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5.2 平行线及其判定 人教版七年级下册基础知识讲与练
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这是一份5.2 平行线及其判定 人教版七年级下册基础知识讲与练，共17页。
专题5.9 平行线及其判定（知识讲解） 【学习目标】 1.理解平行线的概念，会用作图工具画平行线，了解在同一平面内两条直线的位置关系； 2.掌握平行公理及其推论； 3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行. 【要点梳理】 要点一、平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 特别说明： (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 要点二、平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 特别说明： (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． (2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一． （3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 要点三、直线平行的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵ ∠3＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵ ∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言： ∵ ∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 特别说明：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形. 【典型例题】 类型一、尺规作图➽➼画平行线✬✬画垂线 1．如图，直线CD与直线AB相交与点O，直线外有一点P． (1)过点P画，交AB于点M，过点P画，垂足为N； (2)若、求∠COM的度数． 【答案】(1) 详见解析 ； (2) 135° 【分析】（1）直接画平行线和垂线即可； （2）根据平行线的性质可得同旁内角互补，由已知可得结论． 解：（1）如图， （2）∵PMCD， ∴∠PMO+∠COM=180°， ∵∠PMO：∠COM=1：3， ∴∠COM +∠COM=180°， ∴∠COM=135°． 【点拨】本题考查了基本作图以及平行线的性质，培养了学生过直线外一点作已知直线的平行线和垂线的画图能力． 举一反三： 【变式1】如图，请使用三角板与直尺画图： (1)过点Р作直线，交ON于点A； (2)过点Р向OM作垂线，垂足为点C，交ON于点D； 【答案】(1) 作图见详解；(2) 作图将详解； 【分析】（1）先将三角尺的一直角边紧靠直线OM，边缘与OM重合，再将三角尺的另一条直角边紧贴直尺的一边，最后向上移动三角尺，画一条平行线． （2）先将直尺与OM重合，再反向延长OM，再将三角板一直角边与直尺重合，再移动三角板使另一直角边过点P，最后过三角板的直角边画CM的垂线． （1）解：如图所示： 步骤：（1）将三角尺的一直角边紧靠直线OM，边缘与OM重合， （2）将三角尺的另一条直角边紧贴直尺的一边， （3）向下移动三角尺，再次画下一条平行线． （2）解：如图所示： 步骤： （1）将直尺与OM重合， （2）反向延长OM， （3）将三角板一直角边与直尺重合， （4）移动三角板使另一直角边过点P， （5）过三角板的直角边画CM的垂线． 【点拨】本题考查利用直角和三角板画平行线，和垂线，能够掌握画图原理是解决本题的关键． 【变式2】已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点的定义，平行线的定义判断即可． 解：过AC的中点D作AB的平行线， 正确的图形是选项B， 故选：B． 【点拨】本题考查作图——复杂作图，平行线的定义，中点的定义等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 类型二、平行线及其判定➽➼平行公理✬✬平行公理的推论 2．若直线a∥b，b∥c，则a∥c的依据是（ ）． A．平行的性质 B．等量代换 C．平行于同一直线的两条直线平行． D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据平行公理的推论进行判断即可． 解：直线a∥b，b∥c，则a∥c的依据是平行于同一直线的两条直线平行， 故选：C． 【点拨】本题考查了平行公理的推论，解题关键是明确平行于同一直线的两条直线平行． 举一反三： 【变式1】 直线a∥b，b∥c，直线d与a相交于点A. 判断a与c的位置关系，并说明理由； 判断c与d的位置关系，并说明理由． 【答案】 （1）a与c的位置关系是平行，理由详见解析；（2）c与d的位置关系是相交，理由详见解析. 【分析】（1）根据平行线的性质去解答即可（2）根据两直线的位置关系去解答即可. 解：(1) a与c的位置关系是平行， 理由是：∵直线a∥b，b∥c，∴a∥c； c与d的位置关系是相交， 理由是：∵c∥a，直线d与a相交于点A， ∴c与d的位置关系是相交． 【点拨】此题重点考察学生对平行线的性质，两直线的位置关系的理解，掌握平行线的性质和两直线的位置关系是解题的关键. 【变式2】如图，已知OA∥CD，OB∥CD，那么∠AOB是平角，为什么？ 【答案】是 【分析】根据平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；可知AO、OB在一条直线上．所以∠AOB是平角． 解： 由于OA∥CD，OB∥CD且OA、OB交于点O， 根据过直线CD外一点O有且只有一条直线与已知直线CD平行， 因此OA，OB共直线, 即A、O、B共直线. 所以∠AOB是平角. 【点拨】本题考查的是平行公理，解答本题的关键是熟练掌握平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 类型三、平行线的判定➽➼同位角相等，两直线平行 3．如图，，垂足为，，垂足为，＝．在下面括号中填上理由． 因为，， 所以＝＝． 又因为＝( )， 所以＝( )， 即＝． 所以( ) 【答案】 已知 等量减等量，差相等 同位角相等，两直线平行 【分析】根据垂线的定义，得出＝＝，再根据角的等量关系，得出＝，然后再根据同位角相等，两直线平行，得出，最后根据解题过程的理由填写即可． 解答：因为，， 所以＝＝． 又因为＝（已知）， 所以＝（等量减等量，差相等）， 即＝． 所以（同位角相等，两直线平行）． 【点拨】本题考查了垂线的定义、平行线的判定，解本题的关键在熟练掌握平行线的判定定理． 举一反三： 【变式1】如图，过直线外一点作已知直线的平行线，其依据是（ ） A．两直线平行，同位角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 【答案】C 【分析】根据三角板在移动过程中，角度不变，故依据是同位角相等，两直线平行，即可求解． 解：如图，三角板在移动过程中，角度不变，其依据是同位角相等，两直线平行． 故选：． 【点拨】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键． 【变式2】如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线AB∥CD，下面是某位同学弄乱了顺序的操作步骤： ①沿三角尺的边作出直线CD； ②用直尺紧靠三角尺的另一条边； ③作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB； ④沿直尺下移三角尺；正确的操作顺序应是：_____． 【答案】③②④① 【分析】根据同位角相等两直线平行判断即可． 解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是③②④①， 故答案我③②④①． 【点拨】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握同位角相等，两直线平行． 如图，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，∠1＝∠2，试判断BM与DN是否平行，为什么？ 【答案】；理由见解析 【分析】根据AB⊥EF，CD⊥EF， 得出∠ABE＝∠CDE＝90°，根据∠1＝∠2，得出∠MBE＝∠NDE，即可得出． 解：；理由如下： ∵AB⊥EF，CD⊥EF， ∴∠ABE＝∠CDE＝90°(垂直的定义)， ∵∠1＝∠2， ∴∠ABE－∠1＝∠CDE－∠2， 即∠MBE＝∠NDE， ∴ (同位角相等，两直线平行)． 【点拨】本题主要考查了垂直的定义，余角的性质，平行线的判定，根据题意得出∠MBE＝∠NDE，是解题的关键． 类型四、平行线的判定➽➼内错角相等，两直线平行 4．如图，∠1＝∠C，AC平分∠DAB，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据角平分线的定义得出∠1＝∠2，再利用内错角相等，两直线平行证明即可． 证明：∵AC平分∠DAB， ∴∠1＝∠2， ∵∠1＝∠C， ∴∠2＝∠C， ∴． 【点拨】此题考查平行线的判定，关键是根据角平分线的定义得出∠1＝∠2． 举一反三： 【变式1】 如图，请填写一个使的条件________， 【答案】答案不唯一， 【分析】根据平行线的判定定理进行解答即可， 解：填写的条件为：， ， （内错角相等，两直线平行）， 故答案为：答案不唯一， 【点拨】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键， 【变式2】如图，已知∠DEF =100°，请增加一个条件使得ABCD，这个条件可以是 _____． 【答案】∠AFE=100°(答案不唯一) 【分析】根据平行线的判定，可利用内错角相等或同旁内角互补，两直线平行得出答案． 解：根据平行线的判定，可添加∠AFE=100°， ∵∠AFE=∠DEF =100°， ∴ABCD(内错角相等，两直线平行)， 故答案为：∠AFE=100°（答案不唯一）． 【点拨】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定是解题的关键，即①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行． 类型五、平行线的判定➽➼同旁内角互补，两直线平行 5．如图,∠BEC=95°,∠ABE=120°,∠DCE=35°,则AB与CD平行吗?请说明理由. 【答案】平行，理由见解析. 【分析】先做辅助线延长BE，交CD于F，根据∠BEC+∠CEF=180°可得到∠CEF的度数；再根据三角形内角和定理即可得到∠BFC=60°，至此，再结合平行线的判定定理即可得到结论. 解：AB∥CD,理由如下: 如图所示,延长BE,交CD于点F, ∵∠BEC=95°, ∴∠CEF=180°-95°=85°. 又∵∠DCE=35°, ∴∠BFC=180°-∠DCE-∠CEF=180°-35°-85°=60°. ∵∠ABE=120°(已知), ∴∠ABE+∠BFC=180°, ∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行). 【点拨】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是关键. 举一反三： 【变式1】 已知：如图，直线AB，CD被直线GH所截，∠1＝112°，∠2＝68°，求证：AB//CD． 完成下面的证明． 证明：∵AB被直线GH所截，∠1＝112°， ∴∠1＝∠ ＝112° ∵∠2＝68°， ∴∠2+∠3＝ ， ∴AB// （ ）（填推理的依据） 【答案】∠3，180°，CD，同旁内角互补，两直线平行． 【分析】先根据对顶角相等求得∠3的度数，进而得到∠2+∠3=180°，即可判定AB∥CD． 证明：∵AB被直线GH所截，∠1=112°， ∴∠1=∠3=112° ∵∠2=68°， ∴∠2+∠3=180°， ∴AB∥CD，（同旁内角互补，两直线平行） 故答案为：∠3，180°，CD，同旁内角互补，两直线平行． 【点拨】本题主要考查了平行线的判定，对顶角的性质，掌握两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行是解题的关键． 【变式2】如图，AB∥CD，∠B＝70°，∠BCE＝20°，∠CEF＝130°，请判断AB与EF的位置关系，并说明理由． 【答案】AB∥EF．理由见解析. 【分析】依据平行线的性质，即可得到∠BCD=70°，进而得出∠E+∠DCE=180°，进而得到EF∥CD，进而得到AB∥EF． 解：AB∥EF，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠B=∠BCD，∵∠B=70°， ∴∠BCD=70°，∵∠BCE=20°， ∴∠ECD=50°， ∵CEF=130°， ∴∠E+∠DCE=180°， ∴EF∥CD， ∴AB∥EF． 【点拨】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． 类型六、平行线的判定➽➼垂直于同一直线的两直线平行 6．在四边形ABCD中，CF⊥BD于点F，过点A作AG⊥BD，分别交BD，BC于点E，G，若∠DAG＝∠BCF，求证：AD∥BC． 【分析】根据垂直于同一直线的两直线平行得出，CF∥AG，得出∠BGA=∠BCF，等量代换得到∠BGA=∠DAG，即可判定AD∥BC． 证明：∵CF⊥BD，AG⊥BD， ∴CF∥AG， ∴∠BGA=∠BCF， ∵∠DAG=∠BCF， ∴∠BGA=∠DAG， ∴AD∥BC． 【点拨】本题考查了平行线的判定，熟记“垂直于同一直线的两直线平行”及“内错角相等，两直线平行”是解题的关键． 举一反三： 【变式】 如图，已知AC⊥BC于点C，∠B＝70º，∠ACD＝20º． (1)求证：AB//CD； (2)在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件________，使BC//AD． 【答案】(1)证明见解析； (2)AC⊥AD（答案不唯一） 【分析】（1）由题意易求出，即可利用同旁内角互补，两直线平行证明； （2）由在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，即可补充条件为：AC⊥AD．（答案不唯一） （1）证明：∵AC⊥BC， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）补充条件：AC⊥AD， ∵AC⊥AD，AC⊥BC ∴BC//AD． 故答案为：AC⊥AD． 【点拨】本题考查垂直的定义，平行线的判定．掌握平行线的判定条件是解题关键． 类型七、平行线的判定➽➼综合应用 7．在下列解题过程的空白处填上恰当的内容（推理的理由或数学表达式） 已知：如图，∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠4． 求证：EFGH． 证明：∵∠1＋∠2＝180°（已知），∠AEG＝∠1（______） ∴∠AEG＋∠______＝180°， ∴ABCD（______）， ∴∠AEG＝∠EGD（______）， ∵∠3＝∠4（已知）， ∴∠3＋∠AEG＝∠4＋∠______（等式的性质）， 即∠FEG＝∠______， ∴EFGH（______）． 【答案】对顶角相等；2；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；EGD；EGH；内错角相等，两直线平行 【分析】求出∠AEG+∠2=180°，根据平行线的判定得出ABCD，根据平行线的性质得出∠AEG=∠EGD，求出∠3+∠AEG=∠4+∠EGD，根据平行线的判定得出即可． 证明：∵∠1+∠2=180°（已知），∠AEG=∠1（对顶角相等） ∴∠AEG+∠2=180°， ∴ABCD（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠AEG=∠EGD（两直线平行，内错角相等）， ∵∠3=∠4（已知）， ∴∠3+∠AEG=∠4+∠EGD（等式性质）， 即∠FEG＝∠EGH ∴EFGH（内错角相等，两直线平行） 故答案为：对顶角相等；2；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；EGD；EGH；内错角相等，两直线平行 【点拨】本题考查了平行线的性质和判定，能熟记定理的内容是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 举一反三： 【变式1】 如图，，试说明． 证明：∵（已知）， ∴（___________________）， ∴____________（同位角相等，两直线平行）， ∵（已知）， ∴（___________________）， ∴（___________________）， ∴（两直线平行，同位角相等）． 【答案】垂直定义；AB；CD；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】根据垂直定义求出∠B=∠CDF=90°，根据平行线的判定得出AB∥EF，EF∥CD，即可得出答案． 证明：∵（已知）， ∴（垂直定义）， ∴AB//CD（同位角相等，两直线平行）， ∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）． 故答案为：垂直定义；AB；CD；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行 【点拨】本题考查了平行线的判定的应用，能正确运用判定定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行，④平行于同一直线的两直线平行． 【变式2】如图，∠AEF=∠B，∠FEC=∠GHB，HG⊥AB于G，求证：CE⊥AB． 【答案】证明见解析. 【详解】试题分析：由条件可证明FE∥BC，得到角之间的关系，从而可证得HG∥CE，可得出结论． 证明：∵∠AEF=∠B， ∴EF∥BC， ∴∠FEC=∠BCE=∠GHB， ∴GH∥CE， ∴∠CEB=∠BGH， ∵HG⊥AB， ∴∠CEB=∠BGH， ∴CE⊥AB 中考真题专练 1（2020·浙江金华·中考真题）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘的垂线和，得到，理由是（ ） A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 B．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线 C．连接直线外一点与直线各点的所有直线中，垂线段最短 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】A 【分析】根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可． 解：由题意得： ∴a∥b（在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行）， 故选：A． 【点拨】本题考查平行线的判定，平行公理，解题关键是理解题意，灵活运用所学直线解决问题． 2（2015·甘肃庆阳·中考真题）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题： ①如果a//b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b//a，c//a，那么b//c； ③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c； ④如果b⊥a，c⊥a，那么b//c． 其中真命题的是__________．（填写所有真命题的序号） 【答案】①②④ 解答：①如果a//b，a⊥c，那么b⊥c是真命题， ②如果b//a，c//a，那么b//c是真命题， ③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c是假命题， ④如果b⊥a，c⊥a，那么b//c是真命题， ∴真命题有①②④， 故答案为：①②④ 3．（2016·广西来宾·中考真题）如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（ ） A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠5 D．∠3+∠4=180° 【答案】C 【详解】解：A．∵∠1与∠2是直线a，b被c所截的一组同位角， ∴∠1=∠2，可以得到a∥b， ∴不符合题意 B．∵∠2与∠3是直线a，b被c所截的一组内错角， ∴∠2=∠3，可以得到a∥b， ∴不符合题意， C．∵∠3与∠5既不是直线a，b被任何一条直线所截的一组同位角，内错角， ∴∠3=∠5，不能得到a∥b， ∴符合题意， D．∵∠3与∠4是直线a，b被c所截的一组同旁内角 ，∴∠3+∠4=180°，可以得到a∥b， ∴不符合题意， 故选C． 【点拨】本题考查平行线的判定，难度不大． 4．（2020·浙江衢州·中考真题）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可． 【详解】A、由作图可知，内错角相等两直线平行，本选项不符合题意． B、由作图可知，同位角相等两直线平行，本选项不符合题意． C、与作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意， D、无法判断两直线平行， 故选：D． 【点拨】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型． 5．（2018·四川广元·中考真题）一辆汽车在公路上行驶,两次拐弯后,仍在原来的方向平行行驶,那么这两个拐弯的角度可能是( ) A．先向左转130°，再向左转50° B．先向左转50°，再向右转50° C．先向左转50°，再向右转40° D．先向左转50°，再向左转40° 【答案】B 【详解】根据同位角相等，两直线平行，可得B.
专题5.9 平行线及其判定（知识讲解） 【学习目标】 1.理解平行线的概念，会用作图工具画平行线，了解在同一平面内两条直线的位置关系； 2.掌握平行公理及其推论； 3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行. 【要点梳理】 要点一、平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 特别说明： (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 要点二、平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 特别说明： (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． (2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一． （3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 要点三、直线平行的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵ ∠3＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵ ∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言： ∵ ∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 特别说明：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形. 【典型例题】 类型一、尺规作图➽➼画平行线✬✬画垂线 1．如图，直线CD与直线AB相交与点O，直线外有一点P． (1)过点P画，交AB于点M，过点P画，垂足为N； (2)若、求∠COM的度数． 【答案】(1) 详见解析 ； (2) 135° 【分析】（1）直接画平行线和垂线即可； （2）根据平行线的性质可得同旁内角互补，由已知可得结论． 解：（1）如图， （2）∵PMCD， ∴∠PMO+∠COM=180°， ∵∠PMO：∠COM=1：3， ∴∠COM +∠COM=180°， ∴∠COM=135°． 【点拨】本题考查了基本作图以及平行线的性质，培养了学生过直线外一点作已知直线的平行线和垂线的画图能力． 举一反三： 【变式1】如图，请使用三角板与直尺画图： (1)过点Р作直线，交ON于点A； (2)过点Р向OM作垂线，垂足为点C，交ON于点D； 【答案】(1) 作图见详解；(2) 作图将详解； 【分析】（1）先将三角尺的一直角边紧靠直线OM，边缘与OM重合，再将三角尺的另一条直角边紧贴直尺的一边，最后向上移动三角尺，画一条平行线． （2）先将直尺与OM重合，再反向延长OM，再将三角板一直角边与直尺重合，再移动三角板使另一直角边过点P，最后过三角板的直角边画CM的垂线． （1）解：如图所示： 步骤：（1）将三角尺的一直角边紧靠直线OM，边缘与OM重合， （2）将三角尺的另一条直角边紧贴直尺的一边， （3）向下移动三角尺，再次画下一条平行线． （2）解：如图所示： 步骤： （1）将直尺与OM重合， （2）反向延长OM， （3）将三角板一直角边与直尺重合， （4）移动三角板使另一直角边过点P， （5）过三角板的直角边画CM的垂线． 【点拨】本题考查利用直角和三角板画平行线，和垂线，能够掌握画图原理是解决本题的关键． 【变式2】已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点的定义，平行线的定义判断即可． 解：过AC的中点D作AB的平行线， 正确的图形是选项B， 故选：B． 【点拨】本题考查作图——复杂作图，平行线的定义，中点的定义等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 类型二、平行线及其判定➽➼平行公理✬✬平行公理的推论 2．若直线a∥b，b∥c，则a∥c的依据是（ ）． A．平行的性质 B．等量代换 C．平行于同一直线的两条直线平行． D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据平行公理的推论进行判断即可． 解：直线a∥b，b∥c，则a∥c的依据是平行于同一直线的两条直线平行， 故选：C． 【点拨】本题考查了平行公理的推论，解题关键是明确平行于同一直线的两条直线平行． 举一反三： 【变式1】 直线a∥b，b∥c，直线d与a相交于点A. 判断a与c的位置关系，并说明理由； 判断c与d的位置关系，并说明理由． 【答案】 （1）a与c的位置关系是平行，理由详见解析；（2）c与d的位置关系是相交，理由详见解析. 【分析】（1）根据平行线的性质去解答即可（2）根据两直线的位置关系去解答即可. 解：(1) a与c的位置关系是平行， 理由是：∵直线a∥b，b∥c，∴a∥c； c与d的位置关系是相交， 理由是：∵c∥a，直线d与a相交于点A， ∴c与d的位置关系是相交． 【点拨】此题重点考察学生对平行线的性质，两直线的位置关系的理解，掌握平行线的性质和两直线的位置关系是解题的关键. 【变式2】如图，已知OA∥CD，OB∥CD，那么∠AOB是平角，为什么？ 【答案】是 【分析】根据平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；可知AO、OB在一条直线上．所以∠AOB是平角． 解： 由于OA∥CD，OB∥CD且OA、OB交于点O， 根据过直线CD外一点O有且只有一条直线与已知直线CD平行， 因此OA，OB共直线, 即A、O、B共直线. 所以∠AOB是平角. 【点拨】本题考查的是平行公理，解答本题的关键是熟练掌握平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 类型三、平行线的判定➽➼同位角相等，两直线平行 3．如图，，垂足为，，垂足为，＝．在下面括号中填上理由． 因为，， 所以＝＝． 又因为＝( )， 所以＝( )， 即＝． 所以( ) 【答案】 已知 等量减等量，差相等 同位角相等，两直线平行 【分析】根据垂线的定义，得出＝＝，再根据角的等量关系，得出＝，然后再根据同位角相等，两直线平行，得出，最后根据解题过程的理由填写即可． 解答：因为，， 所以＝＝． 又因为＝（已知）， 所以＝（等量减等量，差相等）， 即＝． 所以（同位角相等，两直线平行）． 【点拨】本题考查了垂线的定义、平行线的判定，解本题的关键在熟练掌握平行线的判定定理． 举一反三： 【变式1】如图，过直线外一点作已知直线的平行线，其依据是（ ） A．两直线平行，同位角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 【答案】C 【分析】根据三角板在移动过程中，角度不变，故依据是同位角相等，两直线平行，即可求解． 解：如图，三角板在移动过程中，角度不变，其依据是同位角相等，两直线平行． 故选：． 【点拨】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键． 【变式2】如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线AB∥CD，下面是某位同学弄乱了顺序的操作步骤： ①沿三角尺的边作出直线CD； ②用直尺紧靠三角尺的另一条边； ③作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB； ④沿直尺下移三角尺；正确的操作顺序应是：_____． 【答案】③②④① 【分析】根据同位角相等两直线平行判断即可． 解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是③②④①， 故答案我③②④①． 【点拨】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握同位角相等，两直线平行． 如图，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，∠1＝∠2，试判断BM与DN是否平行，为什么？ 【答案】；理由见解析 【分析】根据AB⊥EF，CD⊥EF， 得出∠ABE＝∠CDE＝90°，根据∠1＝∠2，得出∠MBE＝∠NDE，即可得出． 解：；理由如下： ∵AB⊥EF，CD⊥EF， ∴∠ABE＝∠CDE＝90°(垂直的定义)， ∵∠1＝∠2， ∴∠ABE－∠1＝∠CDE－∠2， 即∠MBE＝∠NDE， ∴ (同位角相等，两直线平行)． 【点拨】本题主要考查了垂直的定义，余角的性质，平行线的判定，根据题意得出∠MBE＝∠NDE，是解题的关键． 类型四、平行线的判定➽➼内错角相等，两直线平行 4．如图，∠1＝∠C，AC平分∠DAB，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据角平分线的定义得出∠1＝∠2，再利用内错角相等，两直线平行证明即可． 证明：∵AC平分∠DAB， ∴∠1＝∠2， ∵∠1＝∠C， ∴∠2＝∠C， ∴． 【点拨】此题考查平行线的判定，关键是根据角平分线的定义得出∠1＝∠2． 举一反三： 【变式1】 如图，请填写一个使的条件________， 【答案】答案不唯一， 【分析】根据平行线的判定定理进行解答即可， 解：填写的条件为：， ， （内错角相等，两直线平行）， 故答案为：答案不唯一， 【点拨】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键， 【变式2】如图，已知∠DEF =100°，请增加一个条件使得ABCD，这个条件可以是 _____． 【答案】∠AFE=100°(答案不唯一) 【分析】根据平行线的判定，可利用内错角相等或同旁内角互补，两直线平行得出答案． 解：根据平行线的判定，可添加∠AFE=100°， ∵∠AFE=∠DEF =100°， ∴ABCD(内错角相等，两直线平行)， 故答案为：∠AFE=100°（答案不唯一）． 【点拨】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定是解题的关键，即①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行． 类型五、平行线的判定➽➼同旁内角互补，两直线平行 5．如图,∠BEC=95°,∠ABE=120°,∠DCE=35°,则AB与CD平行吗?请说明理由. 【答案】平行，理由见解析. 【分析】先做辅助线延长BE，交CD于F，根据∠BEC+∠CEF=180°可得到∠CEF的度数；再根据三角形内角和定理即可得到∠BFC=60°，至此，再结合平行线的判定定理即可得到结论. 解：AB∥CD,理由如下: 如图所示,延长BE,交CD于点F, ∵∠BEC=95°, ∴∠CEF=180°-95°=85°. 又∵∠DCE=35°, ∴∠BFC=180°-∠DCE-∠CEF=180°-35°-85°=60°. ∵∠ABE=120°(已知), ∴∠ABE+∠BFC=180°, ∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行). 【点拨】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是关键. 举一反三： 【变式1】 已知：如图，直线AB，CD被直线GH所截，∠1＝112°，∠2＝68°，求证：AB//CD． 完成下面的证明． 证明：∵AB被直线GH所截，∠1＝112°， ∴∠1＝∠ ＝112° ∵∠2＝68°， ∴∠2+∠3＝ ， ∴AB// （ ）（填推理的依据） 【答案】∠3，180°，CD，同旁内角互补，两直线平行． 【分析】先根据对顶角相等求得∠3的度数，进而得到∠2+∠3=180°，即可判定AB∥CD． 证明：∵AB被直线GH所截，∠1=112°， ∴∠1=∠3=112° ∵∠2=68°， ∴∠2+∠3=180°， ∴AB∥CD，（同旁内角互补，两直线平行） 故答案为：∠3，180°，CD，同旁内角互补，两直线平行． 【点拨】本题主要考查了平行线的判定，对顶角的性质，掌握两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行是解题的关键． 【变式2】如图，AB∥CD，∠B＝70°，∠BCE＝20°，∠CEF＝130°，请判断AB与EF的位置关系，并说明理由． 【答案】AB∥EF．理由见解析. 【分析】依据平行线的性质，即可得到∠BCD=70°，进而得出∠E+∠DCE=180°，进而得到EF∥CD，进而得到AB∥EF． 解：AB∥EF，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠B=∠BCD，∵∠B=70°， ∴∠BCD=70°，∵∠BCE=20°， ∴∠ECD=50°， ∵CEF=130°， ∴∠E+∠DCE=180°， ∴EF∥CD， ∴AB∥EF． 【点拨】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． 类型六、平行线的判定➽➼垂直于同一直线的两直线平行 6．在四边形ABCD中，CF⊥BD于点F，过点A作AG⊥BD，分别交BD，BC于点E，G，若∠DAG＝∠BCF，求证：AD∥BC． 【分析】根据垂直于同一直线的两直线平行得出，CF∥AG，得出∠BGA=∠BCF，等量代换得到∠BGA=∠DAG，即可判定AD∥BC． 证明：∵CF⊥BD，AG⊥BD， ∴CF∥AG， ∴∠BGA=∠BCF， ∵∠DAG=∠BCF， ∴∠BGA=∠DAG， ∴AD∥BC． 【点拨】本题考查了平行线的判定，熟记“垂直于同一直线的两直线平行”及“内错角相等，两直线平行”是解题的关键． 举一反三： 【变式】 如图，已知AC⊥BC于点C，∠B＝70º，∠ACD＝20º． (1)求证：AB//CD； (2)在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件________，使BC//AD． 【答案】(1)证明见解析； (2)AC⊥AD（答案不唯一） 【分析】（1）由题意易求出，即可利用同旁内角互补，两直线平行证明； （2）由在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，即可补充条件为：AC⊥AD．（答案不唯一） （1）证明：∵AC⊥BC， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）补充条件：AC⊥AD， ∵AC⊥AD，AC⊥BC ∴BC//AD． 故答案为：AC⊥AD． 【点拨】本题考查垂直的定义，平行线的判定．掌握平行线的判定条件是解题关键． 类型七、平行线的判定➽➼综合应用 7．在下列解题过程的空白处填上恰当的内容（推理的理由或数学表达式） 已知：如图，∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠4． 求证：EFGH． 证明：∵∠1＋∠2＝180°（已知），∠AEG＝∠1（______） ∴∠AEG＋∠______＝180°， ∴ABCD（______）， ∴∠AEG＝∠EGD（______）， ∵∠3＝∠4（已知）， ∴∠3＋∠AEG＝∠4＋∠______（等式的性质）， 即∠FEG＝∠______， ∴EFGH（______）． 【答案】对顶角相等；2；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；EGD；EGH；内错角相等，两直线平行 【分析】求出∠AEG+∠2=180°，根据平行线的判定得出ABCD，根据平行线的性质得出∠AEG=∠EGD，求出∠3+∠AEG=∠4+∠EGD，根据平行线的判定得出即可． 证明：∵∠1+∠2=180°（已知），∠AEG=∠1（对顶角相等） ∴∠AEG+∠2=180°， ∴ABCD（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠AEG=∠EGD（两直线平行，内错角相等）， ∵∠3=∠4（已知）， ∴∠3+∠AEG=∠4+∠EGD（等式性质）， 即∠FEG＝∠EGH ∴EFGH（内错角相等，两直线平行） 故答案为：对顶角相等；2；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；EGD；EGH；内错角相等，两直线平行 【点拨】本题考查了平行线的性质和判定，能熟记定理的内容是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 举一反三： 【变式1】 如图，，试说明． 证明：∵（已知）， ∴（___________________）， ∴____________（同位角相等，两直线平行）， ∵（已知）， ∴（___________________）， ∴（___________________）， ∴（两直线平行，同位角相等）． 【答案】垂直定义；AB；CD；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】根据垂直定义求出∠B=∠CDF=90°，根据平行线的判定得出AB∥EF，EF∥CD，即可得出答案． 证明：∵（已知）， ∴（垂直定义）， ∴AB//CD（同位角相等，两直线平行）， ∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）． 故答案为：垂直定义；AB；CD；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行 【点拨】本题考查了平行线的判定的应用，能正确运用判定定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行，④平行于同一直线的两直线平行． 【变式2】如图，∠AEF=∠B，∠FEC=∠GHB，HG⊥AB于G，求证：CE⊥AB． 【答案】证明见解析. 【详解】试题分析：由条件可证明FE∥BC，得到角之间的关系，从而可证得HG∥CE，可得出结论． 证明：∵∠AEF=∠B， ∴EF∥BC， ∴∠FEC=∠BCE=∠GHB， ∴GH∥CE， ∴∠CEB=∠BGH， ∵HG⊥AB， ∴∠CEB=∠BGH， ∴CE⊥AB 中考真题专练 1（2020·浙江金华·中考真题）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘的垂线和，得到，理由是（ ） A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 B．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线 C．连接直线外一点与直线各点的所有直线中，垂线段最短 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】A 【分析】根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可． 解：由题意得： ∴a∥b（在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行）， 故选：A． 【点拨】本题考查平行线的判定，平行公理，解题关键是理解题意，灵活运用所学直线解决问题． 2（2015·甘肃庆阳·中考真题）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题： ①如果a//b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b//a，c//a，那么b//c； ③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c； ④如果b⊥a，c⊥a，那么b//c． 其中真命题的是__________．（填写所有真命题的序号） 【答案】①②④ 解答：①如果a//b，a⊥c，那么b⊥c是真命题， ②如果b//a，c//a，那么b//c是真命题， ③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c是假命题， ④如果b⊥a，c⊥a，那么b//c是真命题， ∴真命题有①②④， 故答案为：①②④ 3．（2016·广西来宾·中考真题）如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（ ） A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠5 D．∠3+∠4=180° 【答案】C 【详解】解：A．∵∠1与∠2是直线a，b被c所截的一组同位角， ∴∠1=∠2，可以得到a∥b， ∴不符合题意 B．∵∠2与∠3是直线a，b被c所截的一组内错角， ∴∠2=∠3，可以得到a∥b， ∴不符合题意， C．∵∠3与∠5既不是直线a，b被任何一条直线所截的一组同位角，内错角， ∴∠3=∠5，不能得到a∥b， ∴符合题意， D．∵∠3与∠4是直线a，b被c所截的一组同旁内角 ，∴∠3+∠4=180°，可以得到a∥b， ∴不符合题意， 故选C． 【点拨】本题考查平行线的判定，难度不大． 4．（2020·浙江衢州·中考真题）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可． 【详解】A、由作图可知，内错角相等两直线平行，本选项不符合题意． B、由作图可知，同位角相等两直线平行，本选项不符合题意． C、与作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意， D、无法判断两直线平行， 故选：D． 【点拨】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型． 5．（2018·四川广元·中考真题）一辆汽车在公路上行驶,两次拐弯后,仍在原来的方向平行行驶,那么这两个拐弯的角度可能是( ) A．先向左转130°，再向左转50° B．先向左转50°，再向右转50° C．先向左转50°，再向右转40° D．先向左转50°，再向左转40° 【答案】B 【详解】根据同位角相等，两直线平行，可得B.
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