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初中人教版第二十七章 相似27.2 相似三角形27.2.2 相似三角形的性质同步练习题
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这是一份初中人教版第二十七章 相似27.2 相似三角形27.2.2 相似三角形的性质同步练习题，共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：
1．若，其相似比为，则与的面积比为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，∽，：：，其中，的长为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在中，E为CD的中点，AE交BD于点O，＝12，则等于（ ）
A．48B．36C．24D．12
4．如图，在中，是上一点，且，连接交于点，已知，则的值是( )
A．9B．10C．12D．14
5．如图，中，，，以BC边上一点O为圆心作，分别与AB，AC相切于点D，E，则AD的长为（ ）
A．4.5B．5C．5.5D．6
6．如图，在等边中，点，分别在边，上，，若，，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为，阴影部分三角形的面积为若，则等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：
8．已知与相似，且与的相似比为，如果的面积为18，那么的面积等于______．
9．如图，在中，D，E两点分别在边上，，如果，则与的面积之比为______．
10．如图，在中，，，，则______cm．
11．如图，在平行四边形中，：：，则：______．
12．如图，矩形的面积为36，对角线与双曲线相交于点，且，则的值为__________．
13．如图，在中，，上的高，矩形的顶点E、F在边上，G、H分别在边、上，，则该矩形的面积为________．
14．如图，在中，E是线段上一点，，过点C作，交BE的延长线于点D．若的面积等于16，则的面积等于______．
三、解答题：
15．如图，在正方形中，为边的中点，点在边上，且，延长交的延长线于点．
(1)求证：∽；
(2)若，求的长．
16．如图，中，点D是边的中点，交于G，且．
(1)分别求出和的值；
(2)若的面积为，求出四边形的面积．
17．已知，如图，直线交于，两点，是直径，平分交于，过作于．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
18．如图，在中，点、分别在边、上，连接、，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
提升篇
1．如图，点、在反比例函数的图象上，延长交轴于点，若的面积是，且点是的中点，则的值（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在矩形中，．对角线与相交于点O，过点D作的垂线，交于点E，．则的值为（ ）
A．4B．2C．D．4
3．如图，在矩形中，是边的中点，垂足为点F，连接，有下列四个结论：①；②；③④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．如图，正方形的边长为，点是边的中点，连接．在线段上有一点，若点P到正方形一边的距离为，则的长为___________．
5．如图，矩形中，对角线、交于点，于点，，，______cm．
6．如图，在中，中线、相交于点O，连接，下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数有____________（写序号）．
7．如图，在锐角三角形中，点D在边上，于点E，于点F，．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
8．綜合与探究
如图，在中，，点M从点A开始沿边向点C以的速度运动，点N从点C开始沿边向点B以的速度运动，当点M到达点C时，点M，N同时停止运动．若，的长是的两根（其中，单位：）．
(1)求，的长；
(2)如果点M，N分别从点A，C同时出发，那么几秒后，的面积为？
(3)如果点M，N分别从点A，C同时出发，是否能和相似？如果能，请求出运动的时间；如果不能，请说明理由．
27.2.3 相似三角形的性质
基础篇
一、单选题：
1．若，其相似比为，则与的面积比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】相似三角形的对应边之比、周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
【详解】解：且相似比为
故选：C
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解决本题的关键．
2．如图，∽，：：，其中，的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：：：，
：：，
∽，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．
3．如图，在中，E为CD的中点，AE交BD于点O，＝12，则等于（ ）
A．48B．36C．24D．12
【答案】A
【分析】利用平行四边形的性质得出，，进而得出，再利用相似三角形的性质得出答案．
【详解】∵在中，E为中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
故选A．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出是解题关键．
4．如图，在中，是上一点，且，连接交于点，已知，则的值是( )
A．9B．10C．12D．14
【答案】C
【分析】证明，可证得，得，即可得结论．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
则．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是掌握相似三角形的性质与判定．
5．如图，中，，，以BC边上一点O为圆心作，分别与AB，AC相切于点D，E，则AD的长为（ ）
A．4.5B．5C．5.5D．6
【答案】A
【分析】连接，根据切线性质可得，证明，再证明相似即可解得．
【详解】连接
∵AB，AC相切于点D，E，
∴，
又∵
∴
∴
又∵
∴，
根据勾股定理得
∵
∴
∴
∴
故选：A．
【点睛】此题考查了切线性质、三角形全等和相似、勾股定理，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．
6．如图，在等边中，点，分别在边，上，，若，，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用等边三角形的性质，证明，即可得解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形相似，是解题的关键．本题考查一线三等角相似模型，平时多归纳总结，可以快速进行解题．
7．如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为，阴影部分三角形的面积为若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先证明，再由相似三角形的性质求得，进而求得．
【详解】解：如图，
、，且为边的中线，
，，
将沿边上的中线平移得到，
，
，
∴，即，
解得或（舍去），
．
故选：B．
【点睛】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．
二、填空题：
8．已知与相似，且与的相似比为，如果的面积为18，那么的面积等于______．
【答案】8
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可找到和的面积之比从而解决此题．
【详解】且相似比为
和的面积比为
故答案为：8
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解决本题关键．
9．如图，在中，D，E两点分别在边上，，如果，则与的面积之比为______．
【答案】
【分析】由，根据相似三角形的判定方法得到，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解．
【详解】】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线与其他两边所截的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比相等，都等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．
10．如图，在中，，，，则______cm．
【答案】4
【分析】证明，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：．
故答案为：4
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
11．如图，在平行四边形中，：：，则：______．
【答案】
【分析】根据四边形是平行四边形，可得，，所以，再根据相似三角形判定可知，从而可求．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
∴
∵
∴
，
故答案是．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，解题的关键是注意先求出的值．
12．如图，矩形的面积为36，对角线与双曲线相交于点，且，则的值为__________．
【答案】
【分析】由矩形的性质求出的面积，由平行线分线段成比例可求，可求的面积，由反比例函数的性质可求解．
【详解】如图，连接，过点D作于E，
∵矩形的面积为36，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵双曲线图象过点D，
∴，
又∵双曲线图象在第二象限，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，求出的面积是解题的关键．
13．如图，在中，，上的高，矩形的顶点E、F在边上，G、H分别在边、上，，则该矩形的面积为________．
【答案】##
【分析】如图，证明，运用相似三角形的性质列出比例式，问题即可解决．
【详解】解：∵，
∴设，则；
由题意得：
，；
∴，而，，
∴，即，
解得：，
∴，．
∴该矩形的面积为．
故答案为：．
【点睛】该题考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
14．如图，在中，E是线段上一点，，过点C作，交BE的延长线于点D．若的面积等于16，则的面积等于______．
【答案】12
【分析】先根据得出，根据相似三角形的性质得出，从而求出，再根据求出，最后求出的面积即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵的面积等于16，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定和性质．
三、解答题：
15．如图，在正方形中，为边的中点，点在边上，且，延长交的延长线于点．
(1)求证：∽；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】由正方形的性质与已知得出，证出，即可得出结论；
由，为的中点，得出，由勾股定理得出，由，得出，可求得的长度，进而可以解决问题．
【详解】（1）证明：四边形为正方形，且，
，
，，
，
∴；
（2）解：，为的中点，
．
在中，，
由知，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定得出比例式是解题的关键．
16．如图，中，点D是边的中点，交于G，且．
(1)分别求出和的值；
(2)若的面积为，求出四边形的面积．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据可得，根据，可得，，根据相似三角形的性质可得结果；
（2）连接，根据面积比等于相似比的平方可得，根据三角形中线等分三角形面积可得，然后根据得出，最后根据即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点D是边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）连接，
∵，相似比为，
∴，
∴，
∵点D是边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
17．已知，如图，直线交于，两点，是直径，平分交于，过作于．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据平行线的判定与性质可得，且在上，故是的切线．
（2）由直角三角形的特殊性质，可得的长，又有，根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径．
【详解】（1）连接．
，
．
，
．
．
，
即．
在上，为的半径，
是的切线．
（2），，，
．
连接．
是的直径，
．
，
．
．
则．
的半径是．
【点睛】本题考查圆的切线的判定、圆周角定理、勾股定理切割线定理、相似三角形的判定和性质等知识，在圆中学会正确添加辅助线是解决问题的关键．
18．如图，在中，点、分别在边、上，连接、，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)证明过程见详解．
(2)的面积为2．
【分析】（1）利用先判定，得到从而证明，结合，证明，得到即可．
（2）利用及面积比值得到，通过得到，最后利用求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质的应用，能够熟练的根据条件判定三角形相似，并利用相似的性质得到线段的比值是解题关键．
提升篇
1．如图，点、在反比例函数的图象上，延长交轴于点，若的面积是，且点是的中点，则的值（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据是的中点，表示出的面积，再利用的几何意义表示出和的面积，即可得出和的面积，易证∽，根据面积的比等于相似比的平方，列方程即可求出的值．
【详解】解：连接，过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示：
是的中点，
，
根据的几何意义，
，
，
，
，，
∽，
是的中点，
相似比为：，
，
，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，运用三角形中线的性质以及相似三角形的性质是解决本题的关键．
2．如图，在矩形中，．对角线与相交于点O，过点D作的垂线，交于点E，．则的值为（ ）
A．4B．2C．D．4
【答案】C
【分析】由矩形的性质可得结合可求得,再证，然后根据相似三角形对应边成比例列式可得即可解答．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴ ，
∵
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证得判断出相似三角形，并灵活运用相似三角形的性质是解题关键．
3．如图，在矩形中，是边的中点，垂足为点F，连接，有下列四个结论：①；②；③④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】①四边形是矩形，，则，又，于是；
②由，又，所以，故可得；
③过D作交于N，得到四边形是平行四边形，求出，得到，根据线段的垂直平分线的性质可得结论；
④由，推出，设，推出，，，，推出，故⑤正确．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴
∵于点F，
∴
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
如图，过D作交于N，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵于点F，，
∴，
∴垂直平分，
∴，故③正确；
，
，
设，
，，，，
故④正确；
正确的个数为4，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．
4．如图，正方形的边长为，点是边的中点，连接．在线段上有一点，若点P到正方形一边的距离为，则的长为___________．
【答案】或或
【分析】根据勾股定理求得，再分三种情况讨论，，根据相似三角形的性质与判定，即可求解．
【详解】解：正方形的边长为，点是边的中点，
，
如图1，作于点，使，
，
，
，
，
如图2，作于点，使，
，
，
如图3，作⊥于点，使，
，
，
综上所述：的长为或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
5．如图，矩形中，对角线、交于点，于点，，，______cm．
【答案】12
【分析】先证明，即可证明，从而求出，，最后根据勾股定理即可求出．
【详解】解：∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明是解题的关键．
6．如图，在中，中线、相交于点O，连接，下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数有____________（写序号）．
【答案】①③④
【分析】、是的中线，即D、E是和的中点，即是的中位线，则，，根据相似三角形的性质和三角形中线的性质即可判断．
【详解】∵、是的中线，即D、E是和的中点，
∴是的中位线，
∴，，即，①正确；
∵
∴，
∴，②错误；
∵,，
∴,③正确；
∵，
∴
∴
又∵是的中线
∴
∴，④正确
故①正确，②错误，③④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，利用三角形中线分三角形为面积相等的连个三角形证明和之间的关系是关键．
7．如图，在锐角三角形中，点D在边上，于点E，于点F，．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）先证，再证，即可解决问题；
（2）由（1）可知：，推出，再证，可得答案．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
；
（2）由（1）可知：，
，
，
，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、三角形的内角和，解题的关键是证明三角形相似．
8．綜合与探究
如图，在中，，点M从点A开始沿边向点C以的速度运动，点N从点C开始沿边向点B以的速度运动，当点M到达点C时，点M，N同时停止运动．若，的长是的两根（其中，单位：）．
(1)求，的长；
(2)如果点M，N分别从点A，C同时出发，那么几秒后，的面积为？
(3)如果点M，N分别从点A，C同时出发，是否能和相似？如果能，请求出运动的时间；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)或者
(3)能，或
【分析】（1）根据一元二次方程的十字相乘法即可计算出两个根；
（2）利用即可算出；
（3）利用三角形的相似比即可算出；
【详解】（1）解：，
解得，．
，
，．
（2）当运动时间为秒时，，，
依题意，得，
整理得，
解得，，两者均符合要求．
答：点M，N分别从点A，C同时出发，那么1秒或5秒后，的面积为．
（3）设运动秒时，和相似，，，
，可以分2种情况，
①若，此时，即，
解得；
②若，此时，即，
解得．
答：运动或时，和相似．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和解一元二次方程，解题的关键是灵活运用所学的知识．
一、单选题：
1．若，其相似比为，则与的面积比为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，∽，：：，其中，的长为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在中，E为CD的中点，AE交BD于点O，＝12，则等于（ ）
A．48B．36C．24D．12
4．如图，在中，是上一点，且，连接交于点，已知，则的值是( )
A．9B．10C．12D．14
5．如图，中，，，以BC边上一点O为圆心作，分别与AB，AC相切于点D，E，则AD的长为（ ）
A．4.5B．5C．5.5D．6
6．如图，在等边中，点，分别在边，上，，若，，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为，阴影部分三角形的面积为若，则等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：
8．已知与相似，且与的相似比为，如果的面积为18，那么的面积等于______．
9．如图，在中，D，E两点分别在边上，，如果，则与的面积之比为______．
10．如图，在中，，，，则______cm．
11．如图，在平行四边形中，：：，则：______．
12．如图，矩形的面积为36，对角线与双曲线相交于点，且，则的值为__________．
13．如图，在中，，上的高，矩形的顶点E、F在边上，G、H分别在边、上，，则该矩形的面积为________．
14．如图，在中，E是线段上一点，，过点C作，交BE的延长线于点D．若的面积等于16，则的面积等于______．
三、解答题：
15．如图，在正方形中，为边的中点，点在边上，且，延长交的延长线于点．
(1)求证：∽；
(2)若，求的长．
16．如图，中，点D是边的中点，交于G，且．
(1)分别求出和的值；
(2)若的面积为，求出四边形的面积．
17．已知，如图，直线交于，两点，是直径，平分交于，过作于．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
18．如图，在中，点、分别在边、上，连接、，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
提升篇
1．如图，点、在反比例函数的图象上，延长交轴于点，若的面积是，且点是的中点，则的值（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在矩形中，．对角线与相交于点O，过点D作的垂线，交于点E，．则的值为（ ）
A．4B．2C．D．4
3．如图，在矩形中，是边的中点，垂足为点F，连接，有下列四个结论：①；②；③④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．如图，正方形的边长为，点是边的中点，连接．在线段上有一点，若点P到正方形一边的距离为，则的长为___________．
5．如图，矩形中，对角线、交于点，于点，，，______cm．
6．如图，在中，中线、相交于点O，连接，下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数有____________（写序号）．
7．如图，在锐角三角形中，点D在边上，于点E，于点F，．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
8．綜合与探究
如图，在中，，点M从点A开始沿边向点C以的速度运动，点N从点C开始沿边向点B以的速度运动，当点M到达点C时，点M，N同时停止运动．若，的长是的两根（其中，单位：）．
(1)求，的长；
(2)如果点M，N分别从点A，C同时出发，那么几秒后，的面积为？
(3)如果点M，N分别从点A，C同时出发，是否能和相似？如果能，请求出运动的时间；如果不能，请说明理由．
27.2.3 相似三角形的性质
基础篇
一、单选题：
1．若，其相似比为，则与的面积比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】相似三角形的对应边之比、周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
【详解】解：且相似比为
故选：C
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解决本题的关键．
2．如图，∽，：：，其中，的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：：：，
：：，
∽，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．
3．如图，在中，E为CD的中点，AE交BD于点O，＝12，则等于（ ）
A．48B．36C．24D．12
【答案】A
【分析】利用平行四边形的性质得出，，进而得出，再利用相似三角形的性质得出答案．
【详解】∵在中，E为中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
故选A．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出是解题关键．
4．如图，在中，是上一点，且，连接交于点，已知，则的值是( )
A．9B．10C．12D．14
【答案】C
【分析】证明，可证得，得，即可得结论．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
则．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是掌握相似三角形的性质与判定．
5．如图，中，，，以BC边上一点O为圆心作，分别与AB，AC相切于点D，E，则AD的长为（ ）
A．4.5B．5C．5.5D．6
【答案】A
【分析】连接，根据切线性质可得，证明，再证明相似即可解得．
【详解】连接
∵AB，AC相切于点D，E，
∴，
又∵
∴
∴
又∵
∴，
根据勾股定理得
∵
∴
∴
∴
故选：A．
【点睛】此题考查了切线性质、三角形全等和相似、勾股定理，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．
6．如图，在等边中，点，分别在边，上，，若，，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用等边三角形的性质，证明，即可得解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形相似，是解题的关键．本题考查一线三等角相似模型，平时多归纳总结，可以快速进行解题．
7．如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为，阴影部分三角形的面积为若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先证明，再由相似三角形的性质求得，进而求得．
【详解】解：如图，
、，且为边的中线，
，，
将沿边上的中线平移得到，
，
，
∴，即，
解得或（舍去），
．
故选：B．
【点睛】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．
二、填空题：
8．已知与相似，且与的相似比为，如果的面积为18，那么的面积等于______．
【答案】8
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可找到和的面积之比从而解决此题．
【详解】且相似比为
和的面积比为
故答案为：8
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解决本题关键．
9．如图，在中，D，E两点分别在边上，，如果，则与的面积之比为______．
【答案】
【分析】由，根据相似三角形的判定方法得到，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解．
【详解】】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线与其他两边所截的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比相等，都等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．
10．如图，在中，，，，则______cm．
【答案】4
【分析】证明，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：．
故答案为：4
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
11．如图，在平行四边形中，：：，则：______．
【答案】
【分析】根据四边形是平行四边形，可得，，所以，再根据相似三角形判定可知，从而可求．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
∴
∵
∴
，
故答案是．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，解题的关键是注意先求出的值．
12．如图，矩形的面积为36，对角线与双曲线相交于点，且，则的值为__________．
【答案】
【分析】由矩形的性质求出的面积，由平行线分线段成比例可求，可求的面积，由反比例函数的性质可求解．
【详解】如图，连接，过点D作于E，
∵矩形的面积为36，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵双曲线图象过点D，
∴，
又∵双曲线图象在第二象限，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，求出的面积是解题的关键．
13．如图，在中，，上的高，矩形的顶点E、F在边上，G、H分别在边、上，，则该矩形的面积为________．
【答案】##
【分析】如图，证明，运用相似三角形的性质列出比例式，问题即可解决．
【详解】解：∵，
∴设，则；
由题意得：
，；
∴，而，，
∴，即，
解得：，
∴，．
∴该矩形的面积为．
故答案为：．
【点睛】该题考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
14．如图，在中，E是线段上一点，，过点C作，交BE的延长线于点D．若的面积等于16，则的面积等于______．
【答案】12
【分析】先根据得出，根据相似三角形的性质得出，从而求出，再根据求出，最后求出的面积即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵的面积等于16，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定和性质．
三、解答题：
15．如图，在正方形中，为边的中点，点在边上，且，延长交的延长线于点．
(1)求证：∽；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】由正方形的性质与已知得出，证出，即可得出结论；
由，为的中点，得出，由勾股定理得出，由，得出，可求得的长度，进而可以解决问题．
【详解】（1）证明：四边形为正方形，且，
，
，，
，
∴；
（2）解：，为的中点，
．
在中，，
由知，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定得出比例式是解题的关键．
16．如图，中，点D是边的中点，交于G，且．
(1)分别求出和的值；
(2)若的面积为，求出四边形的面积．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据可得，根据，可得，，根据相似三角形的性质可得结果；
（2）连接，根据面积比等于相似比的平方可得，根据三角形中线等分三角形面积可得，然后根据得出，最后根据即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点D是边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）连接，
∵，相似比为，
∴，
∴，
∵点D是边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
17．已知，如图，直线交于，两点，是直径，平分交于，过作于．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据平行线的判定与性质可得，且在上，故是的切线．
（2）由直角三角形的特殊性质，可得的长，又有，根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径．
【详解】（1）连接．
，
．
，
．
．
，
即．
在上，为的半径，
是的切线．
（2），，，
．
连接．
是的直径，
．
，
．
．
则．
的半径是．
【点睛】本题考查圆的切线的判定、圆周角定理、勾股定理切割线定理、相似三角形的判定和性质等知识，在圆中学会正确添加辅助线是解决问题的关键．
18．如图，在中，点、分别在边、上，连接、，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)证明过程见详解．
(2)的面积为2．
【分析】（1）利用先判定，得到从而证明，结合，证明，得到即可．
（2）利用及面积比值得到，通过得到，最后利用求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质的应用，能够熟练的根据条件判定三角形相似，并利用相似的性质得到线段的比值是解题关键．
提升篇
1．如图，点、在反比例函数的图象上，延长交轴于点，若的面积是，且点是的中点，则的值（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据是的中点，表示出的面积，再利用的几何意义表示出和的面积，即可得出和的面积，易证∽，根据面积的比等于相似比的平方，列方程即可求出的值．
【详解】解：连接，过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示：
是的中点，
，
根据的几何意义，
，
，
，
，，
∽，
是的中点，
相似比为：，
，
，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，运用三角形中线的性质以及相似三角形的性质是解决本题的关键．
2．如图，在矩形中，．对角线与相交于点O，过点D作的垂线，交于点E，．则的值为（ ）
A．4B．2C．D．4
【答案】C
【分析】由矩形的性质可得结合可求得,再证，然后根据相似三角形对应边成比例列式可得即可解答．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴ ，
∵
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证得判断出相似三角形，并灵活运用相似三角形的性质是解题关键．
3．如图，在矩形中，是边的中点，垂足为点F，连接，有下列四个结论：①；②；③④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】①四边形是矩形，，则，又，于是；
②由，又，所以，故可得；
③过D作交于N，得到四边形是平行四边形，求出，得到，根据线段的垂直平分线的性质可得结论；
④由，推出，设，推出，，，，推出，故⑤正确．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴
∵于点F，
∴
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
如图，过D作交于N，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵于点F，，
∴，
∴垂直平分，
∴，故③正确；
，
，
设，
，，，，
故④正确；
正确的个数为4，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．
4．如图，正方形的边长为，点是边的中点，连接．在线段上有一点，若点P到正方形一边的距离为，则的长为___________．
【答案】或或
【分析】根据勾股定理求得，再分三种情况讨论，，根据相似三角形的性质与判定，即可求解．
【详解】解：正方形的边长为，点是边的中点，
，
如图1，作于点，使，
，
，
，
，
如图2，作于点，使，
，
，
如图3，作⊥于点，使，
，
，
综上所述：的长为或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
5．如图，矩形中，对角线、交于点，于点，，，______cm．
【答案】12
【分析】先证明，即可证明，从而求出，，最后根据勾股定理即可求出．
【详解】解：∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明是解题的关键．
6．如图，在中，中线、相交于点O，连接，下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数有____________（写序号）．
【答案】①③④
【分析】、是的中线，即D、E是和的中点，即是的中位线，则，，根据相似三角形的性质和三角形中线的性质即可判断．
【详解】∵、是的中线，即D、E是和的中点，
∴是的中位线，
∴，，即，①正确；
∵
∴，
∴，②错误；
∵,，
∴,③正确；
∵，
∴
∴
又∵是的中线
∴
∴，④正确
故①正确，②错误，③④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，利用三角形中线分三角形为面积相等的连个三角形证明和之间的关系是关键．
7．如图，在锐角三角形中，点D在边上，于点E，于点F，．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）先证，再证，即可解决问题；
（2）由（1）可知：，推出，再证，可得答案．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
；
（2）由（1）可知：，
，
，
，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、三角形的内角和，解题的关键是证明三角形相似．
8．綜合与探究
如图，在中，，点M从点A开始沿边向点C以的速度运动，点N从点C开始沿边向点B以的速度运动，当点M到达点C时，点M，N同时停止运动．若，的长是的两根（其中，单位：）．
(1)求，的长；
(2)如果点M，N分别从点A，C同时出发，那么几秒后，的面积为？
(3)如果点M，N分别从点A，C同时出发，是否能和相似？如果能，请求出运动的时间；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)或者
(3)能，或
【分析】（1）根据一元二次方程的十字相乘法即可计算出两个根；
（2）利用即可算出；
（3）利用三角形的相似比即可算出；
【详解】（1）解：，
解得，．
，
，．
（2）当运动时间为秒时，，，
依题意，得，
整理得，
解得，，两者均符合要求．
答：点M，N分别从点A，C同时出发，那么1秒或5秒后，的面积为．
（3）设运动秒时，和相似，，，
，可以分2种情况，
①若，此时，即，
解得；
②若，此时，即，
解得．
答：运动或时，和相似．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和解一元二次方程，解题的关键是灵活运用所学的知识．
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