛掷硬币两次，产生的随机数的情况有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)共四种，其中随机数之和为3的情况有(1,2)，(2,1)两种，故所求概率为eq \f(2,4)＝eq \f(1,2)．]
2．甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计乙获胜的概率．先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0,1,2,3,4,5表示甲获胜；6,7,8,9表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为0.6．因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组．例如，产生30组随机数：
034 743 738 636 964 736 614 698 637 162
332 616 804 560 111 410 959 774 246 762
428 114 572 042 533 237 322 707 360 751
据此估计乙获胜的概率约为________．(保留3位有效数字)
0.367 [产生30组随机数，就相当于做了30次试验．如果6,7,8,9中恰有2个或3个数出现，就表示乙获胜，它们分别是738,636,964,736,698,637,616,959,774,762,707，共11个．所以采用三局两胜制，乙获胜的概率约为eq \f(11,30)≈0.367．]
3．抛掷两颗相同的骰子，用随机模拟方法估计“上面点数的和是6的倍数”的概率时，用1,2,3,4,5,6分别表示上面的点数是1,2,3,4,5,6，用计算器或计算机分别产生1到6的两组整数随机数各60个，每组第i个数组成一组，共组成60组数，其中有一组是16，这组数表示的结果是否满足上面点数的和是6的倍数：________(选填“是”或“否”)．
否 [16表示第一颗骰子向上的点数是1，第二颗骰子向上的点数是6，则上面点数的和是1＋6＝7，不表示和是6的倍数．]
4．盒中有大小、形状相同的5个白球、2个黑球，用随机模拟法求下列事件的概率：
(1)任取一球，得到白球；
(2)任取三球，都是白球．
[解] 用1,2,3,4,5表示白球，6,7表示黑球．
(1)步骤：①利用计算器或计算机可以产生1到7的整数随机数，每一个数一组，统计组数n；
②统计这n组数中小于6的组数m；
③任取一球，得到白球的概率估计值是eq \f(m,n)．
(2)步骤：①利用计算器或计算机可以产生1到7的整数随机数，每三个数一组(每组数字不重复)，统计组数a；
②统计这a组数中，每个数字均小于6的组数b；
③任取三球，都是白球的概率估计值是eq \f(b,a)．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)产生随机数的方法有哪些？
(2)如何用随机模拟的方法估计概率？
“黄金72小时”中的概率
当地震等地质灾害发生后，在媒体上经常可以看到“黄金72小时”这几个字．你知道它表示的是什么意思吗？
医学研究和统计表明，在没有食物尤其是没有水的条件下，生命的存续期一般不会超过3天．国际救援界认为，在地震等地质灾害发生后的72小时内，被救出人员的存活率随时间的消逝呈递减趋势：第一天(即21小时内)，存活率约为90%；第二天，存活率为50%—60%；第三天，存活率为20%—30%．再往后的话，存活率将进一步减少．
这里的存活率可以用概率来理解：被救出的人员，如果是在24小时内被发现的，那么该人员生还的概率为90%；如果是在第24—48小时内被发现的，那么生还的概率为50%—60%；如果是第48—72小时内发现的，那么生还的概率为20%—30%．这就意味着，当地震等地质灾害发生后，应该“与时间赛跑”，利用各种手段和机会尽可能早地发现被困人员．
需要注意的是，概率描述的只是事件发生的可能性大小，发生的可能性小(即概率小)并不代表不会发生．统计数据表明，地震六天后，被埋人员生还的概率几乎为零．但是这样的事例并不是没有：2005年巴基斯坦7.6级地震中，一名青年被埋27天后获救生还；2008年我国汶川地震中，一位60岁的老人被困11天后获救生还；等等．因此，几乎所有的救援工作，在“黄金72小时”之外都会继续，以便发现更多生命的奇迹．
学 习 任 务
核 心 素 养
1．了解随机数的意义．
2．会用模拟方法(包括计算器产生随机数进行模拟)估计概率．
3．理解用模拟方法估计概率的实质．(重点、难点)
1．通过利用随机模拟的方法估计事件的概率，培养数学建模素养．
2．通过学习事件概率的计算，培养数学运算素养．
方法
抽签法
用计算器或计算机产生
优点
保证机会均等
操作简单，省时、省力
缺点
耗费大量人力、物力、时间，或不具有实际操作性
由于是伪随机数，故不能保证完全等可能