中考数学备考易错题：利用函数模型解实际问题易错点2：错误识别几何性质与函数模型（学生版）

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易错点2：错误识别几何性质与函数模型
[易错诠释]在做几何与函数相结合的题目时，要注意结合几何性质来确定函数，有时候往往需要分类讨论，例如涉及到等腰三角形时和反比例函数时，要对等腰三角形进行分类讨论，从而得到不同的反比例函数。做此题的方法，最好可以在直角坐标系中画出几何图形，有利于解题思路的打开。
[典例] 在三角形中，等腰直角三角形是非常特殊且重要的几何图形，它们不仅图形优美且性质众多，基于理解，请认真阅读并解决下列问题．
(1)如图1，平面直角坐标系xy中，点A（4，0），点P为反比例函数图象上一点且在第一象限，若△OPA为等腰直角三角形，求反比例函数的解析式；
(2)如图2，直线（，k为常数）与坐标轴分别交于A，B两点，△OAB为等腰直角三角形，C，D是线段AB上两动点（C在D的左边），且始终满足∠COD=45°，问：AC·BD是否为定值，若是，求出其值；若不是，请说明理由；
[错解] 解：如图，
∵点A（4，0），∴OA=4，∵△OPA为等腰直角三角形，∴PA=OA=4.
∴P（4，4）.∴k=4×4=16，反比例函数的解析式为；
（2）令x=0，则y=-4k，
∴B（0，-4k），∴OB=-4k.
令y=0，则kx-4k=0.
∴x=4，∴OA=4，
∵△OAB为等腰直角三角形
∴OA=OB，∠OAB=∠OBA=45°，∴-4k=4，∴k=-1，∴OB=4，
∵∠AOC=∠COD+∠DOA，∠COD=45°，
∴∠AOC=45°+∠DOA，
∵∠BDO=∠BAO+∠DOA，∠BAO=45°，
∴∠BDO=∠DOA+45°，
∴∠AOC=∠BDO，
∵∠BAO=∠ABO=45°，
∴△OCA∽△ODB，∴，
∴，∴AC= BD
∴ACBD= AC2
∵AC不是固定值，∴AC·BD不是定值
[错因分析] 第一小问中只指出△OPA为等腰直角三角形，所以有两种情况，∠OPA是直角或∠OPA是底角，所以该反比例函数的解析式也应有两种情况。第二小问中，只需证明△AOC∽△BDO，关键在于要找对对用边，即可迎刃而解。
[正解]解：（1）解：①当∠PAO=90°时，如图，
∵点A（4，0），∴OA=4，∵△OPA为等腰直角三角形，∴PA=OA=4.
∴P（4，4）.∴k=4×4=16，反比例函数的解析式为；
②当∠OPA=90°时，过点P作PQ⊥OA于点Q，如图，
∵点A（4，0），∴OA=4，∵△OPA为等腰直角三角形，PQ⊥OA，∴OQ=QA=PQ=OA=2，∴P（2，2），∴k=2×2=4，∴反比例函数的解析式为y=，
综上，反比例函数的解析式为y=或y=；
（2）AC·BD为定值，其值为16理由：令x=0，则y=-4k，
∴B（0，-4k），∴OB=-4k.
令y=0，则kx-4k=0.
∴x=4，∴OA=4，
∵△OAB为等腰直角三角形
∴OA=OB，∠OAB=∠OBA=45°，∴-4k=4，∴k=-1，∴OB=4，
∵∠AOC=∠COD+∠DOA，∠COD=45°，
∴∠AOC=45°+∠DOA，
∵∠BDO=∠BAO+∠DOA，∠BAO=45°，
∴∠BDO=∠DOA+45°，
∴∠AOC=∠BDO，
∵∠BAO=∠ABO=45°，
∴△AOC∽△BDO，∴，
∴AC BD=OAOB=4×4=16．
[针对训练]
1．课题学习：用函数模型解几何题．
（1）方法体会：如图1，正方形和正方形中，点在上，，，是与的交点，那么的长是多少？
下面让我们一起来用函数模型来解这个题目，要好好体会这种解法哟！
解：以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，如图2．以长为一个单位长度，则由题意可知点坐标为，点的坐标为，则直线的解析式为______；请同学们根据点是与的交点，求出点的坐标为______；进而求得的长为______．
（2）解决问题：请仿照上述建立平面直角坐标系的方法解决下面的问题．
如图3，在中，，，，四边形为正方形，、分别在边、上，、在边上，求的长．
2．已知一次函数y＝kx＋3（k≠0）的图象经过A（4，0），与y轴交于点B．
(1)求y关于x的函数解析式，并在图中画出该函数的图象；
(2)已知点C，E分别是线段AB，OB的中点，若四边形OCEF是平行四边形．请判断四边形OCEF是否能为菱形？并说明理由．
3．如图，已知直线l： 经过A（2，0）和B（0，2）两点，它与抛物线在第一象限内相交于点P，且的面积为1．
(1)求点P的坐标．
(2)求a的值，并写出抛物线的解析式．
4．如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点 ，连接，，点E是对称轴上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)请在抛物线的对称轴上找一点P，使的周长最小，并求此时点P的坐标；
(3)当时，求点E的坐标．