中考数学备考易错题：实数的运算易错点1：错误理解数轴上两点间的几何意义（学生版）

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[易错诠释]到已知点的距离相等的点有两个，注意分类讨论．此外，运用数轴可以将绝对值化为几何问题，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与－所对应的点之间的距离，不可将两者混淆．
[典例] 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．
发现问题：代数式的最小值是多少？
探究问题：如图，点分别表示的是－1，2，，．
∵的几何意义是线段与的长度之和，
∴当点在线段上时，；当点P在点A的左侧或点B的右侧时，
∴的最小值是3.
解决问题：
（1）的最小值是 ；
（2）利用上述思想方法解不等式：
（3）当为何值时，代数式的最小值是2.
[错解] （3）或（3）
[错因分析]（1）解题时切勿将的几何意义理解成所对应的点与所对应的点之间的距离；
（2）中最小值为4，求大于4的值存在两种情况，一个是在－3的左边，一个是在1的右边；
（3）中的最小值是2，即之间最小距离为2，也分两种情况，一个是的距离在数轴上点3的左边，一个在点3的右边．
所以遇到类似（2）、（3）中的题型要分类讨论，以免漏解．
[正解]（1）根据绝对值的几何意义，可知当所对应的点在4和－2之间时有最小值，再结合数轴可求解．
（2）根据绝对值的几何意义，可知当x所对应的点在－3左边或1右边时成立，再结合数轴可求解．
（3）设A表示－a，B表示3，P表示x，根据绝对值的几何意义可知当P点在AB之间时有最小值，即AB的长，可先求出a的值，再结合数轴求出x的值．
（1）
设A表示的数为4，B表示的数为－2，P表示的数为x，
∴表示数轴上的点P到4的距离，用线段PA表示，
表示数轴上的点P到－2的距离，用线段PB表示，
∴的几何意义表示为PA＋PB，当P在线段AB上时取得最小值为AB，
且线段AB的长度为6，
∴的最小值为6
故答案为：6.
（2）设A表示－3，B表示1，P表示x，
∴线段AB的长度为4，则，
的几何意义表示为PA＋PB，
∴不等式的几何意义是PA＋PB＞AB，
∴P不能在线段AB上，应该在A的左侧或者B的右侧，
即不等式的解集为或．
故答案为：或．
（3）设A表示－a，B表示3，P表示x，
则线段AB的长度为，
的几何意义表示为PA＋PB，当P在线段AB上时PA＋PB取得最小值，
∴
∴或，
即或；
故答案为：或．
[针对训练]
1．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a－b|．利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示2和6两点之间的距离是_____，数轴上表示1和的两点之间的距离为____；
(2)数轴上表示和1两点之间的距离为_____，数轴上表示和两点之间的距离为____；
(3)若表示一个有理数，且，利用数轴化简______；
(4)利用数轴求出的最小值，并写出此时可取哪些整数值？
2．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示1和5两点之间的距离是_____，数轴上表示2和的两点之间的距离为________．
（2）数轴上表示x和两点之间的距离为______．若x表示一个有理数，且，则__________．
（3）利用数轴求出的最小值为__________，并写出此时x可取哪些整数值______．
3．点A，B在数轴上分别表示实数、，A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝．
利用数轴，根据数形结合思想，回答下列问题：
(1)数轴上表示1和6两点之间的距离是 ．
(2)数轴上表示1和两点之间的距离为 ．
(3)的最小值为 ．
(4)的最小值为 ．
4．如图，数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|，利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示2和10两点之间的距离是____，数轴上表示2和-10两点之间的距离是
____；
（2）数轴上，x和-2两点之间的距离是|x+2|_____；
（3）若x表示一个有理数，则|x-1+|x+2|有最小值吗？若有，请求出最小值，若没有，写出理由．