【精品练习卷】人教版 九年级下册数学 28.2.2 应用举例练习卷
展开学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1 ．拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC=10m，则坡面AB的长度是（ ）
A． 15m B．m C．m D．20m
【答案】D．
【解析】
试题分析：Rt△ABC中，BC=10m，tanA=1：；∴AC=BC÷tanA=m，∴AB==20m．
故选D．
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
2. 某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB的高度为
（A）9米 （B）6米 （C）6米 （D）（6+）米
【答案】A．
【解析】
试题分析：过点D作DE⊥AB，垂足为E，则四边形ACDE为矩形，AE=CD=6米，AC=DE．设BE=x米，先解Rt△BDE，得出DE=x米，AC=x米，再解Rt△ABC，得出AB=3x米，然后根据AB-BE=AE，列出关于x的方程，解方程即可．
试题解析：过点D作DE⊥AB，垂足为E，由题意可知，四边形ACDE为矩形，
则AE=CD=6米，AC=DE．
设BE=x米．
在Rt△BDE中，∵∠BED=90°，∠BDE=30°，
∴DE=BE=x米，
∴AC=DE=x米．
在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，∠ACB=60°，
∴AB=AC=×x=3x米，
∵AB-BE=AE，
∴3x-x=6，
∴x=3，
AB=3×3=9（米）．
即旗杆AB的高度为9米．
故选A．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
3．轮船从B处以每小时25海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行1小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处于灯塔A的距离是（ ）海里．
A．25 B．25 C．25 D．50
【答案】B
【解析】
试题分析：根据题意求出BC的长和∠ABC=45°，根据等腰直角三角形的性质解答即可．
由题意得，BC=25×1=25海里，
∠DBC=30°，∠DBA=75°，
则∠ABC=45°，∠BCE=30°，
∴∠ACB=90°，
∴CA=CB=25海里．
故选：B．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
4 如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB．已知观测点C到旗杆的距离CE=8m，测得旗杆的顶部A的仰角∠ECA=30°，旗杆底部B的俯角∠ECB=45°，那么，旗杆AB的高度（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意得∠ECA=30°，CE=8，所以AE=CE×tan30°=8×=，而∠ECB=45°，三角形EBC是等腰直角三角形，所以EB=EC=8，所以AB为（8+）m，
故选D．
考点：锐角三角函数及解直角三角形
5. 如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1︰2.5，斜坡CD的坡角为30度，则坝底AD的长度为（ ）。
A.56米 B.66米 C.（）米 D.（）米
【答案】B
【解析】
试题分析：过梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形，利用相应的性质求解即可．
试题解析：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形，
由题意得，BC=EF=6米，BE=CF=20米，斜坡AB的坡度i为1：2.5，
在Rt△ABE中，，
∴AE=50米．
在Rt△CFD中，∠D=30°，
∴DF=CFcot∠D=20米，
∴AD=AE+EF+FD=50+6+20=(56+20)米.
故选B.
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
6. 如图1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，则二楼的层高BC约为（精确到0.1米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90）（ ）
A．10.8米 B．8.9米 C．8.0米 D．5.8米
【答案】D
【解析】
试题分析：延长CB交PQ于点D，根据坡度的定义即可求得BD的长，然后在直角△CDA中利用三角函数即可求得CD的长，则BC即可得到．
延长CB交PQ于点D．
∵MN∥PQ，BC⊥MN，
∴BC⊥PQ．
∵自动扶梯AB的坡度为1：2.4，
∴==．
设BD=5k（米），AD=12k（米），则AB=13k（米）．
∵AB=13（米），
∴k=1，
∴BD=5（米），AD=12（米）．
在Rt△CDA中，∠CDA=90゜，∠CAD=42°，
∴CD=AD•tan∠CAD≈12×0.90≈10.8（米），
∴BC=10.8﹣5≈5.8（米）．
故选：D．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
二、填空题
7. 如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为 m（结果保留根号）．
【答案】．
【解析】
试题分析：∵自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，∴∠ABC=30°，∴AC=AB•tan30°=30×=（米），∴楼的高度AC为米．故答案为：．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
8. 如果某人沿坡度i=1：3的斜坡前进10m，那么他所在的位置比原来的位置升高了 m．
【答案】.
【解析】
试题解析：设BC=x，AB=3x，
则AC2=AB2+BC2，
AC=，
解得：x=．
故所在的位置比原来的位置升高了m．
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
9．如图所示，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔4海里的处，该海轮沿南偏东方向航行__________海里后，到达位于灯塔的正东方向的处.
【答案】4.
【解析】
试题分析：如图，作AM⊥PB于M，由题意可得∠PAM=∠BAM=30°，AP=4，可求得PM=2，又因AM⊥PB，得∠PAM=∠BAM，所以PM=BM=2，即PB=4,所以该海轮沿南偏东方向航行4海里后，到达位于灯塔的正东方向的处.
考点：方位角；解直角三角形的应用.
10如图，在高度是21米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD= 米（结果可保留根号）
【答案】21+7
【解析】
试题分析：作AE⊥CD于点E．在Rt△ABD中，∠ADB=45°，∴DE=AE=BD=AB=21（米），
在Rt△AEC中，CE=AE•tan∠CAE=21×=7（米）．则CD=（21+7）米．
考点：解直角三角形的应用.．
三、解答题
11．张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，山坡与水平面成30°角（即∠MAN=30°），在山坡底部A处测得大树顶端点C的仰角为45°，沿坡面前进20米，到达B处，又测得树顶端点C的仰角为60°（图中各点均在同一平面内），求这棵大树CD的高度（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）
【答案】11.5米
【解析】
试题分析：过B作BE⊥CD交CD延长线于E，由∠CAN=45°，∠MAN=30°，得到∠CAB=15°，由∠CBD=60°，∠DBE=30°，得到∠CBD=30°于是有∠CAB=∠ACB=15°所以AB=BC=20，解Rt△BCE，可求得CE，解Rt△DBE可求得DE，CE﹣DE即得到树高CD．
试题解析：如图，过B作BE⊥CD交CD延长线于E，
∵∠CAN=45°，∠MAN=30°，
∴∠CAB=15°
∵∠CBE=60°，∠DBE=30°，
∴∠CBD=30°，
∵∠CBE=∠CAB+∠ACB，
∴∠CAB=∠ACB=15°，
∴AB=BC=20，
在Rt△BCE中，∠CBE=60°，BC=20，
∴CE=BCsin∠CBE=20×BE=BCcos∠CBE=20×0.5=10，
在Rt△DBE中，∠DBE=30°，BE=10，
∴DE=BEtan∠DBE=10×，
∴CD=CE﹣DE=≈11.5，
答：这棵大树CD的高度大约为11.5米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
12. 如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继 续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向．己知在小岛周围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？（≈1.732）
【答案】轮船不改变航向继续向前行使，轮船无触礁的危险．
【解析】
试题分析：如图，直角△ACD和直角△ABD有公共边AD，在两个直角三角形中，利用三角函数即可用AD表示出CD与BD，根据CB=BD-CD即可列方程，从而求得AD的长，与170海里比较，确定轮船继续向前行驶，有无触礁危险．
试题解析：该轮船不改变航向继续前行，没有触礁危险
理由如下：如图所示．
则有∠ABD=30°，∠ACD=60°．
∴∠CAB=∠ABD，
∴BC=AC=200海里．
在Rt△ACD中，设CD=x海里，
则AC=2x，AD=x，
在Rt△ABD中，AB=2AD=2x，
BD===3x，
又∵BD=BC+CD，
∴3x=200+x，
∴x=100．
∴AD=x=100≈173.2，
∵173.2海里＞170海里，
∴轮船不改变航向继续向前行使，轮船无触礁的危险．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
