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初中数学苏科版九年级下册6.6 图形的位似学案设计
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这是一份初中数学苏科版九年级下册6.6 图形的位似学案设计，共28页。学案主要包含了即学即练1，即学即练2，即学即练3，即学即练4等内容，欢迎下载使用。
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知识精讲
知识点01 位似多边形
1、位似多边形定义: 如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点，且每组对应点与点点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心.
【微点拨】位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.
2.位似图形的性质：
（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：
图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．
4.作位似图形的步骤
第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；
第二步：作位似中心与各关键点连线；
第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；
第四步：顺次连接各对应点.
【即学即练1】如图，已知△ABC，任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D、E、F、顺次连接得到△DEF，
下列结论：
①△ABC与△DEF是位似图形；
②△ABC与△DEF是相似图形；
③△ABC与△DEF的周长之比1∶2；
④△ABC与△DEF的面积之比为2∶1．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据三角形的中位线性质得出DEAB，且DE=，DFAC，且DF=，EFBC，且EF= ，得出线段的比值，根据相似三角形判定得出△DEF∽△ABC；可判断故②，根据BE，AD，CF的延长线交于O，△DEF和△ABC位似，可判断故①；根据DE=， DF=， EF= ，得出DE+DF+EF=进而得可判断故③；相似三角形面积比等于相似比的平方可判断故④可得到答案．
【详解】解：在△ABC外取一点O，连结AO、BO、CO，并分别取它们的中点D、E、F，得到△DEF，
∴DEAB，且DE=，DFAC，且DF=，EFBC，且EF= ，
∴，
∴△DEF∽△ABC，
∵BE，AD，CF的延长线交于O，
∴△DEF和△ABC位似；
与是位似图形，故①正确；
与是相似图形，故②正确；
∵DE=， DF=， EF= ，
∴DE+DF+EF=，
∴，
∴，
的周长与的周长比为，故③正确；
∵相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴与的面积比为，故④错误；
∴正确的个数是3个．
故选C．
【即学即练2】如图，两个五边形是位似图形，位似中心为点O，点A与对应，，若小五边形的周长为4，则大五边形的周长为（ ）
A．6B．9C．10D．25
【答案】C
【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比，进而得出答案．
【详解】解：∵两个五边形是位似图形，位似中心为点O，点A与A′对应，，
∴，
∴两个五边形的相似比=，
∵相似图形的周长比等于相似比，
∴大五边形的周长=，
故选C．
知识点02 坐标系中的位似图形
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.
【微点拨】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）或-.
【即学即练3】在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点B的对应点的坐标（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】D
【分析】根据位似的性质，将点的坐标乘以2或即可求解．
【详解】解：∵已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，
∴点B的对应点的坐标为：或．
故选D．
【即学即练4】如图，在平面点角坐标系中AOB与COD是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为(4，2)，则点D的坐标为（ ）
A．( 8，4)B．(8，6)C．(12，4)D．(12，6)
【答案】D
【分析】先求出位似比，根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴AOB与COD的位似比为，
∵B点坐标为(4，2)，AOB与COD是以坐标原点O为位似中心，
∴点D的坐标（4×3，2×3），即（12，6），
故选：D．
能力拓展
考法01 求两个位似图形的相似比
【典例1】如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为9，则面积为（ ）
A．4B．6C．D．
【答案】A
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽，AB，可得△OAB∽△O，根据相似三角形的性质得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题．
【详解】解：∵△ABC与位似，
∴△ABC∽，AB，
∴△OAB∽△O，
∴，
∴△ABC的面积：的面积＝9：4，
∵△ABC的面积为9，
∴的面积为：4，
故选：A．
考法02 位似图形的作法
【典例2】如图在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．
(1)画出与关于y轴对称的；
(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个，使它与ABC的相似比为2：1，并写出点的坐标．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析，点的坐标为（﹣4，﹣6）
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到、、的坐标，然后描点即可；
（2）把A、B、C的坐标都乘以-2得到、、的坐标，然后描点连线即可．
【详解】（1）如图，为所作；
（2）∵A（4，1），B（2，3），C（1，2），
∴（-8，-2、（-4，-6）、（-2，-4），
如图，为所作，点的坐标为（﹣4，﹣6）．
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，ABC与DEF是位似图形，相似比为2：3，已知AB＝10，则DE的长为（ ）
A．B．15C．30D．20
【答案】B
【分析】位似图形就是特殊的相似图形，位似比得于相似比．利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，
∴AB：DE=2：3，
∴10：DE=2：3，
∴DE=15，
故选：B．
2．如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（ ）
A．平移B．轴对称C．旋转D．位似
【答案】D
【分析】根据位似的定义，即可解决问题．
【详解】根据位似的定义可知：三角尺与影子之间属于位似．
故选：D．
3．如图，以点为位似中心，把放大2倍得到．下列说法错误的是( )
A．B．
C．D．直线经过点
【答案】B
【分析】根据位似变换的概念和性质判断即可．
【详解】解：∵以点为位似中心，把放大2倍得到，
∴，，直线经过点，，
∴，
∴A、C、D选项说法正确，不符合题意；B选项说法错误，符合题意．
故选：B．
4．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，放大3倍后得到．若点B的坐标为．则点E的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，结合图形，进而得出答案．
【详解】解：如图所示：以原点为位似中心，放大3倍后得到，点的坐标为，
点的坐标是：．
故选：．
5．如图，△ABO缩小后变为△ABO，且A、B的对应点分别为A′、B′，点A、B、A′、B′均在格点上，若线段AB上有点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P的坐标为（ ）
A．B．（m，n）C．D．
【答案】D
【分析】根据题意得缩小比例为，即可得．
【详解】解：∵点A的坐标为（4，6），点B的坐标为（6，2），的坐标为（2，3），点的坐标为（3，1），
∴缩小比例为，
∴点的坐标为：，
故选D．
6．如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，且，则与的相似比是（ ）
A．1∶4B．4∶1C．1∶2D．2∶1
【答案】C
【分析】根据位似定义性质得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到．
【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，
，
，
和的相似比为，
和的位似比为．
故选：C．
7．如图，已知A （4，2），B（2，﹣2），以点O为位似中心，按位似比1：2把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标为_____．
【答案】（2，1）或（﹣2，﹣1）
【分析】利用位似图形的性质得出对应点横纵坐标乘以或﹣，得出即可．
【详解】解：∵A （4，2），B（2，﹣2），
以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点A的对应点A'的坐标是：（2，1）或（﹣2，﹣1）．
故答案为：（2，1）或（﹣2，﹣1）．
8．如图，四边形ABCD和是以点O为位似中心的位似图形，若OA∶＝3∶5，则四边形ABCD与四边形的面积比是 __．
【答案】
【分析】利用相似多边形的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD和是以点O为位似中心的位似图形，
∴四边形ABCD∽四边形，
∴，
故答案为：．
9．如图，菱形ABCD与菱形A'BC'D'是位似图形，若AD＝6，A'D'＝4，则菱形A'BC'D'与菱形ABCD的位似比为______．
【答案】23
【分析】根据位似图形的位似比等于对应边的比，即可得出结论．
【详解】解：菱形ABCD与菱形A'BC'D'是位似图形
菱形A'BC'D'与菱形ABCD的位似比=
故答案为：23．
10．如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（10，10），B（12，6），以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD，则端点C的坐标为_______________．
【答案】（5，5）
【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．
【详解】解：∵线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（10，10），B（12，6），以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD，
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，
∴端点C的坐标为（5，5）．
故答案为：（5，5）．
题组B 能力提升练
1．如图，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形与矩OABC关于点O位似，且矩形与矩OABC的位似比为，那么点的坐标是( )
A．(－2，3)B．(2，－3)C．(3，－2)或(－2，3)D．(－2，3)或(2，－3)
【答案】D
【分析】由矩形与矩形OABC关于点O位似，矩形与矩形OABC的位似比为，又由点B的坐标为(-4，6)，即可求得答案．
【详解】解：∵矩形与矩形OABC关于点O位似，位似比为：，
∵点B的坐标为(-4，6)，
∴点的坐标是：(-2，3)或(2，-3)．
故选：D．
2．如图，在直角坐标系中，的顶点B的坐标为（-1，1），现以坐标原点O为位似中心，作与的位似比为的位似图形，则的坐标为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】根据以原点为位似中心的对应点的坐标关系，把B点的横纵坐标都乘以或得到B'的坐标．
【详解】解：∵位似中心为坐标原点，作与△ABC的位似比为的位似图形△A'B'C'，
而B的坐标为（-1，1），
∴B'的坐标为或,
故选：C．
3．在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到，则点A的对应点C的坐标是（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】B
【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标变换规律，把A点的横纵坐标分别都乘以或得到C点坐标．
【详解】解答：解：∵A点坐标为（−4，2），以原点O为位似中心，把△ABO缩小为原来的得到△CDO，
∴C点坐标为（−2，1）或（2，−1）．
故选：B．
4．如图，在直角坐标系xOy中，矩形EFGO的两边OE，OG在坐标轴上，以y轴上的某一点P为位似中心，作矩形ABCD，使其与矩形EFGO位似，若点B，F的坐标分别为（4，4），（-2，1），则位似中心P的坐标为（ ）
A．（0，1.5）B．（0，2）
C．（0，2.5）D．（0，3）
【答案】B
【分析】根据题意求出CG的长，利用相似三角形的性质求出PG的值，从而求出点P的坐标即可．
【详解】解：∵四边形ABCD和四边形EFGO均为矩形，点B，F的坐标分别为（4，4）、（-2，1），
∴，，点C（0，4），点G（0，1），
∴，，
∵，
∴△FGP∽△BCP
∴，即，
解得，
∴点P坐标为（0，2），
故选：B．
15．年是紫禁城建成年暨故宫博物院成立周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图中大门的门框并画出相关的几何图形（图），我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图中的四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，点是线段的中点，那么以下结论正确的是（ ）
A．四边形与四边形的相似比为：
B．四边形与四边形的相似比为：
C．四边形与四边形的周长比为：
D．四边形与四边形的面积比为：
【答案】D
【分析】根据题意可判断：：，即得出：：，从而可判断四边形与四边形的相似比为：，由相似比即可求出其周长比和面积比，即可选择．
【详解】四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，点是线段的中点，
∴：：，
∴：：，
四边形与四边形的相似比为：，周长的比为：，面积比为：．
故选D．
6．如图，以点O为位似中心，在点O的右侧将OAB按比例放大后得到OCD，已知OA＝2，AC＝3，则=________．
【答案】
【分析】根据位似的性质：位似图形的对应线段的比等于相似比求解即可．
【详解】解：∵以点为位似中心，放大后得到，
．
故答案为：．
7．如图，与△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是________．
【答案】（9，0）
【分析】根据位似中心的概念解答即可．
【详解】解：连接和并延长相交于点D，则点D即为位似中心，作图如下：
点D的坐标为（9，0），
即位似中心的坐标为（9，0），
故答案为：（9，0）．
8．如图，以点为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，，则五边形的周长与五边形的周长比是______．
【答案】1：2
【分析】根据已知可得五边形ABCDE的周长与五边形的位似比，然后由相似多边形的性质可证得：五边形ABCDE的周长与五边形的周长比．
【详解】以点为位似中心，将五边形放大后得到五边形，，，
五边形的周长与五边形的位似比为：：：，
五边形的周长与五边形的周长比是：：．
故答案为1:2．
9．如图，与位似，位似中心是点O，则，的面积为3，则的面积是___________．
【答案】12
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽，AC，求得相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
【详解】解：∵△ABC与位似，
∴△ABC∽，AC，
∴△AOC∽，
∴，
∴△ABC与的面积比为1：4，
∵△ABC的面积为3，
∴的面积是12，
故答案为：12．
10．实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为，．
(1)画出绕点B顺时针旋转90°后的；
(2)点M是的中点，在（1）的条件下，M的对应点的坐标为_______．
(3)以点B为位似中心，相似比为2:1，在x轴的上方画出放大后的．
【答案】(1)图见解析
(2)
(3)图见解析
【分析】（1）找到O，A绕点B顺时针旋转90°后的对应点，顺次连接，则即为所求；
（2）点M是OA的中点，在（1）的条件下，即可得到点M的对应点的坐标；
（3）延长至，至，使得，，连接，则即为所求．
【详解】（1）如图，找到O，A绕点B顺时针旋转90°后的对应点，顺次连接B，则即为所求；
（2）由题意得，点M与点乙在图上标出，
由图可知，，
∵点M是的中点，
∴经过旋转点也是的中点，
∴，
∴，
故答案为：．
（3）如图，延长至，至，使得，，连接，则即为所求．
题组C 培优拔尖练
1．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心为原点，位似比为，若点，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据位似图形的性质解答即可．
【详解】解：∵点C（−2，3），与C在原点两侧，且位似比为1：2，
∴坐标为[−2×（−2），2×（−3）]，即（4，−6）．
故选：A．
2．如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，把这个三角形放大为原来的倍，得到，则点的对应点的坐标是( )
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：以原点为位似中心，把放大为原来的倍，得到，，
点的对应点的坐标是或，
即或．
故选：C．
3．如图，在边长为1的正方形网格中， ABC与DEF是位似图形，则ABC与DEF的面积比是（ ）
A．4：1B．2：1C．：1D．9：1
【答案】A
【分析】△ABC与△DEF是位似图形，所以△ABC∽△DEF，根据勾股定理求出AB和DE算出他们的比值，则面积之比也就解出来了．
【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴△ABC∽△DEF，
由图可知AB==，DE=，
∴，
∴，
∴△ABC与△DEF的面积比为4：1
故选：A．
4．如图，中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是．以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．设点的对应点的横坐标是，则点的横坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据位似变换的性质得出△ABC的边长放大到原来的2倍，FO=m，CF=m+1，CE=（m+1），进而得出点B的横坐标．
【详解】解：过点B’作B’F⊥x轴，过点B作BE⊥x轴，
∵点C的坐标是（-1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．
点B的对应点B′的横坐标是m，
∴FO=m，CF=m+1，
∴CE=（m+1），
∴点B的横坐标是：-（m+1）-1=-（m+3）．
故选：A．
5．如图，是反比例函数（）图像上一点，点、在轴正半轴上，是关于点的位似图形，且与的位似比是1：3，的面积为1，则该反比例函数的表达式为______．
【答案】
【分析】设点A的坐标为（a，），根据位似比即可得出BD的长度，根据的面积为1，即可求出k的值．
【详解】解：设点A的横坐标为a，
∵点A在反比例函数图像上，
∴点A的纵坐标为反比例函数，即A（a，），
∴B（0，），则OB=，AB=a，
∵与的位似比是1：3，
∴，
∴BD==，
∵的面积为1，
∴，则：，解得：k=8．
∴该反比例函数的表达式为：，
故答案为：
6．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画出，使它与△ABC的相似比为2，且它与△ABC在位似中心O的两侧，并写出点B的对应点的坐标是______．
【答案】图见解析，点的坐标是(-4,-2)
【分析】直接利用位似图形的性质画出三角形顶点的对应点，再顺次连接即可画出图形，根据点的位置写出坐标即可．
【详解】解：如图所示：就是所要求画的，
点B的对应点的坐标是(-4,-2)，
故答案为：(-4,-2)．
7．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（-4，2），B（-2，-2）．以坐标原点O为位似中心把△AOB缩小得到△A1OB1，△A1OB1与△AOB的位似比为，则点A的对应点A1的坐标为_______．
【答案】（-2，1）或（2，-1）
【分析】根据在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形，如果相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k计算，得到答案．
【详解】解∶∵以坐标原点O为位似中心把△AOB缩小得到，与△AOB的位似比为，
∴点的对应点的横纵坐标与点A的横纵坐标的比值为或，
∵A（-4，2），
∴的坐标为或， 即(-2，1)或(2，-1)，
故答案为∶(-2，1)或(2，-1)．
8．如图，已知的面积为24，以B为位似中心，作的位似图形，位似图形与原图形的位似比为，连接AG、DG．则的面积为________．
【答案】4
【分析】延长EG交CD于点H，由题意可得四边形AEHD是平行四边形，则可得此平行四边形的面积为8，从而可得△ADG的面积．
【详解】延长EG交CD于点H，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，四边形EBFG是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC；BF∥EG，
∴AD∥EG，
∴四边形AEHD是平行四边形，
∴．
∵位似图形与原图形的位似比为，
∴，
即，
∴，
∴．
故答案为：4．
9．如图，△ABC在方格纸中
(1)如果在平面直角坐标系中，A（2，3），C（6，2），请画出平面直角坐标系，并写出B点坐标 ；
(2)以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的；则的面积S＝ ；
(3)以原点B为位似中心，在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍，此时△ABC的BC上的点D（a，b），请写出点D在的对应点的坐标为 ．
【答案】(1)作图见解析，
(2)作图见解析，
(3)作图见解析，
【分析】（1）利用A点和C点坐标画出x轴与y轴，然后写出B点坐标；
（2）把A、B、C三点的横纵坐标都乘以2得到的坐标，然后描点即可得到，如图1，然后根据网格特点，利用三角形面积公式计算的面积；
（3）延长BA到使，则点为A的对应点，同样作出C的对应点，即可得到，如图2，由于D点为的中点，于是可利用线段中点坐标公式求的坐标．
【详解】（1）解：如图1，B点坐标为）；
故答案为：
（2）如图1，为所作；的面积=×4×8=16；
故答案为：
（3）如图2，为所作；
∵，，位似比为2，
∴，即
∴D点为的中点，
∴点D在的对应点的坐标为．
故答案为：
10．如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别是A（1，3）、B（2，2）、C（2，1），D（3，3）．
(1)以原点O为位似中心，相似比为2，将图形反向放大，在第三象限画出符合要求的位似四边形；
(2)在（1）的前提下，分别写出点A，B，C，D，的对应点的坐标；
(3)在（1）的前提下，如果四边形ABCD内部一点M的坐标为（x，y），写出M的对应点的坐标（______，______）．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)﹣2x；﹣2y
【分析】（1）根据位似的性质作图即可．
（2）由图即可得出答案．
（3）根据位似的性质可得出答案．
【详解】（1）如图，四边形即为所求．
（2）由图可知，点．
（3）根据位似的性质可知，
点的坐标为（﹣2x，﹣2y）．
故答案为：﹣2x；﹣2y．课程标准
课标解读
1.了解位似多边形的概念，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；
2.能在同一坐标系中，感受图形放缩前后点的坐标的变化。
通过“观察——操作——思考”的活动过程，认识位似图形；会利用位似的性质将一个图形放大或者缩小。
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知识精讲
知识点01 位似多边形
1、位似多边形定义: 如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点，且每组对应点与点点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心.
【微点拨】位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.
2.位似图形的性质：
（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：
图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．
4.作位似图形的步骤
第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；
第二步：作位似中心与各关键点连线；
第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；
第四步：顺次连接各对应点.
【即学即练1】如图，已知△ABC，任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D、E、F、顺次连接得到△DEF，
下列结论：
①△ABC与△DEF是位似图形；
②△ABC与△DEF是相似图形；
③△ABC与△DEF的周长之比1∶2；
④△ABC与△DEF的面积之比为2∶1．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据三角形的中位线性质得出DEAB，且DE=，DFAC，且DF=，EFBC，且EF= ，得出线段的比值，根据相似三角形判定得出△DEF∽△ABC；可判断故②，根据BE，AD，CF的延长线交于O，△DEF和△ABC位似，可判断故①；根据DE=， DF=， EF= ，得出DE+DF+EF=进而得可判断故③；相似三角形面积比等于相似比的平方可判断故④可得到答案．
【详解】解：在△ABC外取一点O，连结AO、BO、CO，并分别取它们的中点D、E、F，得到△DEF，
∴DEAB，且DE=，DFAC，且DF=，EFBC，且EF= ，
∴，
∴△DEF∽△ABC，
∵BE，AD，CF的延长线交于O，
∴△DEF和△ABC位似；
与是位似图形，故①正确；
与是相似图形，故②正确；
∵DE=， DF=， EF= ，
∴DE+DF+EF=，
∴，
∴，
的周长与的周长比为，故③正确；
∵相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴与的面积比为，故④错误；
∴正确的个数是3个．
故选C．
【即学即练2】如图，两个五边形是位似图形，位似中心为点O，点A与对应，，若小五边形的周长为4，则大五边形的周长为（ ）
A．6B．9C．10D．25
【答案】C
【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比，进而得出答案．
【详解】解：∵两个五边形是位似图形，位似中心为点O，点A与A′对应，，
∴，
∴两个五边形的相似比=，
∵相似图形的周长比等于相似比，
∴大五边形的周长=，
故选C．
知识点02 坐标系中的位似图形
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.
【微点拨】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）或-.
【即学即练3】在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点B的对应点的坐标（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】D
【分析】根据位似的性质，将点的坐标乘以2或即可求解．
【详解】解：∵已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，
∴点B的对应点的坐标为：或．
故选D．
【即学即练4】如图，在平面点角坐标系中AOB与COD是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为(4，2)，则点D的坐标为（ ）
A．( 8，4)B．(8，6)C．(12，4)D．(12，6)
【答案】D
【分析】先求出位似比，根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴AOB与COD的位似比为，
∵B点坐标为(4，2)，AOB与COD是以坐标原点O为位似中心，
∴点D的坐标（4×3，2×3），即（12，6），
故选：D．
能力拓展
考法01 求两个位似图形的相似比
【典例1】如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为9，则面积为（ ）
A．4B．6C．D．
【答案】A
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽，AB，可得△OAB∽△O，根据相似三角形的性质得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题．
【详解】解：∵△ABC与位似，
∴△ABC∽，AB，
∴△OAB∽△O，
∴，
∴△ABC的面积：的面积＝9：4，
∵△ABC的面积为9，
∴的面积为：4，
故选：A．
考法02 位似图形的作法
【典例2】如图在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．
(1)画出与关于y轴对称的；
(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个，使它与ABC的相似比为2：1，并写出点的坐标．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析，点的坐标为（﹣4，﹣6）
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到、、的坐标，然后描点即可；
（2）把A、B、C的坐标都乘以-2得到、、的坐标，然后描点连线即可．
【详解】（1）如图，为所作；
（2）∵A（4，1），B（2，3），C（1，2），
∴（-8，-2、（-4，-6）、（-2，-4），
如图，为所作，点的坐标为（﹣4，﹣6）．
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，ABC与DEF是位似图形，相似比为2：3，已知AB＝10，则DE的长为（ ）
A．B．15C．30D．20
【答案】B
【分析】位似图形就是特殊的相似图形，位似比得于相似比．利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，
∴AB：DE=2：3，
∴10：DE=2：3，
∴DE=15，
故选：B．
2．如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（ ）
A．平移B．轴对称C．旋转D．位似
【答案】D
【分析】根据位似的定义，即可解决问题．
【详解】根据位似的定义可知：三角尺与影子之间属于位似．
故选：D．
3．如图，以点为位似中心，把放大2倍得到．下列说法错误的是( )
A．B．
C．D．直线经过点
【答案】B
【分析】根据位似变换的概念和性质判断即可．
【详解】解：∵以点为位似中心，把放大2倍得到，
∴，，直线经过点，，
∴，
∴A、C、D选项说法正确，不符合题意；B选项说法错误，符合题意．
故选：B．
4．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，放大3倍后得到．若点B的坐标为．则点E的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，结合图形，进而得出答案．
【详解】解：如图所示：以原点为位似中心，放大3倍后得到，点的坐标为，
点的坐标是：．
故选：．
5．如图，△ABO缩小后变为△ABO，且A、B的对应点分别为A′、B′，点A、B、A′、B′均在格点上，若线段AB上有点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P的坐标为（ ）
A．B．（m，n）C．D．
【答案】D
【分析】根据题意得缩小比例为，即可得．
【详解】解：∵点A的坐标为（4，6），点B的坐标为（6，2），的坐标为（2，3），点的坐标为（3，1），
∴缩小比例为，
∴点的坐标为：，
故选D．
6．如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，且，则与的相似比是（ ）
A．1∶4B．4∶1C．1∶2D．2∶1
【答案】C
【分析】根据位似定义性质得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到．
【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，
，
，
和的相似比为，
和的位似比为．
故选：C．
7．如图，已知A （4，2），B（2，﹣2），以点O为位似中心，按位似比1：2把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标为_____．
【答案】（2，1）或（﹣2，﹣1）
【分析】利用位似图形的性质得出对应点横纵坐标乘以或﹣，得出即可．
【详解】解：∵A （4，2），B（2，﹣2），
以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点A的对应点A'的坐标是：（2，1）或（﹣2，﹣1）．
故答案为：（2，1）或（﹣2，﹣1）．
8．如图，四边形ABCD和是以点O为位似中心的位似图形，若OA∶＝3∶5，则四边形ABCD与四边形的面积比是 __．
【答案】
【分析】利用相似多边形的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD和是以点O为位似中心的位似图形，
∴四边形ABCD∽四边形，
∴，
故答案为：．
9．如图，菱形ABCD与菱形A'BC'D'是位似图形，若AD＝6，A'D'＝4，则菱形A'BC'D'与菱形ABCD的位似比为______．
【答案】23
【分析】根据位似图形的位似比等于对应边的比，即可得出结论．
【详解】解：菱形ABCD与菱形A'BC'D'是位似图形
菱形A'BC'D'与菱形ABCD的位似比=
故答案为：23．
10．如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（10，10），B（12，6），以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD，则端点C的坐标为_______________．
【答案】（5，5）
【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．
【详解】解：∵线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（10，10），B（12，6），以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD，
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，
∴端点C的坐标为（5，5）．
故答案为：（5，5）．
题组B 能力提升练
1．如图，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形与矩OABC关于点O位似，且矩形与矩OABC的位似比为，那么点的坐标是( )
A．(－2，3)B．(2，－3)C．(3，－2)或(－2，3)D．(－2，3)或(2，－3)
【答案】D
【分析】由矩形与矩形OABC关于点O位似，矩形与矩形OABC的位似比为，又由点B的坐标为(-4，6)，即可求得答案．
【详解】解：∵矩形与矩形OABC关于点O位似，位似比为：，
∵点B的坐标为(-4，6)，
∴点的坐标是：(-2，3)或(2，-3)．
故选：D．
2．如图，在直角坐标系中，的顶点B的坐标为（-1，1），现以坐标原点O为位似中心，作与的位似比为的位似图形，则的坐标为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】根据以原点为位似中心的对应点的坐标关系，把B点的横纵坐标都乘以或得到B'的坐标．
【详解】解：∵位似中心为坐标原点，作与△ABC的位似比为的位似图形△A'B'C'，
而B的坐标为（-1，1），
∴B'的坐标为或,
故选：C．
3．在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到，则点A的对应点C的坐标是（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】B
【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标变换规律，把A点的横纵坐标分别都乘以或得到C点坐标．
【详解】解答：解：∵A点坐标为（−4，2），以原点O为位似中心，把△ABO缩小为原来的得到△CDO，
∴C点坐标为（−2，1）或（2，−1）．
故选：B．
4．如图，在直角坐标系xOy中，矩形EFGO的两边OE，OG在坐标轴上，以y轴上的某一点P为位似中心，作矩形ABCD，使其与矩形EFGO位似，若点B，F的坐标分别为（4，4），（-2，1），则位似中心P的坐标为（ ）
A．（0，1.5）B．（0，2）
C．（0，2.5）D．（0，3）
【答案】B
【分析】根据题意求出CG的长，利用相似三角形的性质求出PG的值，从而求出点P的坐标即可．
【详解】解：∵四边形ABCD和四边形EFGO均为矩形，点B，F的坐标分别为（4，4）、（-2，1），
∴，，点C（0，4），点G（0，1），
∴，，
∵，
∴△FGP∽△BCP
∴，即，
解得，
∴点P坐标为（0，2），
故选：B．
15．年是紫禁城建成年暨故宫博物院成立周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图中大门的门框并画出相关的几何图形（图），我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图中的四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，点是线段的中点，那么以下结论正确的是（ ）
A．四边形与四边形的相似比为：
B．四边形与四边形的相似比为：
C．四边形与四边形的周长比为：
D．四边形与四边形的面积比为：
【答案】D
【分析】根据题意可判断：：，即得出：：，从而可判断四边形与四边形的相似比为：，由相似比即可求出其周长比和面积比，即可选择．
【详解】四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，点是线段的中点，
∴：：，
∴：：，
四边形与四边形的相似比为：，周长的比为：，面积比为：．
故选D．
6．如图，以点O为位似中心，在点O的右侧将OAB按比例放大后得到OCD，已知OA＝2，AC＝3，则=________．
【答案】
【分析】根据位似的性质：位似图形的对应线段的比等于相似比求解即可．
【详解】解：∵以点为位似中心，放大后得到，
．
故答案为：．
7．如图，与△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是________．
【答案】（9，0）
【分析】根据位似中心的概念解答即可．
【详解】解：连接和并延长相交于点D，则点D即为位似中心，作图如下：
点D的坐标为（9，0），
即位似中心的坐标为（9，0），
故答案为：（9，0）．
8．如图，以点为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，，则五边形的周长与五边形的周长比是______．
【答案】1：2
【分析】根据已知可得五边形ABCDE的周长与五边形的位似比，然后由相似多边形的性质可证得：五边形ABCDE的周长与五边形的周长比．
【详解】以点为位似中心，将五边形放大后得到五边形，，，
五边形的周长与五边形的位似比为：：：，
五边形的周长与五边形的周长比是：：．
故答案为1:2．
9．如图，与位似，位似中心是点O，则，的面积为3，则的面积是___________．
【答案】12
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽，AC，求得相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
【详解】解：∵△ABC与位似，
∴△ABC∽，AC，
∴△AOC∽，
∴，
∴△ABC与的面积比为1：4，
∵△ABC的面积为3，
∴的面积是12，
故答案为：12．
10．实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为，．
(1)画出绕点B顺时针旋转90°后的；
(2)点M是的中点，在（1）的条件下，M的对应点的坐标为_______．
(3)以点B为位似中心，相似比为2:1，在x轴的上方画出放大后的．
【答案】(1)图见解析
(2)
(3)图见解析
【分析】（1）找到O，A绕点B顺时针旋转90°后的对应点，顺次连接，则即为所求；
（2）点M是OA的中点，在（1）的条件下，即可得到点M的对应点的坐标；
（3）延长至，至，使得，，连接，则即为所求．
【详解】（1）如图，找到O，A绕点B顺时针旋转90°后的对应点，顺次连接B，则即为所求；
（2）由题意得，点M与点乙在图上标出，
由图可知，，
∵点M是的中点，
∴经过旋转点也是的中点，
∴，
∴，
故答案为：．
（3）如图，延长至，至，使得，，连接，则即为所求．
题组C 培优拔尖练
1．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心为原点，位似比为，若点，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据位似图形的性质解答即可．
【详解】解：∵点C（−2，3），与C在原点两侧，且位似比为1：2，
∴坐标为[−2×（−2），2×（−3）]，即（4，−6）．
故选：A．
2．如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，把这个三角形放大为原来的倍，得到，则点的对应点的坐标是( )
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：以原点为位似中心，把放大为原来的倍，得到，，
点的对应点的坐标是或，
即或．
故选：C．
3．如图，在边长为1的正方形网格中， ABC与DEF是位似图形，则ABC与DEF的面积比是（ ）
A．4：1B．2：1C．：1D．9：1
【答案】A
【分析】△ABC与△DEF是位似图形，所以△ABC∽△DEF，根据勾股定理求出AB和DE算出他们的比值，则面积之比也就解出来了．
【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴△ABC∽△DEF，
由图可知AB==，DE=，
∴，
∴，
∴△ABC与△DEF的面积比为4：1
故选：A．
4．如图，中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是．以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．设点的对应点的横坐标是，则点的横坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据位似变换的性质得出△ABC的边长放大到原来的2倍，FO=m，CF=m+1，CE=（m+1），进而得出点B的横坐标．
【详解】解：过点B’作B’F⊥x轴，过点B作BE⊥x轴，
∵点C的坐标是（-1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．
点B的对应点B′的横坐标是m，
∴FO=m，CF=m+1，
∴CE=（m+1），
∴点B的横坐标是：-（m+1）-1=-（m+3）．
故选：A．
5．如图，是反比例函数（）图像上一点，点、在轴正半轴上，是关于点的位似图形，且与的位似比是1：3，的面积为1，则该反比例函数的表达式为______．
【答案】
【分析】设点A的坐标为（a，），根据位似比即可得出BD的长度，根据的面积为1，即可求出k的值．
【详解】解：设点A的横坐标为a，
∵点A在反比例函数图像上，
∴点A的纵坐标为反比例函数，即A（a，），
∴B（0，），则OB=，AB=a，
∵与的位似比是1：3，
∴，
∴BD==，
∵的面积为1，
∴，则：，解得：k=8．
∴该反比例函数的表达式为：，
故答案为：
6．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画出，使它与△ABC的相似比为2，且它与△ABC在位似中心O的两侧，并写出点B的对应点的坐标是______．
【答案】图见解析，点的坐标是(-4,-2)
【分析】直接利用位似图形的性质画出三角形顶点的对应点，再顺次连接即可画出图形，根据点的位置写出坐标即可．
【详解】解：如图所示：就是所要求画的，
点B的对应点的坐标是(-4,-2)，
故答案为：(-4,-2)．
7．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（-4，2），B（-2，-2）．以坐标原点O为位似中心把△AOB缩小得到△A1OB1，△A1OB1与△AOB的位似比为，则点A的对应点A1的坐标为_______．
【答案】（-2，1）或（2，-1）
【分析】根据在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形，如果相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k计算，得到答案．
【详解】解∶∵以坐标原点O为位似中心把△AOB缩小得到，与△AOB的位似比为，
∴点的对应点的横纵坐标与点A的横纵坐标的比值为或，
∵A（-4，2），
∴的坐标为或， 即(-2，1)或(2，-1)，
故答案为∶(-2，1)或(2，-1)．
8．如图，已知的面积为24，以B为位似中心，作的位似图形，位似图形与原图形的位似比为，连接AG、DG．则的面积为________．
【答案】4
【分析】延长EG交CD于点H，由题意可得四边形AEHD是平行四边形，则可得此平行四边形的面积为8，从而可得△ADG的面积．
【详解】延长EG交CD于点H，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，四边形EBFG是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC；BF∥EG，
∴AD∥EG，
∴四边形AEHD是平行四边形，
∴．
∵位似图形与原图形的位似比为，
∴，
即，
∴，
∴．
故答案为：4．
9．如图，△ABC在方格纸中
(1)如果在平面直角坐标系中，A（2，3），C（6，2），请画出平面直角坐标系，并写出B点坐标 ；
(2)以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的；则的面积S＝ ；
(3)以原点B为位似中心，在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍，此时△ABC的BC上的点D（a，b），请写出点D在的对应点的坐标为 ．
【答案】(1)作图见解析，
(2)作图见解析，
(3)作图见解析，
【分析】（1）利用A点和C点坐标画出x轴与y轴，然后写出B点坐标；
（2）把A、B、C三点的横纵坐标都乘以2得到的坐标，然后描点即可得到，如图1，然后根据网格特点，利用三角形面积公式计算的面积；
（3）延长BA到使，则点为A的对应点，同样作出C的对应点，即可得到，如图2，由于D点为的中点，于是可利用线段中点坐标公式求的坐标．
【详解】（1）解：如图1，B点坐标为）；
故答案为：
（2）如图1，为所作；的面积=×4×8=16；
故答案为：
（3）如图2，为所作；
∵，，位似比为2，
∴，即
∴D点为的中点，
∴点D在的对应点的坐标为．
故答案为：
10．如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别是A（1，3）、B（2，2）、C（2，1），D（3，3）．
(1)以原点O为位似中心，相似比为2，将图形反向放大，在第三象限画出符合要求的位似四边形；
(2)在（1）的前提下，分别写出点A，B，C，D，的对应点的坐标；
(3)在（1）的前提下，如果四边形ABCD内部一点M的坐标为（x，y），写出M的对应点的坐标（______，______）．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)﹣2x；﹣2y
【分析】（1）根据位似的性质作图即可．
（2）由图即可得出答案．
（3）根据位似的性质可得出答案．
【详解】（1）如图，四边形即为所求．
（2）由图可知，点．
（3）根据位似的性质可知，
点的坐标为（﹣2x，﹣2y）．
故答案为：﹣2x；﹣2y．课程标准
课标解读
1.了解位似多边形的概念，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；
2.能在同一坐标系中，感受图形放缩前后点的坐标的变化。
通过“观察——操作——思考”的活动过程，认识位似图形；会利用位似的性质将一个图形放大或者缩小。
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