初中数学人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用学案设计

这是一份初中数学人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用学案设计，共5页。学案主要包含了新课导入，分层学习，评价等内容，欢迎下载使用。

一、新课导入
1.课题导入
如图是意大利的比萨斜塔，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的交点为A ，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2米，AB=54.5米，你能根据上述条件求出图中∠A的度数吗？这就是我们这节课要研究的问题.
2.学习目标
（1）知道解直角三角形的概念，理解直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系.
（2）能综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.
3.学习重、难点
重点：直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系，解直角三角形.
难点：合理选用三角函数关系式解直角三角形.
二、分层学习
1.自学指导
（1）自学内容：教材P72~P73例1上面的内容.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学要求：完成探究提纲.
（4）探究提纲：
①在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把由直角三角形中的已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.
②在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：
a.两锐角 互余 ,即∠A＋∠B＝ 90 °.
b.三边关系满足 勾股定理 ，即 a2+b2=c2 .
c.边角关系：sinA＝，sinB＝；
csA＝, csB＝；
tanA＝, tanB＝.
③已知直角三角形中除直角外的五个元素中的几个元素，才能求出其余所有未知元素？（提示：可从“确定一个直角三角形，至少需要哪些条件？”来思考）
已知其中两个元素（其中至少有一个是边）.
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：了解学生自学提纲的答题情况（特别是第②、③题）.
②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨、纠正错误.
4.强化
（1）直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系（要板书出来）.
（2）解直角三角形的条件：必须已知除直角外的两个元素（其中至少有一个是边）.
①已知两边：a.两直角边；b.一直角边和斜边.
②已知一边和一锐角：a.一直角边和一锐角；b.斜边和一锐角.
1.自学指导
（1）自学内容：教材P73例1、例2.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：先独立解答，再同桌之间互评互纠.
（4）自学参考提纲：
①在教材P73例1中，已知的元素是两条直角边AC、BC，需求出的未知元素是：斜边AB、锐角A、锐角B.
方法一：∵tanA ==,∴∠A= 60 °,∠B=90°- ∠A = 30 °.
∵AC=，BC=,∴AB =.
方法二：∵AC=，BC=,∴由勾股定理可得AB=.
sinA==，∴∠A= 60 °,∴∠B=90°-∠A = 30 °.
这里∠B的度数也可用三角函数来求，你会吗？
②比较上述解法，体会其优劣.
③在教材P73例2中，已知的元素是一直角边b和一锐角B，则要求的未知元素有直角边a、斜边c、锐角A.
④例2还有别的解法吗？请试一试，并留意你的答案与例题的答案是否存在误差.
⑤练习：在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：
a.c=20,b=20；
b.∠B=60°，c=14；
c.∠B=30°，a=.
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：关注学生解直角三角形的思路是否清晰，是否会选择恰当的三角函数关系式.
②差异指导：根据学情对学习有困难的学生进行个别或分类指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨.
4.强化：解直角三角形的思路：首先，明确已知什么，要求的元素有哪些；其次，合理选择三角函数关系式，并正确进行变形（所选的关系式必须要有两个已知元素）；第三，尽可能选用题目的原始数据，以减少误差.
三、评价
1.学生自我评价：这节课你学到了哪些知识？还有哪些疑问？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：从学生的学习态度、积极性、小组交流状况等方面进行点评.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）.
本课时以自主探究和小组讨论为主，以教师归纳讲解为辅，激发学生自主学习的兴趣和能力.通过综合运用勾股定理及锐角三角函数等知识解直角三角形的过程，使学生进一步巩固和深化锐角三角函数和直角三角形知识的理解，培养学生数形结合的思想和分析问题、解决问题的能力.
一、基础巩固（70分）
1.(40分)已知在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=4,b=2,则c=；（2）若a=10，c=10，则∠B=45°；
（3）若b=35，∠A=45°，则a=35；（4）若c=20，∠A=60°，则a=.
2.(10分)在△ABC中，AC=2，AB=3，∠A=30°，则△ABC的面积等于（B）
A. B.
C.D.3
3.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，sinB=，那么AB的长是 9 .
4.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长.（结果保留根号）
解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B=60°.
在Rt△ABC中，AB=2，∠B=60°,
∴BC===4,AC=AB·tanB=.
∴△ABC的周长为2++4=6+.
二、综合应用（20分）
5.(20分)在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，△ABC的周长为45cm，CD是斜边AB上的高，求CD的长.（精确到0.1 cm）
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA==，AB+AC+BC=45 cm，
∴AC=45×=(cm),sinA=.
∴CD=AC·sinA=×≈6.9(cm).
三、拓展延伸（10分）
6.(10分)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBC=，求AD的长.
解：在Rt△ACD中,BC=AC=6,tan∠DBC=,
∴CD=BC·tan∠DBC=6×=.
∴AD=AC-CD=6-=.