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初中数学苏科版七年级下册第7章 平面图形的认识（二）7.4 认识三角形优秀当堂达标检测题
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这是一份初中数学苏科版七年级下册第7章 平面图形的认识（二）7.4 认识三角形优秀当堂达标检测题，文件包含专题02认识三角形教师版docx、专题02认识三角形学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
考试时间：100分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.42
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合
题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）
1．（2分）（2022春•邗江区校级期中）如图，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AD为∠CAB的平分线，与∠ABC的平分线BE交于点E，BG是△ABC的外角平分线，AD与BG相交于点G，则∠ADC与∠GBF的和为（ ）
A．120°B．135°C．150°D．160°
解：∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵AE，BE分别平分∠CAB，∠CBA，
∴∠EAB+∠EBA＝∠CAB+∠CBA＝45°，
∵BG平分∠CBF，
∴∠CBG＝∠CBF，
∵∠CBE＝∠CBA，
∴∠CBE＝∠CBG+∠CBE＝∠CBF+∠CBA＝90°，
∴∠G＝90°﹣45°＝45°，
∵∠ADC＝∠BDG，
∴∠ADC+∠GBF＝∠BDG+∠DBG＝180°﹣∠G＝135°，
故选：B．
2．（2分）（2021春•江都区月考）如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO＝100°，则∠C的度数为（ ）
A．40°B．41°C．42°D．43°
解：如图，连接AO、BO．
由题意EA＝EB＝EO，
∴∠AOB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，
∵DO＝DA，FO＝FB，
∴∠DAO＝∠DOA，∠FOB＝∠FBO，
∴∠CDO＝2∠DAO，∠CFO＝2∠FBO，
∵∠CDO+∠CFO＝100°，
∴2∠DAO+2∠FBO＝100°，
∴∠DAO+∠FBO＝50°，
∴∠CAB+∠CBA＝∠DAO+∠OAB+∠OBA+∠FBO＝140°，
∴∠C＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝180°﹣140°＝40°，
故选：A．
3．（2分）（2021春•江阴市期中）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①④D．①②④
解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，
∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC，
又∵∠DCE是△BCE的外角，
∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，
＝（∠ACD﹣∠ABC）
＝∠1，故①正确；
∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠1）
＝90°+∠1，故②、③错误；
∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，
∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝ACD，
∴∠OCE＝（∠ACB+∠ACD）＝×180°＝90°，
∵∠BOC是△COE的外角，
∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确；
故选：C．
4．（2分）（2023春•盐城月考）如图，∠AOB＝70°，点M，N分别在OA，OB上运动（不与点O重合），ME平分∠AMN，ME的反向延长线与∠MNO的平分线交于点F，在M，N的运动过程中，∠F的度数（ ）
A．变大B．变小C．等于55°D．等于35°
解：∵ME平分∠AMN，NF平分∠MNO，
∴∠EMN＝∠AMN，∠MNF＝∠MNO，
根据外角的定义：
∠AMN＝∠AOB+∠MNO，
∴∠EMN＝∠AOB+∠MNO，
∵∠AOB＝70°，
∴∠EMN＝×70°+∠MNF＝35°+∠MNF，
根据外角的定义：∠EMN＝∠F+∠MNF，
∴∠F＝35°，
故选：D．
5．（2分）（2021春•江阴市期中）如图，△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H；下列结论中正确的结论有（ ）
①∠DBE＝∠F；
②∠F＝（∠BAC﹣∠C）；
③2∠BEF＝∠BAF+∠C；
④∠BGH＝∠ABE+∠C．
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
解：∵BD⊥AC，FH⊥BE，
∴∠FEB+∠F＝90°，∠FEB+∠DBE＝90°，
∴∠DBE＝∠F，故①正确；
∵∠C+∠ABC+∠BAC＝180°，
∴∠C+2∠ABE+∠BAC＝180°，
∴∠C+2∠DBE+2∠ABD+∠BAC＝180°，
∴∠C+2∠F+180°﹣2∠BAC+∠BAC＝180°，
∴∠F＝（∠BAC﹣∠C），故②正确；
③∵∠BAF＝∠C+∠ABC，
∴∠BAF＝∠C+2∠EBC，
∴∠BAF+∠C＝2∠C+2∠EBC，
∵∠C+∠EBC＝∠BEF，
∴∠BAF+∠C＝2∠BEF；故③正确；
④∠BGH＝∠FGD＝90°﹣∠F＝∠BEF＝∠C+∠EBC＝∠C+∠ABE，故④正确；
故选：D．
6．（2分）（2021春•姑苏区期中）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC＝3∠C，且∠G＝20°，则∠DFB的度数为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
解：如图：
∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，
∴∠CAE＝∠BAE，∠1＝∠2，
设∠CAE＝∠BAE＝x，∠C＝y，∠ABC＝3y，
由外角的性质得：
∠1＝∠BAE+∠G＝x+20，∠2＝∠ABD＝（2x+y）＝x+y，
∴x+20＝x+y，解得y＝40°，
∴∠1＝∠2＝（180°﹣∠ABC）＝×（180°﹣120°）＝30°，
∴∠DFB＝60°．
故选：C．
7．（2分）（2023春•广陵区期末）如图，∠AOB＝70°，点M，N分别在OA，OB上运动（不与点O重合），ME平分∠AMN，ME的反向延长线与∠MNO的平分线交于点F，在M，N的运动过程中，∠F的度数（ ）
A．变大B．变小C．等于55°D．等于35°
解：∵ME平分∠AMN，NF平分∠MNO，
∴∠AME＝∠EMN＝∠AMN，∠MNF＝∠FNO＝∠MNO，
又∵∠AMN是△MNO的外角，
∴∠AMN＝∠MNO+∠O，
即2∠EMN＝2∠MNF+∠O，
∴∠EMN＝∠MNF+∠O，
又∵∠EMN是△MNF的外角，
∴∠EMN＝∠MNF+∠F，
∴∠MNF+∠F＝∠MNF+∠O，
∴∠F＝∠O＝×70°＝35°，
故选：D．
8．（2分）（2023春•兴化市期末）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为3、4、5、7，且相邻两木条的夹角均可调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值是（ ）
A．7B．8C．9D．10
解：已知4条木棍的四边长为3、4、5、7；
①选3+4、5、7作为三角形，则三边长为7、5、7；7﹣5＜7＜7+5，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为7；
②选4+5、3、7作为三角形，则三边长为9、3、7；7﹣3＜9＜7+3，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为9；
③选3+7、4、5作为三角形，则三边长为10、4、5；4+5＜10，不能构成三角形，此种情况不成立；
④选5+7、3、4作为三角形，则三边长为12、3、4；而3+4＜12，不能构成三角形，此种情况不成立；
综上所述，任两螺丝的距离之最大值为9．
故选：C．
9．（2分）（2023春•睢宁县期中）如图，在△ABC中，∠A＝20°，点D在边AC上（如图1），先将△ABD沿着BD翻折，使点A落在点A'处，A'B交AC于点E（如图2），再将△BCE沿着BE翻折，点C恰好落在BD上的点C'处，此时∠C'EB＝66°（如图3），则∠ABC的度数为（ ）
A．66°B．23°C．46°D．69°
解：由题意可得，∠C'EB＝∠CEB＝66°，
设∠ABC＝x，则，
∵三角形的内角和等于180°，
∴在△ABC中，∠A+∠ABC＝180°﹣∠C，即20°+x＝180°﹣∠C；
在△BCE中，∠CEB+∠CBE＝180°﹣∠C，即；
∴，
解得：x＝69°，
故选：D．
10．（2分）（2023春•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F＝（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABE+∠C，正确的是（ ）
A．1B．2C．3D．4
解：设BD交FH于点J．
①∵BD⊥FD，
∴∠FJD+∠F＝90°
∵FH⊥BE，
∴∠BJG+∠DBE＝90°，
∵∠FJD＝∠BJG，
∴∠DBE＝∠F，
①正确；
②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∠BEF＝∠CBE+∠C，
∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C，
∠BAF＝∠ABC+∠C，
∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，
②正确；
③∠ABD＝90°﹣∠BAC，
∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，
∵∠CBD＝90°﹣∠C，
∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
由①得，∠DBE＝∠F，
∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
∴∠F＝（∠BAC﹣∠C）；
③正确；
④∵∠AEB＝∠EBC+∠C，
∵∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE+∠C，
∵BD⊥FC，FH⊥BE，
∴∠FGD＝∠FEB，
∴∠BGH＝∠ABE+∠C，
④正确，
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）
11．（2分）（2022春•鼓楼区期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝ 30 °．
解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°，
∵∠PCM是△BCP的外角，
∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°，
故答案为：30°．
12．（2分）（2022秋•清江浦区校级期末）已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 1 cm2．
解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2（cm2），
同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1（cm2），
∴S△BCE＝2（cm2），
∵F为EC中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1（cm2）．
故答案为1．
13．（2分）（2022春•宿城区期末）将一副直角三角板如图放置，∠A＝30°，∠F＝45°．若边AB经过点D，则∠EDB＝ 75 °．
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∵∠ABC＝∠F+∠BDF，∠F＝45°，
∴∠BDF＝∠ABC﹣∠F＝60°﹣45°＝15°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠EDB＝∠EDF﹣∠BDF＝90°﹣15°＝75°，
故答案为75．
14．（2分）（2022春•江都区校级月考）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为 120° ．
解：如图，连接AA'，
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，
∴∠A'BC＝∠ABC，∠A'CB＝∠ACB，
∵∠BA'C＝120°，
∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BAC＝180°﹣120°＝60°，
∵沿DE折叠，
∴∠DAA'＝∠DA'A，∠EAA'＝∠EA'A，
∵∠1＝∠DAA'+∠DA'A＝2∠DAA'，∠2＝∠EAA'+∠EA'A＝2∠EAA'，
∴∠1+∠2＝2∠DAA'+2∠EAA'＝2∠BAC＝2×60°＝120°，
故答案为：120°．
15．（2分）（2023春•淮安期末）如图，△ABC中，∠A＝40°，∠B＝80°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF的度数＝ 70° ．
解：∵∠A＝40°，∠B＝80°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°．
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ACB＝30°．
∵CD⊥AB于D，
∴∠CDA＝90°，
∠ACD＝180°﹣∠A﹣∠CDA＝50°．
∴∠ECD＝∠ACD﹣∠ACE＝20°．
∵DF⊥CE，
∴∠CFD＝90°，
∴∠CDF＝180°﹣∠CFD﹣∠DCF＝70°．
故答案为：70°．
16．（2分）（2022春•建邺区校级期末）已知△ABC中，∠A＝65°，将∠B、∠C按照如图所示折叠，若∠ADB′＝35°，则∠1+∠2+∠3＝ 265 °．
解：由折叠知：∠B＝∠B′，∠C＝∠C′．
∵∠3＝∠B+∠4，∠4＝∠ADB′+∠B′，
∴∠3＝∠B+∠ADB′+∠B′
＝2∠B+35°．
∵∠1+∠2＝180°﹣∠C′GC+180°﹣∠C′FC
＝360°﹣（∠C′FC+∠C′GC），
∠C′FC+∠C′GC＝360°﹣∠C﹣∠C′
＝360°﹣2∠C，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠C′FC+∠C′GC）
＝360°﹣（360°﹣2∠C）
＝2∠C．
∴∠1+∠2+∠3
＝2∠C+2∠B+35°
＝2（∠C+∠B）+35°
＝2（180°﹣∠A）+35°
＝2（180°﹣65°）+35°
＝265°．
故答案为：265°．
17．（2分）（2023春•亭湖区校级期末）如图，△ABC沿EF折叠使点A落在点A'处，BP、CP分别是∠ABD、∠ACD平分线，若∠P＝30°，∠A'EB＝20°，则∠A'FC＝ 140 °．
解：如图，
∵BP、CP分别是∠ABD、∠ACD平分线，
∴∠PBD＝，∠BCP＝．
又∵∠PBD＝∠P+∠PCB，
∴∠P＝∠PBD﹣∠PCB＝＝，
又∵∠ABD＝∠A+∠ACB，
∴∠ABD﹣∠ACB＝∠A，
∴∠P＝，
∴∠A＝2∠P＝2×30°＝60°，
由题意得：∠A′＝∠A＝60°，
∴∠1＝∠A′+∠A′EB＝60°+20°＝80°，
∴∠A′FC＝∠A+∠1＝60°+80°＝140°，
故答案为：140．
18．（2分）（2019春•崇川区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠ACB＝60°，D为△ABC形外一点，DA平分∠BAC，且∠CBD＝50°，求∠DCB＝ 60° ．
解：如图，延长AB到P，延长AC到Q，作DH⊥AP于H，DE⊥AQ于E，DF⊥BC于F．
∵∠PBC＝∠BAC+∠ACB＝40°+60°＝100°，∠CBD＝50°，
∴∠DBC＝∠DBH，
∵DF⊥BC，DH⊥BP，
∴DF＝DH，
又∵DA平分∠PAQ，DH⊥PA，DE⊥AQ，
∴DE＝DH，
∴DE＝DF，
∴CD平分∠QCB，
∵∠QCB＝180°﹣60°＝120°，
∴∠DCB＝60°，
故答案为60°．
19．（2分）（2021春•江都区校级期末）△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAD＝50°，∠CAD＝20°，则∠BAC＝ 70°或30° ．
解：①如图1，当高AD在△ABC的内部时，
∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝50°+20°＝70°；
②如图2，当高AD在△ABC的外部时，
∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝50°﹣20°＝30°，
综上所述，∠BAC的度数为70°或30°．
故答案为：70°或30°．
20．（2分）（2021春•靖江市校级期中）如图，在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，∠BAC＞∠C，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F＝（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABE+∠C．其中正确的是 ①②③④ ．
解：设BE交FH于点J．
①∵BD⊥FD，
∴∠FGD+∠F＝90°
∵FH⊥BE，
∴∠BGJ+∠DBE＝90°，
∵∠FGD＝∠BGJ，
∴∠DBE＝∠F，
①正确；
②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∠BEF＝∠CBE+∠C，
∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C，
∠BAF＝∠ABC+∠C，
∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，
②正确；
③∠ABD＝90°﹣∠BAC，
∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，
∵∠CBD＝90°﹣∠C，
∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
由①得，∠DBE＝∠F，
∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
∴∠F＝（∠BAC﹣∠C）；
③正确；
④∵∠AEB＝∠EBC+∠C，
∵∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE+∠C，
∵BD⊥FC，FH⊥BE，
∴∠FGD＝∠BGH＝∠FEB，
∴∠BGH＝∠ABE+∠C，
④正确，
故答案为：①②③④．
三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（6分）（2023春•高港区月考）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“三倍角三角形”．
（1）△ABC中，∠A＝35°，∠B＝40°，△ABC是“三倍角三角形”吗？为什么？
（2）若△ABC是“三倍角三角形”，且∠B＝30°，求△ABC中最小内角的度数．
解：（1）△ABC是“三倍角三角形”，理由如下：
∵∠A＝35°，∠B＝40°，
∴∠C＝180°﹣35°﹣40°＝105°＝35°×3，
∴△ABC是“三倍角三角形”；
（2）∵∠B＝30°，
∴∠A+∠C＝150°，
设最小的角为x，
①当30°＝3x时，x＝10°，
②当x+3x＝150°时，x＝37.5°，30＜37.5，
③30°×3＝90°，180﹣30﹣90＝60°，
答：△ABC中最小内角为10°或30°．
22．（6分）（2023春•沭阳县期末）如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3．
（1）证明：∠BAC＝∠DEF；
（2）∠BAC＝70°，∠DFE＝50°，求∠ABC的度数．
（1）证明：∵∠BAC＝∠1+∠CAE，∠DEF＝∠3+∠CAE，∠1＝∠3，
∴∠BAC＝∠DEF．
（2）∵∠ABC＝∠2+∠ABD，∠1＝∠2，
∴∠ABC＝∠1+∠ABD＝∠EDF，
由（1）可知∠DEF＝∠BAC＝70°，
∴∠ABC＝∠1+∠ABD＝∠EDF＝180°﹣∠DEF﹣∠DFE＝180°﹣70°﹣50°＝60°，
∴∠ABC＝60°．
23．（8分）（2021春•邗江区期末）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”；三个内角分别为80°、75°、25°的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）．
（1）∠ABO的度数为 30 °，△AOB 是 ．（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；
（2）若∠BAC＝70°，则△AOC 是 （填“是”或“不是”）“灵动三角形”；
（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．
解：（1）∵AB⊥OM，
∴∠BAO＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°，
∵90°＝3×30°，
∴△AOB是“灵动三角形”．
故答案为：30，是．
（2）∵∠OAB＝90°，∠BAC＝70°，
∴∠OAC＝20°，
∵∠AOC＝60°＝3×20°，
∴△AOC是“灵动三角形”．
故答案为：是．
（3）①∠ACB＝3∠ABC时，∠CAB＝60°，∠OAC＝30°；
②当∠ABC＝3∠CAB时，∠CAB＝10°，∠OAC＝80°．
③当∠ACB＝3∠CAB时，∠CAB＝37.5°，可得∠OAC＝52.5°．
综上所述，满足条件的值为30°或52.5°或80°．
24．（8分）（2023春•灌云县月考）我们在小学已经学习了“三角形内角和等于180°”．在三角形纸片中，点D，E分别在边AC，BC上，将∠C沿DE折叠，点C落在点C'的位置．
（1）如图1，当点C落在边BC上时，若∠ADC'＝58°，则∠C＝ 29° ，可以发现∠ADC'与∠C的数量关系是 ∠ADC'＝2∠C ；
（2）如图2，当点C落在△ABC内部时，且∠BEC'＝42°，∠ADC'＝20°，求∠C的度数；
（3）如图3，当点C落在△ABC外部时，若设∠BEC'的度数为x，∠ADC'的度数为y，请求出∠C与x，y之间的数量关系．
解：（1）∵∠ADC′＝58°，
∴∠CDC′＝180°﹣∠ADC′＝122°，
由折叠得：
∠CDE＝∠C′DE＝∠CDC′＝61°，∠DEC＝∠DEC′＝×180°＝90°，
∴∠C＝180°﹣∠EDC﹣∠DEC＝29°，
∴∠ADC'与∠C的数量关系：∠ADC'＝2∠C．
故答案为：29°，∠ADC'＝2∠C；
（2）∵∠BEC′＝42°，∠ADC′＝20°，
∴∠CEC′＝180°﹣∠BEC′＝138°，∠CDC′＝180°﹣∠ADC′＝160°，
由折叠得：
∠CDE＝∠C′DE＝∠CDC′＝80°，∠DEC＝∠DEC′＝∠CEC′＝69°，
∴∠C＝180°﹣∠EDC﹣∠DEC＝31°，
∴∠C的度数为31°；
（3）如图：
∵∠BEC′＝x，∠ADC′＝y，
∴∠CEC′＝180°﹣x，∠1＝180°+∠ADC′＝180°+y，
由折叠得：
∠CDE＝∠C′DE＝∠1＝90°+y，∠DEC＝∠DEC′＝∠CEC′＝90°﹣x，
∴∠C＝180°﹣∠EDC﹣∠DEC
＝180°﹣（90°+y）﹣（90°﹣x）
＝x﹣y，
∴∠C与x，y之间的数量关系：∠C＝x﹣y．
25．（8分）（2020春•盱眙县期末）如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝38°，∠C＝64°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，∠B＝α，∠C＝β（α＜β），请用α、β的代数式表示∠DFE．
解：（1）∵∠B＝38°，∠C＝64°，
∴∠BAC＝78°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝39°，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝77°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝13°．
（2）∵∠B＝α，∠C＝β，
∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝90°﹣（α+β），
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝α+90°﹣（α+β），
∵FE⊥BC，
∴∠FEB＝90°，
∴∠DFE＝90°﹣∠ADE＝（β﹣α）．
26．（8分）（2023春•邗江区期中）综合与探究：爱思考的小明在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧．在△ABC中，∠ABC 与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如图1，如果∠A＝80°，那么∠BPC＝ 130° °
（2）如图2，作△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC的数量关系．
（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，若∠Q＝4∠E，求∠A的度数．
解：（1）∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣8°＝100°，
∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，
∴，，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180＝130°；
故答案为：130°；
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，
∴，．
∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣（∠MBC+∠NCB）＝180°﹣（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣，
∵∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+，
∴∠Q+∠BPC＝180°；
（3）如图，延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A，
∵∠Q＝4∠E，
∴∠Q＝2∠A，
∵∠Q＝90°﹣∠A，
∴2∠A＝90°﹣∠A，
∴∠A＝36°．
27．（8分）（2021春•锡山区校级月考）如图，在△ABC中，AD是高，∠DAC＝10°，AE是∠BAC外角的平分线，BF平分∠ABC交AE于点F，若∠ABC＝46°，求∠AFB的度数．
解：∵AD是高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝44°，又∠DAC＝10°，
∴∠BAC＝54°，
∴∠MAC＝126°，
∵AE是∠BAC外角的平分线，
∴∠MAE＝∠MAC＝63°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠ABC＝23°，
∴∠AFB＝∠MAE﹣∠ABF＝40°．
28．（8分）（2023春•沛县期末）已知：在△ABC中，∠BAC＝α．过AC边上的点D作DE⊥BC，垂足为点E．BF为△ABC的一条角平分线，DG为∠ADE的平分线．
（1）如图1，若α＝90°，点G在边BC上且不与点B重合．
①判断∠1与∠2的数量关系，并说明理由；
②判断BF与GD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，若0°＜α＜90°，点G在边BC上，DG与FB的延长线交于点H，用含α的代数式表示∠H，并说明理由；
（3）如图3，若0°＜α＜90°，点G在边AB上，DG与BF交于点M，用含α的代数式表示∠BMD，则∠BMD＝ 135°+α ．
（1）解：①∵∠ABC+∠C＝90°，∠CDE+∠C＝90°，
∴∠ABC＝∠CDE＝2∠1．
又∵∠CDE+∠ADE＝180°，
∴2∠1+2∠2＝180，即2（∠1+∠2）＝180°，
∴∠1+∠2＝90°．
②∵∠BFC＝∠BAC+∠ABF＝90°+∠1，∠GDC＝∠GDE+∠CDE＝∠2+2∠1＝∠1+∠2+∠1＝90°+∠1，
∴∠BFC＝∠GDC＝90°+∠1，
∴BF∥GD．
（2）∠H＝45°﹣α．
证明：∵∠H+∠BGH＝∠FBG，∠BGH＝∠DGE＝90°﹣∠EDG，
∴∠H+90°﹣∠EDG＝∠FBG，
∴∠H＝∠FBG+∠EDG﹣90°．
∵∠BGD＝∠EDG+90°，∠BFD＝∠ABF+α，∠BGD+∠BFD+∠FBG+∠FDG＝360°，
∴∠EDG+90°+∠ABF+α+∠FBG+∠FDG＝360°．
又∵∠ABF＝∠FBG，∠FDG＝∠EDG，
∴∠EDG+90°+∠ABF+α+∠FBG+∠FDG＝∠EDG+90°+∠FBG+α+∠FBG+∠EDG＝360°，
整理得2（∠EDG+∠FBG）＝360°﹣90°﹣α＝270﹣α，
∴∠FBG+∠EDG＝（270﹣α）＝135﹣α．将之代入∠H＝∠FBG+∠EDG﹣90°，
得∠H＝135﹣α﹣90°＝45°﹣α．
（3）∵∠BMD+90°+∠MBE+∠MDE＝360°，
∴∠BMD＝360°﹣90°﹣（∠MBE+∠MDE）＝270°﹣（∠MBE+∠MDE）．
又∵α+90°+∠ABE+∠ADE＝360°，∠ABE＝2∠MBE，∠ADE＝2∠MDE，
∴α+90°+2∠MBE+2∠MDE＝α+90°+2c（∠MBE+∠MBE）＝360°，
∴∠MBE+∠MBE＝（360°﹣90°﹣α）＝135°﹣α．将之代入∠BMD＝270°﹣（∠MBE+∠MDE），
得∠BMD＝270°﹣（135°﹣α）＝135°+α．
故答案为：135°+α
考试时间：100分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.42
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合
题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）
1．（2分）（2022春•邗江区校级期中）如图，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AD为∠CAB的平分线，与∠ABC的平分线BE交于点E，BG是△ABC的外角平分线，AD与BG相交于点G，则∠ADC与∠GBF的和为（ ）
A．120°B．135°C．150°D．160°
解：∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵AE，BE分别平分∠CAB，∠CBA，
∴∠EAB+∠EBA＝∠CAB+∠CBA＝45°，
∵BG平分∠CBF，
∴∠CBG＝∠CBF，
∵∠CBE＝∠CBA，
∴∠CBE＝∠CBG+∠CBE＝∠CBF+∠CBA＝90°，
∴∠G＝90°﹣45°＝45°，
∵∠ADC＝∠BDG，
∴∠ADC+∠GBF＝∠BDG+∠DBG＝180°﹣∠G＝135°，
故选：B．
2．（2分）（2021春•江都区月考）如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO＝100°，则∠C的度数为（ ）
A．40°B．41°C．42°D．43°
解：如图，连接AO、BO．
由题意EA＝EB＝EO，
∴∠AOB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，
∵DO＝DA，FO＝FB，
∴∠DAO＝∠DOA，∠FOB＝∠FBO，
∴∠CDO＝2∠DAO，∠CFO＝2∠FBO，
∵∠CDO+∠CFO＝100°，
∴2∠DAO+2∠FBO＝100°，
∴∠DAO+∠FBO＝50°，
∴∠CAB+∠CBA＝∠DAO+∠OAB+∠OBA+∠FBO＝140°，
∴∠C＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝180°﹣140°＝40°，
故选：A．
3．（2分）（2021春•江阴市期中）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①④D．①②④
解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，
∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC，
又∵∠DCE是△BCE的外角，
∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，
＝（∠ACD﹣∠ABC）
＝∠1，故①正确；
∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠1）
＝90°+∠1，故②、③错误；
∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，
∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝ACD，
∴∠OCE＝（∠ACB+∠ACD）＝×180°＝90°，
∵∠BOC是△COE的外角，
∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确；
故选：C．
4．（2分）（2023春•盐城月考）如图，∠AOB＝70°，点M，N分别在OA，OB上运动（不与点O重合），ME平分∠AMN，ME的反向延长线与∠MNO的平分线交于点F，在M，N的运动过程中，∠F的度数（ ）
A．变大B．变小C．等于55°D．等于35°
解：∵ME平分∠AMN，NF平分∠MNO，
∴∠EMN＝∠AMN，∠MNF＝∠MNO，
根据外角的定义：
∠AMN＝∠AOB+∠MNO，
∴∠EMN＝∠AOB+∠MNO，
∵∠AOB＝70°，
∴∠EMN＝×70°+∠MNF＝35°+∠MNF，
根据外角的定义：∠EMN＝∠F+∠MNF，
∴∠F＝35°，
故选：D．
5．（2分）（2021春•江阴市期中）如图，△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H；下列结论中正确的结论有（ ）
①∠DBE＝∠F；
②∠F＝（∠BAC﹣∠C）；
③2∠BEF＝∠BAF+∠C；
④∠BGH＝∠ABE+∠C．
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
解：∵BD⊥AC，FH⊥BE，
∴∠FEB+∠F＝90°，∠FEB+∠DBE＝90°，
∴∠DBE＝∠F，故①正确；
∵∠C+∠ABC+∠BAC＝180°，
∴∠C+2∠ABE+∠BAC＝180°，
∴∠C+2∠DBE+2∠ABD+∠BAC＝180°，
∴∠C+2∠F+180°﹣2∠BAC+∠BAC＝180°，
∴∠F＝（∠BAC﹣∠C），故②正确；
③∵∠BAF＝∠C+∠ABC，
∴∠BAF＝∠C+2∠EBC，
∴∠BAF+∠C＝2∠C+2∠EBC，
∵∠C+∠EBC＝∠BEF，
∴∠BAF+∠C＝2∠BEF；故③正确；
④∠BGH＝∠FGD＝90°﹣∠F＝∠BEF＝∠C+∠EBC＝∠C+∠ABE，故④正确；
故选：D．
6．（2分）（2021春•姑苏区期中）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC＝3∠C，且∠G＝20°，则∠DFB的度数为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
解：如图：
∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，
∴∠CAE＝∠BAE，∠1＝∠2，
设∠CAE＝∠BAE＝x，∠C＝y，∠ABC＝3y，
由外角的性质得：
∠1＝∠BAE+∠G＝x+20，∠2＝∠ABD＝（2x+y）＝x+y，
∴x+20＝x+y，解得y＝40°，
∴∠1＝∠2＝（180°﹣∠ABC）＝×（180°﹣120°）＝30°，
∴∠DFB＝60°．
故选：C．
7．（2分）（2023春•广陵区期末）如图，∠AOB＝70°，点M，N分别在OA，OB上运动（不与点O重合），ME平分∠AMN，ME的反向延长线与∠MNO的平分线交于点F，在M，N的运动过程中，∠F的度数（ ）
A．变大B．变小C．等于55°D．等于35°
解：∵ME平分∠AMN，NF平分∠MNO，
∴∠AME＝∠EMN＝∠AMN，∠MNF＝∠FNO＝∠MNO，
又∵∠AMN是△MNO的外角，
∴∠AMN＝∠MNO+∠O，
即2∠EMN＝2∠MNF+∠O，
∴∠EMN＝∠MNF+∠O，
又∵∠EMN是△MNF的外角，
∴∠EMN＝∠MNF+∠F，
∴∠MNF+∠F＝∠MNF+∠O，
∴∠F＝∠O＝×70°＝35°，
故选：D．
8．（2分）（2023春•兴化市期末）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为3、4、5、7，且相邻两木条的夹角均可调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值是（ ）
A．7B．8C．9D．10
解：已知4条木棍的四边长为3、4、5、7；
①选3+4、5、7作为三角形，则三边长为7、5、7；7﹣5＜7＜7+5，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为7；
②选4+5、3、7作为三角形，则三边长为9、3、7；7﹣3＜9＜7+3，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为9；
③选3+7、4、5作为三角形，则三边长为10、4、5；4+5＜10，不能构成三角形，此种情况不成立；
④选5+7、3、4作为三角形，则三边长为12、3、4；而3+4＜12，不能构成三角形，此种情况不成立；
综上所述，任两螺丝的距离之最大值为9．
故选：C．
9．（2分）（2023春•睢宁县期中）如图，在△ABC中，∠A＝20°，点D在边AC上（如图1），先将△ABD沿着BD翻折，使点A落在点A'处，A'B交AC于点E（如图2），再将△BCE沿着BE翻折，点C恰好落在BD上的点C'处，此时∠C'EB＝66°（如图3），则∠ABC的度数为（ ）
A．66°B．23°C．46°D．69°
解：由题意可得，∠C'EB＝∠CEB＝66°，
设∠ABC＝x，则，
∵三角形的内角和等于180°，
∴在△ABC中，∠A+∠ABC＝180°﹣∠C，即20°+x＝180°﹣∠C；
在△BCE中，∠CEB+∠CBE＝180°﹣∠C，即；
∴，
解得：x＝69°，
故选：D．
10．（2分）（2023春•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F＝（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABE+∠C，正确的是（ ）
A．1B．2C．3D．4
解：设BD交FH于点J．
①∵BD⊥FD，
∴∠FJD+∠F＝90°
∵FH⊥BE，
∴∠BJG+∠DBE＝90°，
∵∠FJD＝∠BJG，
∴∠DBE＝∠F，
①正确；
②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∠BEF＝∠CBE+∠C，
∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C，
∠BAF＝∠ABC+∠C，
∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，
②正确；
③∠ABD＝90°﹣∠BAC，
∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，
∵∠CBD＝90°﹣∠C，
∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
由①得，∠DBE＝∠F，
∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
∴∠F＝（∠BAC﹣∠C）；
③正确；
④∵∠AEB＝∠EBC+∠C，
∵∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE+∠C，
∵BD⊥FC，FH⊥BE，
∴∠FGD＝∠FEB，
∴∠BGH＝∠ABE+∠C，
④正确，
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）
11．（2分）（2022春•鼓楼区期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝ 30 °．
解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°，
∵∠PCM是△BCP的外角，
∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°，
故答案为：30°．
12．（2分）（2022秋•清江浦区校级期末）已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 1 cm2．
解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2（cm2），
同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1（cm2），
∴S△BCE＝2（cm2），
∵F为EC中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1（cm2）．
故答案为1．
13．（2分）（2022春•宿城区期末）将一副直角三角板如图放置，∠A＝30°，∠F＝45°．若边AB经过点D，则∠EDB＝ 75 °．
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∵∠ABC＝∠F+∠BDF，∠F＝45°，
∴∠BDF＝∠ABC﹣∠F＝60°﹣45°＝15°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠EDB＝∠EDF﹣∠BDF＝90°﹣15°＝75°，
故答案为75．
14．（2分）（2022春•江都区校级月考）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为 120° ．
解：如图，连接AA'，
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，
∴∠A'BC＝∠ABC，∠A'CB＝∠ACB，
∵∠BA'C＝120°，
∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BAC＝180°﹣120°＝60°，
∵沿DE折叠，
∴∠DAA'＝∠DA'A，∠EAA'＝∠EA'A，
∵∠1＝∠DAA'+∠DA'A＝2∠DAA'，∠2＝∠EAA'+∠EA'A＝2∠EAA'，
∴∠1+∠2＝2∠DAA'+2∠EAA'＝2∠BAC＝2×60°＝120°，
故答案为：120°．
15．（2分）（2023春•淮安期末）如图，△ABC中，∠A＝40°，∠B＝80°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF的度数＝ 70° ．
解：∵∠A＝40°，∠B＝80°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°．
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ACB＝30°．
∵CD⊥AB于D，
∴∠CDA＝90°，
∠ACD＝180°﹣∠A﹣∠CDA＝50°．
∴∠ECD＝∠ACD﹣∠ACE＝20°．
∵DF⊥CE，
∴∠CFD＝90°，
∴∠CDF＝180°﹣∠CFD﹣∠DCF＝70°．
故答案为：70°．
16．（2分）（2022春•建邺区校级期末）已知△ABC中，∠A＝65°，将∠B、∠C按照如图所示折叠，若∠ADB′＝35°，则∠1+∠2+∠3＝ 265 °．
解：由折叠知：∠B＝∠B′，∠C＝∠C′．
∵∠3＝∠B+∠4，∠4＝∠ADB′+∠B′，
∴∠3＝∠B+∠ADB′+∠B′
＝2∠B+35°．
∵∠1+∠2＝180°﹣∠C′GC+180°﹣∠C′FC
＝360°﹣（∠C′FC+∠C′GC），
∠C′FC+∠C′GC＝360°﹣∠C﹣∠C′
＝360°﹣2∠C，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠C′FC+∠C′GC）
＝360°﹣（360°﹣2∠C）
＝2∠C．
∴∠1+∠2+∠3
＝2∠C+2∠B+35°
＝2（∠C+∠B）+35°
＝2（180°﹣∠A）+35°
＝2（180°﹣65°）+35°
＝265°．
故答案为：265°．
17．（2分）（2023春•亭湖区校级期末）如图，△ABC沿EF折叠使点A落在点A'处，BP、CP分别是∠ABD、∠ACD平分线，若∠P＝30°，∠A'EB＝20°，则∠A'FC＝ 140 °．
解：如图，
∵BP、CP分别是∠ABD、∠ACD平分线，
∴∠PBD＝，∠BCP＝．
又∵∠PBD＝∠P+∠PCB，
∴∠P＝∠PBD﹣∠PCB＝＝，
又∵∠ABD＝∠A+∠ACB，
∴∠ABD﹣∠ACB＝∠A，
∴∠P＝，
∴∠A＝2∠P＝2×30°＝60°，
由题意得：∠A′＝∠A＝60°，
∴∠1＝∠A′+∠A′EB＝60°+20°＝80°，
∴∠A′FC＝∠A+∠1＝60°+80°＝140°，
故答案为：140．
18．（2分）（2019春•崇川区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠ACB＝60°，D为△ABC形外一点，DA平分∠BAC，且∠CBD＝50°，求∠DCB＝ 60° ．
解：如图，延长AB到P，延长AC到Q，作DH⊥AP于H，DE⊥AQ于E，DF⊥BC于F．
∵∠PBC＝∠BAC+∠ACB＝40°+60°＝100°，∠CBD＝50°，
∴∠DBC＝∠DBH，
∵DF⊥BC，DH⊥BP，
∴DF＝DH，
又∵DA平分∠PAQ，DH⊥PA，DE⊥AQ，
∴DE＝DH，
∴DE＝DF，
∴CD平分∠QCB，
∵∠QCB＝180°﹣60°＝120°，
∴∠DCB＝60°，
故答案为60°．
19．（2分）（2021春•江都区校级期末）△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAD＝50°，∠CAD＝20°，则∠BAC＝ 70°或30° ．
解：①如图1，当高AD在△ABC的内部时，
∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝50°+20°＝70°；
②如图2，当高AD在△ABC的外部时，
∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝50°﹣20°＝30°，
综上所述，∠BAC的度数为70°或30°．
故答案为：70°或30°．
20．（2分）（2021春•靖江市校级期中）如图，在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，∠BAC＞∠C，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F＝（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABE+∠C．其中正确的是 ①②③④ ．
解：设BE交FH于点J．
①∵BD⊥FD，
∴∠FGD+∠F＝90°
∵FH⊥BE，
∴∠BGJ+∠DBE＝90°，
∵∠FGD＝∠BGJ，
∴∠DBE＝∠F，
①正确；
②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∠BEF＝∠CBE+∠C，
∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C，
∠BAF＝∠ABC+∠C，
∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，
②正确；
③∠ABD＝90°﹣∠BAC，
∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，
∵∠CBD＝90°﹣∠C，
∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
由①得，∠DBE＝∠F，
∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
∴∠F＝（∠BAC﹣∠C）；
③正确；
④∵∠AEB＝∠EBC+∠C，
∵∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE+∠C，
∵BD⊥FC，FH⊥BE，
∴∠FGD＝∠BGH＝∠FEB，
∴∠BGH＝∠ABE+∠C，
④正确，
故答案为：①②③④．
三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（6分）（2023春•高港区月考）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“三倍角三角形”．
（1）△ABC中，∠A＝35°，∠B＝40°，△ABC是“三倍角三角形”吗？为什么？
（2）若△ABC是“三倍角三角形”，且∠B＝30°，求△ABC中最小内角的度数．
解：（1）△ABC是“三倍角三角形”，理由如下：
∵∠A＝35°，∠B＝40°，
∴∠C＝180°﹣35°﹣40°＝105°＝35°×3，
∴△ABC是“三倍角三角形”；
（2）∵∠B＝30°，
∴∠A+∠C＝150°，
设最小的角为x，
①当30°＝3x时，x＝10°，
②当x+3x＝150°时，x＝37.5°，30＜37.5，
③30°×3＝90°，180﹣30﹣90＝60°，
答：△ABC中最小内角为10°或30°．
22．（6分）（2023春•沭阳县期末）如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3．
（1）证明：∠BAC＝∠DEF；
（2）∠BAC＝70°，∠DFE＝50°，求∠ABC的度数．
（1）证明：∵∠BAC＝∠1+∠CAE，∠DEF＝∠3+∠CAE，∠1＝∠3，
∴∠BAC＝∠DEF．
（2）∵∠ABC＝∠2+∠ABD，∠1＝∠2，
∴∠ABC＝∠1+∠ABD＝∠EDF，
由（1）可知∠DEF＝∠BAC＝70°，
∴∠ABC＝∠1+∠ABD＝∠EDF＝180°﹣∠DEF﹣∠DFE＝180°﹣70°﹣50°＝60°，
∴∠ABC＝60°．
23．（8分）（2021春•邗江区期末）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”；三个内角分别为80°、75°、25°的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）．
（1）∠ABO的度数为 30 °，△AOB 是 ．（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；
（2）若∠BAC＝70°，则△AOC 是 （填“是”或“不是”）“灵动三角形”；
（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．
解：（1）∵AB⊥OM，
∴∠BAO＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°，
∵90°＝3×30°，
∴△AOB是“灵动三角形”．
故答案为：30，是．
（2）∵∠OAB＝90°，∠BAC＝70°，
∴∠OAC＝20°，
∵∠AOC＝60°＝3×20°，
∴△AOC是“灵动三角形”．
故答案为：是．
（3）①∠ACB＝3∠ABC时，∠CAB＝60°，∠OAC＝30°；
②当∠ABC＝3∠CAB时，∠CAB＝10°，∠OAC＝80°．
③当∠ACB＝3∠CAB时，∠CAB＝37.5°，可得∠OAC＝52.5°．
综上所述，满足条件的值为30°或52.5°或80°．
24．（8分）（2023春•灌云县月考）我们在小学已经学习了“三角形内角和等于180°”．在三角形纸片中，点D，E分别在边AC，BC上，将∠C沿DE折叠，点C落在点C'的位置．
（1）如图1，当点C落在边BC上时，若∠ADC'＝58°，则∠C＝ 29° ，可以发现∠ADC'与∠C的数量关系是 ∠ADC'＝2∠C ；
（2）如图2，当点C落在△ABC内部时，且∠BEC'＝42°，∠ADC'＝20°，求∠C的度数；
（3）如图3，当点C落在△ABC外部时，若设∠BEC'的度数为x，∠ADC'的度数为y，请求出∠C与x，y之间的数量关系．
解：（1）∵∠ADC′＝58°，
∴∠CDC′＝180°﹣∠ADC′＝122°，
由折叠得：
∠CDE＝∠C′DE＝∠CDC′＝61°，∠DEC＝∠DEC′＝×180°＝90°，
∴∠C＝180°﹣∠EDC﹣∠DEC＝29°，
∴∠ADC'与∠C的数量关系：∠ADC'＝2∠C．
故答案为：29°，∠ADC'＝2∠C；
（2）∵∠BEC′＝42°，∠ADC′＝20°，
∴∠CEC′＝180°﹣∠BEC′＝138°，∠CDC′＝180°﹣∠ADC′＝160°，
由折叠得：
∠CDE＝∠C′DE＝∠CDC′＝80°，∠DEC＝∠DEC′＝∠CEC′＝69°，
∴∠C＝180°﹣∠EDC﹣∠DEC＝31°，
∴∠C的度数为31°；
（3）如图：
∵∠BEC′＝x，∠ADC′＝y，
∴∠CEC′＝180°﹣x，∠1＝180°+∠ADC′＝180°+y，
由折叠得：
∠CDE＝∠C′DE＝∠1＝90°+y，∠DEC＝∠DEC′＝∠CEC′＝90°﹣x，
∴∠C＝180°﹣∠EDC﹣∠DEC
＝180°﹣（90°+y）﹣（90°﹣x）
＝x﹣y，
∴∠C与x，y之间的数量关系：∠C＝x﹣y．
25．（8分）（2020春•盱眙县期末）如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝38°，∠C＝64°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，∠B＝α，∠C＝β（α＜β），请用α、β的代数式表示∠DFE．
解：（1）∵∠B＝38°，∠C＝64°，
∴∠BAC＝78°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝39°，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝77°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝13°．
（2）∵∠B＝α，∠C＝β，
∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝90°﹣（α+β），
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝α+90°﹣（α+β），
∵FE⊥BC，
∴∠FEB＝90°，
∴∠DFE＝90°﹣∠ADE＝（β﹣α）．
26．（8分）（2023春•邗江区期中）综合与探究：爱思考的小明在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧．在△ABC中，∠ABC 与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如图1，如果∠A＝80°，那么∠BPC＝ 130° °
（2）如图2，作△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC的数量关系．
（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，若∠Q＝4∠E，求∠A的度数．
解：（1）∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣8°＝100°，
∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，
∴，，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180＝130°；
故答案为：130°；
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，
∴，．
∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣（∠MBC+∠NCB）＝180°﹣（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣，
∵∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+，
∴∠Q+∠BPC＝180°；
（3）如图，延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A，
∵∠Q＝4∠E，
∴∠Q＝2∠A，
∵∠Q＝90°﹣∠A，
∴2∠A＝90°﹣∠A，
∴∠A＝36°．
27．（8分）（2021春•锡山区校级月考）如图，在△ABC中，AD是高，∠DAC＝10°，AE是∠BAC外角的平分线，BF平分∠ABC交AE于点F，若∠ABC＝46°，求∠AFB的度数．
解：∵AD是高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝44°，又∠DAC＝10°，
∴∠BAC＝54°，
∴∠MAC＝126°，
∵AE是∠BAC外角的平分线，
∴∠MAE＝∠MAC＝63°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠ABC＝23°，
∴∠AFB＝∠MAE﹣∠ABF＝40°．
28．（8分）（2023春•沛县期末）已知：在△ABC中，∠BAC＝α．过AC边上的点D作DE⊥BC，垂足为点E．BF为△ABC的一条角平分线，DG为∠ADE的平分线．
（1）如图1，若α＝90°，点G在边BC上且不与点B重合．
①判断∠1与∠2的数量关系，并说明理由；
②判断BF与GD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，若0°＜α＜90°，点G在边BC上，DG与FB的延长线交于点H，用含α的代数式表示∠H，并说明理由；
（3）如图3，若0°＜α＜90°，点G在边AB上，DG与BF交于点M，用含α的代数式表示∠BMD，则∠BMD＝ 135°+α ．
（1）解：①∵∠ABC+∠C＝90°，∠CDE+∠C＝90°，
∴∠ABC＝∠CDE＝2∠1．
又∵∠CDE+∠ADE＝180°，
∴2∠1+2∠2＝180，即2（∠1+∠2）＝180°，
∴∠1+∠2＝90°．
②∵∠BFC＝∠BAC+∠ABF＝90°+∠1，∠GDC＝∠GDE+∠CDE＝∠2+2∠1＝∠1+∠2+∠1＝90°+∠1，
∴∠BFC＝∠GDC＝90°+∠1，
∴BF∥GD．
（2）∠H＝45°﹣α．
证明：∵∠H+∠BGH＝∠FBG，∠BGH＝∠DGE＝90°﹣∠EDG，
∴∠H+90°﹣∠EDG＝∠FBG，
∴∠H＝∠FBG+∠EDG﹣90°．
∵∠BGD＝∠EDG+90°，∠BFD＝∠ABF+α，∠BGD+∠BFD+∠FBG+∠FDG＝360°，
∴∠EDG+90°+∠ABF+α+∠FBG+∠FDG＝360°．
又∵∠ABF＝∠FBG，∠FDG＝∠EDG，
∴∠EDG+90°+∠ABF+α+∠FBG+∠FDG＝∠EDG+90°+∠FBG+α+∠FBG+∠EDG＝360°，
整理得2（∠EDG+∠FBG）＝360°﹣90°﹣α＝270﹣α，
∴∠FBG+∠EDG＝（270﹣α）＝135﹣α．将之代入∠H＝∠FBG+∠EDG﹣90°，
得∠H＝135﹣α﹣90°＝45°﹣α．
（3）∵∠BMD+90°+∠MBE+∠MDE＝360°，
∴∠BMD＝360°﹣90°﹣（∠MBE+∠MDE）＝270°﹣（∠MBE+∠MDE）．
又∵α+90°+∠ABE+∠ADE＝360°，∠ABE＝2∠MBE，∠ADE＝2∠MDE，
∴α+90°+2∠MBE+2∠MDE＝α+90°+2c（∠MBE+∠MBE）＝360°，
∴∠MBE+∠MBE＝（360°﹣90°﹣α）＝135°﹣α．将之代入∠BMD＝270°﹣（∠MBE+∠MDE），
得∠BMD＝270°﹣（135°﹣α）＝135°+α．
故答案为：135°+α
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